资源简介

5.4　函数y=Asin(ωx+)的图象与性质
核心知识目标 核心素养目标
1.会用“五点法”画出y=Asin(ωx+)的图象. 2.掌握y=sin x与y=Asin(ωx+)图象间的变换关系,并能正确地指出其变换步骤. 3.能根据y=Asin(ωx+)的部分图象确定其解析式. 4.整体把握函数y=Asin(ωx+)的图象与性质,并能解决有关问题. 1.通过整体代换和图象的变换提升学生的直观想象、逻辑推理和数学抽象的核心素养. 2.通过函数图象能抽象出数学模型,并能研究函数的性质,逐步提升学生的数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模的核心素养.
1.参数A,ω,对函数y=Asin(ωx+)图象的影响
(1)A(A>0)对y=Asin x图象的影响
一般地,对任意A>0且A≠1,函数y=Asin x的图象可以由y=sin x的图象上每一点的横坐标不变、纵坐标乘A得到,y=Asin x的周期仍是2π,值域为[-A,A],最大值和最小值分别为A 和-A.
(2)ω(ω>0)对y=sin(ωx+)图象的影响
一般地,对任意ω>0且ω≠1,函数y=sin ωx的图象可由y=sin x的图象上每一点的纵坐标不变、横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的而得到,y=sin ωx的值域为[-1,1],周期为.
(3)对y=sin(x+),x∈R图象的影响
一般地,y=sin(x+)(x∈R,常数≠0)的图象可以由y=sin x的图象向左(当>0)或向右(当 <0)平移||个单位长度得到.
2.由函数y=sin x的图象变换得到函数y=Asin(ωx+)的图象
一般地,设A>0,ω>0,是常数,函数y=Asin(ωx+)的图象可经过以下步骤得到:
将正弦曲线y=sin x向左(当>0)或向右(当<0)平移||个单位长度;
再将所得曲线上每一点的横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的(纵坐标不变);
进一步将所得曲线上每一点的纵坐标扩大(A>1)或缩小(0函数y=Asin(ωx+)的值域为[-A,A],周期为.
3.简谐振动
简谐振动y=Asin(ωx+)中,若x表示时间(x∈[0,+∞)),则其周期T=,f==表示单位时间内往复振动的次数,称为频率,ωx+称为相位,称为初相.
1.为了得到函数y=sin(x+1)的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点(　A　)
A.向左平行移动1个单位长度
B.向右平行移动1个单位长度
C.向左平行移动π个单位长度
D.向右平行移动π个单位长度
解析:因为由y=sin x到y=sin(x+1),只是横坐标由x变为x+1,
所以要得到函数y=sin(x+1)的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度.故选A.
2.用“五点法”作函数f(x)=sin(2x-)在x∈[0,π]上的图象时,下列所给点可以是“五点法”中的点的坐标的是(　B　)
A.(0,-) B.(,1)
C.(,1) D.(π,-)
解析:因为f()=sin(2×-)=sin(-)=sin =1,
所以(,1)是“五点”中的一个最大值点.
而f()=0.故当x=时,y=0,即点(,0)满足,而非(,1).A,D错误.故选B.
3.函数y=Asin(ωx+)+k的部分图象如图所示,则它的振幅A与最小正周期T分别是(　D　)
A.A=3,T= B.A=3,T=
C.A=,T= D.A=,T=
解析:由题图可知A=×(3-0)=,
设周期为T,则T=×(-)=,
得T=.
故选D.
4.将函数y=sin(x+)的图象向左平移个最小正周期后,所得图象对应的函数为(　B　)
A.y=sin(x-)
B.y=cos(x+)
C.y=-cos(x+)
D.y=sin(x+)
解析:将函数y=sin(x+)的图象向左平移个最小正周期后,
所得图象对应的函数解析式为y=sin[(x+×)+]=sin(x++)=cos(x+).故选B.
　三角函数图象的变换
探究角度1　三角函数图象的平移变换
[例1] 要得到函数y=sin(2x-)的图象,只需将函数y=sin(2x-)的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
解析:由于y=sin(2x-)=sin[2(x-)]以及y=sin(2x-)=sin[2(x-)],结合x-=(x-)-,故只需将函数y=sin(2x-)的图象沿着x轴向右平移个单位长度就可得到函数y=sin(2x-)的图象.故选D.
[即时训练1-1] (1)要得到函数y=sin(2x-)的图象,只需将函数y=sin 2x的图象(　　)
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
(2)将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,得到的函数图象的一条对称轴的方程为(　　)
A.x=- B.x=
C.x=- D.x=π
解析:(1)因为函数y=sin(2x-)=sin[2(x-)],所以只需将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度即可.故选A.
(2)将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)=sin[2(x-)+)=sin(2x-)的图象,
令2x-=kπ+,k∈Z,解得x=+,k∈Z,
则函数g(x)的图象的对称轴为x=+,k∈Z,
令k=-1,可得g(x)图象的一条对称轴可以是x=-.故选C.
函数y=sin (ωx+)图象的平移变换,要明确变换量的大小,特别是平移变换中,函数y=Asin x到y=Asin (x+)的变换量是||个单位长度,而将函数y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,得到y=Asin[ω(x+m)+]=Asin(ωx+ωm+).(向右平移类似)
三角函数图象的平移变换要弄清变换的方向,即变换的是哪个函数的图象,得到的是哪个函数的图象,切不可弄错方向.
探究角度2　三角函数图象的伸缩变换
[例2] 将函数f(x)=sin(2x-)的图象向左平移个单位长度,再将图象上各点横坐标压缩到原来的,则所得到的图象的解析式为(　　)
A.y=sin x B.y=sin(4x+)
C.y=sin(4x-) D.y=sin(x+)
解析:将函数f(x)=sin(2x-)的图象向左平移个单位长度后,得到y=sin[2(x+)-]=sin(2x+)的图象,再将图象上各点横坐标缩短到原来的,得到y=sin(4x+)的图象.故选B.
[即时训练2-1] 把函数f(x)=sin(2x-)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x) 的图象,则函数g(x)的解析式为　　　　.
解析:函数f(x)=sin(2x-)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到y=sin(x-),因此g(x)=sin(x-).
答案:g(x)=sin(x-)
将函数y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的图象上各点横坐标缩短到原来的k(0函数y=Asin(x+)变换为y=Asin(ωx+)变化的只是ω,的值不变.
探究角度3　异名三角函数图象的图象变换
[例3] 要得到函数y=2sin 2x的图象,只需要将函数f(x)=2cos(2x-)的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
解析:由y=2sin 2x=2cos(2x-)=2cos[2(x-)-],即要得到函数y=2sin 2x的图象,只需要将函数f(x)=2cos(2x-)的图象向右平移个单位长度即可.故选C.
[即时训练3-1] 要得到函数y=2cos 2x的图象,只需要将函数f(x)=2sin(2x-)的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
解析:因为y=2cos 2x=2cos(-2x)=2sin(+2x),
又2(x+)-=2x+,
故只需将f(x)=2sin(2x-)的图象向左平移个单位长度即可得到y=2cos 2x的图象.故选A.
对于异名三角函数图象变换问题,首先要利用诱导公式sin α=cos(α-),cos α=sin(α+),将不同名函数转换成同名函数,另外,在进行图象变换时,要记住每一个变换总是对变量x而言.
　函数y=Asin(ωx+)的图象
探究角度1　“五点法”作图
[例4] 用“五点法”作出函数y=sin(x-)的简图.
解:函数y=sin(x-)的周期T==6π,先用“五点法”作它在长度为一个周期上的图象.列表如下:
x π 4π 7π
x- 0 π 2π
sin(x-) 0 0 - 0
描点、连线,如图所示,
利用该函数的周期性,把它在一个周期上的图象分别向左、右扩展,从而得到函数y=sin(x-)的简图.
[即时训练4-1] 作出函数y=sin(2x-)在x∈[,]上的图象.
解:令X=2x-,列表如下:
X 0 π 2π
x
y 0 0 - 0
描点连线得图象如图所示.
(1)“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+)的图象,实质是利用函数的三个零点,两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
(2)用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+)图象的步骤
第一步:列表.
ωx+ 0 π 2π
x - - - - -
f(x) 0 A 0 -A 0
第二步:在同一坐标系中描出各点.
第三步:用光滑曲线连接这些点,形成图象.
探究角度2　根据函数图象确定函数的解析式
[例5] 如图是函数y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<)的图象的一部分,求此函数的解析式.
解:法一　(五点作图法)
由图象知A=3,
T=-(-)=π,所以ω==2,
所以y=3sin(2x+).
因为点(-,0)在函数图象上,
所以0=3sin(-×2+),
所以-×2+=kπ,
得=+kπ(k∈Z).
因为||<,所以=,
所以y=3sin(2x+).
法二　(待定系数法)
由图象知A=3.因为图象过点(,0)和(,0),
所以
解得
所以y=3sin(2x+).
法三　(图象变换法)
由A=3,T=π,点(-,0)在图象上,可知函数图象是由y=3sin 2x向左平移个单位长度而得到的,所以y=3sin[2(x+)],
即y=3sin(2x+).
[即时训练5-1] 函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<)的部分图象如图所示,求函数图象的解析式.
解:根据函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<)的图象可得A=2,·=+,
所以ω=2.
再根据五点法作图可得2·+=,
所以=-,
所以函数f(x)=2sin(2x-).
根据三角函数的图象求y=Asin(ωx+)的解析式的方法
(1)A:一般可由图象上的最高点、最低点的纵坐标来确定|A|.
(2)ω:因为T=,所以往往通过求T来确定ω.图象上相邻的两个对称中心之间的距离为,相邻的两条对称轴之间的距离为,相邻的对称轴与对称中心之间的距离为.
(3):①把图象上的一个已知点的坐标代入来求.
②寻找“五点法”中的某一个点来求,利用“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时,令ωx+=0;利用“第二点”(即图象的“峰点”)时,令ωx+=;利用“第三点”(即图象下落时与x轴的交点)时,令ωx+=π;利用“第四点”(即图象的“谷点”)时,令ωx+=;利用“第五点”时,令ωx+=2π.
特别地,对于y=Asin(ωx+)+k(A,ω,k均不为0)的图象,当A>0时可利用最高点的纵坐标A+k=ymax,最低点纵坐标k-A=ymin求A,k.而ω,的求解方法同y=Asin(ωx+)的求解方法.
[例1] 将函数y=sin(ωx+)(ω>0,||<π)的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得函数图象解析式为y=sin x,则(　　)
A.ω=2,= B.ω=2,=-
C.ω=,= D.ω=,=
解析:法一　(逆向变换)将函数y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),所得图象的函数解析式为y=sin 2x,再将此函数图象向右平移个单位长度,所得图象的函数解析式为y=sin 2(x-),
即y=sin(2x-),所以ω=2,=-.故选B.
法二　(正向变换)将y=sin(ωx+)的图象向左平移个单位长度后,得到y=sin(ωx++)的图象,再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),即得y=sin(ωx++)的图象,又sin(ωx++)=sin x,ω>0,||<π,从而ω=1,+=0,解得ω=2,=-.故选B.
[例2] 为了得到函数y=4sin(x-)的图象,只要把函数y=3cos(-x)的图象上所有的点(　　)
A.纵坐标缩短到原来的,再向左平移个单位长度
B.纵坐标伸长到原来的倍,再向右平移个单位长度
C.横坐标缩短到原来的,再向左平移个单位长度
D.横坐标伸长到原来的倍,再向右平移个单位长度
解析:由题得函数y=3cos(-x)=3cos(x-π)=3cos(-+x+)=3sin(x+).
函数y=4sin(x-)=3×sin[(x-)+],所以需要把纵坐标伸长到原来的倍,再向右平移个单位长度.故选B.
1.(2022·广西百色高一期末)把函数y=sin x(x∈R)的图象上所有点向左平行移动个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是(　C　)
A.y=sin(2x-),x∈R
B.y=sin(+),x∈R
C.y=sin(2x+),x∈R
D.y=sin(2x+),x∈R
解析:把函数y=sin x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度得到函数y=sin(x+)的图象,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数y=sin(2x+)的图象.故选C.
2.已知函数y=sin(ωx+)(ω>0,-π≤<π)的部分图象如图所示,则=　　　　.
解析:由题中图象知函数y=sin(ωx+)的周期为
2(2π-)=,
所以=,所以ω=.
因为当x=时,y有最小值-1,
所以×+=2kπ-(k∈Z).
因为-π≤<π,所以=.
答案:
3.(2022·浙江杭州高一期末)将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,则平移后函数图象的解析式为　　　　　　　　,平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是　　　　　　.
解析:将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,
可得f(x)=3sin[2(x-)+]=3sin(2x-),
即平移后函数图象的解析式为
f(x)=3sin(2x-).
令2x-=+kπ,k∈Z,
解得x=+,k∈Z,
当k=0时,x=;
当k=-1时,x=-,
所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x=-.
答案:f(x)=3sin(2x-)　x=-
选题明细表
知识点、方法 题号
三角函数图象变换 1,2,4,6
三角函数图象及其应用 3,5,7,9,10,11,12
三角函数综合 8,13
基础巩固
1.已知曲线C1:y=sin x,曲线C2:y=sin(2x-),则下列结论正确的是(　D　)
A.把曲线C1上各点的横坐标伸长到原来的 2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
B.把曲线C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
C.把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
D.把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
解析:因为y=sin(2x-)=sin[2(x-)],
所以将y=sin x图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,可得y=sin 2x的图象,再将y=sin 2x的图象向右平移个单位长度,即可得到y=sin(2x-)的图象.故选D.
2.(多选题)(2022·江苏南通高一期末)要得到函数y=sin 4x的图象,只需将函数y=cos 4x的图象(　BC　)
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
解析:因为y=sin 4x=cos(4x-),
所以将函数y=cos 4x的图象向右平移个单位长度,
得到y=cos[4(x-)]=cos(4x-)=sin 4x,故C成立;
将函数y=cos 4x的图象向左平移个单位长度,
得到y=cos[4(x+)]=cos(4x+)=-sin 4x,故A不成立;
将函数y=cos 4x的图象向左平移个单位长度,
得到y=cos[4(x+)]=cos(4x+)=sin 4x,故B成立;
将函数y=cos 4x的图象向右平移个单位长度,
得到y=cos [4(x-)]=cos(4x-)=-sin 4x,故D不成立.
故选BC.
3.(多选题)函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0,0<<)的图象如图所示,则关于函数f(x)下列结论正确的是(　ABD　)
A.ω=2
B.f(-)=0
C.对称轴为x=+(k∈Z)
D.对称中心为(-+,0)(k∈Z)
解析:根据函数的图象,=-=,故T=π,
所以ω=2,故A正确;
由于f()=sin(+)=0(0<<),
所以=,故f(x)=sin(2x+),
故f(-)=sin(-3π)=0,故B正确;
令2x+=kπ+(k∈Z),
整理得x=+(k∈Z),故C错误;
当x=-+(k∈Z)时,f(-+)=0,故D正确.故选ABD.
4.(2022·安徽高一期末)函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴间的距离是.若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的一半,得到g(x),则g(x)的解析式为(　D　)
A.g(x)=sin(4x+)
B.g(x)=sin(8x-)
C.g(x)=sin(x+)
D.g(x)=sin 4x
解析:函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴间的距离是,
即函数f(x)的最小正周期为π,
则T==π,即ω=2.
若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,
可得y=sin[2(x-)+]=sin 2x的图象,
再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的一半,
得到g(x)=sin 4x的图象.
故选D.
5.某同学用“五点法”画函数y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)在一个周期内简图时,列表如下:
ωx+ 0 π 2π
x
y 0 2 0 -2 0
则A是　　　　,是　　　　.
解析:由表格得A=2,-=,所以ω=3,
所以ωx+=3x+.
当x=时,3x+=+=0,
所以=-.
答案:2　-
6.给出下列六种图象变换的方法:
①图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的;
②图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍;
③图象向右平移个单位长度;
④图象向左平移个单位长度;
⑤图象向右平移个单位长度;
⑥图象向左平移个单位长度.
请用上述变换中的两种变换,将函数y=sin x的图象变换为函数y=
sin(+)的图象,那么这两种变换正确的标号是　　　　.(按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)
解析:y=sin x的图象y=sin(x+)的图象y=sin(x+)的图象或y=sin x的图象y=sin的图象y=sin[(x+)]=sin(+)的图象.
答案:④②或②⑥
能力提升
7.(多选题)(2022·辽宁锦州高一期末)将函数f(x)=cos(2x+)-1的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列关于函数g(x)的说法正确的是(　ABC　)
A.最小正周期为π
B.图象关于点(,0)对称
C.图象关于y轴对称
D.在区间(,π)上为增函数
解析:将函数f(x)=cos(2x+)-1的图象向左平移个单位长度,可得y=cos(2x+π)-1=-cos 2x-1的图象,再向上平移1个单位
长度,
得到函数g(x)=-cos 2x的图象.
关于函数g(x),它的最小正周期为=π,故A正确;
令x=,解得g(x)=0,可得它的图象关于点(,0)对称,故B正确;
由于它是偶函数,故它的图象关于y轴对称,故C正确;
在区间(,π)上,2x∈(π,2π),y=cos 2x单调递增,故g(x)=
-cos 2x为减函数,故D错误.
故选ABC.
8.(多选题)函数f(x)=sin(2x+)的图象向左平移个单位长度后,所得到的图象关于原点对称,则可以等于(　AD　)
A. B.-
C. D.-
解析:函数的图象向左平移个单位后,得到g(x)=sin(2x++)的图象,由于平移后的图象关于原点对称,
故g(0)=sin(+)=0,
即+=kπ(k∈Z),　
因此当k=0可得=-,当k=1可得=.故选AD.
9.(多选题)(2022·河北唐山高一期末)函数f(x)=Asin(ωx+)
(A,ω,是常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示,下列结论正确的是(　BD　)
A.f(0)=1
B.在区间[-,0]上为增函数
C.将f(x)的图象向左平移个单位长度,所得到的函数是偶函数
D.f(x)=-f(-x)
解析:由函数图象得A=2,
T=-(-)=,
所以T=π,ω=2.
又因为函数图象过点(,-2),
所以2sin(+)=-2,
即sin(+)=-1,
解得+=2kπ+,k∈Z,
即=2kπ+,k∈Z,
所以=,
所以f(x)=2sin(2x+).
f(0)=2sin=,故A错误;
因为x∈[-,0],
所以2x+∈[-,] [-,],故B正确;
将f(x)的图象向左平移个单位长度,所得到的函数是y=
2sin[2(x+)+]=2sin(2x+),故C错误;
f(-x)=2sin[2(-x)+]
=2sin(-2x),
=-2sin[2π-(-2x)]
=-2sin(2x+)=-f(x),
所以f(x)=-f(-x),故D正确.
故选BD.
10.(2021·安徽合肥高一期末)已知函数f(x)=cos(ωx-)-
cos ωx(0<ω<3)的图象过点P(,0),若要得到一个奇函数的图象,则需将函数f(x)的图象(　C　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
解析:因为f(x)=cos(ωx-)-cos ωx=sin ωx-cos ωx=2sin(ωx-),
又因为其图象过点P(,0),
故f()=2sin(ω-)=0,
即ω-=0+kπ(k∈Z),
解得ω=+3k(k∈Z).
又因为0<ω<3,令k=0,解得ω=,
所以f(x)=2sin(x-)=2sin[(x-)],
故若要得到一个奇函数的图象,则需将函数f(x)的图象向左平移个单位长度.
故选C.
11.已知函数y=2sin(x-).
(1)用五点法画出该函数在区间[0,2π]的简图;
(2)结合所画图象,指出函数在[0,2π]上的单调区间.
解:(1)令X=x-,则x=X+,列表如下:
X=x- - 0 π
x 0 2π
y - 0 2 0 -2 -
描点画图得函数y=2sin(x-)在区间[0,2π]的简图如图所示.
(2)由(1)中图象可知,函数在区间[0,2π]上的增区间为[0,]和[,2π],减区间为[,].
应用创新
12.已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<)的部分图象如图所示,下列说法正确的是(　A　)
①函数y=f(x)的图象关于点(-,0)对称;
②函数y=f(x)的图象关于直线x=-对称;
③函数y=f(x)在[-,-]上为减函数;
④该图象向右平移个单位长度可得y=2sin 2x的图象.
A.①② B.①③ C.①②③ D.①②④
解析:由函数的图象可得A=2,
周期T=4×(-)=π,
所以ω===2,
因为当x=时,函数取得最大值,
即f()=2sin(2×+)=2,
所以2×+=2kπ+(k∈Z),
则=2kπ+.
又||<,得=,
故函数f(x)=2sin(2x+).
当x=-时,
f(-)=2sin[2×(-)+]=0,故①正确;
当x=-时,
f(-)=2sin[2×(-)+]=-2,
故②正确;
令2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),
所以函数的单调递减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z),[-,-] [kπ+
,kπ+](k∈Z),
故③不正确;
f(x)图象向右平移个单位长度,f(x-)=2sin[2(x-)+]=
2sin(2x-),
故④不正确.
故选A.
13.(多选题)将函数f(x)=2sin(2x-)-1的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象,则下列说法正确的是(　ABC　)
A.函数g(x)的最小正周期是π
B.函数g(x)的图象关于点(-,-1)对称
C.函数g(x)在(,)上为减函数
D.函数g(x)在(0,)上的最大值是1
解析:由题意知g(x)=2sin(2x+)-1,最小正周期T==π,选项A正确;
当x=-时,g(-)=-1,即函数g(x)的图象关于点(-,-1)对称,选项B正确;
当x∈(,)时,2x+∈(,),
所以函数g(x)在(,)上为减函数,选项C正确;
因为函数g(x)在(0,)上为增函数,g(x)所以选项D错误.故选ABC.
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5.4　函数y=Asin(ωx+ )的图象与性质
知识探究·素养启迪
(1)A(A>0)对y=Asin x图象的影响
一般地,对任意A>0且A≠1,函数y=Asin x的图象可以由y=sin x的图象上每一点的横坐标不变、纵坐标乘A得到,y=Asin x的周期仍是2π,值域为
[-A,A],最大值和最小值分别为A 和-A.
知识探究
小试身手
A
1.为了得到函数y=sin(x+1)的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点(　 　)
A.向左平行移动1个单位长度 B.向右平行移动1个单位长度
C.向左平行移动π个单位长度 D.向右平行移动π个单位长度
解析:因为由y=sin x到y=sin(x+1),只是横坐标由x变为x+1,
所以要得到函数y=sin(x+1)的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度.故选A.
B
D
B
课堂探究·素养培育
探究点一
三角函数图象的变换
探究角度1　三角函数图象的平移变换
方法总结
易错警示
三角函数图象的平移变换要弄清变换的方向,即变换的是哪个函数的图
象,得到的是哪个函数的图象,切不可弄错方向.
探究角度2　三角函数图象的伸缩变换
方法总结
易错警示
探究角度3　异名三角函数图象的图象变换
方法总结
探究点二
探究角度1　“五点法”作图
方法总结
探究角度2　根据函数图象确定函数的解析式
方法总结
备用例题
课堂达标
C5.4　函数y=Asin(ωx+)的图象与性质
选题明细表
知识点、方法 题号
三角函数图象变换 1,2,4,6
三角函数图象及其应用 3,5,7,9,10,11,12
三角函数综合 8,13
基础巩固
1.已知曲线C1:y=sin x,曲线C2:y=sin(2x-),则下列结论正确的是(　D　)
A.把曲线C1上各点的横坐标伸长到原来的 2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
B.把曲线C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
C.把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
D.把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
解析:因为y=sin(2x-)=sin[2(x-)],
所以将y=sin x图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,可得y=sin 2x的图象,再将y=sin 2x的图象向右平移个单位长度,即可得到y=sin(2x-)的图象.故选D.
2.(多选题)(2022·江苏南通高一期末)要得到函数y=sin 4x的图象,只需将函数y=cos 4x的图象(　BC　)
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
解析:因为y=sin 4x=cos(4x-),
所以将函数y=cos 4x的图象向右平移个单位长度,
得到y=cos[4(x-)]=cos(4x-)=sin 4x,故C成立;
将函数y=cos 4x的图象向左平移个单位长度,
得到y=cos[4(x+)]=cos(4x+)=-sin 4x,故A不成立;
将函数y=cos 4x的图象向左平移个单位长度,
得到y=cos[4(x+)]=cos(4x+)=sin 4x,故B成立;
将函数y=cos 4x的图象向右平移个单位长度,
得到y=cos [4(x-)]=cos(4x-)=-sin 4x,故D不成立.
故选BC.
3.(多选题)函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0,0<<)的图象如图所示,则关于函数f(x)下列结论正确的是(　ABD　)
A.ω=2
B.f(-)=0
C.对称轴为x=+(k∈Z)
D.对称中心为(-+,0)(k∈Z)
解析:根据函数的图象,=-=,故T=π,
所以ω=2,故A正确;
由于f()=sin(+)=0(0<<),
所以=,故f(x)=sin(2x+),
故f(-)=sin(-3π)=0,故B正确;
令2x+=kπ+(k∈Z),
整理得x=+(k∈Z),故C错误;
当x=-+(k∈Z)时,f(-+)=0,故D正确.故选ABD.
4.(2022·安徽高一期末)函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴间的距离是.若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的一半,得到g(x),则g(x)的解析式为(　D　)
A.g(x)=sin(4x+)
B.g(x)=sin(8x-)
C.g(x)=sin(x+)
D.g(x)=sin 4x
解析:函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴间的距离是,
即函数f(x)的最小正周期为π,
则T==π,即ω=2.
若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,
可得y=sin[2(x-)+]=sin 2x的图象,
再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的一半,
得到g(x)=sin 4x的图象.
故选D.
5.某同学用“五点法”画函数y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)在一个周期内简图时,列表如下:
ωx+ 0 π 2π
x
y 0 2 0 -2 0
则A是　　　　,是　　　　.
解析:由表格得A=2,-=,所以ω=3,
所以ωx+=3x+.
当x=时,3x+=+=0,
所以=-.
答案:2　-
6.给出下列六种图象变换的方法:
①图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的;
②图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍;
③图象向右平移个单位长度;
④图象向左平移个单位长度;
⑤图象向右平移个单位长度;
⑥图象向左平移个单位长度.
请用上述变换中的两种变换,将函数y=sin x的图象变换为函数y=
sin(+)的图象,那么这两种变换正确的标号是　　　　.(按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)
解析:y=sin x的图象y=sin(x+)的图象y=sin(x+)的图象或y=sin x的图象y=sin的图象y=sin[(x+)]=sin(+)的图象.
答案:④②或②⑥
能力提升
7.(多选题)(2022·辽宁锦州高一期末)将函数f(x)=cos(2x+)-1的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列关于函数g(x)的说法正确的是(　ABC　)
A.最小正周期为π
B.图象关于点(,0)对称
C.图象关于y轴对称
D.在区间(,π)上为增函数
解析:将函数f(x)=cos(2x+)-1的图象向左平移个单位长度,可得y=cos(2x+π)-1=-cos 2x-1的图象,再向上平移1个单位
长度,
得到函数g(x)=-cos 2x的图象.
关于函数g(x),它的最小正周期为=π,故A正确;
令x=,解得g(x)=0,可得它的图象关于点(,0)对称,故B正确;
由于它是偶函数,故它的图象关于y轴对称,故C正确;
在区间(,π)上,2x∈(π,2π),y=cos 2x单调递增,故g(x)=
-cos 2x为减函数,故D错误.
故选ABC.
8.(多选题)函数f(x)=sin(2x+)的图象向左平移个单位长度后,所得到的图象关于原点对称,则可以等于(　AD　)
A. B.-
C. D.-
解析:函数的图象向左平移个单位后,得到g(x)=sin(2x++)的图象,由于平移后的图象关于原点对称,
故g(0)=sin(+)=0,
即+=kπ(k∈Z),　
因此当k=0可得=-,当k=1可得=.故选AD.
9.(多选题)(2022·河北唐山高一期末)函数f(x)=Asin(ωx+)
(A,ω,是常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示,下列结论正确的是(　BD　)
A.f(0)=1
B.在区间[-,0]上为增函数
C.将f(x)的图象向左平移个单位长度,所得到的函数是偶函数
D.f(x)=-f(-x)
解析:由函数图象得A=2,
T=-(-)=,
所以T=π,ω=2.
又因为函数图象过点(,-2),
所以2sin(+)=-2,
即sin(+)=-1,
解得+=2kπ+,k∈Z,
即=2kπ+,k∈Z,
所以=,
所以f(x)=2sin(2x+).
f(0)=2sin=,故A错误;
因为x∈[-,0],
所以2x+∈[-,] [-,],故B正确;
将f(x)的图象向左平移个单位长度,所得到的函数是y=
2sin[2(x+)+]=2sin(2x+),故C错误;
f(-x)=2sin[2(-x)+]
=2sin(-2x),
=-2sin[2π-(-2x)]
=-2sin(2x+)=-f(x),
所以f(x)=-f(-x),故D正确.
故选BD.
10.(2021·安徽合肥高一期末)已知函数f(x)=cos(ωx-)-
cos ωx(0<ω<3)的图象过点P(,0),若要得到一个奇函数的图象,则需将函数f(x)的图象(　C　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
解析:因为f(x)=cos(ωx-)-cos ωx=sin ωx-cos ωx=2sin(ωx-),
又因为其图象过点P(,0),
故f()=2sin(ω-)=0,
即ω-=0+kπ(k∈Z),
解得ω=+3k(k∈Z).
又因为0<ω<3,令k=0,解得ω=,
所以f(x)=2sin(x-)=2sin[(x-)],
故若要得到一个奇函数的图象,则需将函数f(x)的图象向左平移个单位长度.
故选C.
11.已知函数y=2sin(x-).
(1)用五点法画出该函数在区间[0,2π]的简图;
(2)结合所画图象,指出函数在[0,2π]上的单调区间.
解:(1)令X=x-,则x=X+,列表如下:
X=x- - 0 π
x 0 2π
y - 0 2 0 -2 -
描点画图得函数y=2sin(x-)在区间[0,2π]的简图如图所示.
(2)由(1)中图象可知,函数在区间[0,2π]上的增区间为[0,]和[,2π],减区间为[,].
应用创新
12.已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<)的部分图象如图所示,下列说法正确的是(　A　)
①函数y=f(x)的图象关于点(-,0)对称;
②函数y=f(x)的图象关于直线x=-对称;
③函数y=f(x)在[-,-]上为减函数;
④该图象向右平移个单位长度可得y=2sin 2x的图象.
A.①② B.①③ C.①②③ D.①②④
解析:由函数的图象可得A=2,
周期T=4×(-)=π,
所以ω===2,
因为当x=时,函数取得最大值,
即f()=2sin(2×+)=2,
所以2×+=2kπ+(k∈Z),
则=2kπ+.
又||<,得=,
故函数f(x)=2sin(2x+).
当x=-时,
f(-)=2sin[2×(-)+]=0,故①正确;
当x=-时,
f(-)=2sin[2×(-)+]=-2,
故②正确;
令2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),
所以函数的单调递减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z),[-,-] [kπ+
,kπ+](k∈Z),
故③不正确;
f(x)图象向右平移个单位长度,f(x-)=2sin[2(x-)+]=
2sin(2x-),
故④不正确.
故选A.
13.(多选题)将函数f(x)=2sin(2x-)-1的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象,则下列说法正确的是(　ABC　)
A.函数g(x)的最小正周期是π
B.函数g(x)的图象关于点(-,-1)对称
C.函数g(x)在(,)上为减函数
D.函数g(x)在(0,)上的最大值是1
解析:由题意知g(x)=2sin(2x+)-1,最小正周期T==π,选项A正确;
当x=-时,g(-)=-1,即函数g(x)的图象关于点(-,-1)对称,选项B正确;
当x∈(,)时,2x+∈(,),
所以函数g(x)在(,)上为减函数,选项C正确;
因为函数g(x)在(0,)上为增函数,g(x)所以选项D错误.故选ABC.
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