资源简介

(共40张PPT)
第2课时　正弦函数、余弦函数的单调性与最值
知识探究·素养启迪
正弦函数、余弦函数的单调性与最值
(1)值域与最值
正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1],最大值都是1,最小值都是-1.
知识探究
小试身手
B
1.方程sin x=2a-1(x∈R)中a的取值范围是(　 　)
A.R B.[0,1]
C.(0,1) D.[0,2]
解析:因为x∈R,所以-1≤sin x≤1,
所以-1≤2a-1≤1,所以0≤a≤1.
故选B.
A
3.函数f(x)=2-3cos x的值域是　　　　,函数在[-2π,0]上的单调递减区间是　　　　.
解析:因为-1≤cos x≤1,
所以-3≤-3cos x≤3,
所以-1≤2-3cos x≤5.
故函数f(x)的值域是[-1,5].
函数f(x)=2-3cos x的单调递减区间即为函数y=cos x 的单调递增区间,
即[2kπ-π,2kπ](k∈Z),结合已知区间[-2π,0]知函数的单调递减区间是[-π,0].
答案:[-1,5]　[-π,0]
4.cos 1,cos 2,cos 3的大小关系是　　　　.(用“>”连接)
解析:因为0<1<2<3<π,且y=cos x在[0,π]上为减函数,所以cos 1>cos 2>
cos 3.
答案:cos 1>cos 2>cos 3
课堂探究·素养培育
探究角度1　利用图象确定函数的单调区间
探究点一
正、余弦(型)函数的单调性
方法总结
(1)研究三角函数的单调性时,若函数的图象容易作出(或不能直接利用y=sin x,y=cos x的单调性求解,可以作出函数图象),结合图象研究函数性质.
易错警示
本例中,由于函数y=|sin x|周期为π,因此函数的单调性中应为kπ
(k∈Z)的形式.
[例2] 分别求下列函数的单调区间.
[例2] 分别求下列函数的单调区间.
答案:(1)ABD
方法总结
求正弦、余弦型函数单调区间的方法
(3)当A<0时,要注意单调区间的变化,谨防将增区间与减区间混淆.
[例3] 比较下列各组数的大小.
(1)sin 194°与cos 160°;
探究角度3　利用正、余弦函数单调性比较大小
解:(1)sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°,
cos 160°=cos(90°+70°)=-sin 70°.
因为0°<14°<70°<90°,函数y=sin x在区间(0°,90°)上为增函数,所以sin 14°所以-sin 14°>-sin 70°,
所以sin 194°>cos 160°.
[例3] 比较下列各组数的大小.
[例3] 比较下列各组数的大小.
解:(1)因为sin(-320°)=sin(-360°+40°)=sin 40°,
sin 700°=sin(720°-20°)=sin(-20°),
又函数y=sin x在[-90°,90°]上为增函数,
所以sin 40°>sin(-20°),
所以sin(-320°)>sin 700°.
[即时训练3-1] 比较下列各组数的大小.
(1)sin(-320°)与sin 700°;
[即时训练3-1] 比较下列各组数的大小.
方法总结
三角函数值大小比较的策略
(2)不同名的函数化为同名的函数.
(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内,借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.
探究点二
正、余弦(型)函数的值域与最值
探究角度1　正、余弦(型)函数的最值问题
[例4] 求下列函数的最值,并求函数取最值时,相应x的值.
[例4] 求下列函数的最值,并求函数取最值时,相应x的值.
[即时训练4-1] 求下列函数最值,并求取最大值和最小值时x的值.
(1)y=1-3cos 2x;
[即时训练4-1] 求下列函数最值,并求取最大值和最小值时x的值.
方法总结
探究角度2　形如y=Asin2x+Bsin x+C或y=Acos2x+Bcos x+C型最值问题
方法总结
形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的三角函数,可先设sin x=t,将函数y=
asin2x+bsin x+c(a≠0)化为关于t的二次函数y=at2+bt+c(a≠0)(-1≤t≤
1),根据二次函数的单调性求值域(最值).
备用例题
[例1] (多选题)已知f(x)=-sin x,则下列区间是函数的单调递减区间的是(　　)
解析:法一　作出函数f(x)=-sin x的图象如图所示.
可知函数的单调递减区间是A,D.故选AD.
法二　由于f(x)=-sin x的单调性与y=sin x单调性相反.故选AD.
[例2] 比较下列各式的大小.
[例2] 比较下列各式的大小.
课堂达标
D
1.函数f(x)=3-2cos 4x的最大值为(　 　)
A.1 B.2
C.3 D.5
解析:因为-1≤cos 4x≤1,
所以-2≤2cos 4x≤2,
所以1≤3-2cos 4x≤5,
所以f(x)=3-2cos 4x的最大值为5.故选D.
D
C第2课时　正弦函数、余弦函数的单调性与最值
选题明细表
知识点、方法 题号
正、余弦(型)函数最值 1,2,6,10
正、余弦(型)函数单调性 3,4,7,8,9
正、余弦(型)函数综合应用 5,11,12,13
基础巩固
1.函数f(x)=sin(2x-)在区间[0,]上的最小值是(　B　)
A.-1 B.- C. D.0
解析:因为x∈[0,],
所以2x-∈[-,],
所以sin(2x-)∈[-,1],
所以f(x)min=-.故选B.
2.函数f(x)=-2sin2x+2cos x的最大值和最小值分别是(　B　)
A.2,-2 B.2,-
C.2,- D.,-2
解析:f(x)=-2sin2x+2cos x
=-2×(1-cos2x)+2cos x
=2cos2x+2cos x-2
=2[(cos x+)2-]
=2(cos x+)2-,
因为-1≤cos x≤1,
所以f(x)min=-,f(x)max=2.故选B.
3.函数y=sin(x+)的单调递增区间是(　B　)
A.[,π] B.[-,]
C.[-π,0] D.[,]
解析:当2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),
即2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z)时,
函数y=sin(x+)单调递增,
当k=0时,-≤x≤.故选B.
4.下列区间中使y=sin x和y=cos x都是减函数的是(　C　)
A.[-,0] B.[0,]
C.[,π] D.[π,]
解析:x∈[-,0]时,y=sin x和y=cos x都是增函数,故A错误;
x∈[0,]时,y=sin x是增函数,y=cos x是减函数,故B错误;
x∈[,π]时,y=sin x和y=cos x都是减函数,故C正确;
x∈[π,]时,y=sin x是减函数,y=cos x是增函数,故D错误.故
选C.
5.下列函数中,周期为π,且在[,]上单调递减的是(　D　)
A.y=sin(x+) B.y=cos(x+)
C.y=cos(2x+) D.y=sin(2x+)
解析:由题意得,函数的周期为π,只有C,D满足题意,函数y=
cos(2x+)=-sin 2x在[,]上为增函数,函数y=sin(2x+)=cos 2x在[,]上为减函数.故选D.
6.函数y=cos2x-4cos x+5的值域是　　　　.
解析:令t=cos x,由于x∈R,故-1≤t≤1,
y=t2-4t+5=(t-2)2+1.当t=-1,即cos x=-1时,函数有最大值10;当t=1,即cos x=1时,函数有最小值2,所以该函数的值域是[2,10].
答案:[2,10]
能力提升
7.若0<α<β<,a=sin(α+),b=sin(β+),则(　A　)
A.ab
C.ab<1 D.ab>
解析:因为0<α<β<,
所以<α+<β+<,
而正弦函数y=sin x在[0,]上为增函数,
所以sin(α+)8.(多选题)下列不等式中成立的是(　ABC　)
A.sin 3B.cos 3C.cos(-)D.sin 解析:因为<2<3<π,所以sin 2>sin 3,cos 2>cos 3,故选项A,B
正确;
因为-<-<-<0,
所以cos(-)因为sin =sin ,sin =sin ,
且0<<<,所以sin 即sin>sin,
故选项D错误.故选ABC.
9.若函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0)在[0,π]上的值域为[-,1],则ω的最小值为(　A　)
A. B. C. D.
解析:函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0),因为x∈[0,π],所以ωx-∈[-,ωπ-].根据正弦函数的性质,当x=0时,可得f(0)=-,所以≤ωπ-≤,解得≤ω≤,则ω的最小值为.故选A.
10.函数y=cos 2x+sin x(-≤x≤)的最大值与最小值之和为(　A　)
A. B.2 C.0 D.
解析:y=cos 2x+sin x=-sin 2x+sin x+1,
因为x∈[-,],
所以sin x∈[-,],
设t=sin x,则t∈[-,],
则f(t)=-t2+t+1=-(t-)2+,
t∈[-,],
又函数f(t)在[-,]上为增函数,
则f(t)max=f()=,
f(t)min=f(-)=,
则函数y=cos 2x+sin x(-≤x≤)的最大值与最小值之和为+=.
故选A.
11.若f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间[0,]上的最大值是,则ω=
　　　　,若f(x)在[0,]上为增函数,则ω的取值范围是　　　　.
解析:因为0≤x≤,且0<ω<1,
所以0≤ωx≤<.
因为f(x)max=2sin =,
所以sin =,=,即ω=.
由2kπ-≤ωx≤2kπ+,k∈Z,
得-≤x≤+,k∈Z,
令k=0,得-≤x≤,即f(x)在[-,]上为增函数,又f(x)在[0,]上为增函数,所以≤,即0<ω≤.又0<ω<1,所以0<ω<1.
答案:　(0,1)
12.已知函数f(x)=cos(2x-),x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)求函数f(x)在区间[-,]上的最小值和最大值,并求出取得最值时x的值.
解:(1)因为f(x)=cos(2x-),x∈R,
所以函数f(x)的最小正周期T==π.
由-π+2kπ≤2x-≤2kπ(k∈Z),
得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
故函数f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ](k∈Z).
(2)因为x∈[-,],
所以2x-∈[-,],
所以当2x-=0,即x=时,
f(x)max=f()=;
当2x-=,即x=时,
f(x)min=f()=-1.
所以函数f(x)在区间[-,]上的最大值为,此时x=;最小值为-1,此时x=.
应用创新
13.函数y=sin x的定义域为[a,b],值域为[-1,],则b-a的最大值与最小值之和等于(　C　)
A. B. C.2π D.4π
解析:如图,当x∈[a1,b]时,值域为[-1,],且b-a最大;
当x∈[a2,b]时,值域为[-1,],且b-a最小,
所以b-a的最大值与最小值之和为(b-a1)+(b-a2)=2b-(a1+a2)=2×-
(--)=2π.
故选C.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第2课时　正弦函数、余弦函数的单调性与最值
正弦函数、余弦函数的单调性与最值
(1)值域与最值
正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1],最大值都是1,最小值都是-1.
对于正弦函数y=sin x,当且仅当x=+2kπ(k∈Z)时取得最大值1,当且仅当x=-+2kπ(k∈Z)时取得最小值-1;
对于余弦函数y=cos x,当且仅当x=2kπ(k∈Z)时取得最大值1,当且仅当x=(2k+1)π(k∈Z)时取得最小值-1.
(2)单调性
正弦函数y=sin x在闭区间[2kπ-,2kπ+](k∈Z)上是增函数,函数值从-1增大到1,在闭区间[2kπ+,2kπ+](k∈Z)上是减函数,函数值从1减小到-1.
余弦函数y=cos x在闭区间[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)上是减函数,函数值从1减小到-1;在闭区间[(2k+1)π,(2k+2)π](k∈Z)上是增函数,函数值从-1增大到1.
1.方程sin x=2a-1(x∈R)中a的取值范围是(　B　)
A.R B.[0,1]
C.(0,1) D.[0,2]
解析:因为x∈R,所以-1≤sin x≤1,
所以-1≤2a-1≤1,所以0≤a≤1.
故选B.
2.函数y=2sin x在区间[-π,π]上的单调递增区间是(　A　)
A.[-,] B.[-,π]
C.[-π,] D.[-π,π]
解析:函数y=2sin x的单调递增区间是[-+2kπ,2kπ+](k∈Z).当k=0时,该区间为[-,] [-π,π].故选A.
3.函数f(x)=2-3cos x的值域是　　　　,函数在[-2π,0]上的单调递减区间是　　　　.
解析:因为-1≤cos x≤1,
所以-3≤-3cos x≤3,
所以-1≤2-3cos x≤5.
故函数f(x)的值域是[-1,5].
函数f(x)=2-3cos x的单调递减区间即为函数y=cos x 的单调递增区间,
即[2kπ-π,2kπ](k∈Z),结合已知区间[-2π,0]知函数的单调递减区间是[-π,0].
答案:[-1,5]　[-π,0]
4.cos 1,cos 2,cos 3的大小关系是　　　　.(用“>”连接)
解析:因为0<1<2<3<π,且y=cos x在[0,π]上为减函数,所以cos 1>cos 2>cos 3.
答案:cos 1>cos 2>cos 3
　正、余弦(型)函数的单调性
探究角度1　利用图象确定函数的单调区间
[例1] 函数y=|sin x|的一个单调递增区间是(　　)
A.(-,) B.(,)
C.(π,) D.(,2π)
解析:因为y=|sin x|的图象是由y=sin x在x轴上侧的图象不变、x轴下侧的图象对折得到的,如图所示.
由图可知,函数的一个单调递增区间是(π,).故选C.
[即时训练1-1] 函数y=|cos x|的一个单调递增区间是(　　)
A.(-,) B.(,)
C.(π,) D.(,2π)
解析:作出函数y=|cos x|的图象如图所示,
当x∈(,2π)时,函数单调递增.故选D.
(1)研究三角函数的单调性时,若函数的图象容易作出(或不能直接利用y=sin x,y=cos x的单调性求解,可以作出函数图象),结合图象研究函数性质.
(2)一般地,形如y=|Asin(ωx+)|或y=|Acos(ωx+)|的函数单调性常借助图象求解.
本例中,由于函数y=|sin x|周期为π,因此函数的单调性中应为kπ(k∈Z)的形式.
探究角度2　形如y=Asin(ωx+)+k(或y=Acos(ωx+)+k)(A≠0,ω≠0)的函数单调性
[例2] 分别求下列函数的单调区间.
(1)f(x)=2+cos(+);
(2)f(x)=2sin(2x-).
解:(1)令2kπ≤+≤2kπ+π,k∈Z,
得4kπ-≤x≤4kπ+(k∈Z),
故函数的单调递减区间是
[4kπ-,4kπ+](k∈Z);
令2kπ+π≤+≤2kπ+2π,k∈Z,
得4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z),
故函数的单调递增区间是
[4kπ+,4kπ+](k∈Z).
(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
故函数的单调递增区间是[kπ-,kπ+](k∈Z);
令2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),
故函数的单调递减区间是[kπ+,kπ+](k∈Z).
[即时训练2-1] (1)(多选题)函数y=sin(-x+),x∈[-4π,4π]的单调递减区间是(　　)
A.[-4π,-] B.[-,]
C.[,] D.[,4π]
(2)函数y=cos(-2x)的单调递增区间是　　　　　　　　.
解析:(1)因为y=sin(-x+)=-sin(x-)与函数y=sin(x-)的增减性相反,
令-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,
得-+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z,
当k=-1时,-≤x≤-,
当k=0时,-≤x≤,
当k=1时,≤x≤,
又-4π≤x≤4π,所以函数y=sin(-x+)的单调递减区间为[-4π,-],[-,],[,4π].故选ABD.
(2)y=cos(-2x)=cos(2x-),
由-π+2kπ≤2x-≤2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
答案:(1)ABD　(2)[-+kπ,+kπ](k∈Z)
求正弦、余弦型函数单调区间的方法
(1)求函数y=Asin(ωx+)(或y=Acos(ωx+))(A>0,ω>0)的单调区间,一般将ωx+视作整体,代入y=sin x(或y=cos x)相应单调区间所对应的不等式,解之即得.
(2)当ω<0时,先利用诱导公式将y=Asin(ωx+)(或y=Acos(ωx+))(A>0,ω<0)变形为y=-Asin(-ωx-)(或y=Acos(-ωx-))(A>0,ω<0),再求函数的单调区间.
(3)当A<0时,要注意单调区间的变化,谨防将增区间与减区间混淆.
探究角度3　利用正、余弦函数单调性比较大小
[例3] 比较下列各组数的大小.
(1)sin 194°与cos 160°;
(2)cos ,sin ,-cos ;
(3)sin(sin )与sin(cos ).
解:(1)sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°,
cos 160°=cos(90°+70°)=-sin 70°.
因为0°<14°<70°<90°,函数y=sin x在区间(0°,90°)上为增函数,所以sin 14°所以-sin 14°>-sin 70°,
所以sin 194°>cos 160°.
(2)sin =cos(-),
-cos=cos(π-),
因为0<π-<-<<π,
函数y=cos x在(0,π)上为减函数,
所以cos(π-)>cos(-)>cos ,
即-cos >sin >cos .
(3)cos =cos(-)=sin .
因为0<<<,
函数y=sin x在(0,)上为增函数,
所以sin 而0所以sin(cos )[即时训练3-1] 比较下列各组数的大小.
(1)sin(-320°)与sin 700°;(2)cos 与cos .
解:(1)因为sin(-320°)=sin(-360°+40°)=sin 40°,
sin 700°=sin(720°-20°)=sin(-20°),
又函数y=sin x在[-90°,90°]上为增函数,
所以sin 40°>sin(-20°),
所以sin(-320°)>sin 700°.
(2)因为cos =cos(2π+)=cos ,
cos =cos(4π+)=cos ,
又函数y=cos x在[0,π]上为减函数,
所以cos 三角函数值大小比较的策略
(1)利用诱导公式,对于正弦函数来说,一般将两个角转化到[-,]或[,]内;对于余弦函数来说,一般将两个角转化到[-π,0]或[0,π]内.
(2)不同名的函数化为同名的函数.
(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内,借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.
　正、余弦(型)函数的值域与最值
探究角度1　正、余弦(型)函数的最值问题
[例4] 求下列函数的最值,并求函数取最值时,相应x的值.
(1)y=3sin(2x+);
(2)y=1+cos(2x+),x∈[-,].
解:(1)当2x+=2kπ+(k∈Z),
即x=kπ+(k∈Z)时,ymax=3;
当2x+=2kπ-(k∈Z),
即x=kπ-(k∈Z)时,ymin=-3.
(2)因为x∈[-,],
所以2x+∈[-,],
所以-≤cos(2x+)≤1.
当2x+=0,即x=-时,
函数取最大值,ymax=1+1=2;
当2x+=,即x=时,
函数取最小值,ymin=-+1=.
[即时训练4-1] 求下列函数最值,并求取最大值和最小值时x的值.
(1)y=1-3cos 2x;
(2)y=-2sin(2x-),x∈[0,].
解:(1)当cos 2x=1时,y有最小值1-3=-2,此时x的值满足2x=2kπ,即x=kπ(k∈Z);
当cos 2x=-1时,y有最大值1+3=4,此时x的值满足2x=2kπ+π,即x=kπ+(k∈Z).
(2)由x∈[0,]得2x-∈[-,],
所以sin(2x-)∈[-,1],
即-2≤-2sin(2x-)≤.
当2x-=,即x=时,函数取最小值-2;
当2x-=-,即x=0时,函数取最大值.
形如y=Asin(ωx+)+k或y=Acos(ωx+)+k(A≠0,ω≠0)的函数
(1)在R上的最值,可结合sin(ωx+),cos(ωx+)的范围及A的符号确定.
(2)若定义域为确定的区间,令t=ωx+,根据题中x的取值范围,求出t的取值范围,再利用三角函数的单调性、有界性及A的符号,求其值域.
探究角度2　形如y=Asin2x+Bsin x+C或y=Acos2x+Bcos x+C型最值问题
[例5] 求使函数y=-sin2x+sin x+取得最大值和最小值的自变量x的集合,并求出函数的最大值和最小值.
解:令t=sin x,则-1≤t≤1,
所以y=-t2+t+=-(t-)2+2.
当t=时,ymax=2,
此时sin x=,
即x=2kπ+或x=2kπ+(k∈Z);
当t=-1时,ymin=-,
此时sin x=-1,即x=2kπ+(k∈Z).
综上,使函数y=-sin2x+sin x+取得最大值时,自变量x的集合为{x|x=2kπ+或x=2kπ+,k∈Z},且最大值为2;
使函数y=-sin2x+sin x+取得最小值时,自变量x的集合为{x|x=2kπ+,k∈Z},且最小值为-.
[即时训练5-1] 求函数y=-cos2x+sin x+的值域.
解:因为cos2x=1-sin2x,
所以y=sin2x+sin x+.
令t=sin x,
则-1≤t≤1,
所以y=t2+t+=(t+)2-.
当t=-时,ymin=-,
当t=1时,ymax=+,
故函数值域为[-,+].
形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的三角函数,可先设sin x=t,将函数y=asin2x+bsin x+c(a≠0)化为关于t的二次函数y=at2+bt+c(a≠0)(-1≤t≤1),根据二次函数的单调性求值域(最值).
[例1] (多选题)已知f(x)=-sin x,则下列区间是函数的单调递减区间的是(　　)
A.(-,) B.(,)
C.(π,) D.(,2π)
解析:法一　作出函数f(x)=-sin x的图象如图所示.
可知函数的单调递减区间是A,D.故选AD.
法二　由于f(x)=-sin x的单调性与y=sin x单调性相反.故选AD.
[例2] 比较下列各式的大小.
(1)sin(-)与sin(-);
(2)sin 和cos .
解:(1)sin(-)=-sin =-sin
=-sin(π-)=-sin ,
sin(-)=-sin =-sin .
因为0<<<,且函数y=sin x在[0,]上为增函数,
所以sin -sin ,
即sin(-)(2)因为cos =sin(+),
又<<π<+<,y=sin x在[,π]上为减函数,
所以sin >sin(+)=cos ,
即sin >cos .
[例3] 已知函数y1=a-bcos x的最大值是,最小值是-,求函数y=-4asin 3bx的最大值.
解:因为函数y1的最大值是,最小值是-,
当b>0时,由题意,得
所以
此时y=-4asin 3bx=-2sin 3x;
当b<0时,由题意,得
所以
此时y=-4asin 3bx=-2sin(-3x)=2sin 3x.
因此y=-2sin 3x或y=2sin 3x,
函数的最大值均为2.
[例4] 已知函数f(x)=2sin(2x-)+1.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)若关于x的方程f(x)-m=2在x∈[,]上有解,求实数m的取值范围.
解:(1)最小正周期T==π,
令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).
(2)因为x∈[,],所以2x-∈[,],
即sin(2x-)∈[,1].
又因为f(x)=2sin(2x-)+1,
所以f(x)的值域为[2,3].
由f(x)-m=2,得f(x)=m+2,
所以m+2∈[2,3],即m∈[0,1].
1.函数f(x)=3-2cos 4x的最大值为(　D　)
A.1 B.2
C.3 D.5
解析:因为-1≤cos 4x≤1,
所以-2≤2cos 4x≤2,
所以1≤3-2cos 4x≤5,
所以f(x)=3-2cos 4x的最大值为5.故选D.
2.函数y=sin x(≤x≤)的值域是(　D　)
A.[-1,1] B.[,1]
C.[,] D.[,1]
解析:因为≤x≤,所以sin ≤sin x≤sin ,即≤sin x≤1.故选D.
3.函数y=sin2x+sin x-1的值域为(　C　)
A.[-1,1] B.[-,-1]
C.[-,1] D.[-1,]
解析:因为y=sin2x+sin x-1=(sin x+)2-,当sin x=-时,ymin=-;
当sin x=1时,ymax=1,即y∈[-,1].故选C.
4.函数f(x)=sin(x+)的单调递增区间是　　　　　　　　　　,单调递减区间是　.
解析:由-+2kπ≤x+≤2kπ+,得-+2kπ≤x≤2kπ+(k∈Z),
因此函数的单调递增区间是[-+2kπ,2kπ+](k∈Z).
由+2kπ≤x+≤2kπ+,
得+2kπ≤x≤2kπ+(k∈Z),
因此函数的单调递减区间是[+2kπ,2kπ+](k∈Z).
答案:[-+2kπ,2kπ+](k∈Z)　[+2kπ,2kπ+](k∈Z)
选题明细表
知识点、方法 题号
正、余弦(型)函数最值 1,2,6,10
正、余弦(型)函数单调性 3,4,7,8,9
正、余弦(型)函数综合应用 5,11,12,13
基础巩固
1.函数f(x)=sin(2x-)在区间[0,]上的最小值是(　B　)
A.-1 B.- C. D.0
解析:因为x∈[0,],
所以2x-∈[-,],
所以sin(2x-)∈[-,1],
所以f(x)min=-.故选B.
2.函数f(x)=-2sin2x+2cos x的最大值和最小值分别是(　B　)
A.2,-2 B.2,-
C.2,- D.,-2
解析:f(x)=-2sin2x+2cos x
=-2×(1-cos2x)+2cos x
=2cos2x+2cos x-2
=2[(cos x+)2-]
=2(cos x+)2-,
因为-1≤cos x≤1,
所以f(x)min=-,f(x)max=2.故选B.
3.函数y=sin(x+)的单调递增区间是(　B　)
A.[,π] B.[-,]
C.[-π,0] D.[,]
解析:当2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),
即2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z)时,
函数y=sin(x+)单调递增,
当k=0时,-≤x≤.故选B.
4.下列区间中使y=sin x和y=cos x都是减函数的是(　C　)
A.[-,0] B.[0,]
C.[,π] D.[π,]
解析:x∈[-,0]时,y=sin x和y=cos x都是增函数,故A错误;
x∈[0,]时,y=sin x是增函数,y=cos x是减函数,故B错误;
x∈[,π]时,y=sin x和y=cos x都是减函数,故C正确;
x∈[π,]时,y=sin x是减函数,y=cos x是增函数,故D错误.故
选C.
5.下列函数中,周期为π,且在[,]上单调递减的是(　D　)
A.y=sin(x+) B.y=cos(x+)
C.y=cos(2x+) D.y=sin(2x+)
解析:由题意得,函数的周期为π,只有C,D满足题意,函数y=
cos(2x+)=-sin 2x在[,]上为增函数,函数y=sin(2x+)=cos 2x在[,]上为减函数.故选D.
6.函数y=cos2x-4cos x+5的值域是　　　　.
解析:令t=cos x,由于x∈R,故-1≤t≤1,
y=t2-4t+5=(t-2)2+1.当t=-1,即cos x=-1时,函数有最大值10;当t=1,即cos x=1时,函数有最小值2,所以该函数的值域是[2,10].
答案:[2,10]
能力提升
7.若0<α<β<,a=sin(α+),b=sin(β+),则(　A　)
A.ab
C.ab<1 D.ab>
解析:因为0<α<β<,
所以<α+<β+<,
而正弦函数y=sin x在[0,]上为增函数,
所以sin(α+)8.(多选题)下列不等式中成立的是(　ABC　)
A.sin 3B.cos 3C.cos(-)D.sin 解析:因为<2<3<π,所以sin 2>sin 3,cos 2>cos 3,故选项A,B
正确;
因为-<-<-<0,
所以cos(-)因为sin =sin ,sin =sin ,
且0<<<,所以sin 即sin>sin,
故选项D错误.故选ABC.
9.若函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0)在[0,π]上的值域为[-,1],则ω的最小值为(　A　)
A. B. C. D.
解析:函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0),因为x∈[0,π],所以ωx-∈[-,ωπ-].根据正弦函数的性质,当x=0时,可得f(0)=-,所以≤ωπ-≤,解得≤ω≤,则ω的最小值为.故选A.
10.函数y=cos 2x+sin x(-≤x≤)的最大值与最小值之和为(　A　)
A. B.2 C.0 D.
解析:y=cos 2x+sin x=-sin 2x+sin x+1,
因为x∈[-,],
所以sin x∈[-,],
设t=sin x,则t∈[-,],
则f(t)=-t2+t+1=-(t-)2+,
t∈[-,],
又函数f(t)在[-,]上为增函数,
则f(t)max=f()=,
f(t)min=f(-)=,
则函数y=cos 2x+sin x(-≤x≤)的最大值与最小值之和为+=.
故选A.
11.若f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间[0,]上的最大值是,则ω=
　　　　,若f(x)在[0,]上为增函数,则ω的取值范围是　　　　.
解析:因为0≤x≤,且0<ω<1,
所以0≤ωx≤<.
因为f(x)max=2sin =,
所以sin =,=,即ω=.
由2kπ-≤ωx≤2kπ+,k∈Z,
得-≤x≤+,k∈Z,
令k=0,得-≤x≤,即f(x)在[-,]上为增函数,又f(x)在[0,]上为增函数,所以≤,即0<ω≤.又0<ω<1,所以0<ω<1.
答案:　(0,1)
12.已知函数f(x)=cos(2x-),x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)求函数f(x)在区间[-,]上的最小值和最大值,并求出取得最值时x的值.
解:(1)因为f(x)=cos(2x-),x∈R,
所以函数f(x)的最小正周期T==π.
由-π+2kπ≤2x-≤2kπ(k∈Z),
得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
故函数f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ](k∈Z).
(2)因为x∈[-,],
所以2x-∈[-,],
所以当2x-=0,即x=时,
f(x)max=f()=;
当2x-=,即x=时,
f(x)min=f()=-1.
所以函数f(x)在区间[-,]上的最大值为,此时x=;最小值为-1,此时x=.
应用创新
13.函数y=sin x的定义域为[a,b],值域为[-1,],则b-a的最大值与最小值之和等于(　C　)
A. B. C.2π D.4π
解析:如图,当x∈[a1,b]时,值域为[-1,],且b-a最大;
当x∈[a2,b]时,值域为[-1,],且b-a最小,
所以b-a的最大值与最小值之和为(b-a1)+(b-a2)=2b-(a1+a2)=2×-
(--)=2π.
故选C.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑