资源简介

4.3　对数函数
4.3.1　对数的概念
核心知识目标 核心素养目标
1.理解对数的概念和基本性质,知道自然对数和常用对数. 2.通过阅读材料,了解对数的发展历史以及对简化运算的作用. 通过对数的概念和基本性质的学习,达成数学抽象、逻辑推理的核心素养.
1.对数的概念
如果ab=N(a>0,且a≠1),那么b叫作以a为底,(正)数N的对数,记作b=logaN.
这里,a叫作对数的底数,N叫作对数的真数.
2.对数的基本恒等式
(1)=N(N>0,a>0,且a≠1);
(2)b=logaab(b∈R,a>0,且a≠1).
3.对数的性质
(1)底的对数为1,即logaa=logaa1=1.
(2)1的对数为0,即loga1=logaa0=0.
1.下列说法正确的是(　D　)
A.根据对数的定义,因为(-2)4=16,所以log(-2)16=4
B.对数式log32与log23的意义一样
C.因为1a=1,所以log11=a
D.log39=2
解析:因为对数的底数a应满足a>0,且a≠1,所以A错;
log32表示以3为底2的对数,log23表示以2为底3的对数,所以B错;
因为对数的底数a应满足a>0,且a≠1,所以C错;
log39=log332=2,故D正确.故选D.
2.若2a=b,则下列说法正确的是(　B　)
A.a=logb2 B.a=log2b
C.2=logab D.2=logba
解析:将指数式2a=b化为对数式,得a=log2b.故选B.
3.若logx8=3,则x=　　　　.
解析:由指数式与对数式互化知x3=8,所以x=2.
答案:2
4.+log21+log55=　　　　.
解析:因为=2,log21=0,log55=1,
所以原式=2+1=3.
答案:3
(对应学生用书第88～90页)
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
　对数的概念
探究角度1　对数式与指数式的互化
[例1] 将下列对(或指)数式化成指(或对)数式.
(1)lox=3;(2)logx64=-6;
(3)3-2=;(4)x=16.
解:(1)因为lox=3,所以()3=x.
(2)因为logx64=-6,所以x-6=64.
(3)因为3-2=,所以log3=-2.
(4)因为x=16,所以lo16=x.
[即时训练11] 利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值.
(1)log2x=-;(2)logx25=2;
(3)log5x2=2;(4)=4.
解:(1)由log2x=-,得=x,所以x=.
(2)由logx25=2,得x2=25.
因为x>0,且x≠1,所以x=5.
(3)由log5x2=2,得x2=52,所以x=±5.
因为52=25>0,(-5)2=25>0,
所以x=5或x=-5.
(4)由=4=22,得log3x=2,所以x=32,即x=9.
(1)利用对数与指数间的互化关系时,要注意各字母位置的对应关系,其中两式中的底数是相同的.
(2)并非任何指数式都可以直接化为对数式,如(-3)2=9就不能直接写成log(-3)9=2,只有符合a>0,a≠1,且N>0时,才有ax=N x=logaN.
(3)求对数式中x的值,可将对数式化成指数式建立x的方程求解.
探究角度2　对数的底数、真数概念的理解
[例2] 求下列各式中x的取值范围.
(1)log(2x+1)(x+2);(2).
解:(1)由题意得即
解得x>-,且x≠0.
所以x的取值范围是xx>-,且x≠0.
(2)根据题意得即
解得x>0,且x≠1.
所以x的取值范围是{x|x>0,且x≠1}.
[即时训练21] 求下列各式中x的取值范围.
(1)log2(x+2)2;(2)log(1-2x)(3x+2).
解:(1)由(x+2)2>0得x≠-2,故x的取值范围是{x|x∈R,且x≠-2}.
(2)由
解得-所以x的取值范围是x-对数式中要求真数大于0,底数不但要大于0,而且不能等于1.由此,可建立关于x的不等式组,解不等式组可求出x的取值范围.
　对数的性质
[例3] 求下列各式中的x的值.
(1)log8[log7(log2x)]=0;
(2)log2[log3(log2x)]=1.
解:(1)由log8[log7(log2x)]=0,得log7(log2x)=1,
即log2x=7,所以x=27.
(2)由log2[log3(log2x)]=1,所以log3(log2x)=2,所以log2x=9,所以x=29.
[即时训练31] 求下列各式中x的值.
(1)log3(log3x)=1;
(2)log2(log3x)=0.
解:(1)由log3(log3x)=1得log3x=3,
所以x=33=27.
(2)由log2(log3x)=0得log3x=1,
所以x=3.
有关“底数”和“1”的对数,可利用对数的性质知其值为“1”和“0”,化为常数.
　对数恒等式及其应用
[例4] 求值:×+.
解:因为=4,
==,
=24×=16×5=80.
所以原式=4×+80=83.
[即时训练41] 已知f(x)=2x,则f(2+log23)=　　　　.
解析:因为f(x)=2x,
所以f(2+log23)==22·=4×3=12.
答案:12
形如的式子可直接利用对数恒等式=N求解(此处a>0,且a≠1,N>0).
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.(多选题)下列指数式与对数式互化正确的有(　ACD　)
A.20=1与log21=0
B.log39=2与=3
C.=与log8=-
D.log77=1与71=7
解析:对于A,20=1可化为0=log21,所以A正确;
对于B,log39=2可化为32=9,所以B不正确;
对于C,=可化为log8=-,所以C正确;
对于D,log77=1可化为71=7,所以D正确.故选ACD.
2.若x=lo16,则x等于(　A　)
A.-4 B.-3 C.3 D.4
解析:由x=16知x=-4.故选A.
3.在M=log3(x2-x-6)中,要使式子有意义,x的取值范围是　　　　.
解析:由题意,x2-x-6>0,解得x<-2或x>3.
答案:{x|x<-2或x>3}
4.+2log31-3log77=　　　　.
解析:原式=3+2×0-3×1=0.
答案:0
选题明细表
知识点、方法 题号
对数的概念及理解 2,6,8,10
对数的性质 1,3,4,7,11,13
对数恒等式及对数综合 5,9,12,14
基础巩固
1.(多选题)下列各式中正确的是(　AB　)
A.log7(log22)=0
B.log3(log55)=0
C.若log4x=2,则x=2
D.若log4x=,则x=±2
解析:因为log22=1,
所以log7(log22)=0,故A对;
因为log55=1,所以log3(log55)=0,故B对;
因为log4x=2,所以x=42=16,故C不对;
因为log4x=,所以x==2.故D不对.故选AB.
2.在对数式lo=b中,下列对a,b,N的限制条件中正确的是(　C　)
A.a>1,N≥0,b∈R
B.a>1,且a≠2,N≥0,b>0
C.a>1,且a≠2,N>0,b∈R
D.a>1,且a≠2,N>0,b>0
解析:①>0,且≠1,所以a>1,且 a≠2;②>0,所以N>0;③b∈R.故选C.
3.已知log3(log5a)=log4(log5b)=0,则的值为(　A　)
A.1 B.-1 C.5 D.
解析:由log3(log5a)=0得log5a=1,即a=5,同理b=5,故=1.故选A.
4.4log22+等于(　A　)
A. B.-1 C.9 D.
解析:4log22+=4+()-1=4+=.故选A.
5.若log3(a+1)=1,则loga2+log2(a-1)=　　　　.
解析:由log3(a+1)=1得a+1=3,即a=2,所以loga2+log2(a-1)=log22+log21=1+0=1.
答案:1
6.loga2=m,loga3=n(a>0且a≠1),则am+n=　　　　,am-n=　　　　.
解析:因为loga2=m,loga3=n,
所以am=2,an=3.
所以am+n=am·an=6,am-n==.
答案:6　
能力提升
7.方程lo(x2-1)=lo(2x+2)的根为(　B　)
A.-3 B.3
C.-1或3 D.1或-3
解析:由lo(x2-1)=lo(2x+2),得x2-1=2x+2,即x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3.经检验x=-1(不合题意),所以原方程的根为3.故选B.
8.若a>0,=,则loa等于(　A　)
A.2 B.3 C. D.5
解析:因为a>0,=,
所以a=()=[()3]=.
所以lo=2.故选A.
9.如果f(10x)=x,则f(3)等于(　B　)
A.log310 B.log103
C.103 D.310
解析:设10x=3,则x=log103,
所以f(3)=f(1)=log103.故选B.
10.设a=log310,b=log37,则3a-b的值为(　A　)
A. B. C. D.
解析:3a-b=3a÷3b=÷=10÷7=.故选A.
11.若log5[log3(log2x)]=0,则=　　　　.
解析:因为log5[log3(log2x)]=0,
所以log3(log2x)=1,
所以log2x=3,所以x=23.
所以=(23==()
==
=.
答案:
12.若x满足(log2x)2-2log2x-3=0,则x=　　　　.
解析:设t=log2x,则原方程可化为t2-2t-3=0,
解得t=3或t=-1,
所以log2x=3或log2x=-1,
所以x=23=8或x=2-1=.
答案:8或
应用创新
13.若方程x2-(log2a)x-(1+log2a)=0有两个相等的实根,则a=　　　　.
解析:因为方程x2-(log2a)x-(1+log2a)=0有两个相等的实根,
所以Δ=(log2a)2+4(1+log2a)=0.
所以(2+log2a)2=0,
所以log2a=-2.
所以a=2-2=.
答案:
14.解方程4x-6×2x-7=0.
解:原方程可化为(2x)2-6×2x-7=0.
设t=2x(t>0),则原方程可化为t2-6t-7=0.
解得t=7或t=-1(舍去),所以2x=7,所以x=log27,
所以原方程的解为x=log27.
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4.3　对数函数
4.3.1　对数的概念
核心知识目标 核心素养目标
1.理解对数的概念和基本性质,知道自然对数和常用对数.
2.通过阅读材料,了解对数的发展历史以及对简化运算的作用. 通过对数的概念和基本性质的学习,达成数学抽象、逻辑推理的核心
素养.
知识探究·素养启迪
1.对数的概念
如果ab=N(a>0,且a≠1),那么b叫作以a为底,(正)数N的对数,记作b= .
这里,a叫作对数的底数,N叫作对数的真数.
知识探究
logaN
2.对数的基本恒等式
(2)b=logaab(b∈R,a>0,且a≠1).
3.对数的性质
(1)底的对数为1,即logaa=logaa1=1.
(2)1的对数为0,即loga1=logaa0=0.
小试身手
D
1.下列说法正确的是(　 　)
A.根据对数的定义,因为(-2)4=16,所以log(-2)16=4
B.对数式log32与log23的意义一样
C.因为1a=1,所以log11=a
D.log39=2
解析:因为对数的底数a应满足a>0,且a≠1,所以A错;
log32表示以3为底2的对数,log23表示以2为底3的对数,所以B错;
因为对数的底数a应满足a>0,且a≠1,所以C错;
log39=log332=2,故D正确.故选D.
2.若2a=b,则下列说法正确的是(　 　)
A.a=logb2 B.a=log2b
C.2=logab D.2=logba
B
解析:将指数式2a=b化为对数式,得a=log2b.故选B.
3.若logx8=3,则x=　 　　　.
解析:由指数式与对数式互化知x3=8,所以x=2.
答案:2
答案:3
课堂探究·素养培育
探究点一
对数的概念
探究角度1　对数式与指数式的互化
[例1] 将下列对(或指)数式化成指(或对)数式.
(2)logx64=-6;
解:(2)因为logx64=-6,所以x-6=64.
[例1] 将下列对(或指)数式化成指(或对)数式.
[即时训练1-1] 利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值.
(2)logx25=2;
解:(2)由logx25=2,得x2=25.
因为x>0,且x≠1,所以x=5.
[即时训练1-1] 利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值.
(3)log5x2=2;
解:(3)由log5x2=2,得x2=52,所以x=±5.
因为52=25>0,(-5)2=25>0,
所以x=5或x=-5.
方法总结
(1)利用对数与指数间的互化关系时,要注意各字母位置的对应关系,其中两式中的底数是相同的.
(2)并非任何指数式都可以直接化为对数式,如(-3)2=9就不能直接写成log(-3)9=2,只有符合a>0,a≠1,且N>0时,才有ax=N x=logaN.
(3)求对数式中x的值,可将对数式化成指数式建立x的方程求解.
探究角度2　对数的底数、真数概念的理解
[例2] 求下列各式中x的取值范围.
(1)log(2x+1)(x+2);
[例2] 求下列各式中x的取值范围.
[即时训练2-1] 求下列各式中x的取值范围.
(1)log2(x+2)2;
解:(1)由(x+2)2>0得x≠-2,故x的取值范围是{x|x∈R,且x≠-2}.
(2)log(1-2x)(3x+2).
方法总结
对数式中要求真数大于0,底数不但要大于0,而且不能等于1.由此,可建立关于x的不等式组,解不等式组可求出x的取值范围.
[例3] 求下列各式中的x的值.
探究点二
对数的性质
(1)log8[log7(log2x)]=0;
解:(1)由log8[log7(log2x)]=0,得log7(log2x)=1,
即log2x=7,所以x=27.
(2)log2[log3(log2x)]=1.
解:(2)由log2[log3(log2x)]=1,所以log3(log2x)=2,所以log2x=9,所以x=29.
[即时训练3-1] 求下列各式中x的值.
解:(1)由log3(log3x)=1得log3x=3,
所以x=33=27.
(1)log3(log3x)=1;
(2)log2(log3x)=0.
解:(2)由log2(log3x)=0得log3x=1,
所以x=3.
方法总结
有关“底数”和“1”的对数,可利用对数的性质知其值为“1”和“0”,化为常数.
探究点三
对数恒等式及其应用
[即时训练4-1] 已知f(x)=2x,则f(2+log23)=　　　　.
答案:12
方法总结
课堂达标
ACD
1.(多选题)下列指数式与对数式互化正确的有(　 　)
A
A.-4 B.-3 C.3 D.4
解析:由题意,x2-x-6>0,解得x<-2或x>3.
3.在M=log3(x2-x-6)中,要使式子有意义,x的取值范围是　　　　.
答案:{x|x<-2或x>3}
解析:原式=3+2×0-3×1=0.
答案:04.3　对数函数
4.3.1　对数的概念
选题明细表
知识点、方法 题号
对数的概念及理解 2,6,8,10
对数的性质 1,3,4,7,11,13
对数恒等式及对数综合 5,9,12,14
基础巩固
1.(多选题)下列各式中正确的是(　AB　)
A.log7(log22)=0
B.log3(log55)=0
C.若log4x=2,则x=2
D.若log4x=,则x=±2
解析:因为log22=1,
所以log7(log22)=0,故A对;
因为log55=1,所以log3(log55)=0,故B对;
因为log4x=2,所以x=42=16,故C不对;
因为log4x=,所以x==2.故D不对.故选AB.
2.在对数式lo=b中,下列对a,b,N的限制条件中正确的是(　C　)
A.a>1,N≥0,b∈R
B.a>1,且a≠2,N≥0,b>0
C.a>1,且a≠2,N>0,b∈R
D.a>1,且a≠2,N>0,b>0
解析:①>0,且≠1,所以a>1,且 a≠2;②>0,所以N>0;③b∈R.故选C.
3.已知log3(log5a)=log4(log5b)=0,则的值为(　A　)
A.1 B.-1 C.5 D.
解析:由log3(log5a)=0得log5a=1,即a=5,同理b=5,故=1.故选A.
4.4log22+等于(　A　)
A. B.-1
C.9 D.
解析:4log22+=4+()-1=4+=.故选A.
5.若log3(a+1)=1,则loga2+log2(a-1)=　　　　.
解析:由log3(a+1)=1得a+1=3,即a=2,
所以loga2+log2(a-1)=log22+log21=1+0=1.
答案:1
6.loga2=m,loga3=n(a>0且a≠1),则am+n=　　　　,am-n=　　　　.
解析:因为loga2=m,loga3=n,
所以am=2,an=3.
所以am+n=am·an=6,am-n==.
答案:6　
能力提升
7.方程lo(x2-1)=lo(2x+2)的根为(　B　)
A.-3 B.3
C.-1或3 D.1或-3
解析:由lo(x2-1)=lo(2x+2),得x2-1=2x+2,即x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3.经检验x=-1(不合题意),所以原方程的根为3.故选B.
8.若a>0,=,则loa等于(　A　)
A.2 B.3 C. D.5
解析:因为a>0,=,
所以a=()=[()3]=.
所以lo=2.故选A.
9.如果f(10x)=x,则f(3)等于(　B　)
A.log310 B.log103
C.103 D.310
解析:设10x=3,则x=log103,
所以f(3)=f(1)=log103.故选B.
10.设a=log310,b=log37,则3a-b的值为(　A　)
A. B. C. D.
解析:3a-b=3a÷3b=÷=10÷7=.故选A.
11.若log5[log3(log2x)]=0,则=　　 　　.
解析:因为log5[log3(log2x)]=0,
所以log3(log2x)=1,
所以log2x=3,所以x=23.
所以=(23==()===.
答案:
12.若x满足(log2x)2-2log2x-3=0,则x=　　 　　.
解析:设t=log2x,则原方程可化为t2-2t-3=0,
解得t=3或t=-1,
所以log2x=3或log2x=-1,
所以x=23=8或x=2-1=.
答案:8或
应用创新
13.若方程x2-(log2a)x-(1+log2a)=0有两个相等的实根,则a=
　　 　　.
解析:因为方程x2-(log2a)x-(1+log2a)=0有两个相等的实根,
所以Δ=(log2a)2+4(1+log2a)=0.
所以(2+log2a)2=0,
所以log2a=-2.
所以a=2-2=.
答案:
14.解方程4x-6×2x-7=0.
解:原方程可化为(2x)2-6×2x-7=0.
设t=2x(t>0),则原方程可化为t2-6t-7=0.
解得t=7或t=-1(舍去),所以2x=7,所以x=log27,
所以原方程的解为x=log27.
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