资源简介

6.4　用样本估计总体
6.4.1　用样本估计总体的集中趋势
选题明细表
知识点、方法 题号
众数、中位数 1,3,5,7,10,12
平均数 4,8,13
众数、平均数、 中位数的综合运用 2,6,9,10,11
基础巩固
1.在某次考试中,共有100个学生参加考试,如果某题的得分情况
如表:
得分 0分 1分 2分 3分 4分
百分率(%) 37.0 8.6 6.0 28.2 20.2
那么这些得分的众数是(　C　)
A.37.0% B.20.2%
C.0分 D.4分
解析:由题意得,得分为0分的百分率为37.0%,所占比例最大,所以这些得分的众数是0分.故选C.
2.(多选题)小华所在的年级一班共有50名学生,一次体检测量了全班学生的身高,由此求得该班学生的平均身高是1.65 m,而小华的身高是1.66 m,则下列说法正确的是(　ACD　)
A.1.65 m是该班学生身高的平均水平
B.班上比小华高的学生人数不会超过25人
C.这组身高数据的中位数不一定是1.65 m
D.这组身高数据的众数不一定是1.65 m
解析:由平均数所反映的意义知A选项正确;由中位数与平均数的关系确定C选项正确;由众数与平均数的关系确定D选项正确;由于平均数受一组数据中的极大、小值的影响,故B选项错误.故选ACD.
3.甲、乙两人进行5轮投篮训练,每轮投篮10次,每轮投进的次数如下:甲:7,7,9,8,8;乙:4,7,7,7,9.若甲的中位数为a,乙的众数为b,则a+b等于(　B　)
A.14 B.15 C.16 D.17
解析:甲组数据按从小到大排列为7,7,8,8,9,它的中位数是a=8,乙组数据为4,7,7,7,9,它的众数为b=7.所以a+b=15.故选B.
4.已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是2,那么另一组数据2x1-3,
2x2-3,2x3-3,2x4-3,2x5-3的平均数为(　A　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是2,那么另一组数据2x1-3,
2x2-3,2x3-3,2x4-3,2x5-3的平均数为2×2-3=1.故选A.
5.某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出60名,其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示,由此估计此次考试成绩的中位数、众数分别是(　A　)
A.73.3,75 B.73.3,80
C.70,70 D.70,75
解析:由题意可知小于70的有24人,大于或等于80的有18人,则在[70,80)的有18人,所以中位数落在[70,80)这组内,且为70+≈73.3;众数就是频率分布直方图中最高的矩形底边中点的横坐标,即=75.故选A.
6.(多选题)某篮球队甲、乙两名运动员练习投篮,每人练习10组,每组投篮40个.命中个数的茎叶图如图,则下面结论中正确的是(　ABC　)
A.甲的极差是29
B.乙的众数是21
C.甲的命中率比乙高
D.甲的中位数是24
解析:A中极差为37-8=29;B中乙的众数为21;C中甲的平均数大,所以命中率高;D中甲的中位数为23.故选ABC.
7.有一批种子,对于一颗种子来说,它可能1天发芽,也可能2天发芽,……如表是不同发芽天数的种子数的记录:
发芽 天数 1 2 3 4 5 6 7 ≥8
种子数 8 26 22 24 12 4 2 0
统计每颗种子发芽天数得到一组数据,则这组数据的中位数是(　B　)
A.2 B.3 C.3.5 D.4
解析:将这98颗种子发芽天数从左到右按照从小到大的顺序排成一列,可知正中间两颗种子的发芽天数都是3,所以中位数为=3.故
选B.
8.某班级统计一次数学测试后的成绩,并制成了如下的频率分布表,根据该表估计该班级的数学测试平均分为　　　　.
分组 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100)
人数 5 15 20 10
频率 0.1 0.3 0.4 0.2
解析:平均分=65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.2=82.
答案:82
能力提升
9.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为me,众数为mo,平均值为,则(　D　)
A.me=mo= B.me=mo<
C.me解析:由题目所给的统计图可知,30个数据按大小顺序排列好后,中间两个数为5,6,
故中位数为me==5.5.众数为mo=5,
平均值=(3×2+4×3+5×10+6×6+7×3+8×2+9×2+10×2)=,
所以mo故选D.
10.从高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛,由成绩得到如图所示的频率分布直方图.利用频率分布直方图求:
(1)这50名学生成绩的众数与中位数;
(2)这50名学生的平均成绩.(精确到0.1)
解:(1)由众数的概念及频率分布直方图可知,这50名学生成绩的众数为75分.
因为数学竞赛成绩在[40,70)的频率为(0.004+0.006+0.020)×10=
0.3,数学竞赛成绩在[70,80)的频率为0.030×10=0.3.
所以中位数为70+×10≈76.7.
(2)这50名学生的平均成绩为
45×(0.004×10)+55×(0.006×10)+65×(0.020×10)+75×
(0.030×10)+85×(0.024×10)+95×(0.016×10)=76.2.
应用创新
11.若1,2,3,4,m(m∈R)这五个数的平均数等于其中位数,则m等于(　D　)
A.0或5 B.0或
C.5或 D.0或5或
解析:当m≤1时,数据1,2,3,4,m的中位数是2,平均数是(10+m)=2,解得m=0;
当1当2当3当m>4时,数据1,2,3,4,m的中位数是3,平均数是(10+m)=3,解得m=5.
综上知,m的可能取值是0或或5.
故选D.
12.某部门有8位员工,其中6位员工的月工资分别为8 200,8 300,
8 500,9 100,9 500,9 600(单位:元),另两位员工的月工资数据不清楚,但两人的月工资和为17 000元,则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为(　B　)
A.9 100 B.8 800 C.8 700 D.8 500
解析:由于另外两位员工的月工资数据不清楚,但两人的月工资和为17 000元,若不考虑这2人,中位数为8 500+9 100=17 600,17 600÷
2=8 800,若这两人的月工资一个大于9 100,另一个小于8 500,则中位数不变,若这两个人的工资位于8 500与9 100之间,且这两个数关于8 800对称,8 500与9 100也是关于8 800对称,所以中位数也是8 800,此时这8位员工月工资的中位数取最大值为8 800.故选B.
13.某歌手大赛进行电视直播,比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分,场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后,现场嘉宾的评分情况如下表,场内外共有数万名观众参与了评分,组织方将观众评分按照[70,80),[80,90),[90,100]分组,绘成频率分布直方图如图所示.
嘉宾 A B C D E F
评分 96 95 96 89 97 98
嘉宾评分的平均数为,场内外的观众评分的平均数为,所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为,则下列选项正确的是(　C　)
A.= B.>
C.< D.>>>
解析:由表格中的数据可知,
=≈95.17,
由频率分布直方图可知,
=75×0.2+85×0.3+95×0.5=88,
则>.
设场外的观众数为a(a>10 000),
则===88+<=91.585,
即<.
故选C.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共32张PPT)
6.4　用样本估计总体
6.4.1　用样本估计总体的集中趋势
核心知识目标 核心素养目标
1.结合实例,能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数).
2.理解集中趋势参数的统计含义. 通过平均数、中位数、众数的学习,培养学生数据分析,数学运算的核心素养.
知识探究·素养启迪
知识探究
2.众数
称观测数据中出现次数最多的数是众数,用Mo表示.如果观测数据中每个数出现的次数都相同,它就没有众数,一组数据可以有两个或多个众数.众数作为一组数据的代表,能反映一组数据的集中趋势.众数是一个位置代表值,它不受数据组中极端值的影响.
3.中位数
将一组观测数据按从小到大的顺序排列后,称处于中间位置的数是中位数,用Me表示.
具体而言,当数据的个数是奇数时,处于中间位置的数就是中位数;当数据的个数是偶数时,则中间两个数的平均数即为中位数.所研究的数据中有一半小于或等于中位数,一半大于或等于中位数,中位数不受数据组中极端值的影响,有较好的稳定性.
4.众数、中位数和平均数的比较
平均数、中位数和众数都是一组数据的代表,它们从不同侧面反映了数据的集中趋势.平均数的计算要用到所有的数据,它能够充分利用数据提供的信息,因此在现实生活中应用较广,但它容易受极端值的影响;中位数对极端值不敏感,但没有利用数据中的所有信息;众数只能反映一组数据中出现次数最多的数据,也没有利用数据中的所有信息.
小试身手
C
1.一组样本数据为18,22,11,13,13,16,9,11,18,13,26,则这组数据的众数为(　 　)
A.11 B.12
C.13 D.18
解析:把这组数据按从小到大排列为9,11,11,13,13,13,16,18,18,22,26,则可知其众数为13.故选C.
2.已知一组数据:1,2,2,3,3,3,则这组数据的中位数是(　 　)
C
3.下列说法中,不正确的是(　 　)
A.数据2,4,6,8的中位数是4,6
B.数据1,2,2,3,4,4的众数是2,4
C.一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据
A
4.某学校想要调查全校同学是否知道迄今为止获得过诺贝尔物理学奖的6位华人的姓名,为此出了一份考卷.该卷共有六道单选题,每题答对得20分,答错、不答得0分,满分120分.阅卷完毕后,校方公布每题答对率如下:
题号 一 二 三 四 五 六
答对率 80% 70% 60% 50% 40% 30%
则此次调查全体同学的平均分数是　　　　分.
解析:假设全校一共有x人,则每道题答对人数及总分分别为
题号 一 二 三 四 五 六
答对人数 0.8x 0.7x 0.6x 0.5x 0.4x 0.3x
每题得分 16x 14x 12x 10x 8x 6x
答案:66
课堂探究·素养培育
探究点一
样本数据的平均数、中位数和众数
[例1] 某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练,两群市民的年龄如下(单位:岁):
甲群:13,13,14,15,15,15,15,16,17,17;
乙群:54,3,4,4,5,6,6,6,6,56.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁 其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征
[例1] 某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练,两群市民的年龄如下(单位:岁):
甲群:13,13,14,15,15,15,15,16,17,17;
乙群:54,3,4,4,5,6,6,6,6,56.
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁 其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征
[即时训练1-1] (1)已知一组数据按从小到大的顺序排列,得到-1,0,4,x,
7,14,中位数为5,则这组数据的平均数为　　　　.
答案:5
(2)在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示:
成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.
[即时训练1-2] 奥运会体操比赛的计分规则为当评委亮分后,其成绩先去掉一个最高分,去掉一个最低分,再计算剩下分数的平均值,这是因为(　　)
A.减少计算量 B.避免故障
C.剔除异常值 D.活跃赛场气氛
解析:因为在体操比赛的评分中使用的是平均分,计分过程中采用“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的方法,就是为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响,从而降低误差,尽量公平.故选C.
方法技巧
(1)平均数与每一个数据都有关,可以反映更多的总体信息,但受极端值的影响大;中位数不受几个极端值的影响;众数只能体现数据的最大集中点,无法客观反映总体特征.
(2)当平均数大于中位数时,说明数据中存在许多较大的极端值;反之,说明数据中存在许多较小的极端值.
(3)求样本数据的中位数和众数时,把数据按照从小到大的顺序排列后,按照其求法进行.
探究点二
由频率分布直方图求平均数、中位数和众数
[例2] 如图是某工厂对一批新产品长度(单位:mm)检测结
果的频率分布直方图.估计这批产品的中位数为　　　　.
解析:由频率分布直方图得0.02×5+0.04×5=0.3<0.5,0.3+0.08×5=0.7>0.5.
所以中位数应在20～25内,
设中位数为x,则0.3+(x-20)×0.08=0.5,解得x=22.5.
所以这批产品的中位数是22.5 mm.
答案:22.5 mm
[即时训练2-1] 某商家对2021年“双十一”期间的10 000名网络购物者的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.
(1)求直方图中的a的值.
解:(1)由题意可知,0.02+0.08+0.15+0.2+0.25+0.1×a=1,解得a=3.
[即时训练2-1] 某商家对2021年“双十一”期间的10 000名网络购物者的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.
(2)估计这10 000名网络购物者在2022年度消费金额的中位数和平均数.
(保留小数点后三位)
方法技巧
用频率分布直方图估计总体数字特征的方法
(1)众数:最高小长方形底边中点的横坐标.
(2)中位数:平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标.
(3)平均数:频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.
探究点三
对实际问题的决策
[例3] 小亮从自家苹果园中一棵树上任取了20个苹果,并得到它们的质量(单位:g)数据分布表如下:
分组 90～
100 100～
110 110～
120 120～
130 130～
140 140～
150
频数 1 2 3 10 3 1
(1)请根据这些数据画出该样本的条形统计图;
解:(1)由题可得条形图如图所示.
[例3] 小亮从自家苹果园中一棵树上任取了20个苹果,并得到它们的质量(单位:g)数据分布表如下:
分组 90～100 100～110 110～120 120～130 130～140 140～150
频数 1 2 3 10 3 1
(2)如果用一个量来代表该树上苹果的规格,那么在中位数、平均数和众数中,哪个量合适 试讨论表中的数据,估计该苹果园苹果规格的合理性.
解:(2)根据已知数据和(1)中的频数分布直方图知,质量最多的是120～130 g,共10个,所以用众数作为该果园苹果的规格比较合适.
由该果园苹果树的年龄不同,苹果树上的苹果数存在差距,所以不能用这棵苹果树上的苹果质量估计该苹果园苹果规格的合理性.
[即时训练3-1] 某电冰箱专卖店出售容积为182 L,185 L,228 L,268 L四种型号的同一品牌的冰箱,每出售一台,售货员就做一个记录,月底得到一组由15个268,66个228,18个185和11个182组成的数据.
(1)这组数据的平均数有实际意义吗
解:(1)这组数据的平均数没有实际意义,对专卖店经营没有任何参考价值.
(2)这组数据的中位数、众数分别是多少
解:(2)这组数据共有110个,中位数为228,众数为228.
[即时训练3-1] 某电冰箱专卖店出售容积为182 L,185 L,228 L,268 L四种型号的同一品牌的冰箱,每出售一台,售货员就做一个记录,月底得到一组由15个268,66个228,18个185和11个182组成的数据.
(3)专卖店总经理关心的是中位数还是众数
解:(3)专卖店总经理最关心的是众数,众数是228,说明容积为228 L型号的冰箱销售量最大,它能为专卖店带来较多的利润,所以这种型号的冰箱要多进些.
方法技巧
平均数反映出样本数据的较多信息,对样本中的极端值更加敏感.
平均数、中位数和众数都是刻画“中心位置”的量,从不同的角度刻画了一组数据的集中趋势.
备用例题
[例1] 200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示,则时速的众数、中位数的估计值为(　　)
A.62 km,62.5 km B.65 km,62 km
C.65 km,62.5 km D.62.5 km,62.5 km
[例2] 一批乒乓球,随机抽取100个进行检查,球的直径频率分布直方图如
图.试估计这个样本的众数、中位数和平均数.
课堂达标
C
1.在描述一组数据的集中趋势时,应用最广泛的是(　 　)
A.众数 B.中位数
C.平均数 D.全体数据
解析:由于平均数反映的是这组数据的平均大小,使用最广泛.故选C.
2.下列说法正确的是(　 　)
A.一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的
B.样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据
C.若改变一组数据中其中的一个数,则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变
D.一组数据的数字特征在原始数据中出现的是众数
D
解析:由于一个样本的平均数和中位数是唯一的.一个样本的众数可能多个,也可能没有,因此A错误;频率分布直方图中样本的平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和,因此B错误;若改变一组数据中的一个数,则这组数据的平均数一定会改变,而中位数与众数可能不变.
由于众数是在一组数据中出现次数最多的数,所以一定会在原始数据中出现.故选D.
C
3.某学习小组在一次数学测验中,得100分的有1人,得95分的有1人,得90分的有2人,得85分的有4人,得80分和75分的各1人,则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为(　 　)
A.85分,85分,85分 B.87分,85分,86分
C.87分,85分,85分 D.87分,85分,90分
4.有5个数据分别为2,4,5,6,8,则这5个数据的平均数是　　　　.
答案:56.4　用样本估计总体
6.4.1　用样本估计总体的集中趋势
核心知识目标 核心素养目标
1.结合实例,能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数). 2.理解集中趋势参数的统计含义. 通过平均数、中位数、众数的学习,培养学生数据分析,数学运算的核心素养.
1.平均数
(1)样本平均数
平均数也称为均值,是刻画一组数据集中趋势最主要的指标.若样本容量为n,第i个个体是xi,则样本平均数=.一般地,若取值为x1,x2,…,xn的频率分别为f1,f2,…,fn,则其平均数为x1f1+x2f2+…+xnfn.
(2)总体均值与样本均值的关系
实践和理论都表明:在随机抽样的前提下,当样本容量增加时,样本均值会向总体均值μ接近,于是,称为μ的估计.
(3)层权
在分层抽样中,用N表示总体A的个体总数,若将总体A分为L层,用Ni表示第i层(i=1,2,…,L)的个体总数,则有N=N1+N2+…+NL.
我们称Wi=(i=1,2,…,L)
为第i层的层权.
对i=1,2,…,L,用表示从第i层抽出样本的均值.我们称=W1+W2+…+WL
是总体均值μ的简单估计.
2.众数
称观测数据中出现次数最多的数是众数,用Mo表示.如果观测数据中每个数出现的次数都相同,它就没有众数,一组数据可以有两个或多个众数.众数作为一组数据的代表,能反映一组数据的集中趋势.众数是一个位置代表值,它不受数据组中极端值的影响.
3.中位数
将一组观测数据按从小到大的顺序排列后,称处于中间位置的数是中位数,用Me表示.
具体而言,当数据的个数是奇数时,处于中间位置的数就是中位数;当数据的个数是偶数时,则中间两个数的平均数即为中位数.所研究的数据中有一半小于或等于中位数,一半大于或等于中位数,中位数不受数据组中极端值的影响,有较好的稳定性.
4.众数、中位数和平均数的比较
平均数、中位数和众数都是一组数据的代表,它们从不同侧面反映了数据的集中趋势.平均数的计算要用到所有的数据,它能够充分利用数据提供的信息,因此在现实生活中应用较广,但它容易受极端值的影响;中位数对极端值不敏感,但没有利用数据中的所有信息;众数只能反映一组数据中出现次数最多的数据,也没有利用数据中的所有信息.
1.一组样本数据为18,22,11,13,13,16,9,11,18,13,26,则这组数据的众数为(　C　)
A.11 B.12
C.13 D.18
解析:把这组数据按从小到大排列为9,11,11,13,13,13,16,18,18,22,26,则可知其众数为13.故选C.
2.已知一组数据:1,2,2,3,3,3,则这组数据的中位数是(　C　)
A.2 B.
C. D.3
解析:数据从小到大排列为1,2,2,3,3,3,则这组数据的中位数是×(2+3)=.故选C.
3.下列说法中,不正确的是(　A　)
A.数据2,4,6,8的中位数是4,6
B.数据1,2,2,3,4,4的众数是2,4
C.一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据
D.8个数据的平均数为5,另3个数据的平均数为7,则这11个数据的平均数是
解析:数据2,4,6,8的中位数为=5,显然A是错误的,B,C,D都是正确的.故选A.
4.某学校想要调查全校同学是否知道迄今为止获得过诺贝尔物理学奖的6位华人的姓名,为此出了一份考卷.该卷共有六道单选题,每题答对得20分,答错、不答得0分,满分120分.阅卷完毕后,校方公布每题答对率如下:
题号 一 二 三 四 五 六
答对率 80% 70% 60% 50% 40% 30%
则此次调查全体同学的平均分数是　　　　分.
解析:假设全校一共有x人,则每道题答对人数及总分分别为
题号 一 二 三 四 五 六
答对人数 0.8x 0.7x 0.6x 0.5x 0.4x 0.3x
每题得分 16x 14x 12x 10x 8x 6x
所以6道题的总分为66x,
平均分数为=66(分).
答案:66
　样本数据的平均数、中位数和众数
[例1] 某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练,两群市民的年龄如下(单位:岁):
甲群:13,13,14,15,15,15,15,16,17,17;
乙群:54,3,4,4,5,6,6,6,6,56.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁 其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁 其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征
解:(1)甲群市民年龄的平均数为
=
15(岁),中位数为15岁,众数为15岁.
平均数、中位数和众数相等,因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.
(2)乙群市民年龄的平均数为
=15(岁),
中位数为6岁,众数为6岁.
由于乙群市民大多数是儿童,所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征,而平均数的可靠性较差.
[即时训练1-1] (1)已知一组数据按从小到大的顺序排列,得到-1,0,4,x,7,14,中位数为5,则这组数据的平均数为　　　　.
(2)在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示:
成绩 /m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.
(1)解析:因为-1,0,4,x,7,14的中位数为5,
所以=5,所以x=6.所以这组数据的平均数是=5.
答案:5
(2)解:在17个数据中,1.75出现了4次,出现的次数最多,即这组数据的众数是1.75 m.题表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的,其中第9个数据1.70是最中间的一个数据,即这组数据的中位数是1.70 m.这组数据的平均数是=×(1.50×2+1.60×3+…+1.90×1)=≈1.69(m).
故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m,1.70 m,1.69 m.
[即时训练1-2] 奥运会体操比赛的计分规则为当评委亮分后,其成绩先去掉一个最高分,去掉一个最低分,再计算剩下分数的平均值,这是因为(　　)
A.减少计算量 B.避免故障
C.剔除异常值 D.活跃赛场气氛
解析:因为在体操比赛的评分中使用的是平均分,计分过程中采用“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的方法,就是为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响,从而降低误差,尽量公平.故选C.
(1)平均数与每一个数据都有关,可以反映更多的总体信息,但受极端值的影响大;中位数不受几个极端值的影响;众数只能体现数据的最大集中点,无法客观反映总体特征.
(2)当平均数大于中位数时,说明数据中存在许多较大的极端值;反之,说明数据中存在许多较小的极端值.
(3)求样本数据的中位数和众数时,把数据按照从小到大的顺序排列后,按照其求法进行.
　由频率分布直方图求平均数、中位数和众数
[例2] 如图是某工厂对一批新产品长度(单位:mm)检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的中位数为　　　　.
解析:由频率分布直方图得0.02×5+0.04×5=0.3<0.5,0.3+0.08×5=0.7>0.5.
所以中位数应在20～25内,
设中位数为x,则0.3+(x-20)×0.08=0.5,
解得x=22.5.
所以这批产品的中位数是22.5 mm.
答案:22.5 mm
[即时训练2-1] 某商家对2021年“双十一”期间的10 000名网络购物者的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.
(1)求直方图中的a的值.
(2)估计这10 000名网络购物者在2022年度消费金额的中位数和平均数.(保留小数点后三位)
解:(1)由题意可知,0.02+0.08+0.15+0.2+0.25+0.1×a=1,解得a=3.
(2)设中位数为t,则1.5×0.1+2.5×0.1+(t-0.5)×3=0.5,则t≈0.533.
平均数=0.35×0.15+0.45×0.25+0.55×0.3+0.65×0.2+0.75×0.08+0.85×0.02=0.537.
用频率分布直方图估计总体数字特征的方法
(1)众数:最高小长方形底边中点的横坐标.
(2)中位数:平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标.
(3)平均数:频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.
　对实际问题的决策
[例3] 小亮从自家苹果园中一棵树上任取了20个苹果,并得到它们的质量(单位:g)数据分布表如下:
分组 90～ 100 100～ 110 110～ 120 120～ 130 130～ 140 140～ 150
频数 1 2 3 10 3 1
(1)请根据这些数据画出该样本的条形统计图;
(2)如果用一个量来代表该树上苹果的规格,那么在中位数、平均数和众数中,哪个量合适 试讨论表中的数据,估计该苹果园苹果规格的合理性.
解:(1)由题可得条形图如图所示.
(2)根据已知数据和(1)中的频数分布直方图知,质量最多的是120～130 g,共10个,所以用众数作为该果园苹果的规格比较合适.
由该果园苹果树的年龄不同,苹果树上的苹果数存在差距,所以不能用这棵苹果树上的苹果质量估计该苹果园苹果规格的合理性.
[即时训练3-1] 某电冰箱专卖店出售容积为182 L,185 L,228 L,268 L四种型号的同一品牌的冰箱,每出售一台,售货员就做一个记录,月底得到一组由15个268,66个228,18个185和11个182组成的数据.
(1)这组数据的平均数有实际意义吗
(2)这组数据的中位数、众数分别是多少
(3)专卖店总经理关心的是中位数还是众数
解:(1)这组数据的平均数没有实际意义,对专卖店经营没有任何参考价值.
(2)这组数据共有110个,中位数为228,众数为228.
(3)专卖店总经理最关心的是众数,众数是228,说明容积为228 L型号的冰箱销售量最大,它能为专卖店带来较多的利润,所以这种型号的冰箱要多进些.
平均数反映出样本数据的较多信息,对样本中的极端值更加敏感.
平均数、中位数和众数都是刻画“中心位置”的量,从不同的角度刻画了一组数据的集中趋势.
[例1] 200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示,则时速的众数、中位数的估计值为(　　)
A.62 km,62.5 km B.65 km,62 km
C.65 km,62.5 km D.62.5 km,62.5 km
解析:因为最高的矩形为第三个矩形,
所以时速的众数的估计值为65 km.
前两个矩形的面积和为(0.01+0.03)×10=0.4.
因为0.5-0.4=0.1,×10=2.5,所以中位数的估计值为60+2.5=62.5(km).故选C.
[例2] 一批乒乓球,随机抽取100个进行检查,球的直径频率分布直方图如图.试估计这个样本的众数、中位数和平均数.
解:众数为=40(mm);
中位数为39.99+=39.998(mm);
四个矩形的面积分别是0.02×5=0.1,0.02×10=0.2,0.02×25=0.5,0.02×10=0.2.
平均数为39.96×0.1+39.98×0.2+40×0.5+40.02×0.2=39.996(mm).
1.在描述一组数据的集中趋势时,应用最广泛的是(　C　)
A.众数 B.中位数
C.平均数 D.全体数据
解析:由于平均数反映的是这组数据的平均大小,使用最广泛.故选C.
2.下列说法正确的是(　D　)
A.一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的
B.样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据
C.若改变一组数据中其中的一个数,则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变
D.一组数据的数字特征在原始数据中出现的是众数
解析:由于一个样本的平均数和中位数是唯一的.一个样本的众数可能多个,也可能没有,因此A错误;频率分布直方图中样本的平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和,因此B错误;若改变一组数据中的一个数,则这组数据的平均数一定会改变,而中位数与众数可能不变.
由于众数是在一组数据中出现次数最多的数,所以一定会在原始数据中出现.故选D.
3.某学习小组在一次数学测验中,得100分的有1人,得95分的有1人,得90分的有2人,得85分的有4人,得80分和75分的各1人,则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为(　C　)
A.85分,85分,85分 B.87分,85分,86分
C.87分,85分,85分 D.87分,85分,90分
解析:平均数为×(100+95+90×2+85×4+80+75)=87(分),众数为85分,中位数为85分.
故选C.
4.有5个数据分别为2,4,5,6,8,则这5个数据的平均数是　　　　.
解析:这5个数据的平均数为
==5.
答案:5
选题明细表
知识点、方法 题号
众数、中位数 1,3,5,7,10,12
平均数 4,8,13
众数、平均数、 中位数的综合运用 2,6,9,10,11
基础巩固
1.在某次考试中,共有100个学生参加考试,如果某题的得分情况如表:
得分 0分 1分 2分 3分 4分
百分率(%) 37.0 8.6 6.0 28.2 20.2
那么这些得分的众数是(　C　)
A.37.0% B.20.2%
C.0分 D.4分
解析:由题意得,得分为0分的百分率为37.0%,所占比例最大,所以这些得分的众数是0分.故选C.
2.(多选题)小华所在的年级一班共有50名学生,一次体检测量了全班学生的身高,由此求得该班学生的平均身高是1.65 m,而小华的身高是1.66 m,则下列说法正确的是(　ACD　)
A.1.65 m是该班学生身高的平均水平
B.班上比小华高的学生人数不会超过25人
C.这组身高数据的中位数不一定是1.65 m
D.这组身高数据的众数不一定是1.65 m
解析:由平均数所反映的意义知A选项正确;由中位数与平均数的关系确定C选项正确;由众数与平均数的关系确定D选项正确;由于平均数受一组数据中的极大、小值的影响,故B选项错误.故选ACD.
3.甲、乙两人进行5轮投篮训练,每轮投篮10次,每轮投进的次数如下:甲:7,7,9,8,8;乙:4,7,7,7,9.若甲的中位数为a,乙的众数为b,则a+b等于(　B　)
A.14 B.15 C.16 D.17
解析:甲组数据按从小到大排列为7,7,8,8,9,它的中位数是a=8,乙组数据为4,7,7,7,9,它的众数为b=7.所以a+b=15.故选B.
4.已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是2,那么另一组数据2x1-3,
2x2-3,2x3-3,2x4-3,2x5-3的平均数为(　A　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是2,那么另一组数据2x1-3,
2x2-3,2x3-3,2x4-3,2x5-3的平均数为2×2-3=1.故选A.
5.某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出60名,其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示,由此估计此次考试成绩的中位数、众数分别是(　A　)
A.73.3,75 B.73.3,80
C.70,70 D.70,75
解析:由题意可知小于70的有24人,大于或等于80的有18人,则在[70,80)的有18人,所以中位数落在[70,80)这组内,且为70+≈73.3;众数就是频率分布直方图中最高的矩形底边中点的横坐标,即=75.故选A.
6.(多选题)某篮球队甲、乙两名运动员练习投篮,每人练习10组,每组投篮40个.命中个数的茎叶图如图,则下面结论中正确的是(　ABC　)
A.甲的极差是29
B.乙的众数是21
C.甲的命中率比乙高
D.甲的中位数是24
解析:A中极差为37-8=29;B中乙的众数为21;C中甲的平均数大,所以命中率高;D中甲的中位数为23.故选ABC.
7.有一批种子,对于一颗种子来说,它可能1天发芽,也可能2天发芽,……如表是不同发芽天数的种子数的记录:
发芽 天数 1 2 3 4 5 6 7 ≥8
种子数 8 26 22 24 12 4 2 0
统计每颗种子发芽天数得到一组数据,则这组数据的中位数是(　B　)
A.2 B.3 C.3.5 D.4
解析:将这98颗种子发芽天数从左到右按照从小到大的顺序排成一列,可知正中间两颗种子的发芽天数都是3,所以中位数为=3.故
选B.
8.某班级统计一次数学测试后的成绩,并制成了如下的频率分布表,根据该表估计该班级的数学测试平均分为　　　　.
分组 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100)
人数 5 15 20 10
频率 0.1 0.3 0.4 0.2
解析:平均分=65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.2=82.
答案:82
能力提升
9.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为me,众数为mo,平均值为,则(　D　)
A.me=mo= B.me=mo<
C.me解析:由题目所给的统计图可知,30个数据按大小顺序排列好后,中间两个数为5,6,
故中位数为me==5.5.众数为mo=5,
平均值=(3×2+4×3+5×10+6×6+7×3+8×2+9×2+10×2)=,
所以mo故选D.
10.从高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛,由成绩得到如图所示的频率分布直方图.利用频率分布直方图求:
(1)这50名学生成绩的众数与中位数;
(2)这50名学生的平均成绩.(精确到0.1)
解:(1)由众数的概念及频率分布直方图可知,这50名学生成绩的众数为75分.
因为数学竞赛成绩在[40,70)的频率为(0.004+0.006+0.020)×10=
0.3,数学竞赛成绩在[70,80)的频率为0.030×10=0.3.
所以中位数为70+×10≈76.7.
(2)这50名学生的平均成绩为
45×(0.004×10)+55×(0.006×10)+65×(0.020×10)+75×
(0.030×10)+85×(0.024×10)+95×(0.016×10)=76.2.
应用创新
11.若1,2,3,4,m(m∈R)这五个数的平均数等于其中位数,则m等于(　D　)
A.0或5 B.0或
C.5或 D.0或5或
解析:当m≤1时,数据1,2,3,4,m的中位数是2,平均数是(10+m)=2,解得m=0;
当1当2当3当m>4时,数据1,2,3,4,m的中位数是3,平均数是(10+m)=3,解得m=5.
综上知,m的可能取值是0或或5.
故选D.
12.某部门有8位员工,其中6位员工的月工资分别为8 200,8 300,
8 500,9 100,9 500,9 600(单位:元),另两位员工的月工资数据不清楚,但两人的月工资和为17 000元,则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为(　B　)
A.9 100 B.8 800 C.8 700 D.8 500
解析:由于另外两位员工的月工资数据不清楚,但两人的月工资和为17 000元,若不考虑这2人,中位数为8 500+9 100=17 600,17 600÷
2=8 800,若这两人的月工资一个大于9 100,另一个小于8 500,则中位数不变,若这两个人的工资位于8 500与9 100之间,且这两个数关于8 800对称,8 500与9 100也是关于8 800对称,所以中位数也是8 800,此时这8位员工月工资的中位数取最大值为8 800.故选B.
13.某歌手大赛进行电视直播,比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分,场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后,现场嘉宾的评分情况如下表,场内外共有数万名观众参与了评分,组织方将观众评分按照[70,80),[80,90),[90,100]分组,绘成频率分布直方图如图所示.
嘉宾 A B C D E F
评分 96 95 96 89 97 98
嘉宾评分的平均数为,场内外的观众评分的平均数为,所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为,则下列选项正确的是(　C　)
A.= B.>
C.< D.>>>
解析:由表格中的数据可知,
=≈95.17,
由频率分布直方图可知,
=75×0.2+85×0.3+95×0.5=88,
则>.
设场外的观众数为a(a>10 000),
则===88+<=91.585,
即<.
故选C.
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