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(共41张PPT)
5.3　三角函数的图象与性质
5.3.1　正弦函数、余弦函数的图象与性质
核心知识目标 核心素养目标
1.能利用三角函数的定义,画出函数y=sin x,
y=cos x的图象.
2.掌握“五点法”画y=sin x,y=cos x的图象的步骤和方法,能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.
3.理解y=sin x与y=cos x图象之间的联系.
4.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.
5.掌握函数y=sin x,y=cos x的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性.
6.掌握y=sin x,y=cos x的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值.
7.掌握y=sin x,y=cos x的单调性并能利用单调性比较大小. 1.通过对正弦函数、余弦函数的图象的学习与应用,提升直观想象、逻辑推理的核心素养.
2.利用y=sin x,y=cos x的图象,探索y=sin x,y=cos x的周期性、奇偶性,培养学生的直观想象、逻辑推理和数学抽象的核心素养.
3.借助y=sin x与y=cos x的图象,理清单调区间和取得最值的条件,强化学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
第1课时　正弦函数、余弦函数的图象及周期性和奇偶性
知识探究·素养启迪
1.正弦曲线和余弦曲线“五点法”作图步骤
(1)列表
知识探究
(3)用光滑曲线顺次连接这五个点,得到正弦曲线、余弦曲线的简图.
2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
(1)周期性
①周期
一般地,对于函数y=f(x),如果存在非零常数T,使得当x取定义域内每一个值时,x±T都有定
义,并且f(x±T)=f(x),
则称这个函数y=f(x)为周期函数,T称为这个函数的一个周期.
如果T是函数y=f(x)的周期,则T的所有非零整数倍都是y=f(x)的周期.
②y=sin x和y=cos x的周期
y=sin x,y=cos x都是周期函数,2π及2π的所有非零整数倍也都是它们的周期.但从图象上可以看出,比2π更小的正数不可能是y=sin x,y=cos x的周期.我们称2π是y=sin x,y=cos x的最小正周期.最小正周期常简称为周期.
(2)奇偶性
正弦函数y=sin x是奇函数,
余弦函数y=cos x是偶函数.
小试身手
A
D
C
4.函数y=4sin(2x+π)的图象关于　　　　对称.
解析:y=4sin(2x+π)=-4sin 2x,易证函数为奇函数,所以其图象关于原点对称.
答案:原点
课堂探究·素养培育
[例1] 用“五点法”作出函数y=1-2sin x,x∈[-π,π]的简图并观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间.
(1)y>1;(2)y<1.
探究点一
“五点法”作图的应用
解:找到五个关键点,列表如下
描点并连线得
由图可知图象在y=1上方时y>1,
在y=1下方时y<1,
所以(1)当x∈(-π,0)时,y>1;
(2)当x∈(0,π)时,y<1.
[即时训练1-1] 利用“五点法”作出函数y=-1-cos x(0≤x≤2π)的简图.
解:取值列表如下:
描点连线,如图所示.
方法总结
用“五点法”画函数y=Asin x+b(A≠0)或y=Acos x+b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤
(1)列表:
(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来,就得到正(余)弦函数y=Asin x+b(y=Acos x+b)(A≠0)在[0,2π]上的图象.
易错警示
用“五点法”作函数图象时,连线要保持光滑,注意凸凹方向.
探究点二
正、余弦函数的周期性
[例2] 求下列函数的周期.
(2)f(x)=|sin x|.
解:(2)法一　(定义法)
因为f(x)=|sin x|,
所以f(x+π)=|sin(x+π)|=|sin x|=f(x),
所以f(x)的周期为π.
法二　(图象法)
因为函数y=|sin x|的图象如图所示.
由图象可知T=π.
[即时训练2-1] 求下列函数的周期.
[即时训练2-1] 求下列函数的周期.
(2)y=cos |x|.
解:(2)作出y=cos |x|的图象如图所示.
易知函数的周期T=2π.
方法总结
求三角函数周期的方法
(1)定义法,即利用周期函数的定义求解.
(3)观察法,即通过观察函数图象求其周期.
易错警示
y=|cos x|与y=|sin x|均是周期为π的周期函数,而y=cos |x|是周期为2π的周期函数,y=sin |x|则不是周期函数.
探究点三
正、余弦函数奇偶性
[例3] 判断下列函数的奇偶性.
[例3] 判断下列函数的奇偶性.
[例3] 判断下列函数的奇偶性.
[即时训练3-1] 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=|sin x|+cos x;
解:(1)函数的定义域为R,
又f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x),
所以此函数是偶函数.
解:(2)由1-cos x≥0,且cos x-1≥0,
得cos x=1,
从而x=2kπ,k∈Z,
此时f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数.
[即时训练3-1] 判断下列函数的奇偶性.
方法总结
(1)判断函数奇偶性时,必须先检查定义域是否关于原点对称,如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数必为非奇非偶函数.
探究点四
正、余弦函数的对称性
答案:(1)A
方法总结
备用例题
[例1] 在(0,2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是(　　)
[例2] 求下列函数的最小正周期.
[例3] 判断下列函数的奇偶性.
[例3] 判断下列函数的奇偶性.
(2)f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x);
[例3] 判断下列函数的奇偶性.
课堂达标
B
1.函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图象是(　 　)
D
A.周期为π的奇函数
B.周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数
D.周期为2π的偶函数
解析:在同一平面直角坐标系内作出两个函数的图象如图所示,
由图可知交点个数是3.
答案:35.3　三角函数的图象与性质
5.3.1　正弦函数、余弦函数的图象与性质
第1课时　正弦函数、余弦函数的图象及周期性和奇偶性
选题明细表
知识点、方法 题号
正弦函数、余弦函数的图象 1,4,7,12,13
正弦函数、余弦函数的图象的应用 5,8
正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性 2,3,6,9,10,11,14
基础巩固
1.(多选题)使用“五点法”作函数y=2sin(x+)的简图时,下列所给点可以是“五点”中的点是(　ABD　)
A.(-,0) B.(,2)
C.(,0) D.(,-2)
解析:由x+=0知x=-,2sin(x+)=0,故A正确.
由x+=知x=,2sin(x+)=2,故B正确.
由x+=知x=,2sin(x+)=-2,故D正确.
故选ABD.
2.函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为,则ω等于(　B　)
A.5 B.10
C.15 D.20
解析:由题意,知T==,所以ω=10.故选B.
3.函数y=cos(2x+3π)是(　B　)
A.周期为π的奇函数
B.周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数
D.周期为2π的偶函数
解析:函数y=cos(2x+3π)=cos(2x+π)=-cos 2x,则函数是周期为π的偶函数.故选B.
4.已知f(x)=cos(x-),g(x)=1+sin x,则关于函数y=f(x)图象的说法正确的是(　C　)
A.y=f(x)与y=g(x)图象完全相同
B.y=f(x)与y=g(x)的图象关于y轴对称
C.向上平移1个单位长度得到y=g(x)的图象
D.向下平移1个单位长度得到y=g(x)的图象
解析:由cos(x-)=sin x知,选项C正确.故选C.
5.(2022·宁夏石嘴山高一月考)在[0,2π]上,满足sin x≥的x的取值范围是(　C　)
A.[0,] B.[,]
C.[,] D.[,π]
解析:如图所示,在同一坐标系内作出y=sin x在[0,2π]上的图象和y=的图象.
由图可知满足sin x≥的x的取值范围是[,].故选C.
6.函数y=sin x-2的图象对称中心为　　　　,对称轴方程为　　 　
　　　　　.
解析:函数y=sin x-2的图象是由y=sin x的图象沿y轴向下平移2个单位长度而得到,
因此y=sin x的图象的对称中心(kπ,0)也向下平移2个单位长度得到y=sin x-2的对称中心,即(kπ,-2)(k∈Z),
对称轴方程不变仍为x=kπ+(k∈Z).
答案:(kπ,-2)(k∈Z)　x=kπ+(k∈Z)
能力提升
7.函数y=sin |x|的图象是(　B　)
解析:因为函数y=sin |x|是偶函数,且x≥0时,sin |x|=sin x.故
选B.
8.(多选题)关于函数f(x)=1+cos x,x∈(,2π)的图象与直线y=t
(t为常数)的交点情况,下列说法正确的是(　AB　)
A.当t<0或t≥2时,有0个交点
B.当t=0或≤t<2时,有1个交点
C.当0D.当0解析:根据函数的解析式画出函数的图象,如图所示.
由图象知,当t<0或t≥2时,有0个交点;
当t=0或≤t<2时,有1个交点;
当09.(2021·重庆高一期末)函数f(x)=sin(ωx-)-1,ω>0的最小正周期为,则函数f(x)的一个对称中心为(　D　)
A.(,-1) B.(,0)
C.(,-1) D.(,-1)
解析:由函数f(x)=sin(ωx-)-1的最小正周期为,则=,解得
ω=3,
即f(x)=sin(3x-)-1.
令3x-=kπ,k∈Z,则x=+,k∈Z,
当k=1时,解得x=,即函数f(x)的一个对称中心为(,-1).故选D.
10.若函数y=sin(x+)的一个对称中心为(,0),则函数y=cos(x+)的一条对称轴为(　B　)
A.x=- B.x=
C.x= D.x=
解析:因为函数y=sin(x+)的对称中心和y=cos(x+)的对称轴在一条直线上,所以若y=sin(x+)的一个对称中心为(,0),则函数y=
cos(x+)的一条对称轴为x=.故选B.
11.已知函数f(x)=2cos ωx(ω>0),且函数y=f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为,则f()的值是　　　　.
解析:因为函数y=f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为,则函数f(x)的周期T=π,
则=π,
所以|ω|=2,因为ω>0,所以ω=2,
所以f(x)=2cos 2x,
所以f()=2cos =.
答案:
12.函数y=2cos x,x∈[0,2π]的图象和直线y=2围成的一个封闭的平面图形的面积是　 .
解析:如图所示,将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方,可得一个矩形,其面积为2π×2=4π.
答案:4π
应用创新
13.已知函数f(x)=Asin ωx(A>0,ω>0)与g(x)=cos ωx的部分图象如图所示,则(　B　)
A.A=1,ω= B.A=2,ω=
C.A=1,ω= D.A=2,ω=
解析:由图象可知A=1,=1.5,
所以A=2,T=6.
又6=T=,所以ω=.故选B.
14.设函数f(x)=sin(ωx++),(ω>0,||<)的一个对称点与其相邻的对称轴之间的距离为,且满足f(-x)=f(x).
(1)求ω的值;
(2)求f().
解:(1)由题意可知T=π,所以ω=2.
(2)由(1)知f(x)=sin(2x++),
又由f(-x)=f(x)可知函数f(x)是偶函数,
所以+=kπ+,k∈Z,
则=kπ+,k∈Z.
又||<,所以=,
故f(x)=sin(2x+)=cos 2x.
因此f()=cos =0.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)5.3　三角函数的图象与性质
5.3.1　正弦函数、余弦函数的图象与性质
核心知识目标 核心素养目标
1.能利用三角函数的定义,画出函数y=sin x,y=cos x的图象. 2.掌握“五点法”画y=sin x,y=cos x的图象的步骤和方法,能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线. 3.理解y=sin x与y=cos x图象之间的联系. 4.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 5.掌握函数y=sin x,y=cos x的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性. 6.掌握y=sin x,y=cos x的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值. 7.掌握y=sin x,y=cos x的单调性并能利用单调性比较大小. 1.通过对正弦函数、余弦函数的图象的学习与应用,提升直观想象、逻辑推理的核心素养. 2.利用y=sin x,y=cos x的图象,探索y=sin x,y=cos x的周期性、奇偶性,培养学生的直观想象、逻辑推理和数学抽象的核心素养. 3.借助y=sin x与y=cos x的图象,理清单调区间和取得最值的条件,强化学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
第1课时　正弦函数、余弦函数的图象及周期性和奇偶性
1.正弦曲线和余弦曲线“五点法”作图步骤
(1)列表
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
cos x 1 0 -1 0 1
(2)描点
画正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象,五个关键点是(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0);
画余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象,五个关键点是(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1).
(3)用光滑曲线顺次连接这五个点,得到正弦曲线、余弦曲线的简图.
2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
(1)周期性
①周期
一般地,对于函数y=f(x),如果存在非零常数T,使得当x取定义域内每一个值时,x±T都有定义,并且f(x±T)=f(x),
则称这个函数y=f(x)为周期函数,T称为这个函数的一个周期.
如果T是函数y=f(x)的周期,则T的所有非零整数倍都是y=f(x)的周期.
②y=sin x和y=cos x的周期
y=sin x,y=cos x都是周期函数,2π及2π的所有非零整数倍也都是它们的周期.但从图象上可以看出,比2π更小的正数不可能是y=sin x,y=cos x的周期.我们称2π是y=sin x,y=cos x的最小正周期.最小正周期常简称为周期.
(2)奇偶性
正弦函数y=sin x是奇函数,
余弦函数y=cos x是偶函数.
1.用“五点法”作y=2sin x的图象时,首先描出的五个点的横坐标是(　A　)
A.0,,π,,2π B.0,,,,π
C.0,π,2π,3π,4π D.0,,,,
解析:由五点作图法可知,首先描出的五个点的横坐标为x=0,,π,,2π.故选A.
2.函数y=-sin x,x∈[-,]的简图是(　D　)
解析:可以用特殊点来验证.当x=0时,y=-sin 0=0,排除A,C;当x=时,y=-sin =1,排除B.故选D.
3.函数f(x)=2cos 2x的最小正周期是(　C　)
A. B. C.π D.2π
解析:函数f(x)=2cos 2x的最小正周期是=π.故选C.
4.函数y=4sin(2x+π)的图象关于　　　　对称.
解析:y=4sin(2x+π)=-4sin 2x,易证函数为奇函数,所以其图象关于原点对称.
答案:原点
　“五点法”作图的应用
[例1] 用“五点法”作出函数y=1-2sin x,x∈[-π,π]的简图并观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间.
(1)y>1;(2)y<1.
解:找到五个关键点,列表如下
x -π - 0 π
sin x 0 -1 0 1 0
1-2sin x 1 3 1 -1 1
描点并连线得
由图可知图象在y=1上方时y>1,
在y=1下方时y<1,
所以(1)当x∈(-π,0)时,y>1;
(2)当x∈(0,π)时,y<1.
[即时训练1-1] 利用“五点法”作出函数y=-1-cos x(0≤x≤2π)的简图.
解:取值列表如下:
x 0 π 2π
cos x 1 0 -1 0 1
-1-cos x -2 -1 0 -1 -2
描点连线,如图所示.
用“五点法”画函数y=Asin x+b(A≠0)或y=Acos x+b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤
(1)列表:
x sin x(或cos x) y
0 0(或1) b(或A+b)
1(或0) A+b(或b)
π 0(或-1) b(或-A+b)
-1(或0) -A+b(或b)
2π 0(或1) b(或A+b)
(2)描点:在平面直角坐标系中描出五个点(0,y1),(,y2),(π,y3),(,y4),(2π,y5),这里的yi(i=1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的.
(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来,就得到正(余)弦函数y=Asin x+b(y=Acos x+b)(A≠0)在[0,2π]上的图象.
用“五点法”作函数图象时,连线要保持光滑,注意凸凹方向.
　正、余弦函数的周期性
[例2] 求下列函数的周期.
(1)f(x)=cos(2x+);
(2)f(x)=|sin x|.
解:(1)因为f(x)=cos(2x+)=cos(2x++2π)=cos[2(x+π)+]=f(x+π),
即f(x+π)=f(x),
所以函数f(x)=cos(2x+)的周期T=π.
(2)法一　(定义法)
因为f(x)=|sin x|,
所以f(x+π)=|sin(x+π)|=|sin x|=f(x),
所以f(x)的周期为π.
法二　(图象法)
因为函数y=|sin x|的图象如图所示.
由图象可知T=π.
[即时训练2-1] 求下列函数的周期.
(1)y=2sin(2x-);(2)y=cos |x|.
解:(1)y=2sin(2x-)的周期T==π.
(2)作出y=cos |x|的图象如图所示.
易知函数的周期T=2π.
求三角函数周期的方法
(1)定义法,即利用周期函数的定义求解.
(2)公式法,对形如y=Asin(ωx+)或y=Acos(ωx+)(A,ω,是常数,A≠0,ω≠0)的函数,T=.
(3)观察法,即通过观察函数图象求其周期.
y=|cos x|与y=|sin x|均是周期为π的周期函数,而y=cos |x|是周期为2π的周期函数,y=sin |x|则不是周期函数.
　正、余弦函数奇偶性
[例3] 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=sin(2x+);
(2)f(x)=;
(3)f(x)=lg .
解:(1)函数定义域为R,且f(x)=sin(2x+)=sin(2x+)=cos 2x,显然有f(-x)=f(x)恒成立,
所以函数f(x)=sin(2x+)为偶函数.
(2)由2sin x-1≥0,即sin x≥,得函数定义域为[2kπ+,2kπ+](k∈Z),此定义域在x轴上表示的区间不关于原点对称,
所以该函数不具有奇偶性,为非奇非偶函数.
(3)由>0,
得(1-sin x)(1+sin x)>0,
所以-1所以x≠kπ+(k∈Z),函数定义域关于原点对称.
因为f(-x)=lg =lg =
lg()-1=-lg =-f(x),
所以函数f(x)=lg 为奇函数.
[即时训练3-1] 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=|sin x|+cos x;
(2)f(x)=+.
解:(1)函数的定义域为R,
又f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x),
所以此函数是偶函数.
(2)由1-cos x≥0,且cos x-1≥0,
得cos x=1,
从而x=2kπ,k∈Z,
此时f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数.
(1)判断函数奇偶性时,必须先检查定义域是否关于原点对称,如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数必为非奇非偶函数.
(2)函数y=Asin(ωx+)(A,ω≠0,下同)若为奇函数,则=kπ(k∈Z),若为偶函数,则=kπ+(k∈Z).函数y=Acos(ωx+)若为奇函数,则=kπ+(k∈Z),若为偶函数,则=kπ(k∈Z).
　正、余弦函数的对称性
[例4] 函数y=sin(x-)的对称轴为　　　　,对称中心为　　　　.
解析:由x-=+kπ,k∈Z,得x=+kπ,k∈Z.
由x-=kπ,k∈Z,
得x=+kπ,k∈Z.
故函数y=sin(x-)的对称轴为x=+kπ,
k∈Z,
对称中心为(+kπ,0),k∈Z.
答案:x=+kπ,k∈Z　(+kπ,0),k∈Z
[即时训练4-1] (1)函数y=sin(2x+)(0<<)图象的一条对称轴在(,)内,则满足此条件的一个值为(　　)
A. B. C. D.
(2)函数f(x)=2cos(x+)-1的对称轴方程为　　　　.
解析:(1)令2x+=+kπ,k∈Z,
解得x=+-,k∈Z,
因为函数y=sin(2x+)(0<<)图象的一条对称轴在(,)内,
所以<+-<.
当k=0时,-<<,选项中只有=符合.故选A.
(2)令x+=kπ,k∈Z,求得x=kπ-,k∈Z.
答案:(1)A　(2)x=kπ-(k∈Z)
(1)正弦型函数y=Asin(ωx+)(A,ω≠0,下同)的对称轴方程可令ωx+=kπ+(k∈Z)求得,对称中心横坐标可令ωx+=kπ(k∈Z)求得.
(2)余弦型函数y=Acos(ωx+)的对称轴方程可令ωx+=kπ(k∈Z)求得,对称中心横坐标可令ωx+=kπ+(k∈Z)求得.
(3)正弦型函数y=Asin(ωx+)与余弦型函数y=Acos(ωx+)对称轴、对称中心间的关系:正弦型函数的对称轴方程的值恰好是余弦型函数对称中心横坐标的值,而正弦型函数对称中心横坐标的值恰好是余弦型函数对称轴方程的值.
[例1] 在(0,2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是(　　)
A.(,) B.(,]∪(,)
C.(,) D.(,)
解析:因为sin x>|cos x|,
所以sin x>0,所以x∈(0,π),
在同一坐标系中画出y=sin x,x∈(0,π)与y=|cos x|,x∈(0,π)的图象,如图所示,
观察图象易得x∈(,).故选A.
[例2] 求下列函数的最小正周期.
(1)y=sin(-4x);
(2)y=cos(x-).
解:(1)T==.
(2)T==6.
[例3] 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=sin(-x+);
(2)f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x);
(3)f(x)=.
解:(1)显然x∈R,f(x)=cos x,
f(-x)=cos(-x)=cos x=f(x),
所以f(x)是偶函数.
(2)由得-1解得定义域为{x|x∈R且x≠kπ+,k∈Z},
所以f(x)的定义域关于原点对称.
又因为f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x),
所以f(-x)=lg[1-sin(-x)]-lg[1+sin(-x)]=lg(1+sin x)-lg(1-sin x)=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(3)因为1+sin x≠0,所以sin x≠-1,
所以x∈R且x≠2kπ-,k∈Z.
因为定义域不关于原点对称,
所以该函数是非奇非偶函数.
1.函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图象是(　B　)
解析:当x=0时,y=1;
当x=时,y=0;
当x=π时,y=1;
当x=时,y=2;
当x=2π时,y=1,结合正弦函数的图象可知B正确.故选B.
2.已知函数f(x)=sin(-x),则f(x)是(　D　)
A.周期为π的奇函数
B.周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数
D.周期为2π的偶函数
解析:因为f(x)=sin(-x)=cos x,因此,函数y=f(x)是周期为2π的偶函数.
故选D.
3.函数y=sin x的图象和y=的图象交点个数是　　　　.
解析:在同一平面直角坐标系内作出两个函数的图象如图所示,
由图可知交点个数是3.
答案:3
4.不等式sin x<-,x∈[0,2π]的解集为　　　　.
解析:如图所示,
不等式sin x<-的解集为{x|答案:{x|选题明细表
知识点、方法 题号
正弦函数、余弦函数的图象 1,4,7,12,13
正弦函数、余弦函数的图象的应用 5,8
正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性 2,3,6,9,10,11,14
基础巩固
1.(多选题)使用“五点法”作函数y=2sin(x+)的简图时,下列所给点可以是“五点”中的点是(　ABD　)
A.(-,0) B.(,2)
C.(,0) D.(,-2)
解析:由x+=0知x=-,2sin(x+)=0,故A正确.
由x+=知x=,2sin(x+)=2,故B正确.
由x+=知x=,2sin(x+)=-2,故D正确.
故选ABD.
2.函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为,则ω等于(　B　)
A.5 B.10
C.15 D.20
解析:由题意,知T==,所以ω=10.故选B.
3.函数y=cos(2x+3π)是(　B　)
A.周期为π的奇函数
B.周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数
D.周期为2π的偶函数
解析:函数y=cos(2x+3π)=cos(2x+π)=-cos 2x,则函数是周期为π的偶函数.故选B.
4.已知f(x)=cos(x-),g(x)=1+sin x,则关于函数y=f(x)图象的说法正确的是(　C　)
A.y=f(x)与y=g(x)图象完全相同
B.y=f(x)与y=g(x)的图象关于y轴对称
C.向上平移1个单位长度得到y=g(x)的图象
D.向下平移1个单位长度得到y=g(x)的图象
解析:由cos(x-)=sin x知,选项C正确.故选C.
5.(2022·宁夏石嘴山高一月考)在[0,2π]上,满足sin x≥的x的取值范围是(　C　)
A.[0,] B.[,]
C.[,] D.[,π]
解析:如图所示,在同一坐标系内作出y=sin x在[0,2π]上的图象和y=的图象.
由图可知满足sin x≥的x的取值范围是[,].故选C.
6.函数y=sin x-2的图象对称中心为　　　　,对称轴方程为　　 　
　　　　　.
解析:函数y=sin x-2的图象是由y=sin x的图象沿y轴向下平移2个单位长度而得到,
因此y=sin x的图象的对称中心(kπ,0)也向下平移2个单位长度得到y=sin x-2的对称中心,即(kπ,-2)(k∈Z),
对称轴方程不变仍为x=kπ+(k∈Z).
答案:(kπ,-2)(k∈Z)　x=kπ+(k∈Z)
能力提升
7.函数y=sin |x|的图象是(　B　)
解析:因为函数y=sin |x|是偶函数,且x≥0时,sin |x|=sin x.故
选B.
8.(多选题)关于函数f(x)=1+cos x,x∈(,2π)的图象与直线y=t
(t为常数)的交点情况,下列说法正确的是(　AB　)
A.当t<0或t≥2时,有0个交点
B.当t=0或≤t<2时,有1个交点
C.当0D.当0解析:根据函数的解析式画出函数的图象,如图所示.
由图象知,当t<0或t≥2时,有0个交点;
当t=0或≤t<2时,有1个交点;
当09.(2021·重庆高一期末)函数f(x)=sin(ωx-)-1,ω>0的最小正周期为,则函数f(x)的一个对称中心为(　D　)
A.(,-1) B.(,0)
C.(,-1) D.(,-1)
解析:由函数f(x)=sin(ωx-)-1的最小正周期为,则=,解得
ω=3,
即f(x)=sin(3x-)-1.
令3x-=kπ,k∈Z,则x=+,k∈Z,
当k=1时,解得x=,即函数f(x)的一个对称中心为(,-1).故选D.
10.若函数y=sin(x+)的一个对称中心为(,0),则函数y=cos(x+)的一条对称轴为(　B　)
A.x=- B.x=
C.x= D.x=
解析:因为函数y=sin(x+)的对称中心和y=cos(x+)的对称轴在一条直线上,所以若y=sin(x+)的一个对称中心为(,0),则函数y=
cos(x+)的一条对称轴为x=.故选B.
11.已知函数f(x)=2cos ωx(ω>0),且函数y=f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为,则f()的值是　　　　.
解析:因为函数y=f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为,则函数f(x)的周期T=π,
则=π,
所以|ω|=2,因为ω>0,所以ω=2,
所以f(x)=2cos 2x,
所以f()=2cos =.
答案:
12.函数y=2cos x,x∈[0,2π]的图象和直线y=2围成的一个封闭的平面图形的面积是　 .
解析:如图所示,将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方,可得一个矩形,其面积为2π×2=4π.
答案:4π
应用创新
13.已知函数f(x)=Asin ωx(A>0,ω>0)与g(x)=cos ωx的部分图象如图所示,则(　B　)
A.A=1,ω= B.A=2,ω=
C.A=1,ω= D.A=2,ω=
解析:由图象可知A=1,=1.5,
所以A=2,T=6.
又6=T=,所以ω=.故选B.
14.设函数f(x)=sin(ωx++),(ω>0,||<)的一个对称点与其相邻的对称轴之间的距离为,且满足f(-x)=f(x).
(1)求ω的值;
(2)求f().
解:(1)由题意可知T=π,所以ω=2.
(2)由(1)知f(x)=sin(2x++),
又由f(-x)=f(x)可知函数f(x)是偶函数,
所以+=kπ+,k∈Z,
则=kπ+,k∈Z.
又||<,所以=,
故f(x)=sin(2x+)=cos 2x.
因此f()=cos =0.
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