资源简介

6.2　抽　样
6.2.1　简单随机抽样
6.2.2　分层抽样
核心知识目标 核心素养目标
1.了解简单随机抽样的概念、特点和步骤. 2.掌握简单随机抽样的两种方法(抽签法和随机数法). 3.理解分层抽样的概念. 4.掌握分层抽样的使用条件和操作步骤,会用分层抽样法进行抽样.(重点) 1.在简单随机抽样的实施过程中,掌握抽签法和随机数法的抽样步骤,发展学生数据分析和数学建模的核心素养. 2.通过对分层抽样的学习,发展学生数学运算的核心素养.
1.随机抽样
(1)定义:如果在抽样的过程中,能使总体中的每个个体都有相同的可能性被选入样本,那么这样的抽样叫作随机抽样.
(2)分类
随机抽样分为无放回的随机抽样和有放回的随机抽样
2.简单随机抽样
(1)定义
一般地,设一个总体含有N个个体,从中无放回地抽取n(n≤N)个个体为样本,如果总体内的每个个体都有相同的可能性被抽到,则把这样的抽样方法称为简单随机抽样.
我们把简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本.
(2)分类:抽签法和随机数法
①抽签法的步骤:
a.假设一个总体有N个个体,将它们逐一编号;
b.制作N个号签(号签可以用小球、纸片等制作),将编号写在号签上;
c.将号签放在一个容器中,并充分搅拌均匀;
d.从容器中任意抽取n个号签,记录其编号,就得到一个容量为n的样本.
②随机数法
随机数法即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样.
3.分层抽样
当总体由差异明显的几个部分组成时,为了使抽取的样本更好地反映总体的情况.把总体中各个个体按照某种特征或某种规则划分为互不交叉的层,然后对各层按其在总体中所占比例独立进行简单随机抽样,这种抽样方法称为分层抽样.
4.简单随机抽样和分层抽样的比对
抽样类别 特点 适用范围 共同点
简单随 机抽样 从总体中随机抽取 总体中的个体差异不易分层 抽样过程中,每个个体被抽到的可能性相同
分层 抽样 将总体分层,按各层个体数之比抽取,各层抽样时采用简单随机抽样 总体由差异明显的几个互不交叉的部分组成
1.在简单随机抽样中,某一个个体被抽中的可能性(　B　)
A.与第几次抽样无关,第一次抽中的可能性要大些
B.与第几次抽样无关,每次抽中的可能性都相等
C.与第几次抽样有关,最后一次抽中的可能性要大些
D.每个个体被抽中的可能性无法确定
解析:在简单随机抽样中,每一个个体被抽中的可能性都相等,与第几次抽样无关.故选B.
2.某校高三年级有男生500人,女生400人.为了解该年级学生的健康情况,从男生中任意抽取25人,从女生中任意抽取20人进行调查,这种抽样方法是(　D　)
A.简单随机抽样 B.抽签法
C.随机数法 D.分层抽样
解析:样本由差异明显的几部分组成,抽取的比例由每层个体占总体的比例确定,即为分层抽样.故选D.
3.分层抽样适合的总体是(　C　)
A.总体容量较多 B.样本容量较多
C.总体中个体有差异 D.任何总体
4.具有A,B,C三种性质的元素的总体,其总体容量为63,将A,B,C三种性质的元素的个体按1∶2∶4的比例进行分层调查,如果抽取的样本容量为21,则A,B,C三种性质的元素分别抽取的数量为　　　　.
解析:因为抽取的样本容量为21,A,B,C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层调查,所以A,B,C三种元素分别抽取×21=3,×21=6,×21=12.
答案:3,6,12
　抽签法的应用
[例1] 有一车西瓜共40个,想从中选出3个检验是否成熟.请你用抽签法完成,写出抽样过程.
解:第一步,将40个西瓜进行编号,编号为1～40;
第二步,在大小相同的40张纸片上,分别写上数字1,2,3,…,40;
第三步,将纸片揉成大小一样的纸团,放进一个不透明的箱子里,并搅拌均匀;
第四步,从箱子里每次取一个纸团,取三次取到三个纸团;
第五步,打开纸团,纸片上标的号码则为对应西瓜上的号码,取出这三个西瓜,即得样本.
[即时训练1-1] 某大学为了支援西部教育事业,现从报名的18名志愿者中选取6人组成志愿小组,请用抽签法确定志愿小组成员,并写出抽样步骤.
解:抽样步骤:
第一步,将18名志愿者编号,号码是01,02,…,18;
第二步,将号码分别写在同样的小纸片上,揉成团,制成号签;
第三步,将得到的号签放入一个不透明的袋子中,并充分搅匀;
第四步,从袋子中依次抽取6个号签,并记录上面的编号;
第五步,与所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员.
一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.在用抽签法解决问题的过程中,为了使每一个个体被抽到的可能性相等,要特别注意每一次抽签前要将号签搅匀,这样才能保证抽样的公平性.
利用抽签法抽取样本时应注意以下问题
(1)编号时,如果已有编号(如学号、标号等),可不必重新编号.
(2)号签要求大小、形状完全相同.
(3)号签要搅拌均匀.
(4)要逐一不放回地抽取.
　随机数法的应用
[例2] 总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成,利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为(　　)
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A.08 B.07 C.02 D.01
解析:由题意知第一个数为65(第1行第5列和第6列),按由左向右选取两位数(大于20的跳过,重复的不选取),前5个个体编号为08,02,14,07,01,故第5个个体编号为01.故选D.
[即时训练2-1] 从500件产品中随机抽取20件进行抽样,利用随机数法抽取样本时,先将这500件产品按001,002,003,…,500进行编号,如果从随机数表的第1行第6列开始,从左往右依次选取三个数字,则选出来的第4个个体编号为(　　)
1622 7794 3949 5443 5482 1737 9323 7887 3520 9643
8626 3491 6484 4217 5331 5724 5506 8877 0474 4767
A.435 B.482 C.173 D.237
解析:根据随机数法,从第1行第6列开始大于500的舍去,直到选取第4个.依次得到的样本编号为394,435,482,173,则选出来的第4个个体编号为173.故选C.
随机数法的一般步骤
(1)将总体中的所有个体编号(每个号码位数一致).
(2)在随机数表中任选一个数作为开始.
(3)从选定的数开始按一定的方向读下去,得到的号码若不在编号中,则跳过,若在编号中,则取出;若得到的号码前面已经取出,则也跳过.如此进行下去,直到取满为止.
(4)根据选定的号码抽取样本.
　对分层抽样的理解
[例3] 如果采用分层抽样,从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本,那么每个个体被抽到的可能性为(　　)
A. B. C. D.
解析:根据每个个体都等可能入样,所以其可能性为样本容量与总体容量比,即为.故选C.
[即时训练3-1] 分层抽样,即将相似的个体归入一类(层),然后每类抽取若干个个体构成样本,所以分层抽样为保证每个个体被等可能抽取,必须进行(　　)
A.每层等可能抽样
B.每层可以不等可能抽样
C.所有层按同一抽样比等可能抽样
D.所有层抽取个体数量相同
解析:保证每个个体等可能的被抽取是两种基本抽样方式的共同特征,为了保证这一点,分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽样.故选C.
使用分层抽样的前提
分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别,而层内个体间差异较小.
　分层抽样的应用
[例4] 某市的3个区共有高中学生20 000人,且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5,现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本,调查该市高中学生的视力情况.(1)试写出抽样过程;
(2)若样本中3个区的高中学生的平均视力分别为4.8,4.8,4.6,试估计该市高中学生的平均视力.
解:(1)①由于该市高中学生有差异,按3个区分成三层,用分层抽样法抽取样本.
②确定每层抽取的个体数,在3个区分别抽取的学生人数之比也是2∶3∶5,所以抽取的学生人数分别是200×=40;200×=60;
200×=100.
③在各层分别按简单随机抽样法抽取样本.
④综合每层抽样,组成容量为200的样本.
(2)样本中高中学生的平均视力为
×4.8+×4.8+×4.6=4.7.
所以估计该市高中学生的平均视力为4.7.
[即时训练4-1] 一个单位有职工500人,其中不到35岁的有125人,35岁至49岁的有280人,50岁及50岁以上的有95人.为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标,要从中抽取100名职工作为样本,职工年龄与这项指标有关,应该怎样抽取
解:用分层抽样来抽取样本,步骤如下:
①分层.按年龄将500名职工分成三层:不到35岁的职工;35岁至49岁的职工;50岁及50岁以上的职工.
②确定每层抽取个体的个数.抽样比为=,
则在不到35岁的职工中抽取125×=25(人);
在35岁至49岁的职工中抽取280×=56(人);
在50岁及50岁以上的职工中抽取95×=19(人).
③在各层分别按随机数法抽取样本.
④汇总每层抽样,组成样本.
在分层抽样的过程中,为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的,这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体容量之比.
1.下面的抽样方法是简单随机抽样的是(　D　)
A.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
B.某饮料公司从仓库的1 000瓶饮料中一次性抽取20瓶进行质量检验
C.某社区组织100名党员研读十九大报告,学习十九大精神
D.从10部手机中不放回地随机抽取2部进行质量检验(假设10部手机已编号,对编号进行随机抽取)
解析:A中,平面直角坐标系中有无数个点,这与要求被抽取的样本的总体个数有限不相符;B中,一次性抽取不符合从总体中逐个抽取的特点;C中,该社区的100名党员是挑选出来的,不符合简单随机抽样中的等可能性.故选D.
2.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为(　B　)
A.101 B.808
C.1 212 D.2 012
解析:由题意得,=,
解得N=808.故选B.
3.一个单位有职工800人,其中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则从上述各层中依次抽取的人数分别是(　D　)
A.12,24,15,9 B.9,12,12,7
C.8,15,12,5 D.8,16,10,6
解析:由题意,各种职称的人数比为160∶320∶200∶120=4∶8∶5∶3,所以抽取的具有高、中、初级职称的人数和其他人员的人数分别为40×=8,40×=16,40×=10,40×=6.故选D.
4.某农科站要检测某品牌种子的发芽率,计划采用随机数法从该品牌800粒种子中抽取60粒进行检测,现将这800粒种子编号如下001,002,…,800,若从随机数表第3行第3列的数7开始向右读,则所抽取的第4粒种子的编号是　　　　.
84　42　17　53　31　57　24　56　06　88　77　04　74
67　21　76　33　50　25　83　92　12　06　76　63　01
63　78　59　16　95　55　67　19　98　50　71　75　12
86　73　58　07　44　39　52　38　79　33　31　12　34
29　78　64　56　07　82　52　42　07　44　38　15　51
00　13　42　99　66　02　79　54
解析:从随机数表第3行第3列的数7开始向右读,每三位确定一个编号,其中编号大于800的去掉,重复的也去掉,这样依次得到的编号分别为785,567,199,717,则所抽取的第4粒种子的编号是717.
答案:717
选题明细表
知识点、方法 题号
简单随机抽样 1,2,5
分层抽样 3,4,6,8,9,10,11
抽样方法的选择 7
基础巩固
1.抽签法中确保样本代表性的关键是(　B　)
A.制签 B.搅拌均匀
C.逐一抽取 D.抽取不放回
解析:逐一抽取、抽取不放回是简单随机抽样的特点,但不是确保代表性的关键,制签也一样.故选B.
2.用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中,抽取一个容量为3的样本,其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性,“第二次被抽到”的可能性分别是(　A　)
A., B.,
C., D.,
解析:简单随机抽样中每个个体被抽取的概率都相等,都为.故选A.
3.某中学有高中生3 500人,初中生1 500人.为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为(　A　)
A.100 B.150 C.200 D.250
解析:抽样比为=,该校总人数为1 500+3 500=5 000,则=,故n=100.故选A.
4.某市新上了一批便民公共自行车,有绿色和橙黄色两种颜色,且绿色公共自行车和橙黄色公共自行车的数量比为2∶1,现在按照分层抽样的方法抽取36辆这样的公共自行车放在某校门口,则其中绿色公共自行车的辆数是(　D　)
A.8 B.12 C.16 D.24
解析:设放在该校门口的绿色公共自行车的辆数是x,则=,解得x=24.故选D.
5.已知总个体数为108,若用随机数法抽取一个容量为10的简单随机样本,下列对总体的编号正确的是(　D　)
A.1,2,…,108 B.01,02,…,108
C.00,01,…,107 D.001,002,…,108
解析:用随机数法选取样本时,样本的编号位数要一致.故选D.
6.某学院的A,B,C三个专业共有1 200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院的A专业有380名学生,B专业有420名学生,则在该学院的C专业应抽取　　　　名学生.
解析:C专业的学生有1 200-380-420=400(名),由分层抽样可得,应抽取120×=40(名).
答案:40
能力提升
7.下列抽样试验中,适合用抽签法的有(　B　)
A.从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量
检验
D.从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验
解析:个体数和样本容量较小时适合用抽签法,排除A,D;C中甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大,也不适用.故选B.
8.某校共有学生2 000名,各年级男、女生人数如下表所示:
一年级 二年级 三年级
女生 373 380 y
男生 377 370 z
现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为(　C　)
A.24 B.18 C.16 D.12
解析:一年级的学生人数为373+377=750,二年级的学生人数为380+
370=750,于是三年级的学生人数为2 000-750-750=500,那么三年级应抽取的人数为500×=16.故选C.
9.已知下列抽取样本的方式:
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本;
②盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验,在抽样操作时,从中任意拿出1个零件进行质量检验后再把它放回盒子里;
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验;
④某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮
球赛.
其中,不是简单随机抽样的是　　　　.(填序号)
解析:①不是简单随机抽样,因为被抽取的总体的个体数是无限的,而不是有限的;②不是简单随机抽样,因为它是放回抽样;③不是简单随机抽样,因为这是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取;④不是简单随机抽样,因为指定个子最高的5名同学是56名同学中特指的,不存在随机性,不是等概率抽样.
答案:①②③④
10.某市化工厂三个车间共有工人1 000名,各车间男、女工人数如
下表:
第一车间 第二车间 第三车间
女工人 173 100 y
男工人 177 x z
已知在全厂工人中随机抽取1名,抽到第二车间男工的可能性是0.15.
(1)求x的值;
(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人,问:应在第三车间抽取多少名
解:(1)由=0.15,得x=150.
(2)因为第一车间的工人数是173+177=350(人),
第二车间的工人数是100+150=250(人),
所以第三车间的工人数是
1 000-350-250=400(人).
设应从第三车间抽取m名工人,
则由=,得m=20,
所以应在第三车间抽取20名工人.
应用创新
11.某市两所高级中学在暑假联合组织全体教师外出旅游,活动分为两条线路:华东五市游和长白山之旅,且每位教师至多参加了其中的一条线路.在参加活动的教师中,高一教师占42.5%,高二教师占47.5%,高三教师占10%.参加华东五市游的教师占参加活动总人数的,且该组中,高一教师占50%,高二教师占40%,高三教师占10%.为了了解各条线路不同年级的教师对本次活动的满意程度,现用分层抽样的方法从参加活动的全体教师中抽取一个容量为200的样本.试确定:
(1)参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别所占的
比例;
(2)参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别应抽取的人数.
解:(1)设参加华东五市游的人数为x,参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师所占的比例分别为a,b,c,则有=
47.5%,=10%,解得b=50%,c=10%.故a=100%-50%-10%=40%,即参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师所占的比例分别为40%,50%,10%.
(2)参加长白山之旅的高一教师应抽取人数为200××40%=60;
抽取的高二教师人数为200××50%=75;
抽取的高三教师人数为200××10%=15.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共26张PPT)
6.2　抽　样
6.2.1　简单随机抽样
6.2.2　分层抽样
核心知识目标 核心素养目标
1.了解简单随机抽样的概念、特点和步骤.
2.掌握简单随机抽样的两种方法(抽签法和随机数法).
3.理解分层抽样的概念.
4.掌握分层抽样的使用条件和操作步骤,会用分层抽样法进行抽样.(重点) 1.在简单随机抽样的实施过程中,掌握抽签法和随机数法的抽样步骤,发展学生数据分析和数学建模的核心素养.
2.通过对分层抽样的学习,发展学生数学运算的核心素养.
知识探究·素养启迪
1.随机抽样
(1)定义:如果在抽样的过程中,能使总体中的每个个体都有相同的可能性被选入样本,那么这样的抽样叫作随机抽样.
(2)分类
随机抽样分为无放回的随机抽样和有放回的随机抽样
知识探究
2.简单随机抽样
(1)定义
一般地,设一个总体含有N个个体,从中无放回地抽取n(n≤N)个个体为样本,如果总体内的每个个体都有相同的可能性被抽到,则把这样的抽样方法称为简单随机抽样.
我们把简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本.
(2)分类:抽签法和随机数法
①抽签法的步骤:
a.假设一个总体有N个个体,将它们逐一编号;
b.制作N个号签(号签可以用小球、纸片等制作),将编号写在号签上;
c.将号签放在一个容器中,并充分搅拌均匀;
d.从容器中任意抽取n个号签,记录其编号,就得到一个容量为n的样本.
②随机数法
随机数法即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样.
3.分层抽样
当总体由差异明显的几个部分组成时,为了使抽取的样本更好地反映总体的情况.把总体中各个个体按照某种特征或某种规则划分为互不交叉的层,然后对各层按其在总体中所占比例独立进行简单随机抽样,这种抽样方法称为分层抽样.
4.简单随机抽样和分层抽样的比对
抽样类别 特点 适用范围 共同点
简单随
机抽样 从总体中随机抽取 总体中的个体差异不易分层 抽样过程中,每个个体被抽到的可能性相同
分层
抽样 将总体分层,按各层个体数之比抽取,各层抽样时采用简单随机抽样 总体由差异明显的几个互不交叉的部分组成
小试身手
B
1.在简单随机抽样中,某一个个体被抽中的可能性(　 　)
A.与第几次抽样无关,第一次抽中的可能性要大些
B.与第几次抽样无关,每次抽中的可能性都相等
C.与第几次抽样有关,最后一次抽中的可能性要大些
D.每个个体被抽中的可能性无法确定
解析:在简单随机抽样中,每一个个体被抽中的可能性都相等,与第几次抽样无关.故选B.
2.某校高三年级有男生500人,女生400人.为了解该年级学生的健康情况,从男生中任意抽取25人,从女生中任意抽取20人进行调查,这种抽样方法是(　 　)
A.简单随机抽样 B.抽签法
C.随机数法 D.分层抽样
D
解析:样本由差异明显的几部分组成,抽取的比例由每层个体占总体的比例确定,即为分层抽样.故选D.
3.分层抽样适合的总体是(　 　)
A.总体容量较多 B.样本容量较多
C.总体中个体有差异 D.任何总体
C
4.具有A,B,C三种性质的元素的总体,其总体容量为63,将A,B,C三种性质的元素的个体按1∶2∶4的比例进行分层调查,如果抽取的样本容量为21,则A,B,C三种性质的元素分别抽取的数量为　　　　.
答案:3,6,12
课堂探究·素养培育
探究点一
抽签法的应用
[例1] 有一车西瓜共40个,想从中选出3个检验是否成熟.请你用抽签法完成,写出抽样过程.
解:第一步,将40个西瓜进行编号,编号为1～40;
第二步,在大小相同的40张纸片上,分别写上数字1,2,3,…,40;
第三步,将纸片揉成大小一样的纸团,放进一个不透明的箱子里,并搅拌均匀;
第四步,从箱子里每次取一个纸团,取三次取到三个纸团;
第五步,打开纸团,纸片上标的号码则为对应西瓜上的号码,取出这三个西瓜,即得样本.
[即时训练1-1] 某大学为了支援西部教育事业,现从报名的18名志愿者中选取6人组成志愿小组,请用抽签法确定志愿小组成员,并写出抽样步骤.
解:抽样步骤:
第一步,将18名志愿者编号,号码是01,02,…,18;
第二步,将号码分别写在同样的小纸片上,揉成团,制成号签;
第三步,将得到的号签放入一个不透明的袋子中,并充分搅匀;
第四步,从袋子中依次抽取6个号签,并记录上面的编号;
第五步,与所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员.
方法总结
一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.在用抽签法解决问题的过程中,为了使每一个个体被抽到的可能性相等,要特别注意每一次抽签前要将号签搅匀,这样才能保证抽样的公平性.
利用抽签法抽取样本时应注意以下问题
(1)编号时,如果已有编号(如学号、标号等),可不必重新编号.
(2)号签要求大小、形状完全相同.
(3)号签要搅拌均匀.
(4)要逐一不放回地抽取.
探究点二
随机数法的应用
[例2] 总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成,利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为(　　)
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A.08 B.07 C.02 D.01
解析:由题意知第一个数为65(第1行第5列和第6列),按由左向右选取两位数(大于20的跳过,重复的不选取),前5个个体编号为08,02,14,07,01,故第5个个体编号为01.故选D.
[即时训练2-1] 从500件产品中随机抽取20件进行抽样,利用随机数法抽取样本时,先将这500件产品按001,002,003,…,500进行编号,如果从随机数表的第1行第6列开始,从左往右依次选取三个数字,则选出来的第4个个体编号为(　　)
1622 7794 3949 5443 5482 1737 9323 7887 3520 9643
8626 3491 6484 4217 5331 5724 5506 8877 0474 4767
A.435 B.482 C.173 D.237
解析:根据随机数法,从第1行第6列开始大于500的舍去,直到选取第4个.依次得到的样本编号为394,435,482,173,则选出来的第4个个体编号为173.故选C.
方法总结
随机数法的一般步骤
(1)将总体中的所有个体编号(每个号码位数一致).
(2)在随机数表中任选一个数作为开始.
(3)从选定的数开始按一定的方向读下去,得到的号码若不在编号中,则跳过,若在编号中,则取出;若得到的号码前面已经取出,则也跳过.如此进行下去,直到取满为止.
(4)根据选定的号码抽取样本.
探究点三
对分层抽样的理解
[例3] 如果采用分层抽样,从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本,那么每个个体被抽到的可能性为(　　)
[即时训练3-1] 分层抽样,即将相似的个体归入一类(层),然后每类抽取若干个个体构成样本,所以分层抽样为保证每个个体被等可能抽取,必须进行
(　　)
A.每层等可能抽样
B.每层可以不等可能抽样
C.所有层按同一抽样比等可能抽样
D.所有层抽取个体数量相同
解析:保证每个个体等可能的被抽取是两种基本抽样方式的共同特征,为了保证这一点,分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽样.故选C.
方法总结
使用分层抽样的前提
分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别,而层内个体间差异较小.
探究点四
分层抽样的应用
[例4] 某市的3个区共有高中学生20 000人,且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5,现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本,调查该市高中学生的视力情况.(1)试写出抽样过程;
解:(1)①由于该市高中学生有差异,按3个区分成三层,用分层抽样法抽取样本.
③在各层分别按简单随机抽样法抽取样本.
④综合每层抽样,组成容量为200的样本.
[例4] 某市的3个区共有高中学生20 000人,且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5,现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本,调查该市高中学生的视力情况.
(2)若样本中3个区的高中学生的平均视力分别为4.8,4.8,4.6,试估计该市高中学生的平均视力.
[即时训练4-1] 一个单位有职工500人,其中不到35岁的有125人,35岁至49岁的有280人,50岁及50岁以上的有95人.为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标,要从中抽取100名职工作为样本,职工年龄与这项指标有关,应该怎样抽取
解:用分层抽样来抽取样本,步骤如下:
①分层.按年龄将500名职工分成三层:不到35岁的职工;35岁至49岁的职工;50岁及50岁以上的职工.
③在各层分别按随机数法抽取样本.
④汇总每层抽样,组成样本.
方法总结
在分层抽样的过程中,为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的,这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体容量之比.
课堂达标
D
1.下面的抽样方法是简单随机抽样的是(　 　)
A.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
B.某饮料公司从仓库的1 000瓶饮料中一次性抽取20瓶进行质量检验
C.某社区组织100名党员研读十九大报告,学习十九大精神
D.从10部手机中不放回地随机抽取2部进行质量检验(假设10部手机已编号,对编号进行随机抽取)
解析:A中,平面直角坐标系中有无数个点,这与要求被抽取的样本的总体个数有限不相符;B中,一次性抽取不符合从总体中逐个抽取的特点;C中,该社区的100名党员是挑选出来的,不符合简单随机抽样中的等可能性.故选D.
B
2.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为( 　)
A.101 B.808
C.1 212 D.2 012
D
3.一个单位有职工800人,其中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则从上述各层中依次抽取的人数分别是(　 　)
A.12,24,15,9 B.9,12,12,7
C.8,15,12,5 D.8,16,10,6
4.某农科站要检测某品牌种子的发芽率,计划采用随机数法从该品牌800粒种子中抽取60粒进行检测,现将这800粒种子编号如下001,002,…,800,若从随机数表第3行第3列的数7开始向右读,则所抽取的第4粒种子的编号是　　　　.
84　42　17　53　31　57　24　56　06　88　77　04　74
67　21　76　33　50　25　83　92　12　06　76　63　01
63　78　59　16　95　55　67　19　98　50　71　75　12
86　73　58　07　44　39　52　38　79　33　31　12　34
29　78　64　56　07　82　52　42　07　44　38　15　51
00　13　42　99　66　02　79　54
解析:从随机数表第3行第3列的数7开始向右读,每三位确定一个编号,其中编号大于800的去掉,重复的也去掉,这样依次得到的编号分别为785,567,199,717,则所抽取的第4粒种子的编号是717.
答案:7176.2　抽　样
6.2.1　简单随机抽样
6.2.2　分层抽样
选题明细表
知识点、方法 题号
简单随机抽样 1,2,5
分层抽样 3,4,6,8,9,10,11
抽样方法的选择 7
基础巩固
1.抽签法中确保样本代表性的关键是(　B　)
A.制签 B.搅拌均匀
C.逐一抽取 D.抽取不放回
解析:逐一抽取、抽取不放回是简单随机抽样的特点,但不是确保代表性的关键,制签也一样.故选B.
2.用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中,抽取一个容量为3的样本,其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性,“第二次被抽到”的可能性分别是(　A　)
A., B.,
C., D.,
解析:简单随机抽样中每个个体被抽取的概率都相等,都为.故选A.
3.某中学有高中生3 500人,初中生1 500人.为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为(　A　)
A.100 B.150 C.200 D.250
解析:抽样比为=,该校总人数为1 500+3 500=5 000,则=,故n=100.故选A.
4.某市新上了一批便民公共自行车,有绿色和橙黄色两种颜色,且绿色公共自行车和橙黄色公共自行车的数量比为2∶1,现在按照分层抽样的方法抽取36辆这样的公共自行车放在某校门口,则其中绿色公共自行车的辆数是(　D　)
A.8 B.12 C.16 D.24
解析:设放在该校门口的绿色公共自行车的辆数是x,则=,解得x=24.故选D.
5.已知总个体数为108,若用随机数法抽取一个容量为10的简单随机样本,下列对总体的编号正确的是(　D　)
A.1,2,…,108 B.01,02,…,108
C.00,01,…,107 D.001,002,…,108
解析:用随机数法选取样本时,样本的编号位数要一致.故选D.
6.某学院的A,B,C三个专业共有1 200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院的A专业有380名学生,B专业有420名学生,则在该学院的C专业应抽取　　　　名学生.
解析:C专业的学生有1 200-380-420=400(名),由分层抽样可得,应抽取120×=40(名).
答案:40
能力提升
7.下列抽样试验中,适合用抽签法的有(　B　)
A.从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量
检验
D.从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验
解析:个体数和样本容量较小时适合用抽签法,排除A,D;C中甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大,也不适用.故选B.
8.某校共有学生2 000名,各年级男、女生人数如下表所示:
一年级 二年级 三年级
女生 373 380 y
男生 377 370 z
现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为(　C　)
A.24 B.18 C.16 D.12
解析:一年级的学生人数为373+377=750,二年级的学生人数为380+
370=750,于是三年级的学生人数为2 000-750-750=500,那么三年级应抽取的人数为500×=16.故选C.
9.已知下列抽取样本的方式:
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本;
②盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验,在抽样操作时,从中任意拿出1个零件进行质量检验后再把它放回盒子里;
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验;
④某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮
球赛.
其中,不是简单随机抽样的是　　　　.(填序号)
解析:①不是简单随机抽样,因为被抽取的总体的个体数是无限的,而不是有限的;②不是简单随机抽样,因为它是放回抽样;③不是简单随机抽样,因为这是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取;④不是简单随机抽样,因为指定个子最高的5名同学是56名同学中特指的,不存在随机性,不是等概率抽样.
答案:①②③④
10.某市化工厂三个车间共有工人1 000名,各车间男、女工人数如
下表:
第一车间 第二车间 第三车间
女工人 173 100 y
男工人 177 x z
已知在全厂工人中随机抽取1名,抽到第二车间男工的可能性是0.15.
(1)求x的值;
(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人,问:应在第三车间抽取多少名
解:(1)由=0.15,得x=150.
(2)因为第一车间的工人数是173+177=350(人),
第二车间的工人数是100+150=250(人),
所以第三车间的工人数是
1 000-350-250=400(人).
设应从第三车间抽取m名工人,
则由=,得m=20,
所以应在第三车间抽取20名工人.
应用创新
11.某市两所高级中学在暑假联合组织全体教师外出旅游,活动分为两条线路:华东五市游和长白山之旅,且每位教师至多参加了其中的一条线路.在参加活动的教师中,高一教师占42.5%,高二教师占47.5%,高三教师占10%.参加华东五市游的教师占参加活动总人数的,且该组中,高一教师占50%,高二教师占40%,高三教师占10%.为了了解各条线路不同年级的教师对本次活动的满意程度,现用分层抽样的方法从参加活动的全体教师中抽取一个容量为200的样本.试确定:
(1)参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别所占的
比例;
(2)参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别应抽取的人数.
解:(1)设参加华东五市游的人数为x,参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师所占的比例分别为a,b,c,则有=
47.5%,=10%,解得b=50%,c=10%.故a=100%-50%-10%=40%,即参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师所占的比例分别为40%,50%,10%.
(2)参加长白山之旅的高一教师应抽取人数为200××40%=60;
抽取的高二教师人数为200××50%=75;
抽取的高三教师人数为200××10%=15.
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