资源简介

6.4.2　用样本估计总体的离散程度
选题明细表
知识点、方法 题号
平均数、方差、标准差的 概念及理解 1,3,5,9
平均数、方差、标准差的计算 4,6,7,8,10,11
对实际问题的决策 2,12,13,14
基础巩固
1.(多选题)下列说法正确的为(　ACD　)
A.数据的极差越小,样本数据分布越集中、稳定
B.数据的平均数越小,样本数据分布越集中、稳定
C.数据的标准差越小,样本数据分布越集中、稳定
D.数据的方差越小,样本数据分布越集中、稳定
解析:由数据的极差、标准差、方差的定义可知,它们都可以影响样本数据的分布和稳定性,而数据的平均数则与之无关,故B不正确,A,C,
D正确.故选ACD.
2.某射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛,四人的平均成绩和方差如下表,根据表格中数据判断,参赛最为合适的是(　C　)
甲 乙 丙 丁
平均成绩 8.5 8.8 8.8 8
方差s2 3.5 3.5 2.1 8.7
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
解析:由表可知,丙的平均成绩较高,且发挥比较稳定,应派丙去参赛最合适.故选C.
3.在教学调查中,甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图1、图2、图3,假设三个班的平均分都是75分,s1,s2,s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差,则有(　D　)
A.s3>s1>s2 B.s2>s1>s3
C.s1>s2>s3 D.s3>s2>s1
解析:所给图是成绩分布图,平均分是75分,在题图1中,集中在75分附近的数据最多,题图3中从50分到100分均匀分布,所有成绩不集中在任何一个数据附近,题图2介于两者之间.由标准差的意义可得s3>s2>s1.故选D.
4.已知一组正数x1,x2,x3,x4的方差为s2=(+++-16),则数据x1+2,x2+2,x3+2,x4+2的平均数为(　C　)
A.2 B.3 C.4 D.6
解析:因为s2=(+++-16),由方差的计算公式可得,正数x1,
x2,x3,x4的平均数=2,所以数据x1+2,x2+2,x3+2,x4+2的平均数为2+2=
4.故选C.
5.甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图,甲、乙两组数据的平均数分别为m1,m2,标准差分别为n1,n2则(　C　)
A.m1B.m1n2
C.m1>m2,n1D.m1>m2,n1>n2
解析:由甲、乙两名同学6次考试的成绩统计图知,
甲组数据靠上,乙组数据靠下,
甲组数据相对集中,乙组数据相对分散,
由甲、乙两组数据的平均数分别为m1,m2,标准差分别为n1,n2,
得m1>m2,n1故选C.
6.某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,
9,10,7,4.则平均命中环数为　　　,命中环数的标准差为　　　　.
解析:=×(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7.
s2=×[(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+
(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2]=4,
所以s=2.
答案:7　2
能力提升
7.数据5,7,7,8,10,11的中位数和标准差分别为(　D　)
A.中位数为7,标准差为2
B.中位数为7,标准差为4
C.中位数为7.5,标准差为4
D.中位数为7.5,标准差为2
解析:数据5,7,7,8,10,11的中位数是
×(7+8)=7.5;
平均数是=×(5+7+7+8+10+11)=8,
方差是s2=×[(-3)2+(-1)2+(-1)2+02+22+32]=4,标准差是s=2.故选D.
8.样本中共有5个个体,其值分别是a,1,2,3,4,若样本的平均数是2,则样本的极差和标准差分别是(　D　)
A.5和2 B.5和
C.4和2 D.4和
解析:因为样本中共有5个个体,其值分别是a,1,2,3,4,且样本的平均数是2,
所以a+1+2+3+4=5×2,解得a=0.
所以样本的极差为4-0=4.
样本的方差为s2=×[(0-2)2+(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2+(4-2)2]=2,
所以标准差为.故选D.
9.垃圾分类是一种新时尚,沈阳市为推进这项工作的实施,开展了“垃圾分类进小区”的评比活动.现对沈阳市甲、乙两个小区进行评比,从中各随机选出20户家庭进行评比打分,每户成绩满分为100分.评分后得到如图茎叶图.通过茎叶图比较甲、乙两个小区得分的平均值及方差大小(　C　)
A.<,<
B.>,<
C.<,>
D.>,>
解析:由茎叶图观察得,乙小区评分高于甲小区评分的平均值,乙小区评分分布比较均匀,所以乙小区的评分方差小.故选C.
10.已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,标准差是,则xy=　　　.
解析:由平均数得9+10+11+x+y=50,
所以x+y=20,
又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=()2×5=10,
得x2+y2-20(x+y)=-192,
(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192,
xy=96.
答案:96
11.若40个数据的平方和是56,平均数是,则这组数据的方差是
　　　　,标准差是　　　　.
解析:设这40个数据为xi(i=1,2,…,40),平均数为.
则s2=×[(x1-)2+(x2-)2+…+(x40-)2]
=×[++…++40-2(x1+x2+…+x40)]
=×[56+40×()2-2××40×]
=×(56-40×)
=0.9.
所以s===.
答案:0.9　
12.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习,每人投10次,投中的次数如表:
学生 1号 2号 3号 4号 5号
甲班 6 7 7 8 7
乙班 6 7 6 7 9
试根据以上数据比较两个班学生的投篮水平.
解:由题表可知=×(6+7+7+8+7)=7,
=×(6+7+6+7+9)=7,
=×(1+0+0+1+0)=,
=×(1+0+1+0+4)=,<,
所以甲、乙两班的投篮水平相当,但甲班要比乙班稳定.
应用创新
13.某创业公司共有36名职工,为了了解该公司职工的年龄构成情况,随机采访了9位代表,将数据制成茎叶图如图,若用样本估计总体,年龄在(-s,+s)内的人数占公司总人数的百分比是(精确到1%)
(　A　)
A.56% B.14%
C.25% D.67%
解析:=
=40,
s2==,
s=,
年龄在(-s,+s)内,
即(,)内的人数有5人,
所以年龄在(-s,+s)内的人数占公司总人数的百分比等于≈56%.故选A.
14.已知一组数据x1,x2,…,x6的方差是2,并且(x1-1)2+(x2-1)2+…+
(x6-1)2=18,≠0,则=　　　　.
解析:一组数据x1,x2,…,x6的方差是2,
则[(x1-)2+(x2-)2+…+(x6-)2]=2,
因此(x1-)2+(x2-)2+…+(x6-)2=12,
即++…+-6=12; ①
又(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x6-1)2=18,
≠0,
所以++…+-2×6+6=18, ②
由①②联立,
得12+6-12+6=18,
解得=2或=0(不合题意,舍去).
答案:2
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6.4.2　用样本估计总体的离散程度
核心知识目标 核心素养目标
1.结合实例,能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差).
2.理解离散程度参数的统计含义. 通过标准差、方差、极差的学习,培养学生数据分析,数学运算的核心素养.
知识探究·素养启迪
1.极差
在统计学中,将一组数据中的最大值与最小值统称为极值,将最大值与最小值之差称为极差,也称全距,用R表示.
极差反映了一组数据变化的幅度,是描述数据离散程度的最简单的代表值,但它容易受极端值的影响.
知识探究
小试身手
B
1.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”,为评估共享单车的使用情况,选了n座城市作实验基地,这n座城市共享单车的使用量(单位:人次/天)分别为x1,x2,…,xn,下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是(　 　)
A.x1,x2,…,xn的平均数 B.x1,x2,…,xn的标准差
C.x1,x2,…,xn的最大值 D.x1,x2,…,xn的中位数
解析:表示一组数据x1,x2,…,xn的稳定程度是方差或标准差.故选B.
2.(多选题)下列说法正确的是(　 　)
A.方差是标准差的平方
B.标准差的大小不会超过极差
C.若一组数据的值大小相等,没有波动变化,则标准差为0
D.标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越分散
ABC
解析:标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散.故选ABC.
3.与原数据单位不一样的是(　 　)
A.众数 B.平均数　
C.标准差 D.方差
D
解析:由方差的意义可知,方差与原数据单位不一样.故选D.
4.样本中共有五个样本,其样本数据的值分别为a,0,1,2,3,若该样本的平均值为1,则a=　　　　,这五个样本方差为　　　　.
答案:-1　2
课堂探究·素养培育
探究点一
平均数、方差和标准差的概念
[例1] (1)下列刻画一组数据离散程度的是(　　)
A.平均数 B.方差
C.中位数 D.众数
解析:(1)方差能够刻画一组数据的离散程度.故选B.
解析:(2)由方差的计算公式,可知D项正确.故选D.
[即时训练1-1] (多选题)甲、乙两支球队在某年的国际联赛中,甲队平均每场进球数为3.2,全年比赛进球个数的标准差为3,乙队平均每场进球数为1.8,全年比赛进球个数的标准差为0.3.则下列说法正确的有(　　)
A.甲队的技术比乙队好
B.乙队的发挥比甲队稳定
C.乙队几乎每场都进球
D.甲队的表现时好时坏
方法技巧
(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是最重要的量.
(2)由于平均数与每一个样本数据有关,所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变,这是中位数、众数都不具有的性质.
(3)众数考查各数据出现的频率,其大小只与这组数据中的部分数据有关.当一组数据中有不少数据多次重复出现时,其众数往往更能反映问题.
(4)某些数据的变动对中位数可能没有影响.中位数可能出现在所给数据
中,也可能不在所给数据中.当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述其集中趋势.
探究点二
平均数、方差和标准差的计算
探究角度1　根据样本数据计算方差
[例2] (1)某班有50名学生,某次数学考试的成绩经计算得到的平均分数是70分,标准差是s,后来发现记录有误,甲得70分误记为40分,乙得50分误记为80分,更正后重新计算得标准差为s1,则s与s1之间的大小关系是(　　)
A.s=s1 B.sC.s>s1 D.不能确定
答案:(1)C
(2)已知某样本的方差是5,样本中各数据的平方和是280,样本平均数是3,则样本量是　　　　.
答案:(2)20
[即时训练2-1] 现有10个数,其平均数为3,且这10个数的平方和是100,那么这组数据的标准差是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
方法技巧
样本方差与标准差
探究角度2　利用方差的性质计算方差
[例3] 一组数据中的每一个数据都乘2,再都减去80,得到一组新数据,若求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是
(　　)
A.40.6,1.1 B.48.8,4.4
C.81.2,44.4 D.78.8,75.6
方法技巧
探究角度3　频率分布直方图中的方差计算
[例4] 在一次区域统考中,为了了解各学科的成绩情况,从所有考生成绩中随机抽出20位考生的成绩进行统计分析,其中数学学科的频率分布直方图如图所示,据此估计,在本次考试中数学成绩的方差为　　 　　.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
答案:110
[即时训练4-1] 某班50名学生一次调研考试的数学成绩(满分:100分)的频率分布直方图如图所示.
(1)根据频率分布直方图,完成以下频数分布表:
成绩 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100)
频数
解:(1)由直方图可得成绩在[60,70)的有0.02×10×50=10(人),
在[70,80)的有0.03×10×50=15(人),
在[80,90)的有0.04×10×50=20(人),
在[90,100)的有0.01×10×50=5(人).
补全频数分布表如表.
成绩 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100)
频数 10 15 20 5
[即时训练4-1] 某班50名学生一次调研考试的数学成绩(满分:100分)的频率分布直方图如图所示.
(2)估计这50名学生的数学成绩的平均分及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
方法技巧
探究点三
利用方差、标准差对实际问题进行决策
[例5] 某教育集团为了办好人民满意的教育,每年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意的民主测评(满意度最高分110,最低分0,分数越高说明人民满意度越高,分数越低说明人民满意度越低).去年测评的数据如下:
甲校:98,110,97,108,100,103,86,98;
乙校:108,101,94,105,96,93,97,106.
(1)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数、中位数;
[例5] 某教育集团为了办好人民满意的教育,每年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意的民主测评(满意度最高分110,最低分0,分数越高说明人民满意度越高,分数越低说明人民满意度越低).去年测评的数据如下:
甲校:98,110,97,108,100,103,86,98;
乙校:108,101,94,105,96,93,97,106.
(2)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度的方差;
[例5] 某教育集团为了办好人民满意的教育,每年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意的民主测评(满意度最高分110,最低分0,分数越高说明人民满意度越高,分数越低说明人民满意度越低).去年测评的数据如下:
甲校:98,110,97,108,100,103,86,98;
乙校:108,101,94,105,96,93,97,106.
(3)根据以上数据你认为这两所学校哪所学校人民满意度比较好
解:(3)由(1)(2)知甲、乙两学校人民满意度的平均数相同、中位数相同,而乙学校人民满意度的方差小于甲学校人民满意度的方差,所以乙学校人民满意度比较好.
[即时训练5-1] 从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛,为此需要对他们的射箭水平进行测试.现这两名学生在相同条件下各射箭10次,命中的环数如下:
甲 8 9 7 9 7 6 10 10 8 6
乙 10 9 8 6 8 7 9 7 8 8
(1)计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差;
[即时训练5-1] 从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛,为此需要对他们的射箭水平进行测试.现这两名学生在相同条件下各射箭10次,命中的环数如下:
甲 8 9 7 9 7 6 10 10 8 6
乙 10 9 8 6 8 7 9 7 8 8
(2)比较两个人的成绩,然后决定选择哪名学生参加射箭比赛.
方法技巧
(1)在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题,还要研究偏离平均数的离散程度(即方差与标准差).
(2)方差(标准差)刻画一组数据离平均数波动的幅度大小.方差(标准差)较大,数据的离散程度较大;方差(标准差)较小,数据的离散程度较小.
备用例题
[例题] 一次数学知识竞赛中,两组学生成绩如下表:
分数 50 60 70 80 90 100
人数 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
已经算得两个组的平均分都是80分,请根据方差的意义,判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次,并说明理由.
课堂达标
D
1.一组数据的方差一定是(　 　)
A.正数 B.负数
C.任意实数 D.非负数
解析:方差可为0和正数.故选D.
2.一组数据的方差是4,将这组数据中的每个数据都乘5,所得到的新数据的方差是(　 　)
A.5 B.25 C.50 D.100
D
解析:设原数据为x,新的数据为5x,故新的方差为52×4=100.故选D.
D
解析:由方差的计算公式可知,该组数据的平均数是d.故选D.
4.如图是某校高二年级举办的歌咏比赛上,五位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差为　 　.6.4.2　用样本估计总体的离散程度
核心知识目标 核心素养目标
1.结合实例,能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差). 2.理解离散程度参数的统计含义. 通过标准差、方差、极差的学习,培养学生数据分析,数学运算的核心素养.
1.极差
在统计学中,将一组数据中的最大值与最小值统称为极值,将最大值与最小值之差称为极差,也称全距,用R表示.
极差反映了一组数据变化的幅度,是描述数据离散程度的最简单的代表值,但它容易受极端值的影响.
2.方差
(1)总体方差:统计上,常采用方差来刻画一组数据波动的大小,若设y1,y2,…,yN是总体的全部个体,μ是总体均值,则称
σ2=
为总体方差或方差.
总体方差σ2刻画了总体中的个体向总体均值μ的集中或离散的程度:方差越小,表明个体与均值μ的距离越近,个体向μ集中得越好.
总体方差σ2也刻画了总体中个体的稳定或波动的程度:方差越小,表明个体越整齐,波动越小.
(2)样本方差:若从总体中随机抽样,获得n个观测数据x1,x2,…,xn,用表示这n个数据的均值,则称s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]为这n个数据的样本方差,也简称为方差.
(3)如果将总体分为两层,第一、二层的样本量分别为n1,n2,样本均值分别为,,样本方差分别为,,则全部样本的样本容量、样本均值和样本方差分别为n=n1+n2,=(n1+n2),s2={n1[+(-)2]+n2[+(-)2]}.
3.标准差
标准差是方差的算术平方根
如果σ2是总体方差,则称σ=是总体标准差;
如果s2是样本方差,则称s=是样本标准差.
1.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”,为评估共享单车的使用情况,选了n座城市作实验基地,这n座城市共享单车的使用量(单位:人次/天)分别为x1,x2,…,xn,下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是(　B　)
A.x1,x2,…,xn的平均数
B.x1,x2,…,xn的标准差
C.x1,x2,…,xn的最大值
D.x1,x2,…,xn的中位数
解析:表示一组数据x1,x2,…,xn的稳定程度是方差或标准差.故选B.
2.(多选题)下列说法正确的是(　ABC　)
A.方差是标准差的平方
B.标准差的大小不会超过极差
C.若一组数据的值大小相等,没有波动变化,则标准差为0
D.标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越分散
解析:标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散.故选ABC.
3.与原数据单位不一样的是(　D　)
A.众数 B.平均数　
C.标准差 D.方差
解析:由方差的意义可知,方差与原数据单位不一样.故选D.
4.样本中共有五个样本,其样本数据的值分别为a,0,1,2,3,若该样本的平均值为1,则a=　　　　,这五个样本方差为　　　　.
解析:由题意知×(a+0+1+2+3)=1,
解得a=-1.
所以样本方差为
s2=×[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]
=2.
答案:-1　2
　平均数、方差和标准差的概念
[例1] (1)下列刻画一组数据离散程度的是(　　)
A.平均数 B.方差
C.中位数 D.众数
(2)在方差的计算公式s2=[(x1-20)2+(x2-20)2+…+(x10-20)2]中,数字10和20分别表示(　　)
A.样本量和方差
B.平均数和样本量
C.样本方差和平均数
D.样本量和平均数
解析:(1)方差能够刻画一组数据的离散程度.故选B.
(2)由方差的计算公式,可知D项正确.故选D.
[即时训练1-1] (多选题)甲、乙两支球队在某年的国际联赛中,甲队平均每场进球数为3.2,全年比赛进球个数的标准差为3,乙队平均每场进球数为1.8,全年比赛进球个数的标准差为0.3.则下列说法正确的有(　　)
A.甲队的技术比乙队好
B.乙队的发挥比甲队稳定
C.乙队几乎每场都进球
D.甲队的表现时好时坏
解析:由=3.2,=1.8,知甲队的技术比乙队好,由s甲=3,s乙=0.3,知乙队发挥比甲队稳定,又由s乙=0.3,可知乙队几乎每场都进球,由s甲=3,可知甲队比赛进球个数的标准差大,比赛时表现时好时坏,故ABCD均正确.故选ABCD.
(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是最重要的量.
(2)由于平均数与每一个样本数据有关,所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变,这是中位数、众数都不具有的性质.
(3)众数考查各数据出现的频率,其大小只与这组数据中的部分数据有关.当一组数据中有不少数据多次重复出现时,其众数往往更能反映问题.
(4)某些数据的变动对中位数可能没有影响.中位数可能出现在所给数据中,也可能不在所给数据中.当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述其集中趋势.
　平均数、方差和标准差的计算
探究角度1　根据样本数据计算方差
[例2] (1)某班有50名学生,某次数学考试的成绩经计算得到的平均分数是70分,标准差是s,后来发现记录有误,甲得70分误记为40分,乙得50分误记为80分,更正后重新计算得标准差为s1,则s与s1之间的大小关系是(　　)
A.s=s1 B.sC.s>s1 D.不能确定
(2)已知某样本的方差是5,样本中各数据的平方和是280,样本平均数是3,则样本量是　　　　.
解析:(1)因为更正前后的平均数均为70分,
所以更正前的s2=×[(x1-70)2+(x2-70)2+…+(40-70)2+(80-70)2],
更正后的=×[(x1-70)2+(x2-70)2+…+(70-70)2+(50-70)2],
所以s2>,即s>s1.故选C.
(2)5=×[++…++n-2(x1+x2+…+xn)]=,解得n=20.
答案:(1)C　(2)20
[即时训练2-1] 现有10个数,其平均数为3,且这10个数的平方和是100,那么这组数据的标准差是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:由s2=(++…+)-,
得s2=×100-32=1,
即标准差s=1.故选A.
[即时训练2-2] (2020·四川雅安高二期末)甲、乙两名运动员分别进行了5次射击训练,成绩如下:
甲:7,7,8,8,10;乙:8,9,9,9,10.
若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用x1,x2表示,方差分别用,表示,则(　　)
A.x1>x2,> B.x1>x2,<
C.x1
解析:x1=×(7+7+8+8+10)=8,
x2=×(8+9+9+9+10)=9,
=×[(7-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(10-8)2]=1.2,
=×[(8-9)2+(9-9)2+(9-9)2+(9-9)2+(10-9)2]=0.4,
所以x1.故选D.
样本方差与标准差
设样本的元素为x1,x2,…,xn,样本的平均数为,
(1)样本方差:s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]或s2=(++…+)-.
(2)样本标准差:
s=.
探究角度2　利用方差的性质计算方差
[例3] 一组数据中的每一个数据都乘2,再都减去80,得到一组新数据,若求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是(　　)
A.40.6,1.1 B.48.8,4.4
C.81.2,44.4 D.78.8,75.6
解析:设原来的一组数据是x1,x2,…,xn,因为每一个数据乘以2,再都减去80得到新数据且求得数据的平均数是1.2,方差是4.4,
所以×[(2x1-80)+(2x2-80)+…+(2xn-80)]=1.2,
所以=1.2+80=81.2,
所以=40.6,又因为数据减去同一个数,没有改变数据的离散程度,所以2x1,2x2,…,2xn的方差为4.4,从而原来数据x1,x2,…,xn的方差为×4.4=1.1.故选A.
[即时训练3-1] 已知一组数据x1,x2,…,xn的平均数为2,方差为5,则数据2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均数与方差s2分别为(　　)
A.=4,s2=10 B.=5,s2=11
C.=5,s2=20 D.=5,s2=21
解析:根据题意,数据x1,x2,…,xn的平均数为2,方差为5,则数据2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均数=2×2+1=5,其方差s2=22×5=20.故选C.
若一组数据x1,x2,…,xn的平均数为,方差为s2,那么mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均数是m+a,方差为m2s2.
探究角度3　频率分布直方图中的方差计算
[例4] 在一次区域统考中,为了了解各学科的成绩情况,从所有考生成绩中随机抽出20位考生的成绩进行统计分析,其中数学学科的频率分布直方图如图所示,据此估计,在本次考试中数学成绩的方差为　　　　.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
解析:根据频率分布直方图,得
该组数据的平均数是=55×0.010×10+65×0.020×10+75×0.035×10+85×0.030×10+95×0.005×10=75;
方差是s2=(55-75)2×0.1+(65-75)2×0.2+(75-75)2×0.35+(85-75)2×0.3+(95-75)2×0.05=110.
答案:110
[即时训练4-1] 某班50名学生一次调研考试的数学成绩(满分:100分)的频率分布直方图如图所示.
(1)根据频率分布直方图,完成以下频数分布表:
成绩 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100)
频数
(2)估计这50名学生的数学成绩的平均分及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
解:(1)由直方图可得成绩在[60,70)的有0.02×10×50=10(人),
在[70,80)的有0.03×10×50=15(人),
在[80,90)的有0.04×10×50=20(人),
在[90,100)的有0.01×10×50=5(人).
补全频数分布表如表.
成绩 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100)
频数 10 15 20 5
(2)由(1)知这50名学生的数学成绩的平均分为×(65×10+75×15+85×20+95×5)=79,
方差s2=(65-79)2×0.2+(75-79)2×0.3+(85-79)2×0.4+(95-79)2×0.1=84.
根据频率分布直方图求一组数据的方差的方法:先利用组中值乘频率(即每组矩形的面积)求和得,再将平均数减去每组的组中值平方后乘该组的频率求和.
　利用方差、标准差对实际问题进行决策
[例5] 某教育集团为了办好人民满意的教育,每年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意的民主测评(满意度最高分110,最低分0,分数越高说明人民满意度越高,分数越低说明人民满意度越低).去年测评的数据如下:
甲校:98,110,97,108,100,103,86,98;
乙校:108,101,94,105,96,93,97,106.
(1)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数、中位数;
(2)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度的方差;
(3)根据以上数据你认为这两所学校哪所学校人民满意度比较好
解:(1)甲学校人民满意度的平均数为
==100,
甲学校人民满意度的中位数为=99;
乙学校人民满意度的平均数为
==100,
乙学校人民满意度的中位数为=99.
(2)甲学校人民满意度的方差为
=
=48.25;
乙学校人民满意度的方差为
=
=29.5.
(3)由(1)(2)知甲、乙两学校人民满意度的平均数相同、中位数相同,而乙学校人民满意度的方差小于甲学校人民满意度的方差,所以乙学校人民满意度比较好.
[即时训练5-1] 从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛,为此需要对他们的射箭水平进行测试.现这两名学生在相同条件下各射箭10次,命中的环数如下:
甲 8 9 7 9 7 6 10 10 8 6
乙 10 9 8 6 8 7 9 7 8 8
(1)计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差;
(2)比较两个人的成绩,然后决定选择哪名学生参加射箭比赛.
解:(1)根据题中所给数据,可得甲的平均数为
=×(8+9+7+9+7+6+10+10+8+6)=8,
乙的平均数为=×(10+9+8+6+8+7+9+7+8+8)=8,
甲的标准差为
s甲==,
乙的标准差为
s乙==,
故甲的平均数为8,标准差为,乙的平均数为8,标准差为.
(2)因为=,且s甲>s乙,
所以乙的成绩较为稳定,故选择乙参加射箭比赛.
(1)在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题,还要研究偏离平均数的离散程度(即方差与标准差).
(2)方差(标准差)刻画一组数据离平均数波动的幅度大小.方差(标准差)较大,数据的离散程度较大;方差(标准差)较小,数据的离散程度较小.
[例题] 一次数学知识竞赛中,两组学生成绩如下表:
分数 50 60 70 80 90 100
人数 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
已经算得两个组的平均分都是80分,请根据方差的意义,判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次,并说明理由.
解:=×[2×(50-80)2+5×(60-80)2+10×(70-80)2+13×(80-80)2+14×(90-80)2+6×(100-80)2]=×(2×900+5×400+10×100)+13×0+14×100+6×400)=172.
=×(4×900+4×400+16×100+2×0+12×100+12×400)=256.
因为<,所以甲组成绩较乙组成绩稳定.
1.一组数据的方差一定是(　D　)
A.正数 B.负数
C.任意实数 D.非负数
解析:方差可为0和正数.故选D.
2.一组数据的方差是4,将这组数据中的每个数据都乘5,所得到的新数据的方差是(　D　)
A.5 B.25 C.50 D.100
解析:设原数据为x,新的数据为5x,故新的方差为52×4=100.故选D.
3.若一组数据的方差计算公式为s2=[(a-d)2+(b-d)2+(c-d)2](a,b,c,d均不相等),则该组数据的平均数为(　D　)
A.a B.b C.c D.d
解析:由方差的计算公式可知,该组数据的平均数是d.故选D.
4.如图是某校高二年级举办的歌咏比赛上,五位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差为　　　　.
解析:剩余的数据为83,84,85,平均分为84,
所以s2=×[(83-84)2+(84-84)2+(85-84)2]=.
答案:
选题明细表
知识点、方法 题号
平均数、方差、标准差的 概念及理解 1,3,5,9
平均数、方差、标准差的计算 4,6,7,8,10,11
对实际问题的决策 2,12,13,14
基础巩固
1.(多选题)下列说法正确的为(　ACD　)
A.数据的极差越小,样本数据分布越集中、稳定
B.数据的平均数越小,样本数据分布越集中、稳定
C.数据的标准差越小,样本数据分布越集中、稳定
D.数据的方差越小,样本数据分布越集中、稳定
解析:由数据的极差、标准差、方差的定义可知,它们都可以影响样本数据的分布和稳定性,而数据的平均数则与之无关,故B不正确,A,C,
D正确.故选ACD.
2.某射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛,四人的平均成绩和方差如下表,根据表格中数据判断,参赛最为合适的是(　C　)
甲 乙 丙 丁
平均成绩 8.5 8.8 8.8 8
方差s2 3.5 3.5 2.1 8.7
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
解析:由表可知,丙的平均成绩较高,且发挥比较稳定,应派丙去参赛最合适.故选C.
3.在教学调查中,甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图1、图2、图3,假设三个班的平均分都是75分,s1,s2,s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差,则有(　D　)
A.s3>s1>s2 B.s2>s1>s3
C.s1>s2>s3 D.s3>s2>s1
解析:所给图是成绩分布图,平均分是75分,在题图1中,集中在75分附近的数据最多,题图3中从50分到100分均匀分布,所有成绩不集中在任何一个数据附近,题图2介于两者之间.由标准差的意义可得s3>s2>s1.故选D.
4.已知一组正数x1,x2,x3,x4的方差为s2=(+++-16),则数据x1+2,x2+2,x3+2,x4+2的平均数为(　C　)
A.2 B.3 C.4 D.6
解析:因为s2=(+++-16),由方差的计算公式可得,正数x1,
x2,x3,x4的平均数=2,所以数据x1+2,x2+2,x3+2,x4+2的平均数为2+2=
4.故选C.
5.甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图,甲、乙两组数据的平均数分别为m1,m2,标准差分别为n1,n2则(　C　)
A.m1B.m1n2
C.m1>m2,n1D.m1>m2,n1>n2
解析:由甲、乙两名同学6次考试的成绩统计图知,
甲组数据靠上,乙组数据靠下,
甲组数据相对集中,乙组数据相对分散,
由甲、乙两组数据的平均数分别为m1,m2,标准差分别为n1,n2,
得m1>m2,n1故选C.
6.某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,
9,10,7,4.则平均命中环数为　　　,命中环数的标准差为　　　　.
解析:=×(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7.
s2=×[(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+
(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2]=4,
所以s=2.
答案:7　2
能力提升
7.数据5,7,7,8,10,11的中位数和标准差分别为(　D　)
A.中位数为7,标准差为2
B.中位数为7,标准差为4
C.中位数为7.5,标准差为4
D.中位数为7.5,标准差为2
解析:数据5,7,7,8,10,11的中位数是
×(7+8)=7.5;
平均数是=×(5+7+7+8+10+11)=8,
方差是s2=×[(-3)2+(-1)2+(-1)2+02+22+32]=4,标准差是s=2.故选D.
8.样本中共有5个个体,其值分别是a,1,2,3,4,若样本的平均数是2,则样本的极差和标准差分别是(　D　)
A.5和2 B.5和
C.4和2 D.4和
解析:因为样本中共有5个个体,其值分别是a,1,2,3,4,且样本的平均数是2,
所以a+1+2+3+4=5×2,解得a=0.
所以样本的极差为4-0=4.
样本的方差为s2=×[(0-2)2+(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2+(4-2)2]=2,
所以标准差为.故选D.
9.垃圾分类是一种新时尚,沈阳市为推进这项工作的实施,开展了“垃圾分类进小区”的评比活动.现对沈阳市甲、乙两个小区进行评比,从中各随机选出20户家庭进行评比打分,每户成绩满分为100分.评分后得到如图茎叶图.通过茎叶图比较甲、乙两个小区得分的平均值及方差大小(　C　)
A.<,<
B.>,<
C.<,>
D.>,>
解析:由茎叶图观察得,乙小区评分高于甲小区评分的平均值,乙小区评分分布比较均匀,所以乙小区的评分方差小.故选C.
10.已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,标准差是,则xy=　　　.
解析:由平均数得9+10+11+x+y=50,
所以x+y=20,
又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=()2×5=10,
得x2+y2-20(x+y)=-192,
(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192,
xy=96.
答案:96
11.若40个数据的平方和是56,平均数是,则这组数据的方差是
　　　　,标准差是　　　　.
解析:设这40个数据为xi(i=1,2,…,40),平均数为.
则s2=×[(x1-)2+(x2-)2+…+(x40-)2]
=×[++…++40-2(x1+x2+…+x40)]
=×[56+40×()2-2××40×]
=×(56-40×)
=0.9.
所以s===.
答案:0.9　
12.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习,每人投10次,投中的次数如表:
学生 1号 2号 3号 4号 5号
甲班 6 7 7 8 7
乙班 6 7 6 7 9
试根据以上数据比较两个班学生的投篮水平.
解:由题表可知=×(6+7+7+8+7)=7,
=×(6+7+6+7+9)=7,
=×(1+0+0+1+0)=,
=×(1+0+1+0+4)=,<,
所以甲、乙两班的投篮水平相当,但甲班要比乙班稳定.
应用创新
13.某创业公司共有36名职工,为了了解该公司职工的年龄构成情况,随机采访了9位代表,将数据制成茎叶图如图,若用样本估计总体,年龄在(-s,+s)内的人数占公司总人数的百分比是(精确到1%)
(　A　)
A.56% B.14%
C.25% D.67%
解析:=
=40,
s2==,
s=,
年龄在(-s,+s)内,
即(,)内的人数有5人,
所以年龄在(-s,+s)内的人数占公司总人数的百分比等于≈56%.故选A.
14.已知一组数据x1,x2,…,x6的方差是2,并且(x1-1)2+(x2-1)2+…+
(x6-1)2=18,≠0,则=　　　　.
解析:一组数据x1,x2,…,x6的方差是2,
则[(x1-)2+(x2-)2+…+(x6-)2]=2,
因此(x1-)2+(x2-)2+…+(x6-)2=12,
即++…+-6=12; ①
又(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x6-1)2=18,
≠0,
所以++…+-2×6+6=18, ②
由①②联立,
得12+6-12+6=18,
解得=2或=0(不合题意,舍去).
答案:2
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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