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(共41张PPT)
4.5　函数模型及其应用
4.5.1　几种函数增长快慢的比较
4.5.2　形形色色的函数模型
核心知识目标 核心素养目标
1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义.
2.会利用已知函数模型解决实际
问题.
3.能建立函数模型解决实际问题. 通过对函数模型的应用的学习,提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
知识探究·素养启迪
1.几种函数增长快慢的比较
知识探究
增
　　函数
性质　　　　 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xα(α>0)
在(0,+∞)
上的单调性 函数 函数 增函数
增长的速度 先慢后快 先快后慢 相对平稳
图象的变化 随着x的增大逐渐加快增大 随着x的增大逐渐减慢增大 随α值的不同而不同
增
注意:在区间(0,+∞)上,a>1,α>0,总会存在一个x0,当x>x0时,就有logax<
xα2.常见函数模型
3.数学建模的步骤
(1)正确理解并简化实际问题:了解问题的实际背景,明确其实际意义,掌握对象的各种信息.根据实际对象的特征和建模的目的,对问题进行必要的简化,并用精确的语言提出一些恰当的假设.
(2)建立数学模型:在上述基础上,利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系,建立相应的数学结构.
(3)求得数学问题的解.
(4)将求解时分析计算的结果与实际情形进行比较,验证模型的准确性、合理性和适用性.
小试身手
C
1.下表显示了函数值y随自变量x变化的一组数据,由此可判断它最可能符合的函数模型为(　 　)
解析:题表中数据体现爆炸式增长,符合的函数模型为指数函数模型.
故选C.
A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.指数函数模型 D.对数函数模型
2.某种动物繁殖的数量y(单位:只)与时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+
1),设这种动物第1年有100只,到第7年它们发展到(　 　)
A.300只 B.400只 C.500只 D.600只
解析:由已知第1年有100只,得a=100.将a=100,x=7代入y=alog2(x+1),得y=300.故选A.
A
3.2020年我国人口总数约为14亿,如果人口的自然年增长率控制在1.25%,则预计　　 　年我国人口将首次超过20亿(lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,
lg 7≈0.845 1).
答案:2 049
课堂探究·素养培育
[例1] 四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表:
探究点一
函数模型的增长差异
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 37 768 1.05
×106 3.36
×107 1.07
×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数型函数变化的变量是　　 　　.
解析:以爆炸式增长的变量呈指数型函数变化.从题表中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,因此可知y2关于x呈指数型函数变化.
答案:y2
[即时训练1-1] 今有一组实验数据如表:
解析:从题表中看到此函数为增函数,排除B,增长速度越来越快,排除A和D.故选C.
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
v 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是(　　)
方法总结
常见的函数模型及增长特点
(1)一次函数模型
一次函数模型y=ax+b(a>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.
(2)指数函数模型
指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型
对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.
(4)幂函数模型
幂函数y=xα(α>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.
探究点二
利用已知函数模型解决实际问题
(1)若x0=5,候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量为多少个单位
(2)若雄鸟的飞行速度为1.5 km/min,雌鸟的飞行速度为1 km/min,那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍 (lg 2≈0.3)
方法总结
已知函数模型解决实际问题,往往给出的函数解析式含有参数,需要将题中的数据代入函数模型,求得函数模型中的参数,再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值.
探究点三
自建确定性函数模型解决实际问题
(1)求p%的值;
(2)到今天为止,工厂已经开采了几天
(3)今后最多还能再开采多少天
(1)求每年砍伐面积的百分比;
(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年
(3)今后最多还能砍伐多少年
方法总结
自建确定性函数模型时主要抓住四个关键:“求什么,设什么,列什么,限制什么”.
(1)求什么就是弄清楚要解决什么问题,完成什么任务.
(2)设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素,谁是核心因素,通常设核心因素为自变量.
(3)列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来,可以是方程、函数、不等式等.
(4)限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件,在实际问题中,除了要使函数式有意义外,还要考虑变量的实际含义,如人不能是半个等.
探究点四
函数模型的选取
(1)试判断哪个函数模型更合适,说明理由,并求出该模型的解析式;
(2)在理想状态下,至少经过多久培养基中菌落面积能超过200mm2 (计算结果保留到整数)
[即时训练4-1] 某企业常年生产一种出口产品,近年来,该产品的产量平稳增长.记2017年为第1年,且前4年中,第x年与年产量f(x)(单位:万件)之间的关系如表所示:
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后选取2017年和2019年的数据求出相应的解析式.
方法总结
(1)此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型,也就是借助数据信息,得到相关方程,进而求出待定参数.
(2)函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容,解题的关键在于通过对已知数据的分析,得出重要信息,根据解题积累的经验,从已有的各类型函数中选择模型,进行数据的拟合.
备用例题
[例1] 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全,根据国家有关规定:100 mL血液中酒精含量达到20～79 mg的驾驶员即为酒后驾车,
80 mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到1 mg/mL.如果在停止喝酒以后,他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少,那么他至少经过　　 　　小时才能驾驶汽车.(注:不足1小时,按1小时计算,如计算结果为7.3,就答8小时)
参考数据:lg 0.2≈-0.699,lg 0.3≈-0.523,lg 0.6≈-0.222,lg 0.7≈
-0.155.
答案:5
x/天 10 20 25 30
Q(x)/件 110 120 125 120
已知第10天的日销售收入为121(百元).
(1)求k的值;
x/天 10 20 25 30
Q(x)/件 110 120 125 120
已知第10天的日销售收入为121(百元).
(2)给出以下四种函数模型:
①Q(x)=ax+b,②Q(x)=a|x-25|+b,③Q(x)=a·bx,④Q(x)=a·logbx.
请你根据表中的数据,从中选择你的一种函数来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系,并求出该函数的解析式.
解:(2)由表中的数据知,当时间变化时,日销售量有增有减并不单调,故只能选②Q(x)=a|x-25|+b.从表中任意取两组值代入可求得Q(x)=125-|x-25|(1≤x≤30,x∈N*).
x/天 10 20 25 30
Q(x)/件 110 120 125 120
已知第10天的日销售收入为121(百元).
(3)求该服装的日销售收入f(x)(百元)的最小值.
课堂达标
B
1.某研究所对人体在成长过程中,年龄与身高的关系进行研究,根据统计,从1岁到16岁的年龄x(单位:岁)与身高y(单位:米)的图象如图所示,则该关系较适宜的函数模型为(　 　)
A.y=ax+b B.y=a+logbx
C.y=a·bx D.y=ax2+b
解析:根据图象可知,较适宜的函数模型为y=a+logbx.故选B.
C
2.溶液的酸碱度是通过pH来表示的,已知某溶液的pH等于-lg c(H+),其中c(H+)表示该溶液中氢离子的浓度,若某溶液氢离子的浓度为10-6 mol/L,则该溶液的pH为(　 　)
A.4 B.5 C.6 D.7
解析:由题意可得该溶液的pH为-lg 10-6=6.故选C.
答案:e6-1
4.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为
8万元时,奖励1万元.销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为　　 万元.
答案:1 0244.5　函数模型及其应用
4.5.1　几种函数增长快慢的比较
4.5.2　形形色色的函数模型
选题明细表
知识点、方法 题号
利用已知函数模型解决问题 2,3,4,6,8
自建函数模型解决问题 1,5,9
函数模型综合应用 7,10,11
基础巩固
1.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是(　D　)
解析:设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意知,ax=a(1+0.104)y,故y=log1.104x(x≥1),所以y=f(x)的图象大致为D中图象.故选D.
2.(2021·四川泸州月考)尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家们通过研究,已经对地震有所了解.例如,地震释放出的能量E(单位:焦耳)与地震级数M之间的关系式为lg E=4.8+1.5M.若某次地震释放出的能量是另一次地震释放出的能量的300倍,则两次地震的震级数大约相差(参考数据:lg 3≈0.5)(　B　)
A.0.5 B.1.7 C.2 D.2.5
解析:设某次地震释放出的能量为E2,另一次为E1,
某次地震级数为M2,另一次为M1,
故E2=300E1,
代入关系式lg E=4.8+1.5M可得,
故lg E2-lg E1=1.5(M2-M1),
即lg=1.5(M2-M1),
因为E2=300E1,
所以1.5(M2-M1)=lg 300=lg 3+lg 100=lg 3+2≈2.5,
所以M2-M1≈≈1.7.故选B.
3.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是64小时,在18 ℃的保鲜时间是16小时,则该食品在36 ℃的保鲜时间是(　A　)
A.4小时 B.8小时
C.16小时 D.32小时
解析:因为该食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(k,b是常数).该食品在0 ℃的保鲜时间是64小时,在18 ℃ 的保鲜时间是16小时,所以解得e18k=,所以该食品在36 ℃的保鲜时间y=e36k+b=(e18k)2·eb=()2×64=4.故选A.
4.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,
T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加
1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　B　)
A.1.2天 B.1.8天
C.2.5天 D.3.5天
解析:因为R0=1+rT,所以3.28=1+6r,
所以r=0.38.
若
则=2,0.38(t2-t1)=ln 2≈0.69,
t2-t1≈1.8.故选B.
5.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地漏出,t min后剩余的细沙量为y=ae-bt(单位:cm3),经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过　 　　　min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.
解析:依题意,有a·e-b·8=a,
所以b=ln 2,则y=a·.
若容器中的沙子只有开始时的,
则有a·=a,解得t=24,
所以再经过24-8=16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一.
答案:16
6.候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为:v=a+blog3(其中a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为 1 m/s,则a=　　 　,b=　　　　.
解析:由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为 0 m/s,此时耗氧量为30个单位,
故有a+blog3=0,即a+b=0.
当耗氧量为90个单位时,速度为1 m/s,
故a+blog3=1,整理得a+2b=1.
解方程组得
答案:-1　1
能力提升
7.(2022·贵州毕节高一上期中)为了给地球减负,提高资源利用率,
2019年全国掀起了垃圾分类的热潮,垃圾分类已经成为新时尚.假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5 000万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过12 800万元的年份是(参考数据:lg 1.2≈0.079,lg 2≈0.301)
(　C　)
A.2023年 B.2024年
C.2025年 D.2026年
解析:设经过n年后的投入资金为y万元,
则y=5 000(1+20%)n=5 000×1.2n,
令5 000×1.2n>12 800,即1.2n>2.56,两边取对数可得nlg 1.2>
lg 2.56=lg 28-2=8lg 2-2≈0.408,所以n>≈5.16,故2025年的投资开始超过12 800万元.故选C.
8.Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95 K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3)
(　C　)
A.60 B.63 C.66 D.69
解析:由题意可得,当I(t*)=0.95 K时,=0.95 K,
所以=,
所以ln 19=0.23(t*-53),
所以t*-53≈13,所以t*≈66.故选C.
9.已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减.现给某病人静脉注射了该药物2 500 mg,设经过x个小时后,药物在病人血液中的量为y mg.
(1)y与x的关系式为　　　　　 　　;
(2)当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时,才有疗效;低于500 mg时,病人就有危险.则要使病人没有危险,再次注射该药物的时间不能超过　　　　小时.(精确到0.1)
(参考数据:0.20.3≈0.6,0.82.3≈0.6,0.87.2≈0.2,0.89.9≈0.1)
解析:(1)由题意知,该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减,给某病人注射了该药物2 500 mg,经过x个小时后,药物在病人血液中的量为y=2 500×(1-20%)x=2 500×0.8x(mg),即y与x的关系式为y=
2 500×0.8x.
(2)因为该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时,才有疗效;低于500 mg时,病人就有危险,所以令2 500×0.8x≥500,即0.8x≥0.2.因为0.87.2≈0.2,y=0.8x是减函数,
所以x≤7.2,所以要使病人没有危险,再次注射该药物的时间不能超过7.2小时.
答案:(1)y=2 500×0.8x　(2)7.2
应用创新
10.某人开网店创业专卖某种文具,他将这种文具以每件2元的价格售出,开始第一个月就达到1万件,此后每个月都比前一个月多售出1.5万件,持续至第10个月,在第11个月出现下降,第11个月出售了13万件,第12个月出售了9万件,第13个月出售了7万件,另据观察,第18个月销量仍比上个月低,而他前十个月每月投入的成本与月份的平方成正比,第4个月成本为8 000元,但第11个月起每月成本固定为3万元,现打算用函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)或f(x)=kmx+n(k≠0,m>0,m≠1)来模拟销量下降期间的月销量.
(1)请判断销量下降期间采用哪个函数模型来模拟销量函数更合理,并写出前20个月销量与月份x之间的函数关系式;
(2)前20个月内,该网店取得的月利润最高是多少,出现在哪个月
解:(1)假设从第11个月开始,月销量符合f(x)=ax2+bx+c的变化趋势,则(11,13),(12,9),(13,7)均在f(x)上,
即
解得
所以f(x)=x2-27x+189,对称轴为直线x=,
当x≥14时,不符合题意,故此模型舍去;
假设从第11个月开始,月销量符合f(x)=kmx+n的变化趋势,
则(11,13),(12,9),(13,7)均在f(x)上,即
解得
所以f(x)=214-x+5,
当x=17时,
f(17)=214-17+5=,
f(18)=214-18+5=,
f(18)故f(x)=kmx+n更合理,
此时f(x)=214-x+5,x≥11;
由题知前10个月符合一次函数模型,
设f(x)=1.5x+b,
将(1,1)代入,解得b=-0.5,
则f(x)=1.5x-0.5,1≤x≤10,
故f(x)=(x∈N+).
(2)设前10个月成本(单位:万元)与月份的关系为h(x)=nx2,将(4,0.8)代入解得n=,则h(x)=,前10个月利润可表示为w(x)=f(x)-h(x)=
2(1.5x-0.5)-=-(x-30)2+44,当x=10时取到最大值,w(x)max=24;
当11≤x≤20时,f(x)=214-x+5单调递减,第11个月利润有最大值,
w(x)max=13×2-3=23;故月利润最高记录为24万元,出现在第10个月.
11.芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可美化居室、净化空气,又可美容保健,因此深受人们欢迎,在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场,栽培芦荟,为了了解行情,进行市场调研,从
4月1日起,芦荟的种植成本Q(单位:元/10 kg)与上市时间t(单位:天)的数据情况如表.
t 50 110 250
Q 150 108 150
(1)根据表中数据,从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=alogb t,并说明理由;
(2)利用你选择的函数,求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.
解:(1)由所提供的数据可知,刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数,若用函数Q=at+b,Q=a·bt,Q=
alogb t中的任意一个来反映时都应有a≠0,且上述三个函数均为单调函数,这与表格所提供的数据不符合,所以应选用二次函数Q=at2+
bt+c进行描述.将表格所提供的三组数据分别代入函数Q=at2+bt+c,
可得
解得a=,b=-,c=,
所以刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数表达式为Q=t2-t+.
(2)当t=-=150(天)时,
芦荟种植成本最低为Q=×1502-×150+=100(元/10 kg).
21世纪教育网(www.21cnjy.com)4.5　函数模型及其应用
4.5.1　几种函数增长快慢的比较
4.5.2　形形色色的函数模型
核心知识目标 核心素养目标
1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义. 2.会利用已知函数模型解决实际问题. 3.能建立函数模型解决实际问题. 通过对函数模型的应用的学习,提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
1.几种函数增长快慢的比较
　　函数 性质　　　　 y=ax (a>1) y=logax(a>1) y=xα (α>0)
在(0,+∞) 上的单调性 增函数 增函数 增函数
增长的速度 先慢后快 先快后慢 相对 平稳
图象的变化 随着x的增大逐渐加快增大 随着x的增大逐渐减慢增大 随α值的不同而不同
注意:在区间(0,+∞)上,a>1,α>0,总会存在一个x0,当x>x0时,就有logax2.常见函数模型
常 见 函 数 模 型 (1)一次函数模型 y=ax+b(a,b为常数,a≠0)
(2)二次函数模型 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
(3)指数函数模型 y=a·bx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,且b≠1)
(4)对数函数模型 y=mlogax+n(m,a,n为常数,m≠0,a>0,且a≠1)
(5)幂函数模型　 y=axα+b(a,b为常数,a≠0)
(6)分段函数模型 y=
3.数学建模的步骤
(1)正确理解并简化实际问题:了解问题的实际背景,明确其实际意义,掌握对象的各种信息.根据实际对象的特征和建模的目的,对问题进行必要的简化,并用精确的语言提出一些恰当的假设.
(2)建立数学模型:在上述基础上,利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系,建立相应的数学结构.
(3)求得数学问题的解.
(4)将求解时分析计算的结果与实际情形进行比较,验证模型的准确性、合理性和适用性.
1.下表显示了函数值y随自变量x变化的一组数据,由此可判断它最可能符合的函数模型为(　C　)
x -2 -1 0 1 2
y 1 4 16
A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.指数函数模型 D.对数函数模型
解析:题表中数据体现爆炸式增长,符合的函数模型为指数函数模型.故选C.
2.某种动物繁殖的数量y(单位:只)与时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第1年有100只,到第7年它们发展到(　A　)
A.300只 B.400只 C.500只 D.600只
解析:由已知第1年有100只,得a=100.将a=100,x=7代入y=alog2(x+1),得y=300.故选A.
3.2020年我国人口总数约为14亿,如果人口的自然年增长率控制在1.25%,则预计　　　　年我国人口将首次超过20亿(lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,lg 7≈0.845 1).
解析:设x年我国人口将超过20亿,由已知条件14(1+1.25%)x-2 020>20,x-2 020>=≈28.7,则x>2 048.7,则预计2 049 年我国人口将首次超过20亿.
答案:2 049
　函数模型的增长差异
[例1] 四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表:
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 37 768 1.05 ×106 3.36 ×107 1.07 ×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数型函数变化的变量是　　　　.
解析:以爆炸式增长的变量呈指数型函数变化.从题表中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,因此可知y2关于x呈指数型函数变化.
答案:y2
[即时训练1-1] 今有一组实验数据如表:
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
v 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是(　　)
A.v=log2t B.v=lot
C.v= D.v=2t-2
解析:从题表中看到此函数为增函数,排除B,增长速度越来越快,排除A和D.故选C.
常见的函数模型及增长特点
(1)一次函数模型
一次函数模型y=ax+b(a>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.
(2)指数函数模型
指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型
对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.
(4)幂函数模型
幂函数y=xα(α>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.
　利用已知函数模型解决实际问题
[例2] 有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙,飞往繁殖地产卵,科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v=log3-lg x0,单位是km/min,其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数,常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.
(1)若x0=5,候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量为多少个单位
(2)若雄鸟的飞行速度为1.5 km/min,雌鸟的飞行速度为1 km/min,那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍 (lg 2≈0.3)
解:(1)将x0=5,v=0代入函数v=log3-lg x0,得log3-lg 5=0,
即log3=2lg 5=2(1-lg 2)≈1.4,
所以=31.4≈4.66,
所以x=466.
故候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量为466个单位.
(2)设雄鸟每分钟的耗氧量为x1,雌鸟每分钟耗氧量为x2,由题意可得
两式相减可得=log3,
所以log3=1,即=3,则x1=3x2,
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍.
[即时训练2-1] 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述,设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta)×(),其中Ta表示环境温度,h称为半衰期,现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降温到40 ℃需要20 min,那么降温到32 ℃时,共需要多长时间
解:由题意知40-24=(88-24)×(),
即=(),解得h=10,
故原式可化简为T-24=(88-24)×(),
当T=32时,代入上式,
得32-24=(88-24)×(),
即()===()3,所以t=30.
因此,降温到32 ℃共需要30 min.
已知函数模型解决实际问题,往往给出的函数解析式含有参数,需要将题中的数据代入函数模型,求得函数模型中的参数,再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值.
　自建确定性函数模型解决实际问题
[例3] 某盐化厂决定采用以下方式对某块盐池进行开采:每天开采的量比上一天减少p%,10天后总量变为原来的一半,为了维持生态平衡,剩余总量至少要保留原来的,已知到今天为止,剩余的总量是原来的.
(1)求p%的值;
(2)到今天为止,工厂已经开采了几天
(3)今后最多还能再开采多少天
解:设总量为a,
(1)由题意,得a(1-p%)10=,
解得p%=1-().
(2)设到今天为止,工厂已经开采了m天,
则a(1-p%)m=a,
即()=(),解得m=15,
所以到今天为止,工厂已经开采了15天.
(3)设今后最多还能再开采n天,
则a(1-p%)n≥a,
即()≥(),即≤,得n≤25,
故今后最多还能再开采25天.
[即时训练3-1] 一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比;
(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年
(3)今后最多还能砍伐多少年
解:(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0则a(1-x)10=a,
即(1-x)10=.
解得x=1-().
(2)设经过m年,剩余面积为原来的,
则a(1-x)m=a,即()=().
解得m=5.
故到今年为止,已砍伐了5年.
(3)设从今年开始,以后砍了n年,
则n年后剩余面积为a(1-x)n.
令a(1-x)n≥a,
即(1-x)n≥,
即()≥(),
即≤,解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年.
自建确定性函数模型时主要抓住四个关键:“求什么,设什么,列什么,限制什么”.
(1)求什么就是弄清楚要解决什么问题,完成什么任务.
(2)设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素,谁是核心因素,通常设核心因素为自变量.
(3)列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来,可以是方程、函数、不等式等.
(4)限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件,在实际问题中,除了要使函数式有意义外,还要考虑变量的实际含义,如人不能是半个等.
　函数模型的选取
[例4] 某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究,发现其蔓延速度越来越快.经过2 min菌落的覆盖面积为18 mm2,经过3 min覆盖面积为27 mm2,现在菌落的覆盖面积y(单位:mm2)与经过时间x(单位:min)的关系有两个函数模型:y=kax(k>0,a>1)与y=p+q(p>0)可供选择.(参考数据:36=729,37=2 187,38=6 561,39=19 683,≈1.414,≈1.732)
(1)试判断哪个函数模型更合适,说明理由,并求出该模型的解析式;
(2)在理想状态下,至少经过多久培养基中菌落面积能超过200mm2 (计算结果保留到整数)
解:(1)因为y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,y=p+q(p>0)的增长速度越来越慢,
所以根据题意应选y=kax(k>0,a>1),
于是解得
所以y=8×()x.
(2)根据y=8×()x函数模型可得不等式8×()x>200,解得x≥8,故至少经过8 min,培养基中菌落面积能超过200 mm2.
[即时训练4-1] 某企业常年生产一种出口产品,近年来,该产品的产量平稳增长.记2017年为第1年,且前4年中,第x年与年产量f(x)(单位:万件)之间的关系如表所示:
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=lox+a.
找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后选取2017年和2019年的数据求出相应的解析式.
解:最适合的函数模型是f(x)=ax+b,理由如下:
若模型为f(x)=2x+a,则由f(1)=21+a=4,
得a=2,即f(x)=2x+2,
此时f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与已知相差太大,不符合.
若模型为f(x)=lox+a,
则f(x)是减函数,与已知不符合.
故f(x)=ax+b最适合,
由已知得
解得
所以f(x)=x+,x∈N.
(1)此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型,也就是借助数据信息,得到相关方程,进而求出待定参数.
(2)函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容,解题的关键在于通过对已知数据的分析,得出重要信息,根据解题积累的经验,从已有的各类型函数中选择模型,进行数据的拟合.
[例1] 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全,根据国家有关规定:100 mL血液中酒精含量达到20～79 mg的驾驶员即为酒后驾车,80 mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到1 mg/mL.如果在停止喝酒以后,他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少,那么他至少经过　　　　小时才能驾驶汽车.(注:不足1小时,按1小时计算,如计算结果为7.3,就答8小时)
参考数据:lg 0.2≈-0.699,lg 0.3≈-0.523,lg 0.6≈-0.222,lg 0.7≈-0.155.
解析:因为1小时后血液中酒精含量为
(1-30%) mg/mL,
x小时后血液中酒精含量为(1-30%)x mg/mL,
由题意知100 mL血液中酒精含量低于20 mg的驾驶员可以驾驶汽车,
所以(1-30%)x<0.2,0.7x<0.2两边取对数,得lg0.7xx>≈4.5,
所以至少经过5个小时才能驾驶汽车.
答案:5
[例2] 某学习小组在暑期社会实践活动中,通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现:该服装在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(单位:百元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)=1+(k为正常数),日销售量Q(x)(单位:件)与时间x(单位:天)的部分数据如表所示:
x/天 10 20 25 30
Q(x)/件 110 120 125 120
已知第10天的日销售收入为121(百元).
(1)求k的值;
(2)给出以下四种函数模型:
①Q(x)=ax+b,②Q(x)=a|x-25|+b,
③Q(x)=a·bx,④Q(x)=a·logbx.
请你根据表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系,并求出该函数的解析式.
(3)求该服装的日销售收入f(x)(百元)的最小值.
解:(1)依题意知第10天的日销售收入为
P(10)·Q(10)=(1+)×110=121,
解得k=1.
(2)由表中的数据知,当时间变化时,日销售量有增有减并不单调,故只能选②Q(x)=a|x-25|+b.从表中任意取两组值代入可求得Q(x)=125-|x-25|(1≤x≤30,x∈N*).
(3)由(2)知Q(x)=125-|x-25|=
所以f(x)=P(x)·Q(x)=
当1≤x<25时,y=x+在[1,10]上单调递减,在[10,25)上单调递增,所以当x=10时,f(x)取得最小值,f(x)min=121;
当25≤x≤30时,y=-x单调递减,
所以当x=30时,f(x)取得最小值f(x)min=124.
综上所述,当x=10时,
f(x)取得最小值f(x)min=121.
所以该服装的日销售收入的最小值为121百元.
1.某研究所对人体在成长过程中,年龄与身高的关系进行研究,根据统计,从1岁到16岁的年龄x(单位:岁)与身高y(单位:米)的图象如图所示,则该关系较适宜的函数模型为(　B　)
A.y=ax+b B.y=a+logbx
C.y=a·bx D.y=ax2+b
解析:根据图象可知,较适宜的函数模型为y=a+logbx.故选B.
2.溶液的酸碱度是通过pH来表示的,已知某溶液的pH等于-lg c(H+),其中c(H+)表示该溶液中氢离子的浓度,若某溶液氢离子的浓度为10-6 mol/L,则该溶液的pH为(　C　)
A.4 B.5 C.6 D.7
解析:由题意可得该溶液的pH为-lg 10-6=6.故选C.
3.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v m/s 和燃料质量M kg、火箭(除燃料外)质量m kg 的关系是v=2 000ln(1+),则当燃料质量是火箭质量的　　　　倍时,火箭的最大速度可达12 km/s.
解析:由题意2 000ln(1+)=12 000.
所以ln(1+)=6,从而=e6-1.
答案:e6-1
4.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元.销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为　　　　万元.
解析:依题意得
即
解得
所以y=2log4x-2,当y=8时,即2log4x-2=8.
x=1 024(万元).
答案:1 024
选题明细表
知识点、方法 题号
利用已知函数模型解决问题 2,3,4,6,8
自建函数模型解决问题 1,5,9
函数模型综合应用 7,10,11
基础巩固
1.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是(　D　)
解析:设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意知,ax=a(1+0.104)y,故y=log1.104x(x≥1),所以y=f(x)的图象大致为D中图象.故选D.
2.(2021·四川泸州月考)尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家们通过研究,已经对地震有所了解.例如,地震释放出的能量E(单位:焦耳)与地震级数M之间的关系式为lg E=4.8+1.5M.若某次地震释放出的能量是另一次地震释放出的能量的300倍,则两次地震的震级数大约相差(参考数据:lg 3≈0.5)(　B　)
A.0.5 B.1.7 C.2 D.2.5
解析:设某次地震释放出的能量为E2,另一次为E1,
某次地震级数为M2,另一次为M1,
故E2=300E1,
代入关系式lg E=4.8+1.5M可得,
故lg E2-lg E1=1.5(M2-M1),
即lg=1.5(M2-M1),
因为E2=300E1,
所以1.5(M2-M1)=lg 300=lg 3+lg 100=lg 3+2≈2.5,
所以M2-M1≈≈1.7.故选B.
3.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是64小时,在18 ℃的保鲜时间是16小时,则该食品在36 ℃的保鲜时间是(　A　)
A.4小时 B.8小时
C.16小时 D.32小时
解析:因为该食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(k,b是常数).该食品在0 ℃的保鲜时间是64小时,在18 ℃ 的保鲜时间是16小时,所以解得e18k=,所以该食品在36 ℃的保鲜时间y=e36k+b=(e18k)2·eb=()2×64=4.故选A.
4.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　B　)
A.1.2天 B.1.8天
C.2.5天 D.3.5天
解析:因为R0=1+rT,所以3.28=1+6r,
所以r=0.38.
若
则=2,0.38(t2-t1)=ln 2≈0.69,
t2-t1≈1.8.故选B.
5.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地漏出,t min后剩余的细沙量为y=ae-bt(单位:cm3),经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过　　　　min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.
解析:依题意,有a·e-b·8=a,
所以b=ln 2,则y=a·.
若容器中的沙子只有开始时的,
则有a·=a,解得t=24,
所以再经过24-8=16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一.
答案:16
6.候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为:v=a+blog3(其中a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为 1 m/s,则a=　　 　,b=　　　　.
解析:由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为 0 m/s,此时耗氧量为30个单位,
故有a+blog3=0,即a+b=0.
当耗氧量为90个单位时,速度为1 m/s,
故a+blog3=1,整理得a+2b=1.
解方程组得
答案:-1　1
能力提升
7.(2022·贵州毕节高一上期中)为了给地球减负,提高资源利用率,2019年全国掀起了垃圾分类的热潮,垃圾分类已经成为新时尚.假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5 000万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过12 800万元的年份是(参考数据:lg 1.2≈0.079,lg 2≈0.301)(　C　)
A.2023年 B.2024年
C.2025年 D.2026年
解析:设经过n年后的投入资金为y万元,
则y=5 000(1+20%)n=5 000×1.2n,
令5 000×1.2n>12 800,即1.2n>2.56,两边取对数可得nlg 1.2>lg 2.56=lg 28-2=8lg 2-2≈0.408,所以n>≈5.16,故2025年的投资开始超过12 800万元.故选C.
8.Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95 K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3)(　C　)
A.60 B.63 C.66 D.69
解析:由题意可得,当I(t*)=0.95 K时,
=0.95 K,
所以=,
所以ln 19=0.23(t*-53),
所以t*-53≈13,所以t*≈66.故选C.
9.已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减.现给某病人静脉注射了该药物2 500 mg,设经过x个小时后,药物在病人血液中的量为y mg.
(1)y与x的关系式为　　　　　　　;
(2)当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时,才有疗效;低于500 mg时,病人就有危险.则要使病人没有危险,再次注射该药物的时间不能超过　　　　小时.(精确到0.1)
(参考数据:0.20.3≈0.6,0.82.3≈0.6,0.87.2≈0.2,0.89.9≈0.1)
解析:(1)由题意知,该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减,给某病人注射了该药物2 500 mg,经过x个小时后,药物在病人血液中的量为y=2 500×(1-20%)x=2 500×0.8x(mg),即y与x的关系式为y=2 500×0.8x.
(2)因为该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时,才有疗效;低于500 mg时,病人就有危险,所以令2 500×0.8x≥500,即0.8x≥0.2.因为0.87.2≈0.2,y=0.8x是减函数,
所以x≤7.2,所以要使病人没有危险,再次注射该药物的时间不能超过7.2小时.
答案:(1)y=2 500×0.8x　(2)7.2
应用创新
10.某人开网店创业专卖某种文具,他将这种文具以每件2元的价格售出,开始第一个月就达到1万件,此后每个月都比前一个月多售出1.5万件,持续至第10个月,在第11个月出现下降,第11个月出售了13万件,第12个月出售了9万件,第13个月出售了7万件,另据观察,第18个月销量仍比上个月低,而他前十个月每月投入的成本与月份的平方成正比,第4个月成本为8 000元,但第11个月起每月成本固定为3万元,现打算用函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)或f(x)=kmx+n(k≠0,m>0,m≠1)来模拟销量下降期间的月销量.
(1)请判断销量下降期间采用哪个函数模型来模拟销量函数更合理,并写出前20个月销量与月份x之间的函数关系式;
(2)前20个月内,该网店取得的月利润最高是多少,出现在哪个月
解:(1)假设从第11个月开始,月销量符合f(x)=
ax2+bx+c的变化趋势,则(11,13),(12,9),(13,7)均在f(x)上,
即
解得
所以f(x)=x2-27x+189,对称轴为直线x=,
当x≥14时,不符合题意,故此模型舍去;
假设从第11个月开始,月销量符合f(x)=kmx+n的变化趋势,则(11,13),(12,9),(13,7)均在f(x)上,即
解得
所以f(x)=214-x+5,
当x=17时,
f(17)=214-17+5=,
f(18)=214-18+5=,
f(18)故f(x)=kmx+n更合理,
此时f(x)=214-x+5,x≥11;
由题知前10个月符合一次函数模型,
设f(x)=1.5x+b,
将(1,1)代入,解得b=-0.5,
则f(x)=1.5x-0.5,1≤x≤10,
故f(x)=(x∈N+).
(2)设前10个月成本(单位:万元)与月份的关系为h(x)=nx2,将(4,0.8)代入解得n=,则h(x)=,前10个月利润可表示为w(x)=f(x)-h(x)=2(1.5x-0.5)-=-(x-30)2+44,当x=10时取到最大值,
w(x)max=24;
当11≤x≤20时,f(x)=214-x+5单调递减,第11个月利润有最大值,
w(x)max=13×2-3=23;故月利润最高记录为24万元,出现在第10个月.
11.芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可美化居室、净化空气,又可美容保健,因此深受人们欢迎,在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场,栽培芦荟,为了了解行情,进行市场调研,从4月1日起,芦荟的种植成本Q(单位:元/10 kg)与上市时间t(单位:天)的数据情况如表.
t 50 110 250
Q 150 108 150
(1)根据表中数据,从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=alogb t,并说明理由;
(2)利用你选择的函数,求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.
解:(1)由所提供的数据可知,刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数,若用函数Q=at+b,Q=a·bt,Q=alogb t中的任意一个来反映时都应有a≠0,且上述三个函数均为单调函数,这与表格所提供的数据不符合,所以应选用二次函数Q=at2+bt+c进行描述.将表格所提供的三组数据分别代入函数Q=at2+bt+c,可得
解得a=,b=-,c=,
所以刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数表达式为Q=t2-t+.
(2)当t=-=150(天)时,芦荟种植成本最低为Q=×1502-×150+=100(元/10 kg).
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