资源简介

4.3.2　对数的运算法则
选题明细表
知识点、方法 题号
对数的运算性质 1,2,7,8,9,12
对数换底公式及应用 3,4,5
对数运算性质综合 6,10,11,13,14
基础巩固
1.lo4等于(　D　)
A. B. C.2 D.4
解析:lo4=lo()4=4.故选D.
2.2log510+log50.25等于(　C　)
A.0 B.1 C.2 D.4
解析:2log510+log50.25=log5102+log50.25=log5(102×0.25)=log525=2.故选C.
3.若log5·log36·log6x=2,则x等于(　D　)
A.9 B. C.25 D.
解析:原式=××==2,
所以-lg x=2lg 5=lg 52=lg 25,所以x=.故选D.
4.已知log89=a,log25=b,则lg 3等于(　C　)
A. B.
C. D.
解析:因为log89=a,所以a==,
b==,所以lg 2=,
所以lg 3=alg 2=×=.故选C.
5.计算:log225×log32×log59的结果为　　 　　.
解析:原式=××=××=6.
答案:6
6.(2021·浙江杭州期中)若a=log23,3b=2,则2a+2-a=　　 　　,
ab=　　 　　.
解析:因为a=log23,所以2a=3,2-a=,
所以2a+2-a=3+=,
因为3b=2,所以b=log32,
所以ab=log23×log32=1.
答案:　1
能力提升
7.若lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个根,则(lg )2的值等于(　A　)
A.2 B. C.4 D.
解析:由根与系数的关系知
所以(lg )2=(lg a-lg b)2=(lg a+lg b)2-4lg a·lg b=22-4×=2.故选A.
8.(多选题)已知正实数x,y,z满足4x=25y=100z,则下列正确的选项有(　BD　)
A.xy=z B.+=
C.x+y=z D.xz+yz=xy
解析:设正实数x,y,z满足4x=25y=100z=t,
则x=log4t,y=log25t,z=log100t,
所以=logt4,=logt25,=logt100,
所以+=,所以yz+xz=xy.故选BD.
9.(多选题)下列运算错误的是(　ABC　)
A.2lo10+lo0.25=2
B.log427×log258×log95=
C.lg 2+lg 50=10
D.lo(2-)-=-
解析:对于A,2lo10+lo0.25=lo(102×0.25)=lo52=-2,A错误;
对于B,log427×log258×log95=××==,B错误;
对于C,lg 2+lg 50=lg 100=2,C错误;
对于D,lo(2-)-=-1-()2=-,D正确.
故选ABC.
10.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg ,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为(　A　)
A.1010.1 B.10.1
C.lg 10.1 D.10-10.1
解析:设太阳的星等为m1,天狼星的星等为m2,则太阳与天狼星的亮度分别为E1,E2,由题意知,m1=-26.7,m2=-1.45,由m2-m1=lg ,得lg =-1.45+26.7=25.25.所以lg =25.25×=10.1,所以=1010.1,即太阳与天狼星的亮度的比值为1010.1.故选A.
11.方程log5(x+1)-lo(x-3)=1的解为x=　　　　.
解析:log5(x+1)-lo(x-3)=log5(x+1)+log5(x-3)=log5[(x+1)(x-
3)]=1,所以解得x=4.
因此方程log5(x+1)-lo(x-3)=1的解为x=4.
答案:4
12.计算:log3+lg 25+lg 4+.
解:原式=log3+lg (25×4)+2=log3+lg 102+2=-+2+2=.
13.已知loga2=m,loga3=n.
(1)求a2m-n的值;
(2)用m,n表示loga18.
解:(1)因为loga2=m,loga3=n,
所以am=2,an=3.
所以a2m-n=a2m÷an=22÷3=.
(2)loga18=loga(2×32)=loga2+loga32=loga2+2loga3=m+2n.
应用创新
14.素数也叫质数,部分素数可写成“2n-1”的形式(n是素数),法国数学家马丁·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“2n-1”形式(n是素数)的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为P=24 423-1,第19个梅森素数为Q=24 253-1,则下列各数中与最接近的数为(参考数据:lg 2≈0.3)(　　)
A.1045 B.1051 C.1056 D.1059
解析:=≈2170.
令2170=k,则lg 2170=lg k,
所以170lg 2=lg k,又lg 2≈0.3,
所以51≈lg k,即k≈1051.
所以与最接近的数为1051.故选B.
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4.3.2　对数的运算法则
核心知识目标 核心素养目标
1.理解并掌握对数的运算性质和对数的换底公式.
2.能运用对数的运算性质和对数的换底公式进行化简、求值和证明. 通过对数的运算性质和对数的换底公式的应用,发展逻辑推理、数学运算的核心素养.
知识探究·素养启迪
1.对数的运算法则
(1)loga(M·N)= ;
(2)logaMn= (n∈R);
知识探究
logaM+logaN
nlogaM
logaM-logaN
2.几个特殊对数
(1)常用对数:以10为底,记为lg N.
(2)自然对数:以e(e=2.718 28…)为底,记为ln N.
小试身手
C
1.下列等式成立的是(　 　)
解析:由对数的运算性质易知C正确.故选C.
2.若lg 5=a,lg 7=b,则用a,b表示log75等于(　 　)
D
答案:1
答案:4
课堂探究·素养培育
[例1] 计算:(1)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2;
探究点一
对数运算法则
解:(1)原式=(lg 5)2+(2-lg 2)lg 2
=(lg 5)2+(1+lg 5)lg 2
=(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 2
=(lg 5+lg 2)lg 5+lg 2
=lg 5+lg 2=1.
[例1] 计算:
解:(2)原式=lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2)2-lg 6+lg 6-2
=3lg 5×lg 2+3lg 5+3(lg 2)2-2
=3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5-2
=3lg 2+3lg 5-2
=3(lg 2+lg 5)-2
=1.
方法总结
(1)利用对数的运算性质进行对数式的化简与计算,一般有两种思路:一是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;二是将式中对数的和、差、积、商逆用对数的运算性质化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.
(2)对数计算问题中,涉及lg 2,lg 5时,常利用lg 2+lg 5=1及lg 2=1-
lg 5,lg 5=1-lg 2等解题.
探究角度1　用已知对数式表示对数值
探究点二
换底公式及其应用
[例2] 已知log37=a,2b=3,试用a,b表示log1456.
[即时训练2-1] (1)已知log147=a,log145=b,用a,b表示log3528;
(2)已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645.
方法总结
用已知对数式的值表示不同底数的对数值,首先将待求式用换底公式表示为已知对数式的底数的对数,然后将真数统一为已知对数的真数的乘积的形式.
探究角度2　应用换底公式求值
[例3] 计算:(1)log1627log8132;
(2)(log32+log92)(log43+log83).
(2)log23×log34×log45×log56×log67×log78.
方法总结
(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式,将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
(2)当一个题目中同时出现指数式和对数式时,一般需要统一成一种表达形式.
探究点三
对数的综合应用
[例4] 2018年我国国民生产总值为a亿元,如果平均每年增长8%,约经过多少年后国民生产总值是2018年的2倍 (lg 2≈0.301 0,lg 1.08≈0.033 4,精确到1年)
方法总结
解决对数应用题的一般步骤
备用例题
[例1] 计算下列各式的值:
[例1] 计算下列各式的值:
解:(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2
=2lg 10+(lg 5+lg 2)2
=2+(lg 10)2
=2+1
=3.
[例1] 计算下列各式的值:
[例2] 已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645.
课堂达标
B
1.(2022·河北石家庄高一期中)log210-log25等于(　 　)
A.0 B.1 C.log25 D.2
A
3.若2a=3,3b=4,4c=ab,则abc等于(　 　)
B4.3.2　对数的运算法则
核心知识目标 核心素养目标
1.理解并掌握对数的运算性质和对数的换底公式. 2.能运用对数的运算性质和对数的换底公式进行化简、求值和证明. 通过对数的运算性质和对数的换底公式的应用,发展逻辑推理、数学运算的核心素养.
1.对数的运算法则
(1)loga(M·N)=logaM+logaN;
(2)logaMn=nlogaM(n∈R);
(3)loga=logaM-logaN.
(其中a>0,且a≠1,M>0,N>0).
2.几个特殊对数
(1)常用对数:以10为底,记为lg N.
(2)自然对数:以e(e=2.718 28…)为底,记为ln N.
3.换底公式
logbN=(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1;N>0).
1.下列等式成立的是(　C　)
A.log2(8-4)=log28-log24
B.=log2
C.log28=3log22
D.log2(8+4)=log28+log24
解析:由对数的运算性质易知C正确.故选C.
2.若lg 5=a,lg 7=b,则用a,b表示log75等于(　D　)
A.a+b B.a-b
C. D.
解析:由换底公式可知log75==.故选D.
3.已知2m=5n=10,则+=　　　　.
解析:因为m=log210,n=log510,
所以+=lg 2+lg 5=lg 10=1.
答案:1
4.lo45-lo5=　　　　.
解析:lo45-lo5=lo=lo9==4.
答案:4
　对数运算法则
[例1] 计算:(1)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2;
(2);
(3)log535-2log5+log57-log51.8.
解:(1)原式=(lg 5)2+(2-lg 2)lg 2
=(lg 5)2+(1+lg 5)lg 2
=(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 2
=(lg 5+lg 2)lg 5+lg 2
=lg 5+lg 2=1.
(2)原式=
==.
(3)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5
=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55
=2log55=2.
[即时训练11] 计算:(1)lo27+lg 4+lg 25;
(2)lg 5(lg 8+lg 1 000)+(lg )2+lg +lg 0.06.
解:(1)原式=lo()6+2lg 2+2lg 5
=6+2(lg 2+lg 5)=8.
(2)原式=lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2)2-lg 6+lg 6-2
=3lg 5×lg 2+3lg 5+3(lg 2)2-2
=3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5-2
=3lg 2+3lg 5-2
=3(lg 2+lg 5)-2
=1.
(1)利用对数的运算性质进行对数式的化简与计算,一般有两种思路:一是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;二是将式中对数的和、差、积、商逆用对数的运算性质化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.
(2)对数计算问题中,涉及lg 2,lg 5时,常利用lg 2+lg 5=1及lg 2=1-lg 5,lg 5=1-lg 2等解题.
　换底公式及其应用
探究角度1　用已知对数式表示对数值
[例2] 已知log37=a,2b=3,试用a,b表示log1456.
解:因为2b=3,
所以b=log23,即log32=,
log1456==
===.
[即时训练21] (1)已知log147=a,log145=b,用a,b表示log3528;
(2)已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645.
解:(1)log147=a,log145=b,
所以log3528====.
(2)因为log189=a,18b=5,所以log185=b,
所以log3645====.
用已知对数式的值表示不同底数的对数值,首先将待求式用换底公式表示为已知对数式的底数的对数,然后将真数统一为已知对数的真数的乘积的形式.
探究角度2　应用换底公式求值
[例3] 计算:(1)log1627log8132;
(2)(log32+log92)(log43+log83).
解:(1)log1627log8132=×=×=×=.
(2)(log32+log92)(log43+log83)
=(log32+)(+)
=(log32+log32)(log23+log23)
=log32×log23
=××
=.
[即时训练31] 计算:(1)(log43+log83)×;
(2)log23×log34×log45×log56×log67×log78.
解:(1)原式=(+)×
=×+×
=+=.
(2)原式=×××××
===3.
(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式,将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
(2)当一个题目中同时出现指数式和对数式时,一般需要统一成一种表达形式.
　对数的综合应用
[例4] 2018年我国国民生产总值为a亿元,如果平均每年增长8%,约经过多少年后国民生产总值是2018年的2倍 (lg 2≈0.301 0,lg 1.08≈0.033 4,精确到1年)
解:设经过x年后国民生产总值为2018年的2倍.
经过1年,国民生产总值为a(1+8%),
经过2年,国民生产总值为a(1+8%)2,
……
经过x年,国民生产总值为a(1+8%)x=2a,
所以1.08x=2,
所以x=log1.082=≈≈9,
故约经过9年后国民生产总值是2018年的2倍.
[即时训练41] 在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:m/s)和燃料的质量M(单位:kg),火箭(除燃料外)的质量m(单位:kg)满足ev=(1+)2 000(e为自然对数的底数,ln 3≈1.099).当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时,求火箭的最大速度(单位:m/s).
解:因为v=ln(1+)2 000
=2 000·ln(1+),
所以v=2 000·ln 3≈2 000×1.099=2 198(m /s).
故当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时,火箭的最大速度为2 198 m /s.
解决对数应用题的一般步骤
[例1] 计算下列各式的值:
(1)lg -lg +lg ;
(2)lg 52+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2;
(3).
解:(1)法一　原式=(5lg 2-2lg 7)-·lg 2+(2lg 7+lg 5)
=lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+lg 5
=lg 2+lg 5
=(lg 2+lg 5)
=lg 10
=.
法二　原式=lg -lg 4+lg 7
=lg
=lg(×)
=lg
=.
(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2
=2lg 10+(lg 5+lg 2)2
=2+(lg 10)2
=2+1
=3.
(3)原式=
=
=
=.
[例2] 已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645.
解:法一　因为log189=a,18b=5,
所以log185=b,
于是log3645==
==
==.
法二　因为log189=a,18b=5,所以log185=b,
于是log3645===
==.
法三　因为log189=a,18b=5,
所以lg 9=alg 18,lg 5=blg 18,
所以log3645====
=.
1.(2022·河北石家庄高一期中)log210-log25等于(　B　)
A.0 B.1 C.log25 D.2
解析:log210-log25=log2=log22=1.
故选B.
2.等于(　A　)
A. B.1 C. D.2
解析:=×=×=.故选A.
3.若2a=3,3b=4,4c=ab,则abc等于(　B　)
A. B.1 C.2 D.4
解析:根据题意,2a=3,3b=4,
则a=log23,b=log34,
则有ab=log23×log34=×=2,
则c=log4ab=log42=,故abc=1.故选B.
4.设2x=5y=m,且+=2,则m=　　　　.
解析:因为2x=5y=m,两边取常用对数.
得x=,y=,
所以+===2,
所以lg m=,所以m=1=.
答案:
选题明细表
知识点、方法 题号
对数的运算性质 1,2,7,8,9,12
对数换底公式及应用 3,4,5
对数运算性质综合 6,10,11,13,14
基础巩固
1.lo4等于(　D　)
A. B. C.2 D.4
解析:lo4=lo()4=4.故选D.
2.2log510+log50.25等于(　C　)
A.0 B.1 C.2 D.4
解析:2log510+log50.25=log5102+log50.25=log5(102×0.25)=log525=2.故选C.
3.若log5·log36·log6x=2,则x等于(　D　)
A.9 B. C.25 D.
解析:原式=××==2,
所以-lg x=2lg 5=lg 52=lg 25,所以x=.故选D.
4.已知log89=a,log25=b,则lg 3等于(　C　)
A. B.
C. D.
解析:因为log89=a,所以a==,
b==,所以lg 2=,
所以lg 3=alg 2=×=.故选C.
5.计算:log225×log32×log59的结果为　　　　.
解析:原式=××
=××=6.
答案:6
6.(2021·浙江杭州期中)若a=log23,3b=2,则2a+2-a=　　　　,ab=　　　　.
解析:因为a=log23,所以2a=3,2-a=,
所以2a+2-a=3+=,
因为3b=2,所以b=log32,
所以ab=log23×log32=1.
答案:　1
能力提升
7.若lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个根,则(lg )2的值等于(　A　)
A.2 B. C.4 D.
解析:由根与系数的关系知
所以(lg )2=(lg a-lg b)2=(lg a+lg b)2-4lg a·lg b=22-4×=2.故选A.
8.(多选题)已知正实数x,y,z满足4x=25y=100z,则下列正确的选项有(　BD　)
A.xy=z B.+=
C.x+y=z D.xz+yz=xy
解析:设正实数x,y,z满足4x=25y=100z=t,
则x=log4t,y=log25t,z=log100t,
所以=logt4,=logt25,=logt100,
所以+=,所以yz+xz=xy.故选BD.
9.(多选题)下列运算错误的是(　ABC　)
A.2lo10+lo0.25=2
B.log427×log258×log95=
C.lg 2+lg 50=10
D.lo(2-)-=-
解析:对于A,2lo10+lo0.25=lo(102×0.25)=lo52=-2,A错误;
对于B,log427×log258×log95=××==,B错误;
对于C,lg 2+lg 50=lg 100=2,C错误;
对于D,lo(2-)-=-1-()2=-,D正确.
故选ABC.
10.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg ,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为(　A　)
A.1010.1 B.10.1
C.lg 10.1 D.10-10.1
解析:设太阳的星等为m1,天狼星的星等为m2,则太阳与天狼星的亮度分别为E1,E2,由题意知,m1=-26.7,m2=-1.45,由m2-m1=lg ,得lg =
-1.45+26.7=25.25.所以lg =25.25×=10.1,所以=1010.1,即太阳与天狼星的亮度的比值为1010.1.故选A.
11.方程log5(x+1)-lo(x-3)=1的解为x=　　　　.
解析:log5(x+1)-lo(x-3)=log5(x+1)+log5(x-3)=log5[(x+1)(x-3)]=1,
所以解得x=4.
因此方程log5(x+1)-lo(x-3)=1的解为x=4.
答案:4
12.计算:log3+lg 25+lg 4+.
解:原式=log3+lg (25×4)+2
=log3+lg 102+2
=-+2+2=.
13.已知loga2=m,loga3=n.
(1)求a2m-n的值;
(2)用m,n表示loga18.
解:(1)因为loga2=m,loga3=n,
所以am=2,an=3.
所以a2m-n=a2m÷an=22÷3=.
(2)loga18=loga(2×32)=loga2+loga32
=loga2+2loga3=m+2n.
应用创新
14.素数也叫质数,部分素数可写成“2n-1”的形式(n是素数),法国数学家马丁·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“2n-1”形式(n是素数)的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为P=24 423-1,第19个梅森素数为Q=24 253-1,则下列各数中与最接近的数为(参考数据:lg 2≈0.3)(　　)
A.1045 B.1051 C.1056 D.1059
解析:=≈2170.
令2170=k,则lg 2170=lg k,
所以170lg 2=lg k,又lg 2≈0.3,
所以51≈lg k,即k≈1051.
所以与最接近的数为1051.故选B.
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