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5.3.2　正切函数的图象与性质
核心知识目标 核心素养目标
1.了解正切函数图象的画法,理解并掌握正切函数的性质. 2.能利用正切函数的图象与性质解决有关问题. 通过利用正切函数的图象与性质的应用,重点强化学生的数学抽象、逻辑推理的核心素养.
正切函数y=tan x的图象与性质
项目 y=tan x
图象
定义域 {x|x∈R,且x≠kπ+,k∈Z}
值域 R
周期 最小正周期为π
奇偶性 奇函数
单调性 在开区间(kπ-,kπ+)(k∈Z) 内单调递增
1.函数y=tan 2x的周期为(　A　)
A. B.π
C.2π D.4π
解析:由函数图象(图略)可知,函数y=tan 2x的周期T=.故选A.
2.函数f(x)=3tan(x+π)是(　A　)
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
解析:因为tan(x+π)=tan x,
所以f(x)=3tan x,
定义域为{x|x≠kπ+,k∈Z}.
又f(-x)=3tan(-x)=-3tan x=-f(x),
所以f(x)是奇函数.故选A.
3.函数y=tan(-x)的定义域是　　　　.
解析:函数的解析式即y=-tan(x-),
要使函数有意义,
则x-≠kπ+(k∈Z),
解得x≠kπ+(k∈Z),
据此可得函数y=tan(-x)的定义域是.
答案:
4.函数y=-tan x的单调递减区间是　　　　.
解析:因为y=tan x与y=-tan x的单调性相反,
所以y=-tan x的单调递减区间为(-+kπ,+kπ)(k∈Z).
答案:(-+kπ,+kπ)(k∈Z)
　正切(型)函数的定义域、值域
[例1] (1)函数y=的定义域是　;
(2)函数y=tan2x-2tan x(|x|≤)的值域为　　　　　　　　.
解析:(1)要使原式有意义,
则kπ-即故函数y=的定义域是(kπ-,kπ+)∪(kπ+,kπ+)(k∈Z).
(2)令u=tan x,
因为|x|≤,
所以由正切函数的图象知u∈[-,],
所以原函数可化为y=u2-2u,u∈[-,].
因为二次函数y=u2-2u=(u-1)2-1的图象开口向上,对称轴为直线u=1,
所以当u=1时,ymin=-1;
当u=-时,ymax=3+2.
所以原函数的值域为[-1,3+2].
答案:(1)(kπ-,kπ+)∪(kπ+,kπ+)(k∈Z)　(2)[-1,3+2]
[即时训练1-1] 函数y=tan2(3x+)+tan(3x+)+1的定义域为　　　　　　　　　,值域为　　　　.
解析:由3x+≠kπ+,k∈Z,
得x≠+,k∈Z,
所以函数的定义域为{x|x≠+,k∈Z}.
设t=tan(3x+),
则t∈R,
y=t2+t+1=(t+)2+≥,
所以原函数的值域是[,+∞).
答案:{x|x≠+,k∈Z}　[,+∞)
(1)求正切函数定义域的方法
①求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠+kπ,k∈Z;
②求正切型函数y=Atan(ωx+)(A≠0,ω>0)的定义域时,要将“ωx+”视为一个整体,令ωx+≠kπ+,k∈Z,解得x.
(2)求解与正切函数关系式有关的不等式,应根据正切函数的图象,求出区间(-,)内的解集,然后根据不等式对应的正切函数的周期,写出整个不等式的解集.
　正切(型)函数的周期性、奇偶性、对称性
探究角度1　正切(型)函数的周期
[例2] 函数f(x)=2tan(2x+)和函数g(x)=|2tan(2x+)|的最小正周期分别为(　　)
A., B.,
C.π, D.π,π
解析:函数f(x)=2tan(2x+)的最小正周期T==,
根据g(x)=|2tan(2x+)|的图象,其最小正周期仍然是.故选B.
[即时训练2-1] 若函数f(x)=2tan(ωx+)的最小正周期为4π,则ω=　　　　.
解析:由正切型函数周期公式知4π=,
所以ω=±.
答案:±
(1)函数y=Atan(ωx+)(A≠0,ω≠0)的最小正周期T=,也常常利用此公式来求周期.
(2)函数y=|Atan(ωx+)|的周期不变,仍为T=.
探究角度2　正切函数的奇偶性与对称性
[例3] (1)函数y=Atan(ωx+)(A>0,ω>0)为奇函数需满足的条件为　　　　　　　　;
(2)已知函数f(x)=tan(x+),||<的图象的一个对称中心为(,0),则的值为　　　　.
解析:(1)若函数f(x)=Atan(ωx+)(A>0,ω>0)为奇函数,
则根据正切函数的对称中心可得ω·0+=,k∈Z,所以=,k∈Z.
(2)因为函数f(x)=tan(x+)的图象的一个对称中心为(,0),
所以+=,k∈Z,
则=-+,k∈Z.
又||<,取k=0,得=-;
取k=1,得=,所以的值为-或.
答案:(1)=,k∈Z　(2)-或
[即时训练3-1] 已知函数f(x)=tan x+,若f(α)=5,则f(-α)=　　　　　.
解析:因为f(x)=tan x+,其中x≠+kπ,k∈Z,
所以f(-x)=tan(-x)+
=-tan x-=-f(x).
又因为f(α)=5,
所以f(-α)=-5.
答案:-5
(1)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称.若不对称,则该函数无奇偶性,若对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.涉及与正切函数有关的奇偶性应注意tan(-x)=-tan x的应用.
(2)涉及y=Atan(ωx+)(A≠0,ω≠0)的对称中心问题,可令ωx0+=(k∈Z),求得对称中心的横坐标x0,其对称中心为(x0,0).
探究角度3　正切(型)函数的单调性
[例4] 求函数y=3tan(x-)的单调区间.
解:由kπ-得2kπ-所以函数y=3tan(x-)的单调递增区间是(2kπ-,2kπ+)(k∈Z),无单调递减区间.
[即时训练4-1] tan 1,tan 2,tan 3,tan 4从小到大的排列顺序为　　　　　　　　.
解析:y=tan x在区间(,)上单调递增,
且tan 1=tan(π+1),
又<2<3<4<π+1<,
所以tan 2答案:tan 2(1)求函数y=Atan(ωx+)(A,ω,都是常数)的单调区间的方法
①若ω>0,可用“整体代换”的思想,令kπ-<ωx+(2)比较正切值的大小
第一步:运用学过的三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区间上;
第二步:运用正切函数的单调性比较大小关系.
[例1] (1)函数y=lotan(-x)的定义域是(　　)
A.{x|x=kπ-,k∈Z}
B.{x|kπ-C.{x|x≠kπ-,k∈Z}
D.{x|x≠kπ+,k∈Z}
(2)函数y=的定义域为　　　　,值域为　　　　.
解析:(1)由题意tan(-x)>0,
即tan(x-)<0,
所以kπ-所以kπ-(2)由-tan x≥0得,tan x≤.
结合y=tan x的图象可知,
在(-,)上满足tan x≤的角x应满足-所以函数y=的定义域为
{x|kπ-其值域为[0,+∞).
答案:(1)B
(2){x|kπ-[例2] 函数f(x)=tan(-)的周期是(　　)
A.3π+ B.
C.3 D.+
解析:T==(k∈Z,且k≠0),k=2时,T=3.故选C.
[例3] 函数f(x)=1+tan(x-)的一个对称中心为(　　)
A.(,1) B.(,0)
C.(,1) D.(,0)
解析:由x-=知x=k+(k∈Z).又函数f(x)=1+tan(x-)的对称中心是由y=tan(x-)的对称中心(k+,0) (k∈Z)向上平移1个单位长度而得到,故当k=0时,函数f(x)的对称中心是(,1).故选C.
[例4] 比较大小.
(1)tan 259°与tan 233°;
(2)tan 和tan(-).
解:(1)因为tan 259°=tan(180°+79°)=tan 79°,
tan 233°=tan(180°+53°)=tan 53°,
y=tan x在(0,)上为增函数,
所以tan 79°>tan 53°,
所以tan 259°>tan 233°.
(2)因为tan =tan(4π-)=-tan ,
tan(-)=tan(-3π-)=-tan ,
-tan <0,-tan <0,
且|tan |<|tan π|,
所以tan 1.与函数y=tan(2x+)的图象不相交的一条直线是(　C　)
A.x= B.y=
C.x= D.y=
解析:由正切函数图象知2x+≠kπ+,k∈Z,
所以x≠+,k∈Z,故符合题意的只有C选项.故选C.
2.下列所给点不是函数f(x)=tan 2x的对称点的是(　D　)
A.(,0) B.(,0)
C.(-,0) D.(,0)
解析:函数f(x)=tan 2x的对称点的横坐标满足2x=(k∈Z),
即x=(k∈Z),
由于k∈Z时,≠.故选D.
3.若函数y=tan(3ax-)(a≠0)的最小正周期为,则a=　　　　.
解析:因为=,所以|a|=,所以a=±.
答案:±
4.函数y=tan(+),x∈(0,]的值域是　.
解析:由x∈(0,],得+∈(,],
结合正切函数的性质可得1答案:(1,]
选题明细表
知识点、方法 题号
正切函数的图象 3,10,12
正切函数的性质 2,5,6,7,9,11
正切函数的综合应用 1,4,8,13
基础巩固
1.(多选题)y=tan满足下列哪些条件(　AB　)
A.在(0,)上单调递增
B.为奇函数
C.以π为最小正周期
D.定义域为{x|x≠+,k∈Z}
解析:当x∈(0,)时,y=tan 在(0,)上单调递增,tan(-)=-tan ,故y=tan 为奇函数,因此A,B正确;T==2π,所以C不正确;由≠+kπ,k∈Z,得{x|x≠π+2kπ,k∈Z},所以D不正确.故选AB.
2.函数y=tan(cos x)的值域是(　C　)
A.[-,] B.[-,]
C.[-tan 1,tan 1] D.以上均不对
解析:因为-1≤cos x≤1,且函数y=tan x在[-1,1]上单调递增,所以tan(-1)≤tan x≤tan 1,即-tan 1≤tan x≤tan 1.故选C.
3.下列图形分别是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x);④y=
tan |x|在x∈(-,)内的大致图象,那么由a到d对应的函数关系式应是(　D　)
A.①②③④ B.①③④②
C.③②④① D.①②④③
解析:因为y=tan(-x)=-tan x在(-,)上为减函数,对应d.故选D.
4.函数y=的定义域为(　C　)
A.(kπ,kπ+],k∈Z
B.(kπ,kπ+],k∈Z
C.(kπ-,kπ+],k∈Z
D.(kπ-,kπ],k∈Z
解析:要使函数y=有意义,
则1-tan(x-)≥0,故tan(x-)≤1,
故kπ-5.函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象与直线y=2相交,相邻的两个交点距离为,则f()的值是(　D　)
A.- B. C.1 D.
解析:因为函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象与直线y=2相交,相邻的两个交点距离为,
所以该函数的最小正周期T==,所以ω=2,f(x)=tan 2x,则f()=
tan =.故选D.
6.函数y=tan(2x-)的周期是　　　　,单调递增区间是　　 　
　　　　　　　　.
解析:函数的周期T=,令-+kπ<2x-<+kπ(k∈Z),得单调递增区间(-+,+)(k∈Z).
答案:　(-+,+)(k∈Z)
能力提升
7.下列各式比较大小正确的是(　C　)
A.tan >tan B.tan 138°>tan 143°
C.tan -tan 2
解析:因为0<<<,
所以tan >tan ,故A不正确;
因为90°<138°<143°<180°,
所以tan 143°>tan 138°,故B不正确;
因为tan =tan ,且0<<<,正切函数在(0,)上为增函数,
所以tan 因为-tan 2=tan(-2)=tan(π-2),
1<π-2<,所以tan 1即tan 1<-tan 2,
故D不正确.故选C.
8.若函数y=tan(ωx+)在[-,]上为减函数,且在[-,]上的最大值为,则ω的值可能为(　A　)
A.- B. C.-1 D.1
解析:由题意,函数y=tan(ωx+)在[-,]上为减函数,可得ω<0且-ω+=+kπ(k∈Z),解得ω=--3k(k∈Z),当k=0时,解得ω=-.故选A.
9.已知函数f(x)=5tan(2x+)(0<<),其函数图象的一个对称中心是(,0),则该函数的单调递增区间可以是(　D　)
A.(-,) B.(-,)
C.(-,) D.(-,)
解析:因为(,0)为函数图象的一个对称中心,
所以2×+=,k∈Z,
解得=-,k∈Z.
因为∈(0,),所以=,
所以f(x)=5tan(2x+).
当x∈(-,)时,2x+∈(-,),此时f(x)不单调,A不符合题意;
当x∈(-,)时,2x+∈(0,π),此时f(x)不单调,B不符合题意;
当x∈(-,)时,2x+∈(-,),此时f(x)不单调,C不符合题意;
当x∈(-,)时,2x+∈(-,),此时f(x)单调递增,D符合题意.故选D.
10.当x∈[0,2π]时,不等式tan xA.(,π) B.(,)
C.(,π)∪(,2π) D.(,π)∪(,2π)
解析:作出函数y=tan x,y=sin x在x∈[0,2π]内的图象,如图所示.
由图可知,当x∈[0,2π]时,不等式tan x11.(多选题)关于函数f(x)=|tan x|的性质,下列叙述正确的是(　BCD　)
A.f(x)的最小正周期为
B.f(x)是偶函数
C.f(x)的图象关于直线x=(k∈Z)对称
D.f(x)在区间(kπ,kπ+)(k∈Z)内单调递增
解析:因为f(x+)=|tan(x+)|=||≠f(x),所以A错;f(-x)=
|tan(-x)|=|tan x|=f(x),所以函数f(x)是偶函数,B正确;由f(x)=
|tan x|的图象(图略)可知,C,D均正确.故选BCD.
应用创新
12.如图所示,函数y=tan(2x+)的部分图象与坐标轴分别交于点D,E,F,则△DEF的面积等于(　A　)
A. B. C.π D.2π
解析:在y=tan(2x+)中,令x=0,
得y=tan =1,
故OD=1.
又函数y=tan(2x+)的最小正周期T=,所以EF=,
所以S△DEF=EF·OD=××1=.故选A.
13.已知函数y=f(x),其中f(x)=tan(ωx+),ω>0.
(1)若ω=2,求函数y=f(x)的最小正周期以及函数图象的对称中心;
(2)若函数y=f(x)在[0,π]上严格递增,求ω的取值范围;
(3)若函数y=f(x)在[a,b](a,b∈R,且a解:(1)当ω=2时,f(x)=tan(2x+)的最小正周期T=.
令2x+=,k∈Z,解得x=-,k∈Z,
故f(x)的图象的对称中心为(-,0),k∈Z.
(2)若函数y=f(x)在[0,π]上严格递增,
则ω·π+<,解得ω<,
即ω的取值范围为(0,).
(3)方程f(x)=在[a,b]上至少存在2 021个根,
故当x∈[a,b]时,tan(ωx+)=至少有2 021个根,
即ωx+=kπ+,k∈Z,至少有2 021个根,
即当x∈[a,b]时,x=至少有2 021个根,
且在所有满足上述条件的[a,b]中,b-a的最小值不小于2 021,
故b-a至少包含2 020个周期,
即b-a≥2 020·≥2 021,
所以ω∈(0,].
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5.3.2　正切函数的图象与性质
核心知识目标 核心素养目标
1.了解正切函数图象的画法,理解并掌握正切函数的性质.
2.能利用正切函数的图象与性质解决有关问题. 通过利用正切函数的图象与性质的应用,重点强化学生的数学抽象、逻辑推理的核心素养.
知识探究·素养启迪
正切函数y=tan x的图象与性质
知识探究
项目 y=tan x
图象
定义域 .
值域 .
周期 最小正周期为 .
奇偶性 .
单调性 在开区间 .
内单调递增
R
π
奇函数
小试身手
A
A
2.函数f(x)=3tan(x+π)是(　 　)
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
4.函数y=-tan x的单调递减区间是　　　　.
课堂探究·素养培育
探究点一
正切(型)函数的定义域、值域
方法总结
(1)求正切函数定义域的方法
探究点二
正切(型)函数的周期性、奇偶性、对称性
探究角度1　正切(型)函数的周期
方法总结
探究角度2　正切函数的奇偶性与对称性
答案:-5
方法总结
(1)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称.若不对称,则该函数无奇偶性,若对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.涉及与正切函数有关的奇偶性应注意tan(-x)=-tan x的应用.
探究角度3　正切(型)函数的单调性
[即时训练4-1] tan 1,tan 2,tan 3,tan 4从小到大的排列顺序为　 　 .
答案:tan 2方法总结
(2)比较正切值的大小
第一步:运用学过的三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区间上;
第二步:运用正切函数的单调性比较大小关系.
备用例题
答案:(1)B
[例4] 比较大小.
(1)tan 259°与tan 233°;
课堂达标
C
D5.3.2　正切函数的图象与性质
选题明细表
知识点、方法 题号
正切函数的图象 3,10,12
正切函数的性质 2,5,6,7,9,11
正切函数的综合应用 1,4,8,13
基础巩固
1.(多选题)y=tan满足下列哪些条件(　AB　)
A.在(0,)上单调递增
B.为奇函数
C.以π为最小正周期
D.定义域为{x|x≠+,k∈Z}
解析:当x∈(0,)时,y=tan 在(0,)上单调递增,tan(-)=-tan ,故y=tan 为奇函数,因此A,B正确;T==2π,所以C不正确;由≠+kπ,k∈Z,得{x|x≠π+2kπ,k∈Z},所以D不正确.故选AB.
2.函数y=tan(cos x)的值域是(　C　)
A.[-,] B.[-,]
C.[-tan 1,tan 1] D.以上均不对
解析:因为-1≤cos x≤1,且函数y=tan x在[-1,1]上单调递增,所以tan(-1)≤tan x≤tan 1,即-tan 1≤tan x≤tan 1.故选C.
3.下列图形分别是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x);④y=
tan |x|在x∈(-,)内的大致图象,那么由a到d对应的函数关系式应是(　D　)
A.①②③④ B.①③④②
C.③②④① D.①②④③
解析:因为y=tan(-x)=-tan x在(-,)上为减函数,对应d.故选D.
4.函数y=的定义域为(　C　)
A.(kπ,kπ+],k∈Z
B.(kπ,kπ+],k∈Z
C.(kπ-,kπ+],k∈Z
D.(kπ-,kπ],k∈Z
解析:要使函数y=有意义,
则1-tan(x-)≥0,故tan(x-)≤1,
故kπ-5.函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象与直线y=2相交,相邻的两个交点距离为,则f()的值是(　D　)
A.- B. C.1 D.
解析:因为函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象与直线y=2相交,相邻的两个交点距离为,
所以该函数的最小正周期T==,所以ω=2,f(x)=tan 2x,则f()=
tan =.故选D.
6.函数y=tan(2x-)的周期是　　　　,单调递增区间是　　 　
　　　　　　　　.
解析:函数的周期T=,令-+kπ<2x-<+kπ(k∈Z),得单调递增区间(-+,+)(k∈Z).
答案:　(-+,+)(k∈Z)
能力提升
7.下列各式比较大小正确的是(　C　)
A.tan >tan B.tan 138°>tan 143°
C.tan -tan 2
解析:因为0<<<,
所以tan >tan ,故A不正确;
因为90°<138°<143°<180°,
所以tan 143°>tan 138°,故B不正确;
因为tan =tan ,且0<<<,正切函数在(0,)上为增函数,
所以tan 因为-tan 2=tan(-2)=tan(π-2),
1<π-2<,所以tan 1即tan 1<-tan 2,
故D不正确.故选C.
8.若函数y=tan(ωx+)在[-,]上为减函数,且在[-,]上的最大值为,则ω的值可能为(　A　)
A.- B. C.-1 D.1
解析:由题意,函数y=tan(ωx+)在[-,]上为减函数,可得ω<0且-ω+=+kπ(k∈Z),解得ω=--3k(k∈Z),当k=0时,解得ω=-.故选A.
9.已知函数f(x)=5tan(2x+)(0<<),其函数图象的一个对称中心是(,0),则该函数的单调递增区间可以是(　D　)
A.(-,) B.(-,)
C.(-,) D.(-,)
解析:因为(,0)为函数图象的一个对称中心,
所以2×+=,k∈Z,
解得=-,k∈Z.
因为∈(0,),所以=,
所以f(x)=5tan(2x+).
当x∈(-,)时,2x+∈(-,),此时f(x)不单调,A不符合题意;
当x∈(-,)时,2x+∈(0,π),此时f(x)不单调,B不符合题意;
当x∈(-,)时,2x+∈(-,),此时f(x)不单调,C不符合题意;
当x∈(-,)时,2x+∈(-,),此时f(x)单调递增,D符合题意.故选D.
10.当x∈[0,2π]时,不等式tan xA.(,π) B.(,)
C.(,π)∪(,2π) D.(,π)∪(,2π)
解析:作出函数y=tan x,y=sin x在x∈[0,2π]内的图象,如图所示.
由图可知,当x∈[0,2π]时,不等式tan x11.(多选题)关于函数f(x)=|tan x|的性质,下列叙述正确的是(　BCD　)
A.f(x)的最小正周期为
B.f(x)是偶函数
C.f(x)的图象关于直线x=(k∈Z)对称
D.f(x)在区间(kπ,kπ+)(k∈Z)内单调递增
解析:因为f(x+)=|tan(x+)|=||≠f(x),所以A错;f(-x)=
|tan(-x)|=|tan x|=f(x),所以函数f(x)是偶函数,B正确;由f(x)=
|tan x|的图象(图略)可知,C,D均正确.故选BCD.
应用创新
12.如图所示,函数y=tan(2x+)的部分图象与坐标轴分别交于点D,E,F,则△DEF的面积等于(　A　)
A. B. C.π D.2π
解析:在y=tan(2x+)中,令x=0,
得y=tan =1,
故OD=1.
又函数y=tan(2x+)的最小正周期T=,所以EF=,
所以S△DEF=EF·OD=××1=.故选A.
13.已知函数y=f(x),其中f(x)=tan(ωx+),ω>0.
(1)若ω=2,求函数y=f(x)的最小正周期以及函数图象的对称中心;
(2)若函数y=f(x)在[0,π]上严格递增,求ω的取值范围;
(3)若函数y=f(x)在[a,b](a,b∈R,且a解:(1)当ω=2时,f(x)=tan(2x+)的最小正周期T=.
令2x+=,k∈Z,解得x=-,k∈Z,
故f(x)的图象的对称中心为(-,0),k∈Z.
(2)若函数y=f(x)在[0,π]上严格递增,
则ω·π+<,解得ω<,
即ω的取值范围为(0,).
(3)方程f(x)=在[a,b]上至少存在2 021个根,
故当x∈[a,b]时,tan(ωx+)=至少有2 021个根,
即ωx+=kπ+,k∈Z,至少有2 021个根,
即当x∈[a,b]时,x=至少有2 021个根,
且在所有满足上述条件的[a,b]中,b-a的最小值不小于2 021,
故b-a至少包含2 020个周期,
即b-a≥2 020·≥2 021,
所以ω∈(0,].
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