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(共45张PPT)
第4章　幂函数、指数函数和对数函数
4.1　实数指数幂和幂函数
4.1.1　有理数指数幂
4.1.2　无理数指数幂
核心知识目标 核心素养目标
1.理解n次方根及根式的概念.能正确运用根式的性质进行运算.
2.理解分数指数幂的意义,掌握根式与分数指数幂的互化.
3.掌握实数指数幂的运算法则及
应用. 1.通过根式的概念与性质的学习与运用,达成数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
2.通过分数指数幂意义的学习,形成数学抽象和数学运算的核心素养.
3.实数指数幂运算法则的理解与应用,发展逻辑推理与数学运算的核心素养.
知识探究·素养启迪
1.有理数指数幂
(1)根式
若一个(实)数x的n次方(n∈N,n≥2)等于a,即xn=a,就说x是a的n次方根.
知识探究
②如果再规定0的正分数指数幂为0,0没有负分数指数幂,那么,在a>0时,对于任意有理数r,s仍有下列运算法则:
ar·as=ar+s,(ar)s=ars,
(ab)r=arbr(b>0).
2.无理数指数幂
(1)有理数指数幂的基本不等式:
对任意的正有理数r和正数a,
若a>1,则ar>1;若a<1,则ar<1.
根据负指数的意义和倒数的性质可得推论:
对任意的负有理数r和正数a,
若a>1则ar<1;若a<1则ar>1.
由此可知:
(2)无理数指数幂的概念
用a的有理数次幂来逼近其无理数次幂.于是,给定任意正数a,对任意实数u,a的u次都有意义,au中,a叫作底数,u叫作指数.
幂运算基本不等式:
对任意的正数u和正数a,若a>1则au>1;若a<1则au<1.
对任意的负数u和正数a,若a>1则au<1;若a<1则au>1.
小试身手
C
2.已知m10=2,则m等于(　 　)
D
答案:-1
课堂探究·素养培育
探究角度1　根式的性质
探究点一
根式
[例1] 化简下列各式.
[例1] 化简下列各式.
[即时训练1-1] 化简下列各式.
方法总结
(2)根式化简的思想是将根式有理化,利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式),将所求代数式通过恰当的变形,达到化繁为简的目的.
探究角度2　条件根式的化简
方法总结
在解决有关根式、绝对值、分式等问题时,一定要仔细观察、分析根号下式子的特征,为使开偶次方后不出现符号错误,一定要先用绝对值号表示,然后利用已知条件去绝对值号,对于题目没有明确给出条件的要进行分类讨论.
探究角度1　根式与指数幂的互化
探究点二
根式与分数指数幂
[例3] 用分数指数幂的形式表示下列各式.
[例3] 用分数指数幂的形式表示下列各式.
[例3] 用分数指数幂的形式表示下列各式.
[即时训练3-1] 将下列根式化为分数指数幂的形式.
[即时训练3-1] 将下列根式化为分数指数幂的形式.
方法总结
(1)根式与分数指数幂互化的关键是准确把握两种形式中相关数值的对应.①根指数 分数指数的分母;②被开方数(式)的指数 分数指数的分子.
(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条:一是由里向外化为分数指数幂;二是由外向里化为分数指数幂.
(3)对根式的化简,一般先将根式转化成分数指数幂,然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算.
探究角度2　指数幂运算性质
[例4] 计算下列各式:
[例4] 计算下列各式:
[例4] 计算下列各式:
[即时训练4-1] 化简下列各式.(式中字母都是正数)
[即时训练4-1] 化简下列各式.(式中字母都是正数)
(3)(a-2b-3)·(-4a-1b)÷(12a-4b-2c);
探究点三
条件求值问题
(1)a+a-1;
(2)a2+a-2;
解:(2)对(1)中的式子两边平方,
得a2+a-2+2=49,
所以a2+a-2=47.
(2)对(1)中的式子两边平方,
得a2+a-2+2=121,
所以a2+a-2=119.
方法总结
解决条件求值问题的一般方法——整体代入法
对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.但有时字母的取值未知或不易求出,这时可将所求代数式恰当地变形,构造出与已知条件相同的结构,从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值.利用“整体代入法”求值时常用的变形公式如下:
备用例题
[例3] 化简下列各式(a>0,b>0):
[例3] 化简下列各式(a>0,b>0):
课堂达标
A
D
2.下列各式正确的是(　 　)
答案:-4
答案:3　74.1　实数指数幂和幂函数
4.1.1　有理数指数幂
4.1.2　无理数指数幂
核心知识目标 核心素养目标
1.理解n次方根及根式的概念.能正确运用根式的性质进行运算. 2.理解分数指数幂的意义,掌握根式与分数指数幂的互化. 3.掌握实数指数幂的运算法则及应用. 1.通过根式的概念与性质的学习与运用,达成数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 2.通过分数指数幂意义的学习,形成数学抽象和数学运算的核心素养. 3.实数指数幂运算法则的理解与应用,发展逻辑推理与数学运算的核心素养.
1.有理数指数幂
(1)根式
若一个(实)数x的n次方(n∈N,n≥2)等于a,即xn=a,就说x是a的n次方根.
当n是奇数时,数a的n次方根记作.
当a>0时,>0;当a=0时,=0;当a<0时,<0.
当n是偶数时,正数a的n次方根有两个,它们互为相反数.其中正的n次方根叫作算术根,记作.
当a>0时,如xn=a,则x=±.
再规定:=0,负数没有偶次方根.
式子叫作根式(n∈N,n≥2),n叫作根指数,a叫作被开方数.
根式的性质:
①()n=a.
②当n为奇数时,=a;
当n为偶数时,=|a|.
(2)分数指数幂
①当a>0,m,n∈N且n≥2时,规定=,=.
②如果再规定0的正分数指数幂为0,0没有负分数指数幂,那么,在a>0时,对于任意有理数r,s仍有下列运算法则:
ar·as=ar+s,(ar)s=ars,
(ab)r=arbr(b>0).
2.无理数指数幂
(1)有理数指数幂的基本不等式:
对任意的正有理数r和正数a,
若a>1,则ar>1;若a<1,则ar<1.
根据负指数的意义和倒数的性质可得推论:
对任意的负有理数r和正数a,
若a>1则ar<1;若a<1则ar>1.
由此可知:
对任意的正数a>1和两有理数r>s,
有=ar-s>1,即ar>as,
对任意的正数a<1和两有理数r>s,
有=ar-s<1,即ar(2)无理数指数幂的概念
用a的有理数次幂来逼近其无理数次幂.于是,给定任意正数a,对任意实数u,a的u次都有意义,au中,a叫作底数,u叫作指数.
幂运算基本不等式:
对任意的正数u和正数a,若a>1则au>1;若a<1则au<1.
对任意的负数u和正数a,若a>1则au<1;若a<1则au>1.
1.化为根式为(　C　)
A. B. C. D.
解析:由分数指数幂的定义可得== .故选C.
2.已知m10=2,则m等于(　D　)
A. B.-
C. D.±
解析:因为m10=2,所以m是2的10次方根.又因为10是偶数,所以2的10次方根有两个,且互为相反数,所以m=±.故选D.
3.()的值是　　　　.
解析:()=[()4]=()-1=.
答案:
4.化简-的结果为　　　　.
解析:原式=|1-|-=-1-=-1-=-1.
答案:-1
　根式
探究角度1　根式的性质
[例1] 化简下列各式.
(1);(2);(3).
解:(1)=-7.
(2)=|-9|=9.
(3)=|a-b|=
[即时训练1-1] 化简下列各式.
(1)+;
(2)++.
解:(1)因为=|3-π|=π-3,
=-π-3.
所以原式=π-3-π-3=-6.
(2)原式=|-5|++=5+2-3=4.
(1)()n与的理解:()n是实数a的n次方根的n次幂,其中实数a的取值由n的奇偶性来决定:当n为大于1的奇数时,()n=a(a∈R);当n为大于1的偶数时,()n=a(a≥0).而是实数an的n次方根,是一个恒有意义的式子,不受n的奇偶性的限制,因此a∈R,但是该式子的值受n的奇偶性限制,=
(2)根式化简的思想是将根式有理化,利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式),将所求代数式通过恰当的变形,达到化繁为简的目的.
探究角度2　条件根式的化简
[例2] 若-4解:原式=+=|x-2|+|x+4|.
因为-4原式=-(x-2)+(x+4)=6.
当2≤x<4时,
原式=(x-2)+(x+4)=2x+2.
所以原式=
[即时训练2-1] 化简+(a1,且n∈N+).
解:当n是奇数时,原式=(a-b)+(a+b)=2a.
当n是偶数时,
因为a所以a-b<0,a+b<0.
所以原式=-(a-b)-(a+b)=-2a.
所以+=
在解决有关根式、绝对值、分式等问题时,一定要仔细观察、分析根号下式子的特征,为使开偶次方后不出现符号错误,一定要先用绝对值号表示,然后利用已知条件去绝对值号,对于题目没有明确给出条件的要进行分类讨论.
　根式与分数指数幂
探究角度1　根式与指数幂的互化
[例3] 用分数指数幂的形式表示下列各式.
(1)(a>0);
(2)((b>0);
(3)(x>0,y>0).
解:(1)===
=.
(2)原式=[(==.
(3)法一　从外向里化为分数指数幂.
=()
=[()]
={[()]}
=()·()·()
=··
=
=.
法二　从里向外化为分数指数幂.
====(·x)=.
[即时训练3-1] 将下列根式化为分数指数幂的形式.
(1)(m>0);
(2)(a>0,b>0);
(3)(x>0).
解:(1)原式===(=.
(2)原式=[ab3(ab5=[a·b3·(b5
=(=.
(3)原式======.
(1)根式与分数指数幂互化的关键是准确把握两种形式中相关数值的对应.①根指数 分数指数的分母;②被开方数(式)的指数 分数指数的分子.
(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条:一是由里向外化为分数指数幂;二是由外向里化为分数指数幂.
(3)对根式的化简,一般先将根式转化成分数指数幂,然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算.
探究角度2　指数幂运算性质
[例4] 计算下列各式:
(1)-(6)++(2-3-1+π0;
(2)-[3×()0]-1×[81-0.25+(3)]-10×;
(3)2÷4·3(a,b都为正数).
解:(1)原式=()-()++-+1=-()+64+2-+1=-+64+2-+1=64.
(2)原式=[()4]-(3×1)-1×[3-1+()-1]-10×
=()-1-×(+)-10×0.3
=--3=0.
(3)原式=2÷(4)·3=
=.
[即时训练4-1] 化简下列各式.(式中字母都是正数)
(1)-(-)0++;
(2)()×(-)0+80.25×+;
(3)(a-2b-3)·(-4a-1b)÷(12a-4b-2c);
(4).
解:(1)原式=-1++=0.4-1-1+8+=+7+=10.
(2)原式=(2-3×1+(23×+×=2++22×33=112.
(3)原式=-a-2-1+4b-3+1+2·c-1=-.
(4)原式=5×(-4)×(-)··=24x0=24.
　条件求值问题
[例5] 已知+=3,求下列各式的值.
(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3).
解:(1)将+=3两边平方,
得a+a-1+2=9,
所以a+a-1=7.
(2)对(1)中的式子两边平方,
得a2+a-2+2=49,
所以a2+a-2=47.
(3)=
=a+a-1+1=8.
[变式训练5-1] 若将已知改为-=3,所求3个问题的结果是否会发生变化
解:(1)将-=3两边平方,
得a+a-1-2=9,
所以a+a-1=11.
(2)对(1)中的式子两边平方,
得a2+a-2+2=121,
所以a2+a-2=119.
(3)=a+a-1+1=11+1=12.
[变式训练5-2] 若该题中,已知a+a-1=7,求+呢
解:(+)2=a+a-1+2=9,
所以+==3.
解决条件求值问题的一般方法——整体代入法
对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.但有时字母的取值未知或不易求出,这时可将所求代数式恰当地变形,构造出与已知条件相同的结构,从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值.利用“整体代入法”求值时常用的变形公式如下:
(1)a±2+b=(±)2;
(2)(+)(-)=a-b;
(3)+=(+)(a-+b);
(4)-=(-)(a++b).
[例1] 求使等式=(3-a)成立的实数a的取值范围.
解:==|a-3|·,
要使|a-3|=(3-a)成立,
需
解得a∈[-3,3].
[例2] 若x解:原式=+
=|x+y|+|y-x|.
因为x所以x+y<0,y-x>0.
所以原式=-(x+y)+(y-x)=-2x.
[例3] 化简下列各式(a>0,b>0):
(1);
(2)÷().
解:(1)原式=
=
=b-1=.
(2)原式=÷()
=÷(
=b÷(ab)==.
[例4] (1)设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,求证:=+;
(2)已知ax3=by3=cz3,且++=1,求证:(ax2+by2+cz2=++.
证明:(1)令3a=4b=6c=t,
则3=,2=,6=.
因为3×2=6,所以·=,
即+=,所以=+.
(2)令ax3=by3=cz3=t,
则ax2=,by2=,cz2=.
因为++=1,所以++=t,
即ax2+by2+cz2=t.
所以(ax2+by2+cz2==(++)=
++=++.
1.将根式化为分数指数幂是(　A　)
A. B. C.- D.
解析:由于=,故=.故选A.
2.下列各式正确的是(　D　)
A.=a B.a0=1
C.=-4 D.=-π
解析:对于A,=a,当a为负数时等式不成立,故A不正确;
对于B,a0=1,当a=0时无意义,故B不正确;
对于C,=4,故C不正确;
对于D,=-π,故D正确.故选D.
3.计算:0.25×(-)-4-4÷20-()=　　　　.
解析:原式=×16-4÷1-()-1=4-4-4=-4.
答案:-4
4.若-=1,则x+x-1=　　　　;x2+x-2=　　　　.
解析:将-=1两边平方得x+-2=1,
则x+x-1=3.
x+x-1=3两边平方得x2+x-2+2=9,
所以x2+x-2=7.
答案:3　7
选题明细表
知识点、方法 题号
根式的概念及性质 2,3,5,6
指数幂的运算法则 1,4,7,9,11,13
条件求值问题 8,10,12
基础巩固
1.化简+的结果是(　C　)
A.0 B.2(b-a)
C.0或2(b-a) D.不确定
解析:当n为偶数时,=|a|,当n为奇数时,=a,从而得出结论.
所以+=|a-b|+(b-a),
当a≥b时,原式=a-b+(b-a)=0,
当a2.(多选题)下列各式中一定成立的有(　BD　)
A.()7=n7 B.=
C.=(x+y D.=
解析:A中应为()7=n7m-7;==,B正确;C中当x=y=1时,等式不成立;D正确.故选BD.
3.(2022·浙江温州高一期中)代数式x恒等于(　C　)
A. B.
C.- D.-
解析:易知-2x≥0,所以x≤0,所以x=-.故选C.
4.中x的取值范围是(　C　)
A.(-∞,+∞)
B.(-∞,)∪(,+∞)
C.(-∞,)
D.(,+∞)
解析:==,要使该式有意义,需3-2x>0,即x<.故选C.
5.计算:+=　　　　.
解析:原式=+=-++=2.
答案:2
6.设f(x)=,若+a=0,则a的取值范围是　　　　,f(a-)=　　　　.
解析:由+a=0,
即=-a.
即-a≥0,可知a≤0.
故f(a-)====|a+|=-a-.
答案:a≤0　-a-
能力提升
7.根式的分数指数幂的形式为(　D　)
A. B. C. D.
解析:====.
故选D.
8.(2021·安徽滁州高一期中)已知x+x-1=3,则+的值为(　B　)
A.±4 B.2
C.4 D.-4
解析:因为x+x-1=3,所以x>0,则x+2+x-1=3+2,即(+)2=5,
所以+=,+=(+)(x-1+x-1)=×(3-1)=2.故选B.
9.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是(　D　)
A.a>b>c B.b>c>a
C.b>a>c D.a解析:=====()<1.又a>0,b>0,所以a=====()<1.又b>0,c>0,所以b综上,a10.若10m=2,10n=3,则1=　　　　.
解析:1===.
答案:
11.计算:
(1)-+;
(2)+-;
(3)·(+1)+(-)0.
解:(1)原式=-+=-+=.
(2)原式=-8+|-2|-(2-)=-8+2--2+=-8.
(3)原式=(-)·(+1)+1
=(-)·(+1)+1
=(-1)·(+1)+1
=(3-1)+1=1+1=2.
12.(1)已知2x+2-x=a(常数),求16x+16-x的值;
(2)已知x+y=12,xy=9且x解:(1)因为4x+4-x=(2x)2+(2-x)2=
(2x+2-x)2-2·2x·2-x=a2-2,
所以(4x+4-x)2=16x+16-x+2=(a2-2)2=
a4-4a2+4,
所以16x+16-x=a4-4a2+2.
(2)=
=.①
因为x+y=12,xy=9,②
所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.
又因为x将②③代入①,
得==-.
应用创新
13.(1)设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,求证:=+;
(2)已知ax3=by3=cz3,且++=1,求证:(ax2+by2+cz2=++.
证明:(1)令3a=4b=6c=t,
则3=,2=,6=.
因为3×2=6,所以·=,即=,
所以+=,所以=+.
(2)令ax3=by3=cz3=t,
则ax2=,by2=,cz2=.
因为++=1,所以++=t,
即ax2+by2+cz2=t,
所以(ax2+by2+cz2==(++)=++=++,
即(ax2+by2+cz2=++.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)4.1　实数指数幂和幂函数
4.1.1　有理数指数幂
4.1.2　无理数指数幂
选题明细表
知识点、方法 题号
根式的概念及性质 2,3,5,6
指数幂的运算法则 1,4,7,9,11,13
条件求值问题 8,10,12
基础巩固
1.化简+的结果是(　C　)
A.0 B.2(b-a)
C.0或2(b-a) D.不确定
解析:当n为偶数时,=|a|,当n为奇数时,=a,从而得出结论.
所以+=|a-b|+(b-a),
当a≥b时,原式=a-b+(b-a)=0,
当a2.(多选题)下列各式中一定成立的有(　BD　)
A.()7=n7 B.=
C.=(x+y D.=
解析:A中应为()7=n7m-7;==,B正确;C中当x=y=1时,等式不成立;D正确.故选BD.
3.(2022·浙江温州高一期中)代数式x恒等于(　C　)
A. B.
C.- D.-
解析:易知-2x≥0,所以x≤0,所以x=-.故选C.
4.中x的取值范围是(　C　)
A.(-∞,+∞)
B.(-∞,)∪(,+∞)
C.(-∞,)
D.(,+∞)
解析:==,要使该式有意义,需3-2x>0,即x<.故选C.
5.计算:+=　　 　　.
解析:原式=+=-++=2.
答案:2
6.设f(x)=,若+a=0,则a的取值范围是　　　 　,
f(a-)=　 　　　.
解析:由+a=0,
即=-a.
即-a≥0,可知a≤0.
故f(a-)====|a+|=-a-.
答案:a≤0　-a-
能力提升
7.根式的分数指数幂的形式为(　D　)
A. B. C. D.
解析:====.
故选D.
8.(2021·安徽滁州高一期中)已知x+x-1=3,则+的值为(　B　)
A.±4 B.2
C.4 D.-4
解析:因为x+x-1=3,所以x>0,则x+2+x-1=3+2,即(+)2=5,
所以+=,+=(+)(x-1+x-1)=×(3-1)=2.故选B.
9.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是(　D　)
A.a>b>c B.b>c>a
C.b>a>c D.a解析:=====()<1.又a>0,b>0,所以a=====()<1.又b>0,c>0,所以b综上,a10.若10m=2,10n=3,则1=　　　 　.
解析:1===.
答案:
11.计算:
(1)-+;
(2)+-;
(3)·(+1)+(-)0.
解:(1)原式=-+=-+=.
(2)原式=-8+|-2|-(2-)=-8+2--2+=-8.
(3)原式=(-)·(+1)+1
=(-)·(+1)+1
=(-1)·(+1)+1
=(3-1)+1=1+1=2.
12.(1)已知2x+2-x=a(常数),求16x+16-x的值;
(2)已知x+y=12,xy=9且x解:(1)因为4x+4-x=(2x)2+(2-x)2=(2x+2-x)2-2·2x·2-x=a2-2,
所以(4x+4-x)2=16x+16-x+2=(a2-2)2=a4-4a2+4,所以16x+16-x=a4-4a2+2.
(2)==.①
因为x+y=12,xy=9,②
所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.
又因为x将②③代入①,
得==-.
应用创新
13.(1)设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,求证:=+;
(2)已知ax3=by3=cz3,且++=1,求证:(ax2+by2+cz2=++.
证明:(1)令3a=4b=6c=t,
则3=,2=,6=.
因为3×2=6,所以·=,即=,
所以+=,所以=+.
(2)令ax3=by3=cz3=t,
则ax2=,by2=,cz2=.
因为++=1,所以++=t,
即ax2+by2+cz2=t,
所以(ax2+by2+cz2==(++)=++=++,
即(ax2+by2+cz2=++.
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