资源简介

(共53张PPT)
4.2　指数函数
4.2.1　指数爆炸和指数衰减
4.2.2　指数函数的图象与性质
核心知识目标 核心素养目标
1.了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念.
2.掌握指数函数的图象及简单性质.
3.会求指数形式的函数定义域、值域、最值,能判断与证明其单调性.
4.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小、解不等式.
5.掌握指数函数的实际应用. 1.通过理解指数函数的概念和意义,达成数学抽象的核心素养.
2.通过借助计算工具画出简单指数函数的图象,发展直观想象的核心
素养.
3.借助指数函数的性质,研究指数型函数的相关问题,增强学生的数学运算及数学抽象的核心素养.
4.通过指数函数的实际应用,强化数学建模的核心素养.
知识探究·素养启迪
1.指数爆炸和指数衰减
(1)指数函数的定义
一般地,函数 叫作指数函数,其中a>0,且a≠1.
(2)当底数a>1时,指数函数值随自变量的增长而增大,底数a较大时指数函数值增长速度惊人,被称为指数爆炸.
反过来,如果0知识探究
y=ax(x∈R)
2.指数函数的图象与性质
表达式 y=ax(01)
图象
定义域 (-∞,+∞)
值域 (0,+∞)
性质 函数图象过定点(0,1),即a0=1
在R上单调递减 在R上单调递增
注意:从图象看指数函数y=ax(a>1)的性质,和理性认识相符,例如:
(1)图象总在x轴上方,且图象与x轴永不相交,值域是(0,+∞).
(2)图象恒过点(0,1),用式子表示就是a0=1.
(3)函数是区间(-∞,+∞)上的增函数.
小试身手
B
1.下列函数中,指数函数的个数为(　 　)
A.0个 B.1个
C.3个 D.4个
解析:由指数函数的定义可判定,只有②正确.故选B.
2.函数y=2|x|的图象是(　 　)
B
3.指数函数y=f(x)的图象经过点(π,e),则f(-π)=　 　　　.
解析:由4x>0知1+4x>1,
故y>1.
4.函数y=4x+1的值域是　　 　　.
答案:(1,+∞)
课堂探究·素养培育
探究点一
指数函数的概念
解析:(1)根据指数函数的定义进行判断,
得①⑤⑦为指数函数.
而②中自变量不在指数上;③系数不为1;④中底数-4<0;⑥中指数不是x,而是x2,故②③④⑥都不是指数函数.
答案:(1)①⑤⑦　
(2)若指数函数f(x)的图象经过点(2,9),则f(x)=　　　 　,f(-1)=
　　　 　.
[即时训练1-1] (2022·湖南衡阳高一期中)函数y=(2a2-3a+2)ax是指数函
数,则a的取值是(　　)
方法总结
判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y=ax(a>0,且a≠1)这一结构形式,其具备的特点为
探究角度1　图象过定点问题
探究点二
指数函数的图象
[例2] 已知函数f(x)=a2x-2+3(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是(　　)
A.(0,3) B.(1,3) C.(0,4) D.(1,4)
解析:当2x-2=0时,x=1,即f(1)=a2-2+3=1+3=4,故P(1,4).故选D.
[即时训练2-1] (2022·湖北襄阳高一期中)已知函数f(x)=ax+1-3的图象恒过定点P,则点P的坐标为(　　)
A.(0,-2) B.(-1,-2)
C.(-2,1) D.(0,-3)
解析:令x+1=0,解得x=-1,
此时f(-1)=1-3=-2,
所以点P的坐标为(-1,-2).故选B.
方法总结
解决指数型函数图象过定点问题的思路
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,1),据此,可解决形如y=k·
ax+c+b(k≠0,a>0,且a≠1)的函数图象过定点的问题,即令x=-c,得y=k+b,则函数图象过定点(-c,k+b).
探究角度2　指数函数图象及变换
[例3] 如图所示是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,
d与1的大小关系是(　　)
A.aC.1解析:在y轴的右侧,指数函数的图象由下到上底数依次增大.由指数函数图象的升降,知c>d>1,0A.a1>a2>1 B.a2>a1>1
C.0方法总结
(1)在同一平面直角坐标系内,识别多个指数函数图象底数的大小,可借助直线x=1,根据x=1与各图象交点纵坐标大小确定底数的大小.
(2)形如f(x)=a|x|(a>0,且a≠1),可利用偶函数性质,作出x>0时函数图象,结合对称性求解.
探究角度3　根据指数型函数图象确定解析式中参数
[例4] 若函数y=ax-(b+1)(a>0,且a≠1)的图象经过第一、第三、第四象限,则必有(　　)
A.00 B.0C.a>1,b<0 D.a>1,b>0
解析:法一　由指数函数y=ax(a>1)图象的性质知函数y=ax(a>1)的图象过第一、第二象限,且恒过点(0,1),而函数y=ax-(b+1)的图象是由y=ax的图象向下平移(b+1)个单位长度得到的,如图,若函数y=ax-(b+1)的图象过第一、第三、第四象限,则a>1,且b+1>1,从而a>1,且b>0.故选D.
法二　由函数是增函数知a>1,
又x=0时,f(0)<0知b>0.故选D.
[即时训练4-1] (1)如果函数f(x)=3x+b的图象经过第一、第二、第三象限,不经过第四象限,则(　　)
A.b<-1 B.-1C.01
解析:(1)函数f(x)=3x+b的图象经过第一、第二、第三象限,不经过第四象限,则0A.(-∞,-1) B.(-∞,-1]
C.(-∞,-2] D.(-∞,-2)
方法总结
根据函数图象特征,确定指数型函数y=ax+b+c(a>0,且a≠1)中的参数,可借助图象的升、降确定a的范围,利用函数图象与y轴的交点,确定c的范围,也可利用图象的平移变化确定c的范围.
探究点三
指数函数的定义域和值域
[例5] 求下列函数的定义域和值域.
[例5] 求下列函数的定义域和值域.
[例5] 求下列函数的定义域和值域.
[例5] 求下列函数的定义域和值域.
(4)y=4x+2x+1+3.
解:(4)显然定义域为R.
由题意,得y=4x+2x+1+3=(2x+1)2+2,
由于2x>0,
所以(2x+1)2>1,
所以y=4x+2x+1+3的值域是(3,+∞).
A.[2,+∞) B.(-∞,2]
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
(3)若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,实数m的值为(　　)
方法总结
(1)对于y=af(x)这类函数:
①定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围.
②值域问题,应分以下两步求解:
a.由定义域求出u=f(x)的值域;
b.利用指数函数y=au的单调性求得此函数的值域.
(2)利用指数函数y=ax的定义域和值域求与之有关的初等函数的定义域与值域时的方法如下.
①由于指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域是R,所以函数y=af(x)(a>0,且a≠1)与函数f(x)的定义域相同,利用指数函数的单调性求值域.
②形如f(x)=k·a2x+m·ax+t(a>0,且a≠1,k,m≠0)型函数的值域,常用换元法转化为二次函数在给定区间上的最值问题.
探究点四
指数函数性质
探究角度1　比较大小
[例6] (1)设a=0.2-0.1,b=0.1-0.1,c=0.1-0.2,则a,b,c的大小关系正确的是
(　　)
A.aC.c解析:(1)因为幂函数y=x-0.1在(0,+∞)上为减函数,0.2>0.1,所以0.2-0.1<
0.1-0.1,即a因为指数函数y=0.1x在R上为减函数,-0.1>-0.2,所以0.1-0.1<0.1-0.2,即bA.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>b>a
A.c>a>b B.b>a>c
C.a>b>c D.a>c>b
方法总结
指数幂大小比较问题的三种类型及解法
(1)对于底数相同、指数不同的两个幂的大小,可以利用指数函数的单调性来判断.
(2)对于底数不同、指数相同的两个幂的大小,可以利用函数图象的变化规律来判断.
(3)对于底数不同、指数也不同的两个幂的大小,则可通过中间值(特别是0,1)来比较.
探究角度2　指数不等式的解法
(2)已知(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x,求x的取值范围.
[即时训练7-1] 解关于x的不等式a2x+1≤ax-5(a>0,且a≠1).
解:①当0所以2x+1≥x-5,解得x≥-6.
②当a>1时,因为a2x+1≤ax-5,
所以2x+1≤x-5,解得x≤-6.
综上所述,当01时,不等式的解集为{x|x≤-6}.
方法总结
指数不等式的类型可分为两种
(1)形如ax>ab的不等式,借助函数y=ax(a>0,且a≠1)的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如ax>b的不等式,注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助函数y=ax(a>0,且a≠1)的单调性求解.
探究角度3　形如y=af(x)(a>0,且a≠1)型函数单调性
方法总结
函数y=af(x)(a>0,a≠1)的单调性的处理技巧
当a>1时,y=af(x)与y=f(x)的单调性相同,
当0备用例题
答案:[1,+∞)　(0,3]
答案:[2,+∞)
[例3] 解关于x的不等式:a-5x>ax+7(a>0且a≠1).
课堂达标
C
1.指数函数y=ax与y=bx的图象如图所示,则(　 　)
A.a<0,b<0 B.a<0,b>0
C.01 D.0解析:结合指数函数图象的特点可知01.故选C.
D
2.下列判断正确的是(　 　)
解析:因为y=0.9x是减函数,且0.5>0.3,
所以0.90.3>0.90.5.故选D.
解析:令x-1=0,得x=1,f(1)=2×1+1=3,
所以f(x)的图象恒过定点(1,3).
3.函数f(x)=2·ax-1+1的图象恒过定点　　 　　.
答案:(1,3)
答案:(-∞,0]4.2　指数函数
4.2.1　指数爆炸和指数衰减
4.2.2　指数函数的图象与性质
选题明细表
知识点、方法 题号
指数函数的定义 1
指数函数的图象 2,3,7,8,10,12,13
指数函数的性质 4,5,6,9,11,14
基础巩固
1.函数f(x)=(a2-3a+3)ax是指数函数,则a的值是(　C　)
A.1或2 B.1
C.2 D.a>0,且a≠1
解析:由指数函数的定义,得解得a=2.故选C.
2.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是(　C　)
A.aC.b解析:因为函数y=0.6x在R上单调递减,0<0.6<1.5,
所以0.60>0.60.6>0.61.5,即1>a>b,
因为函数y=1.5x在R上单调递增,0<0.6,
所以1.50<1.50.6,即1所以b3.函数y=2x+1的图象是(　A　)
解析:当x=0时,y=2,且函数单调递增.故选A.
4.已知函数f(x)=为奇函数,则f(m)等于(　B　)
A. B. C. D.
解析:因为f(x)是奇函数,定义域为R,所以f(0)=0,即=0,所以m=1,故f(m)=f(1)==.故选B.
5.函数y=ax-3+3(a>0,且a≠1)的图象过定点　　 　　.
解析:令x-3=0,解得x=3,此时y=1+3=4,
所以定点坐标为(3,4).
答案:(3,4)
6.函数f(x)=()的定义域是　　　　,值域是　　　　.
解析:由1-x2≥0知-1≤x≤1,因此函数的定义域是[-1,1],又0≤≤1,故()1≤()≤()0=1.
因此函数的值域是[,1].
答案:[-1,1]　[,1]
能力提升
7.函数y=(a>1)的图象的大致形状是(　D　)
解析:当x>0时,y=ax,因为a>1,所以函数y=ax单调递增;当x<0时,
y=-ax,因为a>1,所以函数y=-ax单调递减.故选D.
8.已知函数f(x)=则该函数是(　D　)
A.偶函数,且单调递增 B.偶函数,且单调递减
C.奇函数,且单调递增 D.奇函数,且单调递减
解析:因为函数f(x)=
当x>0时,f(x)=3-x-1,f(-x)=1-3-x,满足f(-x)=-f(x),且f(x)为减
函数;
当x=0时,f(0)=0,满足f(-x)=-f(x);
当x<0时,f(x)=1-3x,f(-x)=3x-1,
满足f(-x)=-f(x),且f(x)为减函数.
综上,f(x)为奇函数,且为减函数.故选D.
9.(2021·辽宁大连高一期中)设a=(),b=(),c=,则(　B　)
A.aC.c解析:a=()<()0=1;b=()=>30=1;c=>50=1;b15=35=243,
c15=53=125,
所以b15>c15,
所以b>c,即b>c>a.故选B.
10.设f(x)=若方程f(x)=a(a为实数)有2个根,则a的取值范围是(　D　)
A.(0,1) B.(0,1]
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
解析:f(x)的大致图象如图所示.
由图可知,当且仅当a≥1时,y=a与y=f(x)有两个交点,从而f(x)=a有2个根.故选D.
11.函数f(x)=-9-x+()x-1+在x∈[-1,+∞)上的值域为(　C　)
A.(,3) B.[-,3]
C.[,3] D.(-∞,3]
解析:f(x)=-9-x+()x-1+=-()2x+3×()x+.
令t=()x,因为x∈[-1,+∞),
所以t∈(0,3],
原函数的值域等价于函数g(t)=-t2+3t+=-(t-)2+3的值域,
所以f(x)∈[,3].故选C.
应用创新
12.(多选题)已知实数a,b满足等式2 021a=2 022b,下列关系式可能成立的是(　BCD　)
A.0C.0解析:分别画出y=2 021x,y=2 022x的图象,实数a,b满足等式2 021a=
2 022b,
可得a>b>0,a13.若函数f(x)=|2x-2|的图象与直线y=b有两个不同的交点,则实数b的取值范围是　　 　　.若函数f(x)在[t,+∞)上单调递增,则t的取值范围是　　 　　.
解析:在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=b的图象(y=|2x-2|的图象是由函数y=2x的图象向下平移2个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的),如图所示.
所以由图象可知当0答案:(0,2)　[1,+∞)
14.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的,则存留污垢的百分比y与漂洗次数x的函数关系是　　　　　　　　,最少漂洗　　　　次能够使存留的污垢不超过原有的1%.(设原来衣服残留污垢为a)
解析:设原来衣服上残留污垢总数为a,则存留污垢的百分比y与漂洗次数x的函数关系为y=a(1-)x,即y=a·()x,x∈N*,
由a()x≤0.01a知4x≥100.
结合43=64,44=256知满足条件的x最小值为4.
答案:y=a·()x,x∈N*　4
21世纪教育网(www.21cnjy.com)4.2　指数函数
4.2.1　指数爆炸和指数衰减
4.2.2　指数函数的图象与性质
核心知识目标 核心素养目标
1.了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念. 2.掌握指数函数的图象及简单性质. 3.会求指数形式的函数定义域、值域、最值,能判断与证明其单调性. 4.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小、解不等式. 5.掌握指数函数的实际应用. 1.通过理解指数函数的概念和意义,达成数学抽象的核心素养. 2.通过借助计算工具画出简单指数函数的图象,发展直观想象的核心素养. 3.借助指数函数的性质,研究指数型函数的相关问题,增强学生的数学运算及数学抽象的核心素养. 4.通过指数函数的实际应用,强化数学建模的核心素养.
1.指数爆炸和指数衰减
(1)指数函数的定义
一般地,函数y=ax(x∈R)叫作指数函数,其中a>0,且a≠1.
(2)当底数a>1时,指数函数值随自变量的增长而增大,底数a较大时指数函数值增长速度惊人,被称为指数爆炸.
反过来,如果02.指数函数的图象与性质
表达式 y=ax(01)
图象
定义域 (-∞,+∞)
值域 (0,+∞)
性质 函数图象过定点(0,1),即a0=1
在R上单调递减 在R上单调递增
注意:从图象看指数函数y=ax(a>1)的性质,和理性认识相符,例如:
(1)图象总在x轴上方,且图象与x轴永不相交,值域是(0,+∞).
(2)图象恒过点(0,1),用式子表示就是a0=1.
(3)函数是区间(-∞,+∞)上的增函数.
1.下列函数中,指数函数的个数为(　B　)
①y=()x-1;②y=ax(a>0,且a≠1);③y=1x;④y=()2x-1.
A.0个 B.1个
C.3个 D.4个
解析:由指数函数的定义可判定,只有②正确.故选B.
2.函数y=2|x|的图象是(　B　)
解析:y=2|x|=
故选B.
3.指数函数y=f(x)的图象经过点(π,e),则f(-π)=　　　　.
解析:设指数函数为y=ax(a>0,且a≠1),则aπ=e,
所以f(-π)=a-π=(aπ)-1=e-1=.
答案:
4.函数y=4x+1的值域是　　　　.
解析:由4x>0知1+4x>1,
故y>1.
答案:(1,+∞)
　指数函数的概念
[例1] (1)下列函数:①y=6x;②y=x4;③y=-4x;④y=(-4)x;⑤y=ex(无理数e=2.718 28…);⑥y=;⑦y=(2a-1)x(a>,a≠1).其中是指数函数的是　　　　(填序号).
(2)若指数函数f(x)的图象经过点(2,9),则f(x)=　　　　,f(-1)=　　　　.
解析:(1)根据指数函数的定义进行判断,
得①⑤⑦为指数函数.
而②中自变量不在指数上;③系数不为1;④中底数-4<0;⑥中指数不是x,而是x2,故②③④⑥都不是指数函数.
(2)设f(x)=ax(a>0,a≠1),
将点(2,9)代入解析式得a2=9,
解得a=3(a=-3舍去),
即f(x)=3x,
所以f(-1)=3-1=.
答案:(1)①⑤⑦　(2)3x　
[即时训练1-1] (2022·湖南衡阳高一期中)函数y=(2a2-3a+2)ax是指数函数,则a的取值是(　　)
A.a=2 B.a=1
C.a= D.a=1或a=
解析:因为函数y=(2a2-3a+2)ax是指数函数,
所以2a2-3a+2=1,且a>0,a≠1.
由2a2-3a+2=1
解得a=1或a=,
所以a=.故选C.
判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y=ax(a>0,且a≠1)这一结构形式,其具备的特点为
　指数函数的图象
探究角度1　图象过定点问题
[例2] 已知函数f(x)=a2x-2+3(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是(　　)
A.(0,3) B.(1,3) C.(0,4) D.(1,4)
解析:当2x-2=0时,x=1,即f(1)=a2-2+3=1+3=4,故P(1,4).故选D.
[即时训练2-1] (2022·湖北襄阳高一期中)已知函数f(x)=ax+1-3的图象恒过定点P,则点P的坐标为(　　)
A.(0,-2) B.(-1,-2)
C.(-2,1) D.(0,-3)
解析:令x+1=0,解得x=-1,
此时f(-1)=1-3=-2,
所以点P的坐标为(-1,-2).故选B.
解决指数型函数图象过定点问题的思路
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,1),据此,可解决形如y=k·ax+c+b(k≠0,a>0,且a≠1)的函数图象过定点的问题,即令x=-c,得y=k+b,则函数图象过定点(-c,k+b).
探究角度2　指数函数图象及变换
[例3] 如图所示是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是(　　)
A.aC.1解析:在y轴的右侧,指数函数的图象由下到上底数依次增大.由指数函数图象的升降,知c>d>1,0[即时训练3-1] 如图,所给函数图象是y=,y=的图象,则a1,a2的大小关系是(　　)
A.a1>a2>1
B.a2>a1>1
C.0D.0解析:因为y==
y==
x>0时,y=,y=都是增函数,
所以a1>1,a2>1,
作直线x=1(图略)可知a1>a2.故选A.
(1)在同一平面直角坐标系内,识别多个指数函数图象底数的大小,可借助直线x=1,根据x=1与各图象交点纵坐标大小确定底数的大小.
(2)形如f(x)=a|x|(a>0,且a≠1),可利用偶函数性质,作出x>0时函数图象,结合对称性求解.
探究角度3　根据指数型函数图象确定解析式中参数
[例4] 若函数y=ax-(b+1)(a>0,且a≠1)的图象经过第一、第三、第四象限,则必有(　　)
A.00 B.0C.a>1,b<0 D.a>1,b>0
解析:法一　由指数函数y=ax(a>1)图象的性质知函数y=ax(a>1)的图象过第一、第二象限,且恒过点(0,1),而函数y=ax-(b+1)的图象是由y=ax的图象向下平移(b+1)个单位长度得到的,如图,若函数y=ax-(b+1)的图象过第一、第三、第四象限,则a>1,且b+1>1,从而a>1,且b>0.故选D.
法二　由函数是增函数知a>1,
又x=0时,f(0)<0知b>0.故选D.
[即时训练4-1] (1)如果函数f(x)=3x+b的图象经过第一、第二、第三象限,不经过第四象限,则(　　)
A.b<-1 B.-1C.01
(2)(2022·重庆高一期末)已知函数f(x)=()x-1+b,且函数图象不经过第一象限,则b的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1) B.(-∞,-1]
C.(-∞,-2] D.(-∞,-2)
解析:(1)函数f(x)=3x+b的图象经过第一、第二、第三象限,不经过第四象限,则0(2)函数f(x)=()x-1+b为减函数,且图象不经过第一象限,所以f(0)=2+b≤0,即b≤-2.故选C.
根据函数图象特征,确定指数型函数y=ax+b+c(a>0,且a≠1)中的参数,可借助图象的升、降确定a的范围,利用函数图象与y轴的交点,确定c的范围,也可利用图象的平移变化确定c的范围.
指数函数的定义域和值域
[例5] 求下列函数的定义域和值域.
(1)y=;
(2)y=();
(3)y=;
(4)y=4x+2x+1+3.
解:(1)由x-4≠0,得x≠4,
所以函数的定义域为(-∞,4)∪(4,+∞).
因为x-4≠0,即≠0,
所以≠1.
故函数的值域为(0,1)∪(1,+∞).
(2)显然定义域为R.
因为2x-x2=-(x-1)2+1≤1,且y=()在R上为减函数,
所以()≥()1=.
故函数y=()的值域为[,+∞).
(3)由32x-1-≥0,
得32x-1≥=3-2.
因为y=32x-1在R上为增函数,
所以2x-1≥-2,
解得x≥-.
故函数的定义域为[-,+∞).
由上可知32x-1-≥0,
所以y≥0,即函数的值域为[0,+∞).
(4)显然定义域为R.
由题意,得y=4x+2x+1+3=(2x+1)2+2,
由于2x>0,
所以(2x+1)2>1,
所以y=4x+2x+1+3的值域是(3,+∞).
[即时训练5-1] (1)(2022·江苏南京高一月考)函数y=的定义域为(　　)
A.[2,+∞) B.(-∞,2]
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
(2)(2021·浙江南湖期中)已知函数f(x)=()的值域是(　　)
A.(-∞,2] B.(0,2]
C.[2,+∞) D.(0,]
(3)若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,实数m的值为(　　)
A. B.或
C. D.或
解析:(1)要使函数有意义,则-2x≥0,
即2x≤2-2,所以x≤-2,
所以函数y=的定义域为(-∞,-2].故选D.
(2)因为x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
所以0<()≤()-1=2,
所以函数f(x)=()的值域是(0,2].故选B.
(3)当a>1时,f(x)=ax在[-1,2]上单调递增,所以f(x)max=f(2)=a2=4,解得a=2,所以此时f(x)=2x,m=f(x)min=2-1=;
当0所以此时f(x)=()x,
m=f(x)min=f(2)=()2=.
综上,m的值为或.故选D.
(1)对于y=af(x)这类函数:
①定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围.
②值域问题,应分以下两步求解:
a.由定义域求出u=f(x)的值域;
b.利用指数函数y=au的单调性求得此函数的值域.
(2)利用指数函数y=ax的定义域和值域求与之有关的初等函数的定义域与值域时的方法如下.
①由于指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域是R,所以函数y=af(x)(a>0,且a≠1)与函数f(x)的定义域相同,利用指数函数的单调性求值域.
②形如f(x)=k·a2x+m·ax+t(a>0,且a≠1,k,m≠0)型函数的值域,常用换元法转化为二次函数在给定区间上的最值问题.
　指数函数性质
探究角度1　比较大小
[例6] (1)设a=0.2-0.1,b=0.1-0.1,c=0.1-0.2,则a,b,c的大小关系正确的是(　　)
A.aC.c(2)(2021·广东深圳高一期中)已知a=,b=20.2,c=0.30.2,则a,b,c三者的大小关系是(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>b>a
(3)已知a=41.7,b=80.48,c=()-0.5,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.c>a>b B.b>a>c
C.a>b>c D.a>c>b
解析:(1)因为幂函数y=x-0.1在(0,+∞)上为减函数,0.2>0.1,所以0.2-0.1<0.1-0.1,即a因为指数函数y=0.1x在R上为减函数,-0.1>-0.2,所以0.1-0.1<0.1-0.2,即b(2)因为y=0.3x在R上为减函数,且>0.2>0,
所以<0.30.2<0.30,即a因为y=2x在R上为增函数,且0.2>0,
所以20.2>20=1,即b>1,
所以b>c>a.故选C.
(3)因为a=41.7=23.4,b=80.48=21.44,c=()-0.5=20.5,y=2x在R上为增函数,因为3.4>1.44>0.5,所以a>b>c.故选C.
[即时训练6-1] (1)已知()a>()b,比较a,b的大小;
(2)比较0.8-2与()的大小.
解:(1)因为0<<1,
所以y=()x是减函数.
又因为()a>()b,
所以a(2)先考察函数y=0.8x.
因为0<0.8<1,
所以函数y=0.8x是减函数.
又-2<0,所以0.8-2>0.80=1.
再考察函数y=()x.
因为>1,
所以函数y=()x是增函数.
又-<0,
所以()<()0=1.
综上可知,0.8-2>().
指数幂大小比较问题的三种类型及解法
(1)对于底数相同、指数不同的两个幂的大小,可以利用指数函数的单调性来判断.
(2)对于底数不同、指数相同的两个幂的大小,可以利用函数图象的变化规律来判断.
(3)对于底数不同、指数也不同的两个幂的大小,则可通过中间值(特别是0,1)来比较.
探究角度2　指数不等式的解法
[例7] (1)解不等式()≤2;
(2)已知(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x,求x的取值范围.
解:(1)()=(2-1=,
所以原不等式等价于≤21.
因为y=2x是R上的增函数,
所以2-x2≤1.所以x2≥1,
即x≥1或x≤-1.
所以原不等式的解集是{x|x≥1或x≤-1}.
(2)因为a2+a+2=(a+)2+>1,
所以y=(a2+a+2)x在R上是增函数,
所以x>1-x,
解得x>,
所以x的取值范围是{x|x>}.
[即时训练7-1] 解关于x的不等式a2x+1≤ax-5(a>0,且a≠1).
解:①当0所以2x+1≥x-5,解得x≥-6.
②当a>1时,因为a2x+1≤ax-5,
所以2x+1≤x-5,解得x≤-6.
综上所述,当01时,不等式的解集为{x|x≤-6}.
指数不等式的类型可分为两种
(1)形如ax>ab的不等式,借助函数y=ax(a>0,且a≠1)的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如ax>b的不等式,注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助函数y=ax(a>0,且a≠1)的单调性求解.
探究角度3　形如y=af(x)(a>0,且a≠1)型函数单调性
[例8] 函数f(x)=()的单调递增区间为(　　)
A.(-∞,) B.(-∞,)
C.(,+∞) D.(,+∞)
解析:由x2-x-1≥0,得x≤或x≥.
函数t=x2-x-1在(-∞,)上为减函数,在[,+∞)上为增函数,而函数y=()t在t∈[0,+∞)上是减函数,
所以函数f(x)=()的单调递增区间为
(-∞,).故选A.
[即时训练8-1] 已知函数f(x)=,则f(x)的单调递增区间是　　　　,值域是　　　　.
解析:因为函数f(x)=,则f(x)的单调递增区间,即y=x2-2x的单调递增区间.
因为y=x2-2x的单调递增区间为[1,+∞),故f(x)的单调递增区间为[1,+∞).
因为y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,故f(x)≥2-1=,故函数f(x)的值域为[,+∞).
答案:[1,+∞)　[,+∞)
函数y=af(x)(a>0,a≠1)的单调性的处理技巧
当a>1时,y=af(x)与y=f(x)的单调性相同,
当0[例1] 函数f(x)=()的单调递减区间为　　　　,值域为　　　　.
解析:令u=x2-2x,则原函数变为y=()u.
因为u=x2-2x=(x-1)2-1在[1,+∞)上单调递增,
又因为y=()u在(-∞,+∞)上单调递减,
所以y=()在[1,+∞)上单调递减.
因为u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
所以y=()u,u∈[-1,+∞),
所以0<()u≤()-1=3,
所以原函数的值域为(0,3].
答案:[1,+∞)　(0,3]
[例2] 已知实数a>0,且a≠1,若函数f(x)=的值域为[4,+∞),则a的取值范围是　　　　.
解析:实数a>0,且a≠1,
若函数f(x)=的值域为[4,+∞),
当02时,f(x)的值域为(0,a2),与值域为[4,+∞)矛盾,所以0当a>1时,对于函数f(x)=6-x,x≤2,函数的值域为[4,+∞).所以只需当x>2时值域为[4,+∞)的子集即可.因为a>1,所以f(x)在x>2时单调递增,f(x)>a2,即a2≥4,解得a≥2(舍去a≤-2).
综上可知,a的取值范围为[2,+∞).
答案:[2,+∞)
[例3] 解关于x的不等式:a-5x>ax+7(a>0且a≠1).
解:①当0则-5x解得x>-;
②当a>1时,y=ax为增函数,则-5x>x+7,
解得x<-.
综上,当0-};
当a>1时,不等式的解集为{x|x<-}.
1.指数函数y=ax与y=bx的图象如图所示,则(　C　)
A.a<0,b<0 B.a<0,b>0
C.01 D.0解析:结合指数函数图象的特点可知01.故选C.
2.下列判断正确的是(　D　)
A.2.52.5>2.53 B.0.82<0.83
C.π2< D.0.90.3>0.90.5
解析:因为y=0.9x是减函数,且0.5>0.3,
所以0.90.3>0.90.5.故选D.
3.函数f(x)=2·ax-1+1的图象恒过定点　　　　.
解析:令x-1=0,得x=1,f(1)=2×1+1=3,
所以f(x)的图象恒过定点(1,3).
答案:(1,3)
4.函数f(x)=()的单调递增区间为　　　　.
解析:因为f(x)=(),0<<1,所以f(x)的单调递增区间为u(x)=x2-1的单调递减区间即(-∞,0].
答案:(-∞,0]
选题明细表
知识点、方法 题号
指数函数的定义 1
指数函数的图象 2,3,7,8,10,12,13
指数函数的性质 4,5,6,9,11,14
基础巩固
1.函数f(x)=(a2-3a+3)ax是指数函数,则a的值是(　C　)
A.1或2 B.1
C.2 D.a>0,且a≠1
解析:由指数函数的定义,得解得a=2.故选C.
2.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是(　C　)
A.aC.b解析:因为函数y=0.6x在R上单调递减,0<0.6<1.5,所以0.60>0.60.6>0.61.5,即1>a>b,
因为函数y=1.5x在R上单调递增,0<0.6,
所以1.50<1.50.6,即1所以b3.函数y=2x+1的图象是(　A　)
解析:当x=0时,y=2,且函数单调递增.故选A.
4.已知函数f(x)=为奇函数,则f(m)等于(　B　)
A. B. C. D.
解析:因为f(x)是奇函数,定义域为R,所以f(0)=0,即=0,所以m=1,故f(m)=f(1)==.故选B.
5.函数y=ax-3+3(a>0,且a≠1)的图象过定点　　　　.
解析:令x-3=0,解得x=3,此时y=1+3=4,
所以定点坐标为(3,4).
答案:(3,4)
6.函数f(x)=()的定义域是　　　　,值域是　　　　.
解析:由1-x2≥0知-1≤x≤1,因此函数的定义域是[-1,1],又0≤≤1,故()1≤()≤()0=1.
因此函数的值域是[,1].
答案:[-1,1]　[,1]
能力提升
7.函数y=(a>1)的图象的大致形状是(　D　)
解析:当x>0时,y=ax,因为a>1,所以函数y=ax单调递增;当x<0时,y=-ax,因为a>1,所以函数y=-ax单调递减.故选D.
8.已知函数f(x)=则该函数是(　D　)
A.偶函数,且单调递增 B.偶函数,且单调递减
C.奇函数,且单调递增 D.奇函数,且单调递减
解析:因为函数f(x)=
当x>0时,f(x)=3-x-1,f(-x)=1-3-x,满足f(-x)=-f(x),且f(x)为减函数;
当x=0时,f(0)=0,满足f(-x)=-f(x);
当x<0时,f(x)=1-3x,f(-x)=3x-1,
满足f(-x)=-f(x),且f(x)为减函数.
综上,f(x)为奇函数,且为减函数.故选D.
9.(2021·辽宁大连高一期中)设a=(),b=(),c=,则(　B　)
A.aC.c解析:a=()<()0=1;b=()=>30=1;c=>50=1;
b15=35=243,c15=53=125,
所以b15>c15,
所以b>c,即b>c>a.故选B.
10.设f(x)=若方程f(x)=a(a为实数)有2个根,则a的取值范围是(　D　)
A.(0,1) B.(0,1]
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
解析:f(x)的大致图象如图所示.
由图可知,当且仅当a≥1时,y=a与y=f(x)有两个交点,从而f(x)=a有2个根.故选D.
11.函数f(x)=-9-x+()x-1+在x∈[-1,+∞)上的值域为(　C　)
A.(,3) B.[-,3]
C.[,3] D.(-∞,3]
解析:f(x)=-9-x+()x-1+
=-()2x+3×()x+.
令t=()x,因为x∈[-1,+∞),
所以t∈(0,3],原函数的值域等价于函数
g(t)=-t2+3t+=-(t-)2+3的值域,
所以f(x)∈[,3].故选C.
应用创新
12.(多选题)已知实数a,b满足等式2 021a=2 022b,下列关系式可能成立的是(　BCD　)
A.0C.0解析:分别画出y=2 021x,y=2 022x的图象,实数a,b满足等式2 021a=2 022b,
可得a>b>0,a13.若函数f(x)=|2x-2|的图象与直线y=b有两个不同的交点,则实数b的取值范围是　　　　.若函数f(x)在[t,+∞)上单调递增,则t的取值范围是　　　　.
解析:在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=b的图象(y=|2x-2|的图象是由函数y=2x的图象向下平移2个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的),如图所示.
所以由图象可知当0答案:(0,2)　[1,+∞)
14.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的,则存留污垢的百分比y与漂洗次数x的函数关系是　　　　　　　　　　,最少漂洗　　　　次能够使存留的污垢不超过原有的1%.(设原来衣服残留污垢为a)
解析:设原来衣服上残留污垢总数为a,则存留污垢的百分比y与漂洗次数x的函数关系为y=a(1-)x,即y=a·()x,x∈N*,
由a()x≤0.01a知4x≥100.
结合43=64,44=256知满足条件的x最小值为4.
答案:y=a·()x,x∈N*　4
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑