资源简介

(共23张PPT)
4.4.2　计算函数零点的二分法
核心知识目标 核心素养目标
1.根据具体函数图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解.
2.了解二分法的含义及近似思想、逼近思想及应用. 通过对用二分法求方程的近似解的学习,使学生体会“逐步逼进”的方法,提升学生数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
知识探究·素养启迪
1.二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且 的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
2.二分法求函数零点近似值的步骤
设函数y=f(x)定义在区间D上,其图象是一条连续曲线.求它在D上的一个零点x0的近似值x,使它与零点的误差不超过给定的正数ε,即使得
|x-x0|≤ε.
知识探究
f(a)f(b)<0
零点
(1)在D内取一个闭区间[a,b] D,使f(a)与 f(b) 异号,即f(a)·f(b)<0;
(3)如果|m-a|<ε,则取m为f(x)的零点近似值,计算终止;
(4)计算f(m),如果f(m)=0,则m就是f(x)的零点,计算终止;
(5)f(m)与f(a)同号则令a=m,否则令b=m,再执行(2).
3.二分法求函数零点近似值的程序框图
小试身手
C
1.用“二分法”求y=x2-6的零点时,初始区间可取(　 　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
解析:f(0)=02-6=-6,f(1)=12-6=-5,
f(2)=22-6=-2,f(3)=32-6=3,
f(4)=42-6=10,所以f(2)·f(3)<0,故零点在区间(2,3)内.故选C.
2.用二分法求方程x3=2x在区间[1,2]内的实根,取区间中点为x0=1.5,那么下一个有根的区间是　　 　　.
解析:令f(x)=x3-2x,因为f(1.5)=0.375>0,f(1)=-1<0,f(2)=4>0,所以取区间(1,1.5).
答案:(1,1.5)
解析:令f(x)=x5+8x3-1,
则f(0)<0,f(0.5)>0,
所以f(0)·f(0.5)<0,所以第一个零点所在的区间为(0,0.5),第二次应计算的函数值应该为f(0.25).
3.用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算f(0)<0,
f(0.5)>0,则第一个零点所在的区间是　　　 　.第二次应计算的函数值是　　　　 　(用f(x0)表示).
答案:(0,0.5)　f(0.25)
课堂探究·素养培育
[例1] 下列函数中不能用二分法求零点的是(　　)
探究点一
二分法概念
解析:观察图象与x轴的交点,若交点附近的函数图象连续,且在交点两侧的函数值符号相异,则可用二分法求零点,而B不能用二分法求零点.故
选B.
[即时训练1-1] 下列函数中,能用二分法求零点的是(　　)
解析:由题意以及函数零点存在定理可知,只有选项D能够应用二分法求解函数的零点.故选D.
方法总结
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用.
[例2] 求函数f(x)=x2-5的负零点(精确度0.1).
探究点二
用二分法求函数的零点近似值
解:由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0,故取区间(-3,-2)作为计算的初始区间,
用二分法逐次计算,列表如下:
[即时训练2-1] 求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的一个正数零点(精确度为0.1).
解:由于f(1)=-6<0,f(2)=4>0,可取区间(1,2)作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如下:
方法总结
(1)用二分法求函数的近似零点,合理确定初始区间是关键,能够减少二分的次数.
(2)二分法是通过不断地将所选区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,直至找到零点附近足够小的区间,并根据所要求的精确度,用此区间的所有值均可表示零点的近似值.
(3)使用二分法所具备的条件
“二分法”与判定函数零点的定义密切相关,只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点.
探究点三
利用二分法求方程的近似解
[例3] 证明方程6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解,并求出这个实数解.(精确度0.1)
[即时训练3-1] 求方程lg x=3-x的近似解(精确度0.1).
方法总结
用二分法求方程的近似解应明确两点
(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系,求函数的零点与求相应方程的解是等价的.求方程f(x)=0的近似解,即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.
(2)对于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解,可以通过移项转化成求形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解,然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.
备用例题
[例1] (2022·广东佛山高一月考)下列函数中不能用二分法求零点的是
(　　)
A.f(x)=3x-1 B.f(x)=x3 C.f(x)=|x| D.f(x)=ln x
解析:对于A,f(x)=3x-1在R上是单调函数,有唯一零点,且函数值在零点两侧异号,可用二分法求零点;对于B,f(x)=x3在R上是单调函数,有唯一零点,且函数值在零点两侧异号,可用二分法求零点;对于C,f(x)=|x|,虽然也有唯一的零点,但函数值在零点两侧都是正号,故不能用二分法求零点;对于D,f(x)=ln x在(0,+∞)上是单调函数,有唯一零点,且函数值在零点两侧异号,可用二分法求零点.故选C.
解:令f(x)=2x3+3x-3,经计算,f(0)=-3<0,f(1)=2>0,f(0)·f(1)<0,
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点,即方程2x3+3x-3=0在(0,1)内有解.
用二分法逐次计算.如表:
[例2] 用二分法求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解(精确度是0.1).
课堂达标
B
1.如图是函数f(x)的图象,它与x轴有4个不同的公共点,给出下列四个区间,不能用二分法求出的函数f(x)的零点所在的区间是(　 　)
A.(-2.1,-1) B.(1.9,2.3)
C.(4.1,5) D.(5,6.1)
解析:函数f(x)在区间(1.9,2.3)内的零点两侧函数值同号,因此不能用二分法求该区间上函数的零点.故选B.
B
2.用二分法求函数f(x)=2x+2x-2在区间[0,4]上的零点近似值,取区间中点2,则下一个存在零点的区间为(　 　)
A.(0,1) B.(0,2) C.(2,3) D.(2,4)
解析:因为f(0)=20+0-2=-1<0,f(4)=24+8-2>0.又f(2)=22+4-2>0,所以f(0)f(2)<0,所以下一个存在零点的区间为(0,2).故选B.
解析:令f(x)=x3-2x-5,f(2)=8-4-5=-1<0,f(3)=33-2×3-5=16>0,
f(2.5)=x(x2-2)-5=2.5×4.25-5>0,f(2)·f(2.5)<0,故方程的根在区间(2,2.5)内.
3.用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间(2,3)内的实根,取区间中点为x0=
2.5,那么它一个有根的区间是　　　 　.
答案:(2,2.5)
4.用二分法求f(x)=0的近似值,f(1)=-2,f(1.5)=0.625,f(1.25)=-0.984,
f(1.375)=-0.260,下一个求f(m),则m=　 .
答案:1.437 54.4.2　计算函数零点的二分法
核心知识目标 核心素养目标
1.根据具体函数图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解. 2.了解二分法的含义及近似思想、逼近思想及应用. 通过对用二分法求方程的近似解的学习,使学生体会“逐步逼进”的方法,提升学生数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
1.二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
2.二分法求函数零点近似值的步骤
设函数y=f(x)定义在区间D上,其图象是一条连续曲线.求它在D上的一个零点x0的近似值x,使它与零点的误差不超过给定的正数ε,即使得 |x-x0|≤ε.
(1)在D内取一个闭区间[a,b] D,使f(a)与 f(b) 异号,即f(a)·f(b)<0;
(2)取区间[a,b]的中点m=(a+b);
(3)如果|m-a|<ε,则取m为f(x)的零点近似值,计算终止;
(4)计算f(m),如果f(m)=0,则m就是f(x)的零点,计算终止;
(5)f(m)与f(a)同号则令a=m,否则令b=m,再执行(2).
3.二分法求函数零点近似值的程序框图
1.用“二分法”求y=x2-6的零点时,初始区间可取(　C　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
解析:f(0)=02-6=-6,f(1)=12-6=-5,
f(2)=22-6=-2,f(3)=32-6=3,
f(4)=42-6=10,所以f(2)·f(3)<0,故零点在区间(2,3)内.故选C.
2.用二分法求方程x3=2x在区间[1,2]内的实根,取区间中点为x0=1.5,那么下一个有根的区间是　　　　.
解析:令f(x)=x3-2x,因为f(1.5)=0.375>0,f(1)=-1<0,f(2)=4>0,所以取区间(1,1.5).
答案:(1,1.5)
3.用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算f(0)<0,f(0.5)>0,则第一个零点所在的区间是　　　　.第二次应计算的函数值是　　　　　(用f(x0)表示).
解析:令f(x)=x5+8x3-1,
则f(0)<0,f(0.5)>0,
所以f(0)·f(0.5)<0,所以第一个零点所在的区间为(0,0.5),第二次应计算的函数值应该为f(0.25).
答案:(0,0.5)　f(0.25)
　二分法概念
[例1] 下列函数中不能用二分法求零点的是(　　)
解析:观察图象与x轴的交点,若交点附近的函数图象连续,且在交点两侧的函数值符号相异,则可用二分法求零点,而B不能用二分法求零点.故选B.
[即时训练1-1] 下列函数中,能用二分法求零点的是(　　)
解析:由题意以及函数零点存在定理可知,只有选项D能够应用二分法求解函数的零点.故选D.
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用.
　用二分法求函数的零点近似值
[例2] 求函数f(x)=x2-5的负零点(精确度0.1).
解:由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0,
故取区间(-3,-2)作为计算的初始区间,
用二分法逐次计算,列表如下:
次数 a,+ b,- m= f(m)的 近似值 区间长 b-a
1 -3 -2 -2.5 1.25 1
2 -2.5 -2 -2.25 0.062 5 0.5
3 -2.25 -2 -2.125 -0.484 4 0.25
4 -2.25 -2.125 -2.187 5 -0.214 8 0.125
由于=0.062 5<0.1,
所以函数的一个近似负零点可取-2.25.
[即时训练2-1] 求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的一个正数零点(精确度为0.1).
解:由于f(1)=-6<0,f(2)=4>0,可取区间(1,2)作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如下:
次数 a,- b,+ m= f(m)的 近似值 区间长 b-a
1 1 2 1.5 -2.625 1
2 1.5 2 1.75 0.234 4 0.5
3 1.5 1.75 1.625 -1.302 7 0.25
4 1.625 1.75 1.687 5 -0.561 8 0.125
由于=0.062 5<0.1,
所以[1.625,1.75]内的任何一个值都可作为函数零点的近似值.
(1)用二分法求函数的近似零点,合理确定初始区间是关键,能够减少二分的次数.
(2)二分法是通过不断地将所选区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,直至找到零点附近足够小的区间,并根据所要求的精确度,用此区间的所有值均可表示零点的近似值.
(3)使用二分法所具备的条件
“二分法”与判定函数零点的定义密切相关,只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点.
　利用二分法求方程的近似解
[例3] 证明方程6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解,并求出这个实数解.(精确度0.1)
解:设函数f(x)=2x+3x-6,
因为f(1)=-1<0,f(2)=4>0,
又因为f(x)在区间[1,2]上单调递增,所以函数f(x)=2x+3x-6在区间[1,2]内有唯一的零点,
则方程6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解.
设该解为x0,则x0∈[1,2],
取x1=1.5,f(1.5)≈1.33>0,f(1)·f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5),
取x2=1.25,f(1.25)≈0.128>0,
f(1)·f(1.25)<0,所以x0∈(1,1.25),
取x3=1.125,f(1.125)≈-0.444<0,
f(1.125)·f(1.25)<0,
所以x0∈(1.125,1.25).
因为=0.062 5<0.1,
所以1.187 5可作为这个方程的实数解.
[即时训练3-1] 求方程lg x=3-x的近似解(精确度0.1).
解:分别画函数y=lg x和y=3-x的图象,如图所示,在两个函数图象的交点处,函数值相等.因此,这个点的横坐标就是方程lg x=3-x的解.由函数y=lg x与y=3-x的图象可以发现,方程lg x=3-x有唯一解,记为x1,并且这个解在区间(2,3)内.
设f(x)=lg x+x-3,利用计算器计算得
f(2)<0,f(3)>0 x1∈(2,3);
f(2.5)<0,f(3)>0 x1∈(2.5,3);
f(2.5)<0,f(2.75)>0 x1∈(2.5,2.75);
f(2.5)<0,f(2.625)>0 x1∈(2.5,2.625);
因为=0.062 5<0.1,
所以此方程的近似解可取为2.625.
用二分法求方程的近似解应明确两点
(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系,求函数的零点与求相应方程的解是等价的.求方程f(x)=0的近似解,即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.
(2)对于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解,可以通过移项转化成求形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解,然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.
[例1] (2022·广东佛山高一月考)下列函数中不能用二分法求零点的是(　　)
A.f(x)=3x-1 B.f(x)=x3
C.f(x)=|x| D.f(x)=ln x
解析:对于A,f(x)=3x-1在R上是单调函数,有唯一零点,且函数值在零点两侧异号,可用二分法求零点;对于B,f(x)=x3在R上是单调函数,有唯一零点,且函数值在零点两侧异号,可用二分法求零点;对于C,f(x)=|x|,虽然也有唯一的零点,但函数值在零点两侧都是正号,故不能用二分法求零点;对于D,f(x)=ln x在(0,+∞)上是单调函数,有唯一零点,且函数值在零点两侧异号,可用二分法求零点.故选C.
[例2] 用二分法求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解(精确度是0.1).
解:令f(x)=2x3+3x-3,经计算,
f(0)=-3<0,f(1)=2>0,
f(0)·f(1)<0,
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点,
即方程2x3+3x-3=0在(0,1)内有解.
用二分法逐次计算.如表:
次数 a,- b,+ m= f(m)的 近似值 区间长 b-a
1 0 1 0.5 -1.25 1
2 0.5 1 0.75 0.093 75 0.5
3 0.5 0.75 0.625 -0.636 72 0.25
4 0.625 0.75 0.687 5 -0.287 60 0.125
由于=0.062 5<0.1,
所以方程2x3+3x-3=0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.
1.如图是函数f(x)的图象,它与x轴有4个不同的公共点,给出下列四个区间,不能用二分法求出的函数f(x)的零点所在的区间是(　B　)
A.(-2.1,-1) B.(1.9,2.3)
C.(4.1,5) D.(5,6.1)
解析:函数f(x)在区间(1.9,2.3)内的零点两侧函数值同号,因此不能用二分法求该区间上函数的零点.故选B.
2.用二分法求函数f(x)=2x+2x-2在区间[0,4]上的零点近似值,取区间中点2,则下一个存在零点的区间为(　B　)
A.(0,1) B.(0,2) C.(2,3) D.(2,4)
解析:因为f(0)=20+0-2=-1<0,f(4)=24+8-2>0.又f(2)=22+4-2>0,所以f(0)f(2)<0,所以下一个存在零点的区间为(0,2).故选B.
3.用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间(2,3)内的实根,取区间中点为x0=2.5,那么它一个有根的区间是　　　　.
解析:令f(x)=x3-2x-5,f(2)=8-4-5=-1<0,f(3)=33-2×3-5=16>0,f(2.5)=x(x2-2)-5=2.5×4.25-5>0,f(2)·f(2.5)<0,故方程的根在区间(2,2.5)内.
答案:(2,2.5)
4.用二分法求f(x)=0的近似值,f(1)=-2,f(1.5)=0.625,f(1.25)=-0.984,f(1.375)=
-0.260,下一个求f(m),则m=　.
解析:由f(1.5)>0,f(1.375)<0知m==1.437 5.
答案:1.437 5
选题明细表
知识点、方法 题号
二分法概念的理解 1,2,5,6
二分法步骤 4,8
二分法的应用 3,7,9,10
基础巩固
1.关于用“二分法”求方程的近似解,下列说法正确的是(　D　)
A.“二分法”求方程的近似解一定可将y=f(x)在[a,b]内的所有零点得到
B.“二分法”求方程的近似解有可能得不到y=f(x)在[a,b]内的零点
C.应用“二分法”求方程的近似解,y=f(x)在[a,b]内有可能无零点
D.“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)=0在[a,b]内的精确解
解析:二分法求零点,则一定有且能求出,故B,C不正确;零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到,故A不正确.故选D.
2.(2022·江西南昌高一月考)用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是(　C　)
A.x1 B.x2 C.x3 D.x4
解析:观察图象可知点x3的附近两旁的函数值都为负值,因此零点x3不能用二分法求解.故选C.
3.(多选题)某同学求函数f(x)=ln x+2x-6的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示:
f(2)≈-1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈-0.084
f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.562 5)≈0.066
则方程ln x+2x-6=0的近似解(精确度0.1)可取为(　AB　)
A.2.52 B.2.56 C.2.66 D.2.75
解析:由题表数据知f(2.5)≈-0.084,f(2.625)≈0.215,可知方程ln x+2x-6=0的近似根在(2.5,2.625)内,因此选项A中2.52符合,选项B中2.56也符合.故选AB.
4.某同学在借助题设给出的数据求方程lg x=2-x的近似解(精确度0.1)时,设f(x)=lg x+x-2,得出f(1)<0,且f(2)>0,他用“二分法”取到了4个x的值,计算其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解为x≈1.8,那么他所取的4个值中的第二个值为　　　　.
解析:由区间(1,2)的中点为=1.5知用“二分法”取的第一个值是1.5,由于方程的近似解为x≈1.8,故零点所在区间为(1.5,2),故取的第二个值为=1.75.
答案:1.75
能力提升
5.(多选题)下列函数中,能用二分法求函数零点的有(　ACD　)
A.f(x)=3x-2 B.f(x)=x2-2x+1
C.f(x)=log4x D.f(x)=ex-3
解析:f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,f(1)=0,当x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)>0,在零点两侧函数值同号,不能用二分法求零点,其余选项中在函数的零点两侧函数值异号.故选ACD.
6.已知f(x)=x2+6x+c有零点,但不能用二分法求出,则c的值是(　A　)
A.9 B.8 C.7 D.6
解析:f(x)=x2+6x+c有零点,但不能用二分法求出,则x2+6x+c=0有两个相等的实数根,则Δ=36-4c=0,解得c=9.故选A.
7.若函数f(x)=log3x+x-3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如表:
f(2)≈-0.369 1 f(2.5)≈0.334 0
f(2.25)≈-0.011 9 f(2.375)≈0.162 4
f(2.312 5)≈0.075 6 f(2.281 25)≈0.031 9
那么方程log3x+x-3=0的一个近似根(精确度 0.1)为(　C　)
A.2.1 B.2.2 C.2.3 D.2.4
解析:函数f(x)=log3x+x-3为增函数,由参考数据可得f(2.25)·f(2.375)<0,且|2.375-2.25|÷2=0.062 5<0.1,
所以当精确度为0.1时,可以将2.3作为函数 f(x)=log3x+x-3零点的近似值,即方程log3x+x-3=0根的近似值.故选C.
8.利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如表:
x -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8
y=2x 0.329 9 0.378 9 0.435 3 0.5 0.574 3
y=x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64
x -0.6 -0.4 -0.2 0 …
y=2x 0.659 8 0.757 9 0.870 6 1 …
y=x2 0.36 0.16 0.04 0 …
若方程2x=x2有一个根位于区间(a,a+0.4)(a在表格中第一行里的数据中取值),则a的值为　　　　　.
解析:令f(x)=2x-x2,
由题表中的数据可得f(-1)<0,f(-0.6)>0;
f(-0.8)<0,f(-0.4)>0,
所以根在区间(-1,-0.6)与(-0.8,-0.4)内,
所以a=-1或-0.8.
答案:-1或-0.8
9.已知函数f(x)=.
(1)判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性,并用定义证明;
(2)函数g(x)=f(x)+log2x-2在区间(1,2)内是否有零点 若有零点,用“二分法”求零点的近似值(精确度0.2);若没有零点,说明理由.
(参考数据:≈1.118,≈1.225,≈1.323,log21.25≈0.32,log21.5≈0.585,log21.75≈0.807)
解:(1)函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,
证明如下:令0≤x1(2)g(x)=+log2x-2单调递增,
因为g(1)=1+log21-2=-1<0,g(2)=+log22-2=-1>0,
所以函数g(x)在区间(1,2)内有且只有一个零点,因为g(1.5)=+log21.5-2≈1.225+0.585-2=-0.19<0,
g(1.75)=+log21.75-2≈1.323+0.807-2=0.13>0,
所以函数的零点在区间(1.5,1.75)上,
因为(1.75-1.5)÷2=0.125<0.2,
所以g(x)零点的近似值为1.5.
(函数g(x)的零点近似值取区间[1.5,1.75]中的任意一个数都可以)
应用创新
10.已知函数f(x)=3x+,方程f(x)=0在(-1,+∞)内是否有根 若有根,有几个 请你用二分法求出方程f(x)=0根的近似值.(精确度0.01)
解:方程f(x)=0在(-1,+∞)内有根,
f(x)=3x+=3x+1-,
当x∈(-1,+∞)时,函数f(x)单调递增,
所以若方程f(x)=0有根,则最多有一个根.
因为f(0)=-1<0,f(1)=>0,所以取(0,1)为初始区间,用二分法逐步计算,列出下表:
次 数 a,- b,+ m= f(m)的 近似值 区间长 b-a
1 0 1 0.5 0.732 1
2 0 0.5 0.25 -0.084 0.5
3 0.25 0.5 0.375 0.328 0.25
4 0.25 0.375 0.312 5 0.124 0.125
5 0.25 0.312 5 0.281 25 0.021 0.062 5
6 0.25 0.281 25 0.265 625 -0.032 0.031 25
7 0.265 625 0.281 25 0.273 437 5 -0.005 0.015 625
由于0.015 625÷2=0.007 812 5<0.01.
所以x=0.281 25.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)4.4.2　计算函数零点的二分法
选题明细表
知识点、方法 题号
二分法概念的理解 1,2,5,6
二分法步骤 4,8
二分法的应用 3,7,9,10
基础巩固
1.关于用“二分法”求方程的近似解,下列说法正确的是(　D　)
A.“二分法”求方程的近似解一定可将y=f(x)在[a,b]内的所有零点得到
B.“二分法”求方程的近似解有可能得不到y=f(x)在[a,b]内的零点
C.应用“二分法”求方程的近似解,y=f(x)在[a,b]内有可能无零点
D.“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)=0在[a,b]内的精确解
解析:二分法求零点,则一定有且能求出,故B,C不正确;零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到,故A不正确.故
选D.
2.(2022·江西南昌高一月考)用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是(　C　)
A.x1 B.x2 C.x3 D.x4
解析:观察图象可知点x3的附近两旁的函数值都为负值,因此零点x3不能用二分法求解.故选C.
3.(多选题)某同学求函数f(x)=ln x+2x-6的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示:
f(2)≈-1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈-0.084
f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.562 5)≈0.066
则方程ln x+2x-6=0的近似解(精确度0.1)可取为(　AB　)
A.2.52 B.2.56 C.2.66 D.2.75
解析:由题表数据知f(2.5)≈-0.084,f(2.625)≈0.215,可知方程
ln x+2x-6=0的近似根在(2.5,2.625)内,因此选项A中2.52符合,选项B中2.56也符合.故选AB.
4.某同学在借助题设给出的数据求方程lg x=2-x的近似解(精确度0.1)时,设f(x)=lg x+x-2,得出f(1)<0,且f(2)>0,他用“二分法”取到了4个x的值,计算其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解为x≈1.8,那么他所取的4个值中的第二个值为　　　 .
解析:由区间(1,2)的中点为=1.5知用“二分法”取的第一个值是1.5,由于方程的近似解为x≈1.8,故零点所在区间为(1.5,2),故取的第二个值为=1.75.
答案:1.75
能力提升
5.(多选题)下列函数中,能用二分法求函数零点的有(　ACD　)
A.f(x)=3x-2 B.f(x)=x2-2x+1
C.f(x)=log4x D.f(x)=ex-3
解析:f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,f(1)=0,当x<1时,f(x)>0;当x>1时,
f(x)>0,在零点两侧函数值同号,不能用二分法求零点,其余选项中在函数的零点两侧函数值异号.故选ACD.
6.已知f(x)=x2+6x+c有零点,但不能用二分法求出,则c的值是(　A　)
A.9 B.8 C.7 D.6
解析:f(x)=x2+6x+c有零点,但不能用二分法求出,则x2+6x+c=0有两个相等的实数根,则Δ=36-4c=0,解得c=9.故选A.
7.若函数f(x)=log3x+x-3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如表:
f(2)≈-0.369 1 f(2.5)≈0.334 0
f(2.25)≈-0.011 9 f(2.375)≈0.162 4
f(2.312 5)≈0.075 6 f(2.281 25)≈0.031 9
那么方程log3x+x-3=0的一个近似根(精确度 0.1)为(　C　)
A.2.1 B.2.2 C.2.3 D.2.4
解析:函数f(x)=log3x+x-3为增函数,由参考数据可得f(2.25)·
f(2.375)<0,且|2.375-2.25|÷2=0.062 5<0.1,
所以当精确度为0.1时,可以将2.3作为函数 f(x)=log3x+x-3零点的近似值,即方程log3x+x-3=0根的近似值.故选C.
8.利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如表:
x -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8
y=2x 0.329 9 0.378 9 0.435 3 0.5 0.574 3
y=x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64
x -0.6 -0.4 -0.2 0 …
y=2x 0.659 8 0.757 9 0.870 6 1 …
y=x2 0.36 0.16 0.04 0 …
若方程2x=x2有一个根位于区间(a,a+0.4)(a在表格中第一行里的数据中取值),则a的值为　　 　　　.
解析:令f(x)=2x-x2,
由题表中的数据可得f(-1)<0,f(-0.6)>0;f(-0.8)<0,f(-0.4)>0,
所以根在区间(-1,-0.6)与(-0.8,-0.4)内,
所以a=-1或-0.8.
答案:-1或-0.8
9.已知函数f(x)=.
(1)判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性,并用定义证明;
(2)函数g(x)=f(x)+log2x-2在区间(1,2)内是否有零点 若有零点,用“二分法”求零点的近似值(精确度0.2);若没有零点,说明理由.
(参考数据:≈1.118,≈1.225,≈1.323,log21.25≈0.32,log21.5≈0.585,log21.75≈0.807)
解:(1)函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,
证明如下:令0≤x1即f(x1)(2)g(x)=+log2x-2单调递增,
因为g(1)=1+log21-2=-1<0,g(2)=+log22-2=-1>0,
所以函数g(x)在区间(1,2)内有且只有一个零点,
因为g(1.5)=+log21.5-2≈1.225+0.585-2=-0.19<0,
g(1.75)=+log21.75-2≈1.323+0.807-2=0.13>0,
所以函数的零点在区间(1.5,1.75)上,
因为(1.75-1.5)÷2=0.125<0.2,
所以g(x)零点的近似值为1.5.
(函数g(x)的零点近似值取区间[1.5,1.75]中的任意一个数都可以)
应用创新
10.已知函数f(x)=3x+,方程f(x)=0在(-1,+∞)内是否有根 若有根,有几个 请你用二分法求出方程f(x)=0根的近似值.(精确
度0.01)
解:方程f(x)=0在(-1,+∞)内有根,
f(x)=3x+=3x+1-,
当x∈(-1,+∞)时,函数f(x)单调递增,
所以若方程f(x)=0有根,则最多有一个根.
因为f(0)=-1<0,f(1)=>0,所以取(0,1)为初始区间,用二分法逐步计算,列出下表:
次数 a,- b,+ m= f(m)的 近似值 区间长 b-a
1 0 1 0.5 0.732 1
2 0 0.5 0.25 -0.084 0.5
3 0.25 0.5 0.375 0.328 0.25
4 0.25 0.375 0.312 5 0.124 0.125
5 0.25 0.312 5 0.281 25 0.021 0.062 5
6 0.25 0.281 25 0.265 625 -0.032 0.031 25
7 0.265 625 0.281 25 0.273 437 5 -0.005 0.015 625
由于0.015 625÷2=0.007 812 5<0.01.
所以x=0.281 25.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑