资源简介

5.2.2　同角三角函数的基本关系
核心知识目标 核心素养目标
1.理解同角三角函数的基本关系式. 2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明. 通过同角三角函数式的应用,重点强化学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin 2α+cos 2α=1.
(2)商数关系:tan α=(α≠kπ+,k∈Z).
这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切(α≠kπ+,k∈Z).
1.已知α是第二象限角,且sin α=,则cos α等于(　D　)
A.- B. C. D.-
解析:因为α是第二象限角,所以cos α<0.
又sin α=,所以cos α=-=-.故选D.
2.已知sin α=,α∈(,),tan α等于(　B　)
A. B.- C.- D.
解析:根据sin2α+cos2α=1,
得cos2α=1-sin2α=1-()2=.
因为α∈(,),所以cos α<0,所以cos α=-,所以tan α===-.故选B.
3.若=-1,则tan α=　　　　.
解析:原式可化为=-1,解得tan α=2.
答案:2
4.若α∈(0,)且sin αcos α=,则sin α+cos α=　　　　.
解析:(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+=,又因为α∈(0,),sin α>0,cos α>0,
所以sin α+cos α=.
答案:
　sin α,cos α,tan α知一求二
[例1] (1)若α是△ABC的一个内角,且cos α=-,求sin α,tan α的值;
(2)若sin α=,求tan α的值;
(3)若tan α=-,求sin α的值.
解:(1)因为α是△ABC的一个内角,
且cos α=-,
所以<α<π,
所以sin α===,
所以tan α===-.
(2)因为sin α=>0,
所以α是第一、第二象限角.
当α是第一象限角时,
cos α===,
此时tan α=;
当α是第二象限角时,
cos α=-
=-=-,
此时tan α=-.
综上,当α是第一象限角时,tan α=;
当α是第二象限角时,tan α=-.
(3)因为tan α=-<0,
所以α是第二、第四象限角.
由
可得sin2α=()2,
当α是第二象限角时,sin α=;
当α是第四象限角时,sin α=-.
[即时训练1-1] 已知cos α=-,求sin α,tan α的值.
解:因为cos α=-<0,
所以α是第二、第三象限角.
若α是第二象限角,则sin α>0,tan α<0,
所以sin α===,
tan α==-;
若α是第三象限角,则sin α<0,tan α>0,
所以sin α=-=-=-,
tan α==.
利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法
(1)已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系;
(2)若角α所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果.
(3)记住常见的“勾股数”如6,8,10;5,12,13;8,15,17等可以方便解题.
　已知正切值求值
[例2] 已知=2,求下列各式的值.
(1);
(2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α.
解:由=2,得tan α=2.
(1)===.
(2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α
=
=
=
==1.
[即时训练2-1] 已知tan α=3,求下列各式的值.
(1);
(2);
(3)cos2α-3sin αcos α.
解:(1)由于tan α=3,
故==.
(2)==.
(3)cos2α-3sin αcos α===-.
已知角α的正切值,求由sin α和cos α构成的代数式的值,构成的代数式通常是分式齐次式或整式齐次式.
(1)形如的分式,可将分子、分母同时除以cos α;形如的分式,可将分子、分母同时除以cos2α,将正、余弦转化为正切求值.
(2)形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α(a,b,c不全为0)的齐次式,可以将分母看作是1=sin2α+cos2α,转化为的分式求值.
注意:涉及常数时,如sin2α+k,则将k转化为ksin2α+kcos2α后转化为(2)的形式,但涉及(k,t为常数),则需转化为(1)求解.
　三角函数式的化简与证明
探究角度1　三角函数式的化简
[例3] (1)化简;
(2)若x是第二象限角,化简·.
解:(1)原式=
=
=
==1.
(2)原式=·
=·
=·
=·.
因为x为第二象限角,所以sin x>0,
所以原式==1.
[即时训练3-1] 化简-(α为第二象限角).
解:因为α是第二象限角,所以cos α<0,
则原式=-
=-
=+=
==tan α.
三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.
(2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
探究角度2　三角函数式的证明
[例4] 求证:=.
证明:法一　右边==
=
==左边,
所以原式得证.
法二　左边=
=
=
=
==右边,
所以原式得证.
[即时训练4-1] 证明:=.
证明:因为右边=
=
=
=
==左边,
所以原等式成立.
(1)简单的三角恒等式的证明思路
①从一边开始,证明它等于另一边.
②证明左、右两边等于同一个式子.
③逐步寻找等式成立的条件,达到由繁到简.
(2)证明三角恒等式常用技巧及遵循的原则
①常用技巧:切化弦、整体代换、“1”的代换等.
②原则:由繁到简,变异为同.
[例1] 已知tan α=m,求sin α,cos α.
解:(1)当m=0时,α=kπ(k∈Z),
则sin α=0,cos α=1或cos α=-1.
(2)当m≠0时,由tan2α==,
得cos2α==.
故当α是第一或第四象限角时,
cos α==,sin α=cos α·tan α=.当α是第二或第三象限角时,
cos α=-=-,
sin α=-.
[例2] 已知3sin α+4cos α=0.求
(1)sin αcos α;(2)的值.
解:(1)因为3sin α+4cos α=0,
所以tan α=-,
所以sin αcos α====-.
(2)==
===.
[例3] 化简.
(1)-;
(2);
(3)sin2αtan α++2sin αcos α.
解:(1)-
=
===-2tan2α.
(2)=
=
=1.
(3)原式=sin2α·+cos2α·+2sin αcos α
=
==.
1.已知α是第三象限角,且cos α=-,则sin α等于(　B　)
A. B.- C.- D.
解析:由α是第三象限角且cos α=-知,sin α=-=-=-.故选B.
2.(2022·河北高一月考)已知tan α=3,则的值是(　D　)
A.2 B.-2 C. D.-
解析:由题得===-.故选D.
3.化简(1+tan2α)·cos2α=　　　　.
解析:原式=(1+)·cos2α=cos2α+sin2α=1.
答案:1
4.已知α是第二象限角,tan α=-,则cos α=　.
解析:因为tan α=-,
所以sin α=-cos α.
又因为sin2α+cos2α=1,
所以cos2α=1,所以cos2α=.
又α是第二象限角,
所以cos α=-.
答案:-
选题明细表
知识点、方法 题号
同角三角函数关系式的理解求值 1,2,5,8,13
同角三角函数关系式的化简 3,6,10
综合应用 4,7,9,11, 12,14,15
基础巩固
1.若α为第四象限角,且sin α=-,则tan α的值等于(　D　)
A. B.- C. D.-
解析:因为α为第四象限角,且sin α=-,
所以cos α==,
所以tan α==-.
故选D.
2.已知cos α=-,α∈(,π),sin β=-,β为第三象限角,则sin α·tan β等于(　B　)
A.- B.
C. D.-
解析:因为cos α=-,α∈(,π),sin β=-,
β是第三象限角,所以sin α==,
cos β=-=-,
即tan β=,则sin α·tan β=.故选B.
3.(多选题)以下各式化简结果为sin α的有(　AC　)
A.cos α·tan α
B.
C.sin3α+sin α·cos4α+sin3αcos2α
D.-
解析:对A,原式=cos α·=sin α,故A正确;
对B,原式==|sin α|,故B错误;
对C,原式=sin3α+sin αcos2α(cos2α+sin2α)=sin3α+sin αcos2α=sin α(sin2α+cos2α)=sin α,故C正确;
对D,原式====-2tan2α,故D错误.
故选AC.
4.已知α是三角形的一个内角,且sin α+cos α=,那么这个三角形的形状为(　B　)
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
解析:因为sin α+cos α=,
所以(sin α+cos α)2=,
即1+2sin αcos α=,
所以sin αcos α=-<0,所以α∈(,π).故选B.
5.已知=,则tan θ的值为(　A　)
A.-4 B.- C. D.4
解析:由=可得=,
解得tan θ=-4.故选A.
6.化简(+)(1-cos α)的结果是　　　　.
解析:原式=(+)(1-cos α)
==
==sin α.
答案:sin α
能力提升
7.已知tan θ=2,则sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ等于(　D　)
A.- B. C.- D.
解析:sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ
=
=
=.
故选D.
8.如果角θ满足sin θ+cos θ=,那么tan θ+的值是(　D　)
A.-1 B.-2 C.1 D.2
解析:因为sin θ+cos θ=,
所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=2,
所以sin θcos θ=,
所以tan θ+=+===2.故选D.
9.设α∈(0,π),sin α+cos α=,则cos 2α-sin 2α的值是(　C　)
A. B.-
C.- D.或-
解析:因为sin α+cos α=,
所以1+2sin αcos α=,
所以2sin αcos α=-.
因为α∈(0,π),
所以sin α>0,cos α<0,
所以(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,
所以sin α-cos α=,
所以cos2α-sin2α=(cos α-sin α)(cos α+sin α)=-.故选C.
10.若π<α<,则+的化简结果为(　D　)
A. B.-
C. D.-
解析:原式=+
=+=,
因为π<α<,
所以原式=-.
故选D.
11.已知sin α=,cos α=-,且α为第二象限角,则m的允许值为(　C　)
A.C.m=4 D.m=4或m=
解析:因为sin α=,
cos α=-,
所以()2+(-)2=1,
所以m=4或m=.
因为α为第二象限角,
所以>0,-<0,
因此m=4.
故选C.
12.已知sin α,cos α是方程3x2-2x+a=0的两根,则a=　　　　.
解析:因为sin α,cos α是方程3x2-2x+a=0的两根,
所以sin α+cos α=,
sin α·cos α=,
1+2sin α·cos α=1+=,
所以a=-,
满足Δ=4-12a>0,
故a=-.
答案:-
13.若tan α+=3,则sin αcos α=　　　　,tan2α+=　　　　.
解析:因为tan α+=3,
所以+=3,
即=3,
所以sin αcos α=,
tan2α+=(tan α+)2-2tan α·=9-2=7.
答案:　7
应用创新
14.已知sin θ=asin ,tan θ=btan ,其中θ为锐角,求证:cos θ=.
证明:由sin θ=asin ,tan θ=btan ,得
=,
即acos =bcos θ.
而asin =sin θ,得a2=b2cos2θ+sin2θ,
即a2=b2cos2θ+1-cos2θ,得cos2θ=.
而θ为锐角,所以cos θ=.
15.已知关于x的方程2x2-(-1)x+m=0的两根为sin θ和cos θ,其中 θ∈(0,).
(1)求+的值;
(2)求实数m的值.
解:(1)由题意可得,sin θ+cos θ=,
=sin θcos θ,
所以+
=+
=+
=
=cos θ+sin θ
=.
(2)由sin θ+cos θ=,
得1+2sin θcos θ=,
所以sin θcos θ=-,
即=-,
则m=-.
经检验,满足Δ=(-1)2-8m>0,
故m=-.
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5.2.2　同角三角函数的基本关系
核心知识目标 核心素养目标
1.理解同角三角函数的基本关系式.
2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和
证明. 通过同角三角函数式的应用,重点强化学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
知识探究·素养启迪
同角三角函数的基本关系
(1)平方关系: .
知识探究
这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切
(α≠ ).
sin 2α+cos 2α=1
tan α
小试身手
D
B
答案:2
课堂探究·素养培育
探究点一
sin α,cos α,tan α知一求二
方法总结
利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法
(1)已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系;
(2)若角α所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果.
(3)记住常见的“勾股数”如6,8,10;5,12,13;8,15,17等可以方便解题.
探究点二
已知正切值求值
(2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α.
[即时训练2-1] 已知tan α=3,求下列各式的值.
[即时训练2-1] 已知tan α=3,求下列各式的值.
(3)cos2α-3sin αcos α.
方法总结
已知角α的正切值,求由sin α和cos α构成的代数式的值,构成的代数式通常是分式齐次式或整式齐次式.
探究角度1　三角函数式的化简
探究点三
三角函数式的化简与证明
方法总结
三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.
(2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解或构造sin2α+
cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
探究角度2　三角函数式的证明
方法总结
(1)简单的三角恒等式的证明思路
①从一边开始,证明它等于另一边.
②证明左、右两边等于同一个式子.
③逐步寻找等式成立的条件,达到由繁到简.
(2)证明三角恒等式常用技巧及遵循的原则
①常用技巧:切化弦、整体代换、“1”的代换等.
②原则:由繁到简,变异为同.
备用例题
[例1] 已知tan α=m,求sin α,cos α.
解:(1)当m=0时,α=kπ(k∈Z),则sin α=0,cos α=1或cos α=-1.
[例2] 已知3sin α+4cos α=0.求
(1)sin αcos α;
[例2] 已知3sin α+4cos α=0.求
[例3] 化简.
[例3] 化简.
课堂达标
B
D
3.化简(1+tan2α)·cos2α=　 　　　.
答案:15.2.2　同角三角函数的基本关系
选题明细表
知识点、方法 题号
同角三角函数关系式的理解求值 1,2,5,8,13
同角三角函数关系式的化简 3,6,10
综合应用 4,7,9,11, 12,14,15
基础巩固
1.若α为第四象限角,且sin α=-,则tan α的值等于(　D　)
A. B.- C. D.-
解析:因为α为第四象限角,且sin α=-,
所以cos α==,
所以tan α==-.
故选D.
2.已知cos α=-,α∈(,π),sin β=-,β为第三象限角,则sin α·tan β等于(　B　)
A.- B.
C. D.-
解析:因为cos α=-,α∈(,π),sin β=-,
β是第三象限角,所以sin α==,
cos β=-=-,
即tan β=,则sin α·tan β=.故选B.
3.(多选题)以下各式化简结果为sin α的有(　AC　)
A.cos α·tan α
B.
C.sin3α+sin α·cos4α+sin3αcos2α
D.-
解析:对A,原式=cos α·=sin α,故A正确;
对B,原式==|sin α|,故B错误;
对C,原式=sin3α+sin αcos2α(cos2α+sin2α)=sin3α+
sin αcos2α=sin α(sin2α+cos2α)=sin α,故C正确;
对D,原式====-2tan2α,故D错误.
故选AC.
4.已知α是三角形的一个内角,且sin α+cos α=,那么这个三角形的形状为(　B　)
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
解析:因为sin α+cos α=,
所以(sin α+cos α)2=,
即1+2sin αcos α=,
所以sin αcos α=-<0,所以α∈(,π).故选B.
5.已知=,则tan θ的值为(　A　)
A.-4 B.- C. D.4
解析:由=可得=,
解得tan θ=-4.故选A.
6.化简(+)(1-cos α)的结果是　 　　　.
解析:原式=(+)(1-cos α)
==
==sin α.
答案:sin α
能力提升
7.已知tan θ=2,则sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ等于(　D　)
A.- B. C.- D.
解析:sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ
=
=
=.
故选D.
8.如果角θ满足sin θ+cos θ=,那么tan θ+的值是(　D　)
A.-1 B.-2 C.1 D.2
解析:因为sin θ+cos θ=,
所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=2,
所以sin θcos θ=,
所以tan θ+=+===2.故选D.
9.设α∈(0,π),sin α+cos α=,则cos 2α-sin 2α的值是(　C　)
A. B.-
C.- D.或-
解析:因为sin α+cos α=,
所以1+2sin αcos α=,
所以2sin αcos α=-.
因为α∈(0,π),
所以sin α>0,cos α<0,
所以(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,
所以sin α-cos α=,
所以cos2α-sin2α=(cos α-sin α)(cos α+sin α)=-.故选C.
10.若π<α<,则+的化简结果为(　D　)
A. B.-
C. D.-
解析:原式=+=+=,
因为π<α<,
所以原式=-.
故选D.
11.已知sin α=,cos α=-,且α为第二象限角,则m的允许值为(　C　)
A.C.m=4 D.m=4或m=
解析:因为sin α=,
cos α=-,
所以()2+(-)2=1,
所以m=4或m=.
因为α为第二象限角,
所以>0,-<0,
因此m=4.
故选C.
12.已知sin α,cos α是方程3x2-2x+a=0的两根,则a=　　　　.
解析:因为sin α,cos α是方程3x2-2x+a=0的两根,
所以sin α+cos α=,
sin α·cos α=,
1+2sin α·cos α=1+=,
所以a=-,
满足Δ=4-12a>0,
故a=-.
答案:-
13.若tan α+=3,则sin αcos α=　　　 　,tan2α+=
　　　 　.
解析:因为tan α+=3,
所以+=3,
即=3,
所以sin αcos α=,
tan2α+=(tan α+)2-2tan α·=9-2=7.
答案:　7
应用创新
14.已知sin θ=asin ,tan θ=btan ,其中θ为锐角,求证:
cos θ=.
证明:由sin θ=asin ,tan θ=btan ,得=,
即acos =bcos θ.
而asin =sin θ,得a2=b2cos2θ+sin2θ,
即a2=b2cos2θ+1-cos2θ,得cos2θ=.
而θ为锐角,所以cos θ=.
15.已知关于x的方程2x2-(-1)x+m=0的两根为sin θ和cos θ,其中 θ∈(0,).
(1)求+的值;
(2)求实数m的值.
解:(1)由题意可得,sin θ+cos θ=,=sin θcos θ,
所以+
=+
=+
=
=cos θ+sin θ
=.
(2)由sin θ+cos θ=,
得1+2sin θcos θ=,
所以sin θcos θ=-,
即=-,
则m=-.
经检验,满足Δ=(-1)2-8m>0,
故m=-.
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