资源简介

5.1　任意角与弧度制
5.1.1　角的概念的推广
选题明细表
知识点、方法 题号
任意角的概念、象限角 2,3,8,9,10
终边相同的角和区域角 1,2,4,5,6
综合应用 7,11,12,13
基础巩固
1.已知集合A={第二象限角},B={钝角},C={小于180°的角},则A,B,
C关系正确的是(　C　)
A.B=A∩C B.A C
C.B∪C=C D.A=B=C
解析:由题意知,钝角是第二象限角,也是小于180°的角,所以B A∩C,故A错误;
又A与C互不包含,故B错误;
因为B C,所以B∪C=C,故C正确;
由以上分析可知D错误.故选C.
2.(多选题)下列说法中,不正确的是(　ABC　)
A.第二象限角都是钝角
B.第二象限角大于第一象限角
C.若角α与角β不相等,则α与β的终边不可能重合
D.若角α与角β的终边在一条直线上,则α-β=k·180°(k∈Z)
解析:A错,495°=135°+360°是第二象限角,但不是钝角;
B错,α=135°是第二象限角,β=360°+45°是第一象限角,但α<β;
C错,α=360°,β=720°,则α≠β,但二者终边重合;
D正确,α与β的终边在一条直线上,则二者的终边重合或相差180°的整数倍,故α-β=k·180°(k∈Z).
故选ABC.
3.(多选题)下列所给角度不是第三象限角的是(　BCD　)
A.-130° B.-220° C.175° D.-23°
解析:-130°=-360°+230°,所以-130°是第三象限角;-220°=-360°+140°,所以-220°是第二象限角;175°是第二象限角;-23°=-360°+337°,所以-23°是第四象限角.故选BCD.
4.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是(　C　)
A.{α|-45°≤α≤120°}
B.{α|120°≤α≤315°}
C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}
D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}
解析:在-180°～180°间阴影部分区域中边界两条终边表示的角分别为-45°,120°,
所以阴影部分的区域-180°～180°间的范围是-45°≤α≤120°,
所以终边在阴影部分区域的角的集合为
{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.
故选C.
5.(多选题)如果角α与角γ+45°的终边相同,角β与角γ-45°的终边相同,那么α-β的可能值为(　　)
A.90° B.360°
C.450° D.2 330°
解析:如果角α与γ+45°终边相同,
则α=m·360°+γ+45°,m∈Z,
角β与γ-45°终边相同,
则β=n·360°+γ-45°,n∈Z,
所以α-β=m·360°+γ+45°-n·360°-γ+45°=(m-n)·360°+
90°=k·360°+90°(k=m-n),k∈Z,
即α-β与90°角的终边相同,选项A,C符合题意.故选AC.
6.与角-1 560°终边相同的角中,最小正角是　　　 　　,最大负角是　　　 　　.
解析:与-1 560°终边相同的角可表示为{α|α=k·360°-1 560°,
k∈Z},
则当k=4时,α=4×360°-1 560°=-120°,此时为最大的负角;
当k=5时,α=5×360°-1 560°=240°,此时为最小的正角.
答案:240°　-120°
能力提升
7.钟表的分针在一个半小时内转了(　D　)
A.180° B.-180° C.540° D.-540°
解析:钟表的分针是顺时针转动的,每转一周,转过-360°,当分针转过一个半小时时,它转了-540°.故选D.
8.(多选题)已知角2α的终边在x轴的上方,那么α可能是(　AC　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析:由题意知k·360°<2α<180°+k·360°(k∈Z),
故k·180°<α<90°+k·180°(k∈Z),按照k的奇偶性进行讨论.
当k=2n(n∈Z)时,n·360°<α<90°+n·360°(n∈Z),所以α在第一象限;
当k=2n+1(n∈Z)时,180°+n·360°<α<270°+n·360°(n∈Z),所以α在第三象限.
综上,α是第一或第三象限角.故选AC.
9.若α是第一象限角,则-是(　D　)
A.第一象限角 B.第一、第四象限角
C.第二象限角 D.第二、第四象限角
解析:因为α是第一象限角,
所以k·360°<α所以k·180°<所以是第一、第三象限角,
又因为-与的终边关于x轴对称,
所以-是第二、第四象限角.故选D.
10.(多选题)如果α是第三象限的角,则下列结论中正确的是(　ACD　)
A.-α为第二象限角
B.180°-α为第二象限角
C.180°+α为第一象限角
D.90°+α为第四象限角
解析:由α是第三象限角,
得k·360°+180°<α-k·360°-270°<-α<-k·360°-180°,k∈Z,令n=-k∈Z,有n·
360°-270°<-αk∈Z,所以90°+α是第四象限的角,D正确.故选ACD.
11.已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,
α-β的终边与670°角的终边相同,则角α=　　　 　,角β=
　　　 　　.
解析:由题意可知,α+β=-280°+k·360°,k∈Z.
因为α,β都是锐角,
所以0°<α+β<180°.
取k=1,得α+β=80°.①
因为α-β=670°+k·360°,k∈Z,α,β都是锐角,
所以-90°<α-β<90°.
取k=-2,得α-β=-50°.②
由①②,得α=15°,β=65°.
答案:15°　65°
应用创新
12.角α与角β的终边关于y轴对称,则α与β的关系为(　B　)
A.α+β=k·360°,k∈Z
B.α+β=k·360°+180°,k∈Z
C.α-β=k·360°+180°,k∈Z
D.α-β=k·360°,k∈Z
解析:法一　(特殊值法)令α=30°,β=150°,则α+β=180°.
故选B.
法二　(直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以β=
180°-α+k·360°,k∈Z,
即α+β=k·360°+180°,k∈Z.故选B.
13.半径为1的圆的圆心位于坐标原点,点P从点A(1,0)出发,以逆时针方向等速沿圆周旋转,已知点P在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<
180°),经过2 s到达第三象限,经过14 s后又回到了出发点A处,求θ.
解:因为0°<θ<180°,且k·360°+180°<2θk∈Z,
所以一定有k=0,90°<θ<135°.
又因为14θ=n·360°(n∈Z),
所以θ=,n∈Z,
从而90°<<135°,n∈Z,
所以所以θ=()°或()°.
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第5章　三角函数
5.1　任意角与弧度制
5.1.1　角的概念的推广
核心知识目标 核心素养目标
1.结合实例,了解角的概念的推广及其实际意义.
2.理解象限角的概念,并掌握终边相同角的含义及其表示. 1.通过角的概念的推广过程,经历由具体到抽象,重点发展学生的数学抽象、直观想象的核心素养.
2.通过象限角及终边相同角的应用,加强逻辑推理、数学运算的核心素养的培养.
知识探究·素养启迪
1.角的概念的推广
(1)角的概念:角可以看作是平面内一条射线绕着其端点从初始位置旋转到终止位置所成的图形.
知识探究
(2)角的分类:按旋转方向可将角分为如下三类:
名称 定义 图形
正角 以 方向旋转所成的角
负角 以 方向旋转所成的角
零角 一条射线 旋转所成的角
逆时针
顺时针
不
(3)任意角:任意角包括 、 和 .
2.象限角
角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴的非负半轴,那么,角的终边(除端点
外)落在第几象限,就说这个角是 .如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.
3.终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合{β|β=
},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与 的和.
正角
零角
负角
第几象限角
α+k·360°,k∈Z
整数个周角
小试身手
C
1.角-120°的终边所在象限是(　 　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:因为-120°=-360°+240°,
又因为角240°终边在第三象限,
所以角-120°的终边在第三象限.
故选C.
2.与-60°角的终边相同的角是(　 　)
A.300° B.240°
C.120° D.60°
解析:因为-60°=-360°+300°,所以与-60°角的终边相同的角是300°.故选A.
A
解析:各角和的旋转量等于各角旋转量的和.所以120°+(-270°)=
-150°.
3.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置,由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置,则∠AOC等于　　　　 .
答案:-150°
答案:82.5°
课堂探究·素养培育
[例1] 下列命题正确的是(　　)
A.第一象限的角一定不是负角 B.小于90°的角一定是锐角
C.钝角一定是第二象限的角 D.终边相同的角一定相等
探究点一
角的概念辨析
解析:-300°是第一象限角,且是负角,故选项A错;-45°<90°,但-45°不是锐角,故选项B错;钝角的集合是{α|90°<α<180°},是第二象限
角,故选项C正确;-45° 与315°是终边相同的角,但不相等,故选项D错.故选C.
[即时训练1-1] 已知集合A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},则下面的关系正确的是(　　)
A.A=B=C B.A C
C.A∩C=B D.(B∪C) C
解析:第一象限角可表示为k·360°<α方法总结
判断角的概念问题的关键与技巧
(1)关键:正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.
(2)技巧:判断命题为真需要证明,而判断命题为假只要举出反例即可.
探究角度1　求与已知角终边相同的角
探究点二
终边相同角的理解
[例2] 已知角α=45°,在-720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的
角β.
[即时训练2-1] 在与530°角终边相同的角中,求满足下列条件的角.
解:与530°角终边相同的角为170°+k·360°,k∈Z.
(1)当k=-1时,得到最大的负角为170°-360°=-190°.
(1)最大的负角;
(2)最小的正角;
解:(2)当k=0时,得到最小的正角为170°.
(3)在[-720°,-360°]内的角.
解:(3)当k=-2时,得到大于等于-720°,且小于等于-360°的角为170°-2×360°=-550°.
方法总结
在给定的区间内寻找与某特定角度终边相同角的方法
(1)将所求的角β化为k·360°+α的形式(k∈Z),其中的α就是所给
的角.
(2)根据所给的区间及k·360°+α(k∈Z),寻找k的取值范围.
探究角度2　终边在射线(或直线)上角的集合
[例3] 分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合.
解:①在0°～360°范围内,终边在直线y=0上的角有两个,即0°和180°,因此,所有与0°角终边相同的角构成集合S1={β|β=k·360°,
k∈Z},而所有与180°角终边相同的角构成集合S2={β|β=180°+k·
360°,k∈Z},于是,终边在直线y=0上的角的集合为S=S1∪S2={β|β=k·
180°,k∈Z}.
②由图形易知,在0°～360°范围内,终边在直线上的角有两个,即135°和315°,因此,终边在直线上的角的集合为S={β|β=135°+k·360°,
k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}={β|β=135°+n·180°,n∈Z}.
方法总结
(1)终边共线的角的写法:分别写出每条终边所代表的角集合,然后取并
集.在取并集时要化简合并.
(2)一般地,与角α(0°≤α<180°)的终边在一条直线上角的集合是{β|β=k·180°+α,k∈Z}.
探究角度3　区域角的表示
[例4] (1)试写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合;
解:(1)终边落在射线OA上的角的集合为{β|β=45°+k·360°,k∈Z},
终边落在射线OB上的角的集合为{γ|γ=90°+45°+k·360°,k∈Z}={γ|γ=135°+k·360°,k∈Z},
故阴影部分角的集合可表示为{α|45°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.
(2)试写出终边落在图中阴影部分的角的集合.
解:(2)法一　设终边落在阴影部分的角为α,角α的集合由两部分组成.
①{α|45°+k·360°≤α<135°+k·360°,k∈Z};
②{α|k·360°+225°≤α所以角α的集合应当是集合①与②的并集:
{α|45°+k·360°≤α<135°+k·360°,k∈Z}∪{α|k·360°+225°≤α法二　根据角的旋转的定义直接写出结果为
{α|k·180°+45°≤α[即时训练4-1] 分别写出下面两个图形中,终边落在阴影部分内的角的集合(不包含边界).
解:图(1)中,330°=360°-30°,
所以所求角的集合为{θ|k·360°-30°<θ图(2)中,225°=360°-135°,
所以所求角的集合为{θ|k·360°-135°<θ方法总结
区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角.写出区域角的步骤如下
(1)确定边界线对应的角:确定起始和终止边界线分别对应的一个角α,
β,-360°<α<360°,-360°<β<360°.
(2)写出终边相同的角:边界线为射线时,终边相同的角为α+k·360°,
β+k·360°,k∈Z;边界线为直线时,终边相同的角为α+k·180°,β+
k·180°,k∈Z.
(3)写出角的集合:按逆时针旋转规则,从小到大写出角的集合.
易错警示
在书写集合时,边界线是实线写成闭区间,边界线是虚线写成开区间;当右端点对应的0°～360°内的角小于左端点对应的0°～360°内的角时,左端点用相应的负角.
解:因为α是第二象限角,
所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z).
所以180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z),
所以2α的终边位于第三或第四象限,或在y轴的非正半轴上.
方法总结
(1)象限角的判定方法
①根据图象判定.利用图象实际操作时,依据是终边相同的角的概念.
②将角转化到0°～360°范围内,在直角坐标平面内,0°～360°范围内没有两个角终边是相同的.
②等分象限法:
备用例题
[例1] 下列说法中,正确的是　　 　　(填序号).
①终边落在第一象限的角为锐角;
②锐角是第一象限角;
③第二象限角为钝角;
④始边和终边重合的角是零角;
⑤角α与-α的终边关于x轴对称.
解析:终边落在第一象限的角不一定是锐角,如400°的角是第一象限角,但不是锐角,故①的说法是错误的;同理第二象限角也不一定是钝角,故③的说法也是错误的;360°角的始边和终边也重合,故④的说法是错
误的.
答案:②⑤
解析:(1)设角β与角α的终边相同,则-β与β关于x轴对称,根据终边相同角的表示,可得α=β+k1·360°,k1∈Z,θ=-β+k2·360°,k2∈Z,
故θ+α=(-β+k2·360°)+(β+k1·360°)=(k1+k2)·360°=k·360°,
k∈Z.
[例2] (1)已知角θ的终边与角α的终边关于x轴对称,则θ+α=　　　　;
答案:(1)k·360°,k∈Z
解析:(2)设角β与角α的终边相同,则180°-β与β关于y轴对称,根据终边相同角的表示,
可得α=β+k3·360°,k3∈Z,γ=180°-β+k4·360°,k4∈Z.
故γ+α=(180°-β+k4·360°)+(β+k3·360°)=
[2(k3+k4)+1]·180°=(2k+1)·180°,k∈Z.
(2)若角γ的终边与角α的终边关于y轴对称,则γ+α=　　　　　　　.
答案:(2)(2k+1)·180°,k∈Z
[例3] 写出与75°角终边相同的角β的集合,并求在360°≤β<1 080°范围内与75°角终边相同的角.
[例5] 已知,如图所示.
(1)分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合;
解:(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α=90°+45°+k·360°,
k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z},终边落在OB位置上的角的集合为{α|α=-30°+k·360°,k∈Z}.
[例5] 已知,如图所示.
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
解:(2)由题干图可知,阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于
-30°到135°之间的及与之终边相同的角组成的集合,故可表示为
{α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.
课堂达标
D
1.若角α的终边经过点M(0,-3),则角α(　 　)
A.是第三象限角
B.是第四象限角
C.既是第三象限角,又是第四象限角
D.不是任何象限的角
解析:因为点M(0,-3)在y轴负半轴上,所以角α的终边不在任何象限.故选D.
A
2.(2021·山东德州期末)下列角中与390°终边相同的角是(　 　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析:因为390°=30°+1×360°,
所以30°与390°角是终边相同的角,故A选项正确;
390°-60°=330°≠k·360°,k∈Z,故B选项错误;
390°-120°=270°≠k·360°,k∈Z,故C选项错误;
390°-150°=240°≠k·360°,k∈Z,故D选项错误.故选A.
答案:二或第四
4.终边在直线y=-x上的角的集合S=　　 　　.
解析:由于直线y=-x是第二、第四象限的角平分线,在0°～360°间所对应的两个角分别是135°和315°,
从而S={α|α=k·360°+135°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+315°,
k∈Z}={α|α=2k·180°+135°,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·180°+135°,
k∈Z}={α|α=n·180°+135°,n∈Z}.
答案:{α|α=n·180°+135°,n∈Z}5.1　任意角与弧度制
5.1.1　角的概念的推广
核心知识目标 核心素养目标
1.结合实例,了解角的概念的推广及其实际意义. 2.理解象限角的概念,并掌握终边相同角的含义及其表示. 1.通过角的概念的推广过程,经历由具体到抽象,重点发展学生的数学抽象、直观想象的核心素养. 2.通过象限角及终边相同角的应用,加强逻辑推理、数学运算的核心素养的培养.
1.角的概念的推广
(1)角的概念:角可以看作是平面内一条射线绕着其端点从初始位置旋转到终止位置所成的图形.
(2)角的分类:按旋转方向可将角分为如下三类:
名称 定义 图形
正角 以逆时针方向旋转所成的角
负角 以顺时针方向旋转所成的角
零角 一条射线不旋转所成的角
(3)任意角:任意角包括正角、零角和负角.
2.象限角
角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴的非负半轴,那么,角的终边(除端点外)落在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.
3.终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合{β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
1.角-120°的终边所在象限是(　C　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:因为-120°=-360°+240°,
又因为角240°终边在第三象限,
所以角-120°的终边在第三象限.
故选C.
2.与-60°角的终边相同的角是(　A　)
A.300° B.240°
C.120° D.60°
解析:因为-60°=-360°+300°,所以与-60°角的终边相同的角是300°.故选A.
3.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置,由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置,则∠AOC等于　　　　.
解析:各角和的旋转量等于各角旋转量的和.所以120°+(-270°)=-150°.
答案:-150°
4.12点过小时的时候,时钟分针与时针的夹角是　　　　.
解析:时钟上每个大刻度为30°,12点过小时,分针转过-90°,时针转过-7.5°,故时针与分针的夹角为82.5°.
答案:82.5°
　角的概念辨析
[例1] 下列命题正确的是(　　)
A.第一象限的角一定不是负角
B.小于90°的角一定是锐角
C.钝角一定是第二象限的角
D.终边相同的角一定相等
解析:-300°是第一象限角,且是负角,故选项A错;-45°<90°,但-45°不是锐角,故选项B错;钝角的集合是{α|90°<α<180°},是第二象限角,故选项C正确;-45° 与315°是终边相同的角,但不相等,故选项D错.故选C.
[即时训练1-1] 已知集合A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},则下面的关系正确的是(　　)
A.A=B=C B.A C
C.A∩C=B D.(B∪C) C
解析:第一象限角可表示为k·360°<α判断角的概念问题的关键与技巧
(1)关键:正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.
(2)技巧:判断命题为真需要证明,而判断命题为假只要举出反例即可.
　终边相同角的理解
探究角度1　求与已知角终边相同的角
[例2] 已知角α=45°,在-720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β.
解:所有与角α有相同终边的角可表示为
β=45°+k×360°(k∈Z),
则令-720°≤45°+k×360°<0°,
得-765°≤k×360°<-45°,
解得-2≤k<-.
从而k=-2或k=-1,
代入得β=-675°或β=-315°.
[即时训练2-1] 在与530°角终边相同的角中,求满足下列条件的角.
(1)最大的负角;
(2)最小的正角;
(3)在[-720°,-360°]内的角.
解:与530°角终边相同的角为170°+k·360°,k∈Z.
(1)当k=-1时,得到最大的负角为
170°-360°=-190°.
(2)当k=0时,得到最小的正角为170°.
(3)当k=-2时,得到大于等于-720°,且小于等于-360°的角为170°-2×360°=-550°.
在给定的区间内寻找与某特定角度终边相同角的方法
(1)将所求的角β化为k·360°+α的形式(k∈Z),其中的α就是所给的角.
(2)根据所给的区间及k·360°+α(k∈Z),寻找k的取值范围.
探究角度2　终边在射线(或直线)上角的集合
[例3] 分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合.
解:①在0°～360°范围内,终边在直线y=0上的角有两个,即0°和180°,因此,所有与0°角终边相同的角构成集合S1={β|β=k·360°,k∈Z},而所有与180°角终边相同的角构成集合S2={β|β=180°+k·360°,k∈Z},于是,终边在直线y=0上的角的集合为S=S1∪S2={β|β=k·180°,k∈Z}.
②由图形易知,在0°～360°范围内,终边在直线上的角有两个,即135°和315°,因此,终边在直线上的角的集合为S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}={β|β=135°+n·180°,n∈Z}.
[即时训练3-1] 写出终边在直线y=x上的角的集合.
解:终边在射线y=x(x≥0)上的角的集合是S1={α|α=30°+k·360°,k∈Z};
终边在射线y=x(x<0)上的角的集合是
S2={α|α=210°+k·360°,k∈Z}.
因此,终边落在直线y=x上的角的集合是S=S1∪S2={α|α=30°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=210°+k·360°,k∈Z}={α|α=30°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=30°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|α=30°+n·180°,n∈Z}.
故终边落在直线y=x上角的集合为S={α|α=30°+n·180°,n∈Z}.
(1)终边共线的角的写法:分别写出每条终边所代表的角集合,然后取并集.在取并集时要化简合并.
(2)一般地,与角α(0°≤α<180°)的终边在一条直线上角的集合是{β|β=k·180°+α,k∈Z}.
探究角度3　区域角的表示
[例4] (1)试写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合;
(2)试写出终边落在图中阴影部分的角的集合.
解:(1)终边落在射线OA上的角的集合为{β|β=45°+k·360°,k∈Z},
终边落在射线OB上的角的集合为{γ|γ=90°+45°+k·360°,k∈Z}={γ|γ=135°+k·360°,k∈Z},
故阴影部分角的集合可表示为{α|45°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.
(2)法一　设终边落在阴影部分的角为α,角α的集合由两部分组成.
①{α|45°+k·360°≤α<135°+k·360°,k∈Z};
②{α|k·360°+225°≤α所以角α的集合应当是集合①与②的并集:
{α|45°+k·360°≤α<135°+k·360°,k∈Z}∪{α|k·360°+225°≤α法二　根据角的旋转的定义直接写出结果为
{α|k·180°+45°≤α[即时训练4-1] 分别写出下面两个图形中,终边落在阴影部分内的角的集合(不包含边界).
解:图(1)中,330°=360°-30°,
所以所求角的集合为{θ|k·360°-30°<θ图(2)中,225°=360°-135°,
所以所求角的集合为{θ|k·360°-135°<θ区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角.写出区域角的步骤如下
(1)确定边界线对应的角:确定起始和终止边界线分别对应的一个角α,β,-360°<α<360°,-360°<β<360°.
(2)写出终边相同的角:边界线为射线时,终边相同的角为α+k·360°,β+k·360°,k∈Z;边界线为直线时,终边相同的角为α+k·180°,β+k·180°,k∈Z.
(3)写出角的集合:按逆时针旋转规则,从小到大写出角的集合.
在书写集合时,边界线是实线写成闭区间,边界线是虚线写成开区间;当右端点对应的0°～360°内的角小于左端点对应的0°～360°内的角时,左端点用相应的负角.
探究角度4　判定nα或所在象限
[例5] 若α是第二象限角,试分别确定2α,,的终边所在位置.
解:因为α是第二象限角,
所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z).
所以180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z),
所以2α的终边位于第三或第四象限,或在y轴的非正半轴上.
法一　因为45°+k·180°<<90°+k·180°(k∈Z),
当k=2n(n∈Z)时,
45°+n·360°<<90°+n·360°(n∈Z);
当k=2n+1(n∈Z)时,
225°+n·360°<<270°+n·360°(n∈Z),
所以的终边位于第一或第三象限.
因为30°+k·120°<<60°+k·120°(k∈Z),
当k=3n(n∈Z)时,
30°+n·360°<<60°+n·360°(n∈Z);
当k=3n+1(n∈Z)时,
150°+n·360°<<180°+n·360°(k∈Z);
当k=3n+2(n∈Z)时,
270°+n·360°<<300°+n·360°(n∈Z),
所以的终边位于第一、第二或第四象限.
法二　将平面直角坐标系的每个象限二等分,得到8个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,如图所示.
因为α是第二象限角,与角α所在象限标号一致的区域,即为的终边所在的象限,
所以的终边位于第一或第三象限.
将坐标系的每个象限三等分,得到12个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,如图所示.
因为α是第二象限角,与角α所在象限标号一致的区域,即为的终边所在的象限,
所以的终边位于第一、第二或第四象限.
[即时训练5-1] 若α是第一象限角,是第几象限角
解:因为k·360°<α所以k·120°<法一　(分类讨论)当k=3n(n∈Z)时,
n·360°<所以是第一象限角;
当k=3n+1(n∈Z)时,
n·360°+120°<所以是第二象限角;
当k=3n+2(n∈Z)时,
n·360°+240°<所以是第三象限角.
综上可知,是第一、第二或第三象限角.
法二　(几何法)如图,先将各象限分成3等份,再从x轴的非负半轴的上方起,依次将各区域标上1,2,3,4,则标有1的区域即为终边所落区域,故为第一、第二或第三象限角.
(1)象限角的判定方法
①根据图象判定.利用图象实际操作时,依据是终边相同的角的概念.
②将角转化到0°～360°范围内,在直角坐标平面内,0°～360°范围内没有两个角终边是相同的.
(2)α,2α,等角的终边位置的确定方法
①不等式分类讨论法:
a.利用象限角的概念或已知条件,写出角α的范围.
b.利用不等式的性质,求出2α,等角的范围.
c.利用“旋转”的观点,确定角终边的位置.例如,如果得到k×120°<②等分象限法:
对于的范围问题,可采用等分象限法,即把每个象限平均分成n份,从第一象限x轴正半轴的上方起按逆时针循环标注象限序号(如图以为例),则标注序号与α所在象限序号相同的区域即为所在的区域.
[例1] 下列说法中,正确的是　　　　(填序号).
①终边落在第一象限的角为锐角;
②锐角是第一象限角;
③第二象限角为钝角;
④始边和终边重合的角是零角;
⑤角α与-α的终边关于x轴对称.
解析:终边落在第一象限的角不一定是锐角,如400°的角是第一象限角,但不是锐角,故①的说法是错误的;同理第二象限角也不一定是钝角,故③的说法也是错误的;360°角的始边和终边也重合,故④的说法是错误的.
答案:②⑤
[例2] (1)已知角θ的终边与角α的终边关于x轴对称,则θ+α=　　　　　　　　　;
(2)若角γ的终边与角α的终边关于y轴对称,则γ+α=　　　　　　　.
解析:(1)设角β与角α的终边相同,则-β与β关于x轴对称,根据终边相同角的表示,可得α=β+k1·360°,k1∈Z,θ=-β+k2·360°,k2∈Z,
故θ+α=(-β+k2·360°)+(β+k1·360°)=(k1+k2)·360°=k·360°,k∈Z.
(2)设角β与角α的终边相同,则180°-β与β关于y轴对称,根据终边相同角的表示,
可得α=β+k3·360°,k3∈Z,γ=180°-β+k4·360°,k4∈Z.
故γ+α=(180°-β+k4·360°)+(β+k3·360°)=[2(k3+k4)+1]·180°=(2k+1)·180°,k∈Z.
答案:(1)k·360°,k∈Z
(2)(2k+1)·180°,k∈Z
[例3] 写出与75°角终边相同的角β的集合,并求在360°≤β<1 080°范围内与75°角终边相同的角.
解:与75°角终边相同的角的集合为
S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}.
当360°≤β<1 080°时,
即360°≤k·360°+75°<1 080°,
解得≤k<2.
又k∈Z,所以k=1或k=2.
当k=1时,β=435°;当k=2时,β=795°.
综上所述,与75°角终边相同且在360°≤β<1 080°范围内的角为435°角和795°角.
[例4] 写出终边在直线y=-x上的角的集合.
解:终边在y=-x(x<0)上的角的集合是
S1={α|α=120°+k1·360°,k1∈Z};
终边在y=-x(x≥0)上的角的集合是
S2={α|α=300°+k2·360°,k2∈Z}.
因此,终边在直线y=-x上的角的集合是S=S1∪S2={α|α=120°+k1·360°,k1∈Z}∪{α|α=300°+k2·360°,k2∈Z}={α|α=120°+2k1·180°,k1∈Z}∪{α|α=120°+(2k2+1)·180°,k2∈Z}={α|α=120°+n·180°,n∈Z}.
故终边在直线y=-x上的角的集合是
S={α|α=120°+n·180°,n∈Z}.
[例5] 已知,如图所示.
(1)分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合;
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
解:(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z},终边落在OB位置上的角的集合为{α|α=-30°+k·360°,k∈Z}.
(2)由题干图可知,阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于-30°到135°之间的及与之终边相同的角组成的集合,故可表示为{α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.
1.若角α的终边经过点M(0,-3),则角α(　D　)
A.是第三象限角
B.是第四象限角
C.既是第三象限角,又是第四象限角
D.不是任何象限的角
解析:因为点M(0,-3)在y轴负半轴上,所以角α的终边不在任何象限.故选D.
2.(2021·山东德州期末)下列角中与390°终边相同的角是(　A　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析:因为390°=30°+1×360°,
所以30°与390°角是终边相同的角,故A选项正确;
390°-60°=330°≠k·360°,k∈Z,故B选项错误;
390°-120°=270°≠k·360°,k∈Z,故C选项错误;
390°-150°=240°≠k·360°,k∈Z,故D选项错误.故选A.
3.已知α为第三象限角,则在第　　　　象限.
解析:因为α为第三象限角,
所以180°+k·360°<α<270°+k·360°,k∈Z,
所以90°+k·180°<<135°+k·180°,k∈Z,
当k=2n,n∈Z时,90°+n·360°<<135°+n·360°,n∈Z,此时为第二象限角;
当k=2n+1,n∈Z时,270°+n·360°<<315°+n·360°,n∈Z,此时为第四象限角,所以在第二或第四象限.
答案:二或第四
4.终边在直线y=-x上的角的集合S=　　　　.
解析:由于直线y=-x是第二、第四象限的角平分线,在0°～360°间所对应的两个角分别是135°和315°,
从而S={α|α=k·360°+135°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+315°,k∈Z}={α|α=2k·180°+135°,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·180°+135°,k∈Z}={α|α=n·180°+135°,n∈Z}.
答案:{α|α=n·180°+135°,n∈Z}
选题明细表
知识点、方法 题号
任意角的概念、象限角 2,3,8,9,10
终边相同的角和区域角 1,2,4,5,6
综合应用 7,11,12,13
基础巩固
1.已知集合A={第二象限角},B={钝角},C={小于180°的角},则A,B,C关系正确的是(　C　)
A.B=A∩C B.A C
C.B∪C=C D.A=B=C
解析:由题意知,钝角是第二象限角,也是小于180°的角,所以B A∩C,故A错误;
又A与C互不包含,故B错误;
因为B C,所以B∪C=C,故C正确;
由以上分析可知D错误.故选C.
2.(多选题)下列说法中,不正确的是(　ABC　)
A.第二象限角都是钝角
B.第二象限角大于第一象限角
C.若角α与角β不相等,则α与β的终边不可能重合
D.若角α与角β的终边在一条直线上,则α-β=k·180°(k∈Z)
解析:A错,495°=135°+360°是第二象限角,但不是钝角;
B错,α=135°是第二象限角,β=360°+45°是第一象限角,但α<β;
C错,α=360°,β=720°,则α≠β,但二者终边重合;
D正确,α与β的终边在一条直线上,则二者的终边重合或相差180°的整数倍,故α-β=k·180°(k∈Z).
故选ABC.
3.(多选题)下列所给角度不是第三象限角的是(　BCD　)
A.-130° B.-220° C.175° D.-23°
解析:-130°=-360°+230°,所以-130°是第三象限角;-220°=-360°+140°,所以-220°是第二象限角;175°是第二象限角;-23°=-360°+337°,所以-23°是第四象限角.故选BCD.
4.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是(　C　)
A.{α|-45°≤α≤120°}
B.{α|120°≤α≤315°}
C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}
D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}
解析:在-180°～180°间阴影部分区域中边界两条终边表示的角分别为-45°,120°,
所以阴影部分的区域-180°～180°间的范围是-45°≤α≤120°,
所以终边在阴影部分区域的角的集合为
{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.
故选C.
5.(多选题)如果角α与角γ+45°的终边相同,角β与角γ-45°的终边相同,那么α-β的可能值为(　　)
A.90° B.360°
C.450° D.2 330°
解析:如果角α与γ+45°终边相同,
则α=m·360°+γ+45°,m∈Z,
角β与γ-45°终边相同,
则β=n·360°+γ-45°,n∈Z,
所以α-β=m·360°+γ+45°-n·360°-γ+45°=(m-n)·360°+90°=k·360°+90°(k=m-n),k∈Z,
即α-β与90°角的终边相同,选项A,C符合题意.故选AC.
6.与角-1 560°终边相同的角中,最小正角是　　　　　,最大负角是　　　　　.
解析:与-1 560°终边相同的角可表示为{α|α=k·360°-1 560°,k∈Z},
则当k=4时,α=4×360°-1 560°=-120°,此时为最大的负角;
当k=5时,α=5×360°-1 560°=240°,此时为最小的正角.
答案:240°　-120°
能力提升
7.钟表的分针在一个半小时内转了(　D　)
A.180° B.-180° C.540° D.-540°
解析:钟表的分针是顺时针转动的,每转一周,转过-360°,当分针转过一个半小时时,它转了-540°.故选D.
8.(多选题)已知角2α的终边在x轴的上方,那么α可能是(　AC　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析:由题意知k·360°<2α<180°+k·360°(k∈Z),
故k·180°<α<90°+k·180°(k∈Z),按照k的奇偶性进行讨论.
当k=2n(n∈Z)时,n·360°<α<90°+n·360°(n∈Z),所以α在第一象限;
当k=2n+1(n∈Z)时,180°+n·360°<α<270°+n·360°(n∈Z),所以α在第三象限.
综上,α是第一或第三象限角.故选AC.
9.若α是第一象限角,则-是(　D　)
A.第一象限角 B.第一、第四象限角
C.第二象限角 D.第二、第四象限角
解析:因为α是第一象限角,
所以k·360°<α所以k·180°<所以是第一、第三象限角,
又因为-与的终边关于x轴对称,
所以-是第二、第四象限角.故选D.
10.(多选题)如果α是第三象限的角,则下列结论中正确的是(　ACD　)
A.-α为第二象限角
B.180°-α为第二象限角
C.180°+α为第一象限角
D.90°+α为第四象限角
解析:由α是第三象限角,得
k·360°+180°<α-k·360°-270°<-α<-k·360°-180°,k∈Z,令n=-k∈Z,有n·360°-270°<-αk∈Z,所以90°+α是第四象限的角,D正确.故选ACD.
11.已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,则角α=　　　　,角β=　　　　　.
解析:由题意可知,α+β=-280°+k·360°,k∈Z.
因为α,β都是锐角,
所以0°<α+β<180°.
取k=1,得α+β=80°.①
因为α-β=670°+k·360°,k∈Z,α,β都是锐角,
所以-90°<α-β<90°.
取k=-2,得α-β=-50°.②
由①②,得α=15°,β=65°.
答案:15°　65°
应用创新
12.角α与角β的终边关于y轴对称,则α与β的关系为(　B　)
A.α+β=k·360°,k∈Z
B.α+β=k·360°+180°,k∈Z
C.α-β=k·360°+180°,k∈Z
D.α-β=k·360°,k∈Z
解析:法一　(特殊值法)令α=30°,β=150°,则α+β=180°.
故选B.
法二　(直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以β=180°-α+k·360°,k∈Z,
即α+β=k·360°+180°,k∈Z.故选B.
13.半径为1的圆的圆心位于坐标原点,点P从点A(1,0)出发,以逆时针方向等速沿圆周旋转,已知点P在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°),经过2 s到达第三象限,经过14 s后又回到了出发点A处,求θ.
解:因为0°<θ<180°,且k·360°+180°<2θ所以一定有k=0,90°<θ<135°.
又因为14θ=n·360°(n∈Z),
所以θ=,n∈Z,
从而90°<<135°,n∈Z,
所以所以θ=()°或()°.
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