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4.3.3　对数函数的图象与性质
核心知识目标 核心素养目标
1.理解对数函数的概念. 2.掌握对数函数的图象和简单性质. 3.能运用对数函数的图象和性质解决相关问题. 4.了解对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1). 1.通过对数函数的概念及对数函数的图象和简单性质的学习,达成数学抽象、直观想象的核心素养. 2.通过对数函数的概念及对数函数的图象和简单性质的应用,发展逻辑推理、数学运算的核心素养.
1.对数函数的概念
一般地,函数y=logax(x>0,a>0,且a≠1)叫作(以a为底的)对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).
2.对数函数的图象与性质
(1)我们可以借助指数函数图象和性质得到对数函数图象和性质:
定义 y=logax(a>0,且a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域 (0,+∞)
值域 R
单调性 在(0,+∞) 上单调递增 在(0,+∞) 上单调递减
共点性 图象过点(1,0),即loga1=0
函数值 特点 x∈(0,1)时, y∈(-∞,0); x∈[1,+∞)时, y∈[0,+∞) x∈(0,1)时, y∈(0,+∞); x∈[1,+∞)时, y∈(-∞,0]
对称性 函数y=logax与y=lox的图象关于x轴对称
(2)指数函数与对数函数的性质对比列表如下:
函数 指数函数y=ax (a>0,且a≠1) 对数函数y=logax (a>0,且a≠1)
图象
定义域 (-∞,+∞) (0,+∞)
值域 (0,+∞) (-∞,+∞)
图象 经过点 (0,1) (1,0)
单调性 a>1时单调递增;01时单调递增;0(3)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,图象关于直线y=x对称.
1.下列函数是对数函数的是(　D　)
A.y=loga(2x) B.y=log22x
C.y=log2x+1 D.y=lg x
解析:选项A,B,C中的函数都不具有“y=logax(a>0,且a≠1)”的形式,只有D选项符合.故选D.
2.函数f(x)=ln (x-3)的定义域为(　C　)
A.{x|x>-3} B.{x|x>0}
C.{x|x>3} D.{x|x≥3}
解析:由x-3>0 x>3,故定义域为{x|x>3}.故选C.
3.函数f(x)=(m-1)logax(a>0,且a≠1)是对数函数,且过点(4,2),则f(m)=　　　　.
解析:由题意m=2.又2=loga4,故a=2,因此f(x)=log2x.所以f(2)=log22=1.
答案:1
4.若函数f(x)=log(a+1)x在(0,+∞)上单调递增,则a的取值范围为　　　　.
解析:因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以a+1>1,即a>0.
答案:(0,+∞)
　对数函数的概念
[例1] 下列函数表达式中,对数函数有(　　)
①y=logx2;②y=logax(a∈R);③y=log8x;
④y=ln x;⑤y=log3(x+2);⑥y=2log4x;
⑦y=log2(x+1).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:由于①中自变量出现在底数上,所以①不是对数函数;由于②中底数a∈R不能保证a>0,且a≠1,所以②不是对数函数;由于⑤⑦的真数分别为(x+2),(x+1),所以⑤⑦也不是对数函数;由于⑥中log4x的系数为2,所以⑥也不是对数函数;只有③④符合对数函数的定义.故选B.
[即时训练11] (1)若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a=　　　　;
(2)已知对数函数f(x)的图象过点M(8,3),则f()=　　　　.
解析:(1)由题意可知
解得a=4.
(2)设f(x)=logax(a>0,且a≠1),
由图象过点M(8,3),则有3=loga8,解得a=2.
所以对数函数的解析式为f(x)=log2x,
所以f()=log2=-1.
答案:(1)4　(2)-1
判断一个函数是否为对数函数的方法
判断一个函数是对数函数必须是形如y=logax(a>0,且a≠1)的形式,即必须满足以下条件:
①系数为1.
②底数为大于0,且不等于1的常数.
③对数的真数仅有自变量x.
　对数(型)函数的定义域
[例2] 求下列函数的定义域.
(1)y=loga(3-x)+loga(3+x)(a>0,且a≠1);
(2)f(x)=.
解:(1)由得-3所以函数的定义域是{x|-3(2)由题意有解得x>-,且x≠0,
则函数的定义域为(-,0)∪(0,+∞).
[即时训练2-1] 函数f(x)=+lg(5-3x)的定义域是(　　)
A.[0,) B.[0,]
C.[1,) D.[1,]
解析:函数f(x)=+lg(5-3x)的定义域是,即{x|1≤x<}.故选C.
(1)求解含对数式的函数定义域,若自变量在底数和真数上,要保证真数大于0,底数大于0且不等于1.
(2)对数函数y=logax的定义域为(0,+∞).
(3)形如y=logg(x)f(x)的函数,定义域由来确定.
(4)形如y=f(logax)的复合函数在求定义域时,必须保证每一部分都要有意义.
　对数函数的图象
探究角度1　对数(型)函数图象过定点问题
[例3] (2022·四川蓉城高一期中联考)函数f(x)=loga(x-1)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过点(　　)
A.(1,1) B.(2,1)
C.(1,2) D.(2,2)
解析:令x-1=1,则x=2,因此f(2)=1,所以函数f(x)的图象过定点(2,1).故选B.
[即时训练3-1] 若函数f(x)=mloga(x-b)+k的图象恒过定点(3,2),则k=　　　　,b=　　　　.
解析:因为f(x)=mloga(x-b)+k的图象恒过定点(3,2),所以3-b=1,k=2,所以b=2,k=2.
答案:2　2
涉及与对数函数有关的函数图象过定点问题的一般规律是:若f(x)=klogag(x)+b(a>0,且a≠1),且g(m)=1,则f(x)图象过定点P(m,b).
探究角度2　对数(型)函数图象的识别
[例4] 函数y=-lg |x+1|的大致图象为(　　)
解析:法一　函数y=-lg |x+1|的定义域为{x|x≠-1},可排除A,C;当x=1时,y=-lg 2<0,显然只有D符合题意.故选D.
法二　y=-lg |x+1|=
又x∈(-1,+∞)时,y=-lg(x+1)是减函数.故选D.
[即时训练4-1] (1)(2021·河南开封期末)函数y=|lg(x+1)|的图象是(　　)
(2)如图,①②③④中不属于函数y=log2x,y=log0.5x,y=-log3x的一个是(　　)
A.① B.② C.③ D.④
解析:(1)函数的定义域为(-1,+∞),图象与x轴的交点是(0,0).
故选A.
(2)根据函数的图象,函数y=logax(a>0,且a≠1)的底数决定函数的单调性,
当底数a>1时,函数单调递增,当0当底数a>1,x>1时,满足底数越大函数的图象越靠近x轴,
故①对应函数y=log2x的图象,
根据对称性,④对应函数y=log0.5x的图象,
③对应函数y=-log3x的图象,
②与函数的图象相矛盾,故②不符合题意.故选B.
探究角度3　根据图象求解析式中的参数
[例5] 已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数.其中a>0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是(　　)
A.a>1,c>1
B.a>1,0C.01
D.0解析:因为函数单调递减,所以0当x=1时,loga(x+c)=loga(1+c)<0,
即1+c>1,所以c>0,
当x=0时,loga(x+c)=logac>0,
所以0[即时训练5-1] 如图,若C1,C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象,则(　　)
A.0C.a>b>1 D.b>a>1
解析:由对数的性质logaa=1(a>0,且a≠1),画一条直线y=1,如图所示,
由图可知0　对数函数的单调性
探究角度1　利用单调性比较大小
[例6] 比较下列各组数的大小.
(1)lo与lo;
(2)lo3与lo3;
(3)loga2与loga3(a>0,且a≠1).
解:(1)y=lox在(0,+∞)上单调递减,
又因为<,所以lo>lo.
(2)因为在x∈(1,+∞)上,y=lox的图象在y=lox图象的上方,
所以lo3(3)当a>1时,y=logax为增函数,
所以loga2当0所以loga2>loga3.
[即时训练6-1] 比较下列各组数的大小.
(1)loga2.7,loga2.8(a>0,且a≠1);
(2)log34,log65;
(3)log0.37,log97.
解:(1)当a>1时,由函数y=loga x的单调性可知
loga2.7当0loga2.8.
(2)log34>log33=1,log65所以log34>log65.
(3)log0.37log91=0,
所以log0.37比较两个对数值大小的方法
(1)logab与logac型(同底数)
①构造函数y=logax;
②判断b与c的大小关系;
③利用y=logax的单调性比较大小.
(2)logac与logbc型(同真数)
①在同一平面直角坐标系中作y=logax与y=logbx的图象;
②作直线x=c与两图象分别交于A,B两点;
③根据A,B点高低判断对数值的大小.
(3)logab与logcd型(底数不同,真数不同)
①取中间值,通常为1,0,logad或logcb;
②把两个对数值与中间值进行比较;
③利用不等关系的传递性,间接得到对数值的大小关系.
探究角度2　对数不等式的解法
[例7] (1)解不等式log2(x+1)>log2(1-x);
(2)若loga<1,求实数a的取值范围.
解:(1)原不等式等价于
解得0所以原不等式的解集为(0,1).
(2)若a>1,则loga<1=loga a,所以a>1.
若0所以0综上所述,实数a的取值范围是(0,)∪(1,+∞).
[变式训练7-1] 将本例(1)改为loga(x+1)>loga(1-x),求x的集合.
解:当a>1时,得解集为(0,1).
当0(1)loga f(x)1与不等式组同解.
(2)loga f(x)(3)特别地:当底数的取值范围不确定时,通常需要对底数按a>1及0探究角度3　复合型对数函数单调性
[例8] 求函数f(x)=loga(2x2-3x-2)的单调区间.
解:由2x2-3x-2>0得函数f(x)的定义域为{x|x>2或x<-}.
当a>1时,y=logat为增函数,t=2x2-3x-2在(2,+∞)上单调递增,在(-∞,-)上单调递减,所以f(x)在(2,+∞)上单调递增,在(-∞,-)上单调递减;
当0综上可知,当a>1时,f(x)的单调递增区间为(2,+∞),单调递减区间为(-∞,-);
当0[即时训练8-1] 求函数f(x)=log2(x2-1)的单调区间.
解:令x2-1>0,所以x>1或x<-1.
设u=x2-1,当x>1时,u=x2-1单调递增.
a=2>1,
所以f(x)=log2(x2-1)的单调递增区间为(1,+∞).
当x<-1时,u=x2-1单调递减.
f(x)=log2(x2-1)的单调递减区间为(-∞,-1).
解决对数型复合函数单调性问题的思路
(1)对数型复合函数一般可以分为两类:一类是外层函数为对数函数,即y=logaf(x)型;另一类是内层函数为对数函数,即y=f(logax)型.
①对于y=logaf(x)型复合函数的单调性,有以下结论:函数y=logaf(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时相同,在0②研究y=f(logax)型复合函数的单调性,一般用换元法,即令t=logax,则只需研究t=logax及y=f(t)的单调性即可.
(2)研究对数型复合函数的单调性,一定要注意先研究函数的定义域,也就是要坚持“定义域优先”的原则.
　指数函数与对数函数的关系
[例9] (1)函数y=log3x的反函数为y=f(x),则f(2)等于(　　)
A.9 B.18 C.32 D.36
(2)若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(x)的图象经过点(,),则a等于(　　)
A.2 B. C. D.
解析:(1)因为函数y=log3x的反函数为y=f(x),所以f(x)=3x,所以f(2)=32=9.故选A.
(2)依题意,点(,)在函数y=ax的反函数的图象上,
则点(,)在函数y=ax的图象上,得=,
解得a=.故选B.
[即时训练9-1] 若点(2,)既在f(x)=2ax+b的图象上,又在其反函数的图象上,则a+b=　　　　.
解析:由题意知(2,),(,2)均在函数f(x)=2ax+b的图象上,故有解得
所以a+b=-+=.
答案:
(1)指数函数与对数函数的关系
同底数的指数函数与对数函数互为反函数.
(2)应用反函数的性质时涉及的知识点
①互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称;
②函数y=f(x)的图象过点(a,b)是y=f(x)的反函数的图象过点(b,a)的充要条件;
③互为反函数的两函数的单调性相同;
④反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域.
[例1]下列函数是对数函数的个数是(　　)
①y=logax;②y=lg x;③y=ln |x|;④y=log2x2.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①中没有说明a的取值范围,因此不一定是对数函数;②是对数函数,该函数的底数是10,自变量为x,且定义域为(0,+∞);③中函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因此不是对数函数;④中y=log2x2可由对数的运算性质化为y=log2|x|,因此不是对数函数.故只有②是对数函数.故选A.
[例2] 已知函数f(x)=loga(x+b)的图象如图,则ab等于(　　)
A.-6 B.-8 C.6 D.8
解析:f(x)=loga(x+b)过(0,2)和(-3,0),
故
因为a>0且a≠1,
所以故ab=8.
故选D.
[例3] 函数f(x)=ax-2+loga(x-1)+1(a>0,a≠1)的图象必经过点　　　　.
解析:当x=2时,f(2)=a0+loga1+1=2,所以图象必经过点(2,2).
答案:(2,2)
[例4] 比较下列各组数的大小.
(1)lo0.2与log20.8;
(2)log43与log0.250.5;
(3)log3与log5;
(4)log1.11.7与log0.21.7.
解:(1)lo0.2=lo=log25.
因为y=log2x在(0,+∞)上是增函数,所以log25>log20.8.
所以lo0.2>log20.8.
(2)因为log0.250.5=lo=log42所以log0.250.5(3)log3=log32-log33=log32-1,log5=log56-1.
因为log56>log33=1>log32,
所以log56>log32,所以log3 2-1所以log3(4)因为log1.11.7>log1.11=0,
log0.21.7所以log1.11.7>0,log0.21.7<0.
所以log1.11.7>log0.21.7.
1.函数f(x)=-lg(x-1)的定义域为(　A　)
A.(1,3] B.(3,+∞)
C.(-∞,3] D.(1,+∞)
解析:由题意可得解得12.(多选题)下列各组大小的比较,正确的是(　AC　)
A.log0.33>log0.35 B.log70.5>0
C.ln 3解析:由于log70.5又log23>log22=1,log43故log23>log43,故D不正确.故选AC.
3.如图所示的曲线是对数函数y=loga x,y=logb x,y=logc x,y=logd x的图象,则a,b,c,d与1的大小关系为　　　　.
解析:由题图可知函数y=loga x,y=logb x的底数a>1,b>1,函数y=logc x,y=logd x的底数0过点(0,1)作平行于x轴的直线l(图略),则直线l与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c,d,a,b,显然b>a>1>d>c>0.
答案:b>a>1>d>c
4.函数y=lo(2x+1)的值域为　　　　.
解析:因为2x+1>1,函数y=lox是(0,+∞)上的减函数,
所以lo(2x+1)< lo1=0,即所求函数的值域为(-∞,0).
答案:(-∞,0)
选题明细表
知识点、方法 题号
对数函数的概念 1,6,11
对数函数的图象 2,8,12,13,14
对数函数的性质 3,4,5,7,9,10
基础巩固
1.函数f(x)=ln(x+2)+的定义域为(　B　)
A.(2,+∞) B.(-2,2)
C.(-∞,-2) D.(-∞,2)
解析:由题意可知解得-22.已知f(x)=a-x,g(x)=logax,且f(2)·g(2)>0,则函数f(x)与g(x)的图象是(　D　)
解析:因为f(2)·g(2)>0,所以a>1,
所以f(x)=a-x与g(x)=logax在其定义域上分别是减函数与增函数.故选D.
3.若logm2A.0C.0解析:因为logm2所以<<0,所以lg n得04.a=loπ,b=log3π,c=log4π,则(　A　)
A.aC.a解析:由已知a=loπ0,c=log4π=>0,因为logπ3,即b>c.综合得a5.已知函数f(x)=log(2a-1)(x2-1)在区间(2,+∞)上是减函数,则a的取值范围是(　B　)
A.0C.01
解析:y=x2-1在区间(2,+∞)上是增函数,所以2a-1∈(0,1)时,函数f(x)=log(2a-1)(x2-1)在区间(2,+∞)上是减函数,
所以6.已知f(x)为对数函数,f()=-2,则f()=　　　　.
解析:设f(x)=logax(a>0,且a≠1),
则loga=-2,
所以=,即a=,所以f(x)=lox,
所以f()=lo =log2()2=log2=.
答案:
能力提升
7.已知函数f(x)=log2(1+4x)-x,则下列说法正确的是(　D　)
A.函数f(x)在(-∞,0]上为增函数
B.函数f(x)的值域为R
C.函数f(x)是奇函数
D.函数f(x)是偶函数
解析:根据题意,函数f(x)=log2(1+4x)-x,其定义域为R,有f(-x)=log2(1+)+x=log2(1+4x)-x=f(x),所以函数f(x)是偶函数,则D正确,C错误;对于A,f(-1)=log2>1=f(0),f(x)不是增函数,A错误;对于B,f(x)=log2(1+4x)-x=log2(+2x),设t=+2x≥2,当且仅当x=0时,等号成立,则t的最小值为2,故f(x)≥log22=1,即函数的值域为[1,+∞),B错误.故选D.
8.函数f(x)=|log4x|的大致图象是(　A　)
解析:先作出函数f(x)=log4x的图象,然后把x轴下方的图象翻到x轴上方即得函数f(x)=|log4x|的图象.故选A.
9.已知等式log2m=log3n,m,n∈(0,+∞)成立,那么下列结论:①m=n;②nA.①② B.①②⑤
C.③④ D.④⑤
解析:当m=n=1时,有log2m=log3n,故①可能成立;当m=,n=时,有log2m=log3n=-2,故②可能成立;当m=4,n=9时,有log2m=log3n=2,此时110.已知奇函数f(x)是R上的增函数.若a=-f(log2),b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为(　C　)
A.aC.c解析:由题意a=f(-log2)=f(log25),
且log25>log24.1>2,1<20.8<2,
所以log25>log24.1>20.8,
结合函数的单调性有f(log25)>f(log24.1)>f(20.8),即a>b>c.故选C.
11.设函数f(x)=log3(9x)·log3(3x),且≤x≤9;
(1)求f(3)的值.
(2)令t=log3x,将f(x)表示成以t为自变量的函数;并由此,求函数f(x)的最大值与最小值及与之对应的x的值.
解:(1)因为函数f(x)=log3(9x)·log3(3x),且≤x≤9,故f(3)=log327×log39=3×2=6.
(2)令t=log3x,≤x≤9,则-2≤t≤2,
且f(x)=(log3x+2)(1+log3x)=t2+3t+2,
令g(t)=t2+3t+2=(t+)2-,t∈[-2,2],
故当t=-时,函数g(t)取得最小值为-,即函数f(x)的最小值为-,此时求得x==;
当t=2时,函数g(t)取得最大值为12,即函数f(x)的最大值为12,此时求得x=9.
应用创新
12.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是(　A　)
A.0C.0解析:令g(x)=2x+b-1,则g(x)为增函数,又由f(x)的图象可知函数y=logag(x)是增函数,所以必有a>1.
由f(x)的图象知图象与y轴交点的纵坐标介于-1和0之间,
即-1所以-1故a-1因此013.已知函数f(x)=|log2x|,正实数m,n满足m解析:根据题意并结合函数
f(x)=|log2x|的图象知,
0所以0根据函数图象易知,
当x=m2时函数f(x)取得最大值,
所以f(m2)=|log2m2|=2.
又0解得m=.
再结合f(m)=f(n)求得n=2,所以n+m=.
答案:
14.已知f(x)=ln(ex+a)是定义域为R的奇函数,g(x)=λf(x).
(1)求实数a的值;
(2)若g(x)≤xlog2x在x∈[2,3]上恒成立,求λ的取值范围.
解:(1)函数f(x)=ln(ex+a)是定义域为R的奇函数,
则f(0)=0,即ln(1+a)=0,解得a=0,
故函数f(x)=ln ex=x.
显然有f(-x)=-f(x),函数f(x)=x是奇函数,满足条件,所以a=0.
(2)由(1)知f(x)=x,g(x)=λx,则λx≤xlog2x在x∈[2,3]上恒成立,即λ≤log2x在x∈[2,3]上恒成立,
因为函数y=log2x在x∈[2,3]上单调递增,最小值为log22=1,
所以λ≤1,即λ的取值范围为(-∞,1].
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4.3.3　对数函数的图象与性质
核心知识目标 核心素养目标
1.理解对数函数的概念.
2.掌握对数函数的图象和简单性质.
3.能运用对数函数的图象和性质解决相关问题.
4.了解对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1). 1.通过对数函数的概念及对数函数的图象和简单性质的学习,达成数学抽象、直观想象的核心素养.
2.通过对数函数的概念及对数函数的图象和简单性质的应用,发展逻辑推理、数学运算的核心素养.
知识探究·素养启迪
1.对数函数的概念
一般地,函数 叫作(以a为底的)对数函数,其中x是自变量,定义域是 .
知识探究
y=logax(x>0,a>0,且a≠1)
(0,+∞)
2.对数函数的图象与性质
(1)我们可以借助指数函数图象和性质得到对数函数图象和性质:
定义 y=logax(a>0,且a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域 .
值域 R
单调性 在(0,+∞)上单调递增 在(0,+∞)上单调递减
(0,+∞)
(1,0)
(-∞,0)
[0,+∞)
(0,+∞)
(-∞,0]
x轴
(2)指数函数与对数函数的性质对比列表如下:
函数 指数函数y=ax(a>0,且a≠1) 对数函数y=logax(a>0,且a≠1)
图象
定义域 (-∞,+∞) (0,+∞)
值域 (0,+∞) (-∞,+∞)
图象经过点 (0,1) (1,0)
单调性 a>1时单调递增;01时单调递增;0递减
(3)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,且a≠1)互为反函
数,图象关于直线y=x对称.
小试身手
D
1.下列函数是对数函数的是(　 　)
A.y=loga(2x) B.y=log22x
C.y=log2x+1 D.y=lg x
解析:选项A,B,C中的函数都不具有“y=logax(a>0,且a≠1)”的形式,只有D选项符合.故选D.
2.函数f(x)=ln (x-3)的定义域为(　 　)
A.{x|x>-3} B.{x|x>0}
C.{x|x>3} D.{x|x≥3}
C
解析:由x-3>0 x>3,故定义域为{x|x>3}.故选C.
解析:由题意m=2.又2=loga4,故a=2,因此f(x)=log2x.所以f(2)=log22=1.
3.函数f(x)=(m-1)logax(a>0,且a≠1)是对数函数,且过点(4,2),则f(m)=
　　　 　.
答案:1
解析:因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以a+1>1,即a>0.
4.若函数f(x)=log(a+1)x在(0,+∞)上单调递增,则a的取值范围为　　　　.
答案:(0,+∞)
课堂探究·素养培育
[例1] 下列函数表达式中,对数函数有(　　)
①y=logx2;②y=logax(a∈R);③y=log8x;④y=ln x;⑤y=log3(x+2);
⑥y=2log4x;⑦y=log2(x+1).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
探究点一
对数函数的概念
解析:由于①中自变量出现在底数上,所以①不是对数函数;由于②中底数a∈R不能保证a>0,且a≠1,所以②不是对数函数;由于⑤⑦的真数分别为(x+2),(x+1),所以⑤⑦也不是对数函数;由于⑥中log4x的系数为2,所以⑥也不是对数函数;只有③④符合对数函数的定义.故选B.
[即时训练1-1] (1)若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a=
　　　　;
答案:(1)4
答案:(2)-1
方法总结
判断一个函数是否为对数函数的方法
判断一个函数是对数函数必须是形如y=logax(a>0,且a≠1)的形式,即必须满足以下条件:
①系数为1.
②底数为大于0,且不等于1的常数.
③对数的真数仅有自变量x.
[例2] 求下列函数的定义域.
探究点二
对数(型)函数的定义域
(1)y=loga(3-x)+loga(3+x)(a>0,且a≠1);
方法总结
(1)求解含对数式的函数定义域,若自变量在底数和真数上,要保证真数大于0,底数大于0且不等于1.
(2)对数函数y=logax的定义域为(0,+∞).
(4)形如y=f(logax)的复合函数在求定义域时,必须保证每一部分都要有
意义.
探究点三
对数函数的图象
探究角度1　对数(型)函数图象过定点问题
[例3] (2022·四川蓉城高一期中联考)函数f(x)=loga(x-1)+1(a>0,且a≠
1)的图象恒过点(　　)
A.(1,1) B.(2,1)
C.(1,2) D.(2,2)
解析:令x-1=1,则x=2,因此f(2)=1,所以函数f(x)的图象过定点(2,1).故选B.
[即时训练3-1] 若函数f(x)=mloga(x-b)+k的图象恒过定点(3,2),则k=
　　 　　,b=　　　 　.
解析:因为f(x)=mloga(x-b)+k的图象恒过定点(3,2),所以3-b=1,k=2,所以b=2,k=2.
答案:2　2
方法总结
涉及与对数函数有关的函数图象过定点问题的一般规律是:若f(x)=
klogag(x)+b(a>0,且a≠1),且g(m)=1,则f(x)图象过定点P(m,b).
探究角度2　对数(型)函数图象的识别
[例4] 函数y=-lg |x+1|的大致图象为(　　)
解析:法一　函数y=-lg |x+1|的定义域为{x|x≠-1},可排除A,C;当x=1时,y=-lg 2<0,显然只有D符合题意.故选D.
[即时训练4-1] (1)(2021·河南开封期末)函数y=|lg(x+1)|的图象是
(　　)
解析:(1)函数的定义域为(-1,+∞),图象与x轴的交点是(0,0).故选A.
(2)如图,①②③④中不属于函数y=log2x,y=log0.5x,y=-log3x的一个是
(　　)
A.① B.② C.③ D.④
解析:(2)根据函数的图象,函数y=logax(a>0,且a≠1)的底数决定函数的单调性,
当底数a>1时,函数单调递增,当0当底数a>1,x>1时,满足底数越大函数的图象越靠近x轴,
故①对应函数y=log2x的图象,
根据对称性,④对应函数y=log0.5x的图象,
③对应函数y=-log3x的图象,
②与函数的图象相矛盾,故②不符合题意.故选B.
探究角度3　根据图象求解析式中的参数
[例5] 已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数.其中a>0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是(　　)
A.a>1,c>1 B.a>1,0C.01 D.0解析:因为函数单调递减,所以0当x=1时,loga(x+c)=loga(1+c)<0,
即1+c>1,所以c>0,
当x=0时,loga(x+c)=logac>0,
所以0[即时训练5-1] 如图,若C1,C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象,则
(　　)
A.0C.a>b>1 D.b>a>1
解析:由对数的性质logaa=1(a>0,且a≠1),画一条直线y=1,如图所示,
由图可知0探究点四
对数函数的单调性
探究角度1　利用单调性比较大小
[例6] 比较下列各组数的大小.
[例6] 比较下列各组数的大小.
(3)loga2与loga3(a>0,且a≠1).
解:(3)当a>1时,y=logax为增函数,所以loga2当0loga3.
[即时训练6-1] 比较下列各组数的大小.
(2)log34,log65;
解:(2)log34>log33=1,log65log65.
(1)loga2.7,loga2.8(a>0,且a≠1);
解:(1)当a>1时,由函数y=loga x的单调性可知loga2.7当0loga2.8.
(3)log0.37,log97.
解:(3)log0.37log91=0,所以log0.37方法总结
比较两个对数值大小的方法
(1)logab与logac型(同底数)
①构造函数y=logax;
②判断b与c的大小关系;
③利用y=logax的单调性比较大小.
(2)logac与logbc型(同真数)
①在同一平面直角坐标系中作y=logax与y=logbx的图象;
②作直线x=c与两图象分别交于A,B两点;
③根据A,B点高低判断对数值的大小.
(3)logab与logcd型(底数不同,真数不同)
①取中间值,通常为1,0,logad或logcb;
②把两个对数值与中间值进行比较;
③利用不等关系的传递性,间接得到对数值的大小关系.
探究角度2　对数不等式的解法
[例7] (1)解不等式log2(x+1)>log2(1-x);
[变式训练7-1] 将本例(1)改为loga(x+1)>loga(1-x),求x的集合.
方法总结
(3)特别地:当底数的取值范围不确定时,通常需要对底数按a>1及0探究角度3　复合型对数函数单调性
[例8] 求函数f(x)=loga(2x2-3x-2)的单调区间.
[即时训练8-1] 求函数f(x)=log2(x2-1)的单调区间.
解:令x2-1>0,所以x>1或x<-1.
设u=x2-1,当x>1时,u=x2-1单调递增.
a=2>1,
所以f(x)=log2(x2-1)的单调递增区间为(1,+∞).
当x<-1时,u=x2-1单调递减.
f(x)=log2(x2-1)的单调递减区间为(-∞,-1).
方法总结
解决对数型复合函数单调性问题的思路
(1)对数型复合函数一般可以分为两类:一类是外层函数为对数函数,即y=logaf(x)型;另一类是内层函数为对数函数,即y=f(logax)型.
①对于y=logaf(x)型复合函数的单调性,有以下结论:函数y=logaf(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时相同,在0②研究y=f(logax)型复合函数的单调性,一般用换元法,即令t=logax,则只需研究t=logax及y=f(t)的单调性即可.
(2)研究对数型复合函数的单调性,一定要注意先研究函数的定义域,也就是要坚持“定义域优先”的原则.
探究点五
指数函数与对数函数的关系
[例9] (1)函数y=log3x的反函数为y=f(x),则f(2)等于(　　)
A.9 B.18 C.32 D.36
解析:(1)因为函数y=log3x的反函数为y=f(x),所以f(x)=3x,
所以f(2)=32=9.故选A.
方法总结
(1)指数函数与对数函数的关系
同底数的指数函数与对数函数互为反函数.
(2)应用反函数的性质时涉及的知识点
①互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称;
②函数y=f(x)的图象过点(a,b)是y=f(x)的反函数的图象过点(b,a)的充要条件;
③互为反函数的两函数的单调性相同;
④反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域.
备用例题
[例1]下列函数是对数函数的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
[例2] 已知函数f(x)=loga(x+b)的图象如图,则ab等于(　　)
A.-6 B.-8 C.6 D.8
[例3] 函数f(x)=ax-2+loga(x-1)+1(a>0,a≠1)的图象必经过点　　　　.
解析:当x=2时,f(2)=a0+loga1+1=2,所以图象必经过点(2,2).
答案:(2,2)
[例4] 比较下列各组数的大小.
[例4] 比较下列各组数的大小.
(2)log43与log0.250.5;
[例4] 比较下列各组数的大小.
(4)log1.11.7与log0.21.7.
解:(4)因为log1.11.7>log1.11=0,
log0.21.7所以log1.11.7>0,log0.21.7<0.
所以log1.11.7>log0.21.7.
课堂达标
A
A.(1,3] B.(3,+∞)
C.(-∞,3] D.(1,+∞)
AC
2.(多选题)下列各组大小的比较,正确的是(　 　)
A.log0.33>log0.35 B.log70.5>0
C.ln 3解析:由于log70.5又log23>log22=1,log43故log23>log43,故D不正确.故选AC.
3.如图所示的曲线是对数函数y=loga x,y=logb x,y=logc x,y=logd x的图象,则a,b,c,d与1的大小关系为　　　　.
解析:由题图可知函数y=loga x,y=logb x的底数a>1,b>1,函数y=logc x,
y=logd x的底数0过点(0,1)作平行于x轴的直线l(图略),则直线l与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c,d,a,b,显然b>a>1>d>c>0.
答案:b>a>1>d>c
答案:(-∞,0)4.3.3　对数函数的图象与性质
选题明细表
知识点、方法 题号
对数函数的概念 1,6,11
对数函数的图象 2,8,12,13,14
对数函数的性质 3,4,5,7,9,10
基础巩固
1.函数f(x)=ln(x+2)+的定义域为(　B　)
A.(2,+∞) B.(-2,2)
C.(-∞,-2) D.(-∞,2)
解析:由题意可知解得-22.已知f(x)=a-x,g(x)=logax,且f(2)·g(2)>0,则函数f(x)与g(x)的图象是(　D　)
解析:因为f(2)·g(2)>0,所以a>1,
所以f(x)=a-x与g(x)=logax在其定义域上分别是减函数与增函数.故选D.
3.若logm2A.0C.0解析:因为logm2所以<<0,所以lg n得04.a=loπ,b=log3π,c=log4π,则(　A　)
A.aC.a解析:由已知a=loπ0,c=log4π=>
0,因为logπ3,即b>c.综合得a5.已知函数f(x)=log(2a-1)(x2-1)在区间(2,+∞)上是减函数,则a的取值范围是(　B　)
A.0C.01
解析:y=x2-1在区间(2,+∞)上是增函数,所以2a-1∈(0,1)时,函数f(x)=log(2a-1)(x2-1)在区间(2,+∞)上是减函数,所以6.已知f(x)为对数函数,f()=-2,则f()=　　 　　.
解析:设f(x)=logax(a>0,且a≠1),
则loga=-2,
所以=,即a=,所以f(x)=lox,
所以f()=lo =log2()2=log2=.
答案:
能力提升
7.已知函数f(x)=log2(1+4x)-x,则下列说法正确的是(　D　)
A.函数f(x)在(-∞,0]上为增函数
B.函数f(x)的值域为R
C.函数f(x)是奇函数
D.函数f(x)是偶函数
解析:根据题意,函数f(x)=log2(1+4x)-x,其定义域为R,有f(-x)=
log2(1+)+x=log2(1+4x)-x=f(x),所以函数f(x)是偶函数,则D正确,
C错误;对于A,f(-1)=log2>1=f(0),f(x)不是增函数,A错误;对于B,
f(x)=log2(1+4x)-x=log2(+2x),设t=+2x≥2,当且仅当x=0时,等号成立,则t的最小值为2,故f(x)≥log22=1,即函数的值域为[1,+∞),
B错误.故选D.
8.函数f(x)=|log4x|的大致图象是(　A　)
解析:先作出函数f(x)=log4x的图象,然后把x轴下方的图象翻到x轴上方即得函数f(x)=|log4x|的图象.故选A.
9.已知等式log2m=log3n,m,n∈(0,+∞)成立,那么下列结论:①m=n;②nA.①② B.①②⑤
C.③④ D.④⑤
解析:当m=n=1时,有log2m=log3n,故①可能成立;当m=,n=时,有log2m=log3n=-2,故②可能成立;当m=4,n=9时,有log2m=log3n=2,此时110.已知奇函数f(x)是R上的增函数.若a=-f(log2),b=f(log24.1),
c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为(　C　)
A.aC.c解析:由题意a=f(-log2)=f(log25),
且log25>log24.1>2,1<20.8<2,
所以log25>log24.1>20.8,
结合函数的单调性有f(log25)>f(log24.1)>f(20.8),即a>b>c.故选C.
11.设函数f(x)=log3(9x)·log3(3x),且≤x≤9;
(1)求f(3)的值.
(2)令t=log3x,将f(x)表示成以t为自变量的函数;并由此,求函数f(x)的最大值与最小值及与之对应的x的值.
解:(1)因为函数f(x)=log3(9x)·log3(3x),且≤x≤9,
故f(3)=log327×log39=3×2=6.
(2)令t=log3x,≤x≤9,则-2≤t≤2,
且f(x)=(log3x+2)(1+log3x)=t2+3t+2,
令g(t)=t2+3t+2=(t+)2-,t∈[-2,2],
故当t=-时,函数g(t)取得最小值为-,即函数f(x)的最小值为-,此时求得x==;
当t=2时,函数g(t)取得最大值为12,即函数f(x)的最大值为12,此时求得x=9.
应用创新
12.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则a,
b满足的关系是(　A　)
A.0C.0解析:令g(x)=2x+b-1,则g(x)为增函数,又由f(x)的图象可知函数y=logag(x)是增函数,所以必有a>1.
由f(x)的图象知图象与y轴交点的纵坐标介于-1和0之间,
即-1所以-1故a-1因此013.已知函数f(x)=|log2x|,正实数m,n满足m解析:根据题意并结合函数f(x)=|log2x|的图象知,
0所以0根据函数图象易知,
当x=m2时函数f(x)取得最大值,
所以f(m2)=|log2m2|=2.
又0解得m=.
再结合f(m)=f(n)求得n=2,所以n+m=.
答案:
14.已知f(x)=ln(ex+a)是定义域为R的奇函数,g(x)=λf(x).
(1)求实数a的值;
(2)若g(x)≤xlog2x在x∈[2,3]上恒成立,求λ的取值范围.
解:(1)函数f(x)=ln(ex+a)是定义域为R的奇函数,
则f(0)=0,即ln(1+a)=0,解得a=0,
故函数f(x)=ln ex=x.
显然有f(-x)=-f(x),函数f(x)=x是奇函数,满足条件,所以a=0.
(2)由(1)知f(x)=x,g(x)=λx,则λx≤xlog2x在x∈[2,3]上恒成立,即λ≤log2x在x∈[2,3]上恒成立,
因为函数y=log2x在x∈[2,3]上单调递增,最小值为log22=1,
所以λ≤1,即λ的取值范围为(-∞,1].
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