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(共52张PPT)
2.1.2 等式性质与不等式性质
探究点一 利用不等式性质比较大小
探究点二 利用不等式的性质证明不等式
探究点三 利用不等式的性质求代数式范围
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
掌握不等式的性质:
（1）能类比等式的基本性质,猜想并证明不等式的基本性质;
（2）能根据实数大小关系的基本事实和不等式的性质证明简单的不等式.
知识点一 等式的基本性质
性质1 如果 ，那么_______.
性质2 如果， ，那么______.
性质3 如果，那么 .
性质4 如果，那么 .
性质5 如果，，那么 .
知识点二 不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性
2 传递性 ,
3 可加性 可逆
4 可乘性 ,___ 的符号
,___
5 同向可加性 , 同向
性质 别名 性质内容 注意
6 同向同正 可乘性 , 同向、
同正
7 可乘方性 同正
续表
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若,则 .( )
√
[解析] 不等式两边同时加上,可得 ,所以此说法正确.
（2）若,则, .( )
[解析] 取,,,,满足,但不满足 ,
所以此说法错误.
×
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）若,,则 .( )
×
[解析] 取,,,,满足,,但 不成立,
所以此说法错误.
（4）若,则 .( )
[解析] 若,则,所以 ，所以此说法正确.
√
探究点一 利用不等式性质比较大小
例1（1）已知,,且 ，则下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A,当时, ,故A不一定成立;
对于B,当,时,满足,但 不成立,故B不一定成立;
对于C,当时,,故C不一定成立;
对于D,由 , ,得 ,故D一定成立.故选D.
√
（2）（多选题）下列说法正确的是( )
A.若，则
B.若,,则
C.若，，则
D.若，则
√
√
[解析] 对于A，，，， ，
，,故A正确；
对于B，当 ，，，时，满足,,
但此时 ，，,故B错误；
对于C，当， ，时，满足，，
但此时，， ，故C错误；
对于D，，， ，，
，由不等式的同向可加性，可得，故D正确．
故选 ．
变式（1）（多选题）设,,, ，下列说法正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若,，则 D.若，则
[解析] 对于A,当时,,故A错误;
对于B,若 ,则,即,所以,故B正确;
对于C,取, ,,满足,,但,故C错误;
对于D,若 ,则由不等式的性质可知,故D正确.故选 .
√
√
（2）（多选题）［2025·青岛二中高一月考］已知 ， ，
则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] ，，又， ，故A正确；
当，时，，， ，，故B错误；
，， ，故C正确；
，，， ，
则，即 ，
即，故D正确.
故选 .
［素养小结］
解不等式成立问题的常用方法:
一是用性质逐个验证;
二是用特殊值法排除.
利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.
探究点二 利用不等式的性质证明不等式
例2 设,,,, .
（1）证明: ;
证明: ,
.
，,, 均不为0,则,
.
例2 设,,,, .
（2）若,证明： .
证明: 由题可知， ，
,,即 ，
,即 .
变式（1）已知，求证： .
证明:，即, ，
，则 .
（2）已知,,，求证： .
证明: , ，
又，,,，
又 ， ，
.
［素养小结］
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
（1）利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式，解决此类问
题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题
中灵活准确地加以应用.
（2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立
的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
探究点三 利用不等式的性质求代数式范围
例3 设，，求，， 的取值范围.
解:， ，
，，， ，
，， .
变式（1）已知，，则 的取值范围为
__________________， 的取值范围为__________.
[解析] 由，得,
由 ,得，.
由,得 ,则,
又, .
（2）［2025·荆州中学高一月考］若 ，
，则 的取值范围为________________.
[解析] ，
因为 ，，即 ，
所以，
故 的取值范围为 .
［素养小结］
求代数式的取值范围需注意两点:
（1）严格运用不等式的性质，即两个同方向的不等式可加不可减,可
乘（同正）不可除；
（2）利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求解范围,防止在
多次运用不等式的性质时扩大变量的取值范围.
1.准确记忆各性质成立的条件,是正确应用的前提.在不等式的判断中,
特殊值法也是非常有效的方法,尤其是对于选择题或填空题,特殊值法
可以节省时间.在不等式的各性质中,乘法的性质极易出错,即在不等式
两边同乘或除以一个数时,必须要确定该数是正数、负数，还是零,否
则结论就不确定.
例1 适当增加条件,使下列各命题为真命题.
（1）若,则 ;
解:若,则,对不等式两边同乘正数,可得 成立,
即只需增加条件 .
（2）若,则 ;
解:要使“若,则”是真命题,只需增加条件 .
（3）若,则 ;
解:, ,则,
因为,所以只需增加条件或 .
例1 适当增加条件,使下列各命题为真命题.
（4）若,,则 .
解:不等式,为同向不等式,
则要使 成立,只需增加条件, .
2.求含字母的数或式的取值范围时,一要注意题设中的条件,二要正确
使用不等式的性质求解.
例2（1）已知实数,满足,，求 的取值范围；
解：,,又 ，
，的取值范围是 ．
（2）已知，，求 的取值范围.
解：设,则 解得
，
， ，
，
的取值范围是 .
例3 设,为实数，满足，，则 的最大值为
____.
27
[解析] 由，得，
由 ，得，
所以，即 ，
所以 的最大值为27.
练习册
1.一个工厂原来每天加工 件商品，经过工艺改革后该工厂每天加工
的商品比原来多560件，且30天加工的商品将超过75 000件，这一关
系用不等式表示为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意得，经过工艺改革后该工厂每天加工 件商品，
则该工厂30天加工 件商品，
所以题中的关系用不等式表示为 .故选B.
√
2.若, ，则下列说法正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
[解析] 对于A,当,时,满足,但是 ,故A错误；
对于B,当,时,满足,但是 ,故B错误；
对于C,当,时,满足 ,但是,故C错误；
对于D,若,则 ,所以,则 ,故D正确.
故选D.
√
3.对于实数,， ，下列说法正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
[解析] 若，，则，故A错误；
若 ，则，故B错误；
因为，所以 ，即,故C正确；
因为，所以 ,所以 ,故D错误.
故选C.
√
4.［2025·福州三中高一月考］若,,, ，则下列结论正
确的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A，因为，所以，
所以不等式 两边同时除以得，故A错误；
对于B，因为 ，所以若，则，故B错误；
对于C，因为 ，
所以不等式两边同时乘得 ，故C正确；
对于D，因为，所以不等式两边同时乘得 ，故D错误.
故选C.
5.［2025·襄阳四中高一月考］已知，，为实数，则“ ”
是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 若,则,所以,
所以 一定成立,即充分性成立；
当时,,但无法判断 的正负,
因此 不一定成立,即必要性不成立.
所以“”是“ ”的充分不必要条件．故选A.
√
6.（多选题）［2025·广州华南师大附中高一期中］ 已知, 为正实
数，下列说法中正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.
D.对任意,若,则
√
√
√
[解析] 由题意得,.
对于A选项,若,则 , 则,故A正确;
对于B选项,若 ,则
,所以,故B正确;
对于C选项,
,所以,故C正确;
对于D选项,当时, ,故D错误.
故选 .
7.已知，则，， 按从小到大的顺序排列是___________.
[解析] 由，得，且，所以 .
8.已知，，则 的取值范围是__________
_______.
[解析] 因为，所以.
因为 ，所以，则 .
9.（13分）已知， ．
（1）求 的取值范围；
解：因为，所以，
又 ，所以 .
（2）求 的取值范围；
解：因为，所以，
又 ，所以 .
9.（13分）已知， ．
（3）求 的取值范围．
解：因为，所以 .
当时， ；
当时， ,
所以,所以 .
综上可得， .
10.如图，数轴上给出了表示实数，， 的三个点，下列结论正确
的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题图可得，， ，
所以，，则 ，故选项A错误；
，故选项B错误；
因为,所以 ,又,所以,
又 ,所以,故选项C错误；
因为, ,且由图可知,即,所以
,又 ,所以 ,故选项D正确.故选D.
11.有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是， ，
，，已知，， ，则这四个小
球重量的大小关系是( )
A. B.
C. D.
[解析] ，，，即 ,因此
，，，，.
综上可得 ,故选A.
√
12.（多选题）设，为实数，满足， ，则下列
结论正确的是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A，，即 ，故A正确；
对于B，由题知，则 ，
即，故B错误；
对于C， ，即，故C正确；
对于D，由题知，则 ，故D错误.
故选 .
√
√
13.已知实数，满足，，则 的最
大值为___.
7
[解析] 由，
可得 ，，
因为 ，
，,
所以 ，
故，则 的最大值为7.
14.（15分）若,,,求证： .
证明：因为，所以，
又因为 ，所以 ，
所以，所以.
因为 ，，所以 ，
又，即,所以，所以 .
故 ，原不等式得证.
15.已知，，，，设 ，则
下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
[解析] ，，，， ，
，
， .故选D.
√
16.（15分）若，求证：,,, 中
至少有一个小于1．
证明：假设,,,都不小于1，即，，， ，
则，，， ，
所以 ，与已知矛盾，假设不成立，
故,,, 中至少有一个小于1．
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一
知识点二
【诊断分析】 （1）√ （2）× （3）× （4）√
课中探究 探究点一 例1（1）D （2）AD 变式（1）BD （2）ACD
探究点二 例2（1）证明略（2）证明略 变式（1）证明略（2）证明略
探究点三 例3 ，，
变式 （1） （2）
快速核答案（练习册）
1.B 2.D 3.C 4.C 5.A 6.ABC
7. 8.
9.（1） （2） （3）
10.D 11.A 12.AC 13.7
14.证明略
15.D
16.证明略2.1.2　等式性质与不等式性质
【学习目标】
　　掌握不等式的性质:(1)能类比等式的基本性质,猜想并证明不等式的基本性质;(2)能根据实数大小关系的基本事实和不等式的性质证明简单的不等式.
◆ 知识点一　等式的基本性质
性质1　如果a=b,那么　　　　.
性质2　如果a=b,b=c,那么　　　　.
性质3　如果a=b,那么a±c=b±c.
性质4　如果a=b,那么ac=bc.
性质5　如果a=b,c≠0,那么=.
◆ 知识点二　不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b,b>c a>c
3 可加性 a>b a+c>b+c 可逆
4 可乘性 a>b,c>0 ac　　　bc c的符号
a>b,c<0 ac　　　bc
5 同向可加性 a>b,c>d a+c>b+d 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0 ac>bd 同向、同正
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N,n≥2) 同正
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若a-c(2)若a+c>b+d,则a>b,c>d. (　 )
(3)若a>b,c>d,则>. (　 )
(4)若ac2>bc2,则a>b. (　 )
◆ 探究点一　利用不等式性质比较大小　　　　　　　　　　　　　　　
例1 (1)已知a,b,c∈R且a>b,则下列不等式一定成立的是 (　 )
A.<
B.a2>b2
C.a|c|>b|c|
D.>
(2)(多选题)下列说法正确的是 (　 )
A.若ac2>bc2,则a>b
B.若a>b,c>d,则a-c>b-d
C.若b>a>0,c>0,则>
D.若a>b>0,则a+>b+
变式 (1)(多选题)设a,b,c,d∈R,下列说法正确的是 (　 )
A.若a>b,则ac>bc
B.若a|c|>b|c|,则a>b
C.若a>b,c>d,则ac>bd
D.若a>b,则a3>b3
(2)(多选题)[2025·青岛二中高一月考] 已知ad,则下列选项正确的是 (　 )
A.a-cB.>
C.>
D.a5+b5[素养小结]
解不等式成立问题的常用方法:一是用性质逐个验证;二是用特殊值法排除.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.
◆ 探究点二　利用不等式的性质证明不等式
例2 设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.
(1)证明:ab+bc+ca<0;
(2)若a>b,证明:a3>b3.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
变式 (1)已知a>b>c>d,求证:<.
(2)已知a>b>0,c.
[素养小结]
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式,解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
(2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.
◆ 探究点三　利用不等式的性质求代数式范围
例3 设2变式 (1)已知1(2)[2025·荆州中学高一月考] 若-1[素养小结]
求代数式的取值范围需注意两点:
(1)严格运用不等式的性质,即两个同方向的不等式可加不可减,可乘(同正)不可除;
(2)利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求解范围,防止在多次运用不等式的性质时扩大变量的取值范围.
2.2.2　等式性质与不等式性质
【课前预习】
知识点一
b=a　a=c
知识点二
>　<
诊断分析
(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
[解析] (1)不等式a-c(2)取a=4,c=5,b=7,d=1,满足a+c>b+d,但不满足a>b,所以此说法错误.
(3)取a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b,c>d,但>不成立,所以此说法错误.
(4)若ac2>bc2,则c2>0,所以a>b,所以此说法正确.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)D　(2)AD　[解析] (1)对于A,当a>0>b时,>,故A不一定成立;对于B,当a=-1,b=-2时,满足a>b,但a2>b2不成立,故B不一定成立;对于C,当c=0时,a|c|=b|c|,故C不一定成立;对于D,由a>b,c2+1>0,得>,故D一定成立.故选D.
(2) 对于A,∵ac2>bc2,∴c≠0,∴c2>0,∴>0,∴ac2×>bc2×,∴a>b,故A正确;对于B,当a=2,b=1,c=0,d=-2时,满足a>b,c>d,但此时a-c=2,b-d=3,a-ca>0,c>0,但此时=,=2,<,故C错误;对于D,∵a>b>0,∴ab>0,∴>0,∴a×>b×,∴>,由不等式的同向可加性,可得a+>b+,故D正确.故选AD.
变式　(1)BD　(2)ACD　[解析] (1)对于A,当c=0时,ac=bc,故A错误;对于B,若a|c|>b|c|,则|c|≠0,即|c|>0,所以a>b,故B正确;对于C,取a=1,b=c=0,d=-1,满足a>b,c>d,但ac=bd,故C错误;对于D,若a>b,则由不等式的性质可知a3>b3,故D正确.故选BD.
(2)∵c>d,∴-c<-d,又a0>a,∴<,故B错误;∵a0,∴>,故C正确;∵ab2>0,a3探究点二
例2　证明:(1)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0,
∴ab+bc+ca=-(a2+b2+c2).
∵abc=1,∴a,b,c均不为0,
则a2+b2+c2>0,∴ab+bc+ca=-(a2+b2+c2)<0.
(2)由题可知,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2),
∵a2+ab+b2=+b2>0,a>b,即a-b>0,
∴a3-b3>0,即a3>b3.
变式　证明:(1)∵a>b>c>d,即a>b,-d>-c,
∴a-d>b-c>0,则<.
(2)∵c-d>0,
又a>b>0,∴a-c>b-d>0,b-a<0,c-d<0,又e<0,∴-===>0,∴>.
探究点三
例3　解:∵2∴4<2a<14,3<3b<6,-2<-b<-1,<<1,
∴5变式　(1)-2<2a-b<9　<<　(2)3<3a-b<11　[解析] (1)由1(2)3a-b=(a+b)+2(a-b),因为-11.一个工厂原来每天加工x件商品,经过工艺改革后该工厂每天加工的商品比原来多560件,且30天加工的商品将超过75 000件,这一关系用不等式表示为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.30x+560>75 000
B.30(x+560)>75 000
C.30x+560≥75 000
D.30(x+560)≥75 000
2.若a,b∈R,则下列说法正确的是 (　 )
A.若a>b,则a2>b2
B.若a≠b,则a2≠b2
C.若a<|b|,则a2D.若a>|b|,则a2>b2
3.对于实数a,b,c,下列说法正确的是 (　 )
A.若a
B. 若aC.若a<0D. 若c>a>b,则<
4.[2025·福州三中高一月考] 若a,b,c∈R,aA.<
B.ac>bc
C.a(c2+1)D.a25.[2025·襄阳四中高一月考] 已知a,b,c为实数,则“a>b”是“a-c>b-c”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(多选题)[2025·广州华南师大附中高一期中] 已知a,b为正实数,下列说法中正确的是 (　 )
A.若a>b,则<
B.若a>b,则a3>b3
C.a3+b3≥a2b+b2a
D.对任意c∈R,若a>b,则ac2>bc2
7.已知08.已知-2≤x<3,-19.(13分)已知-6(1)求2a+b的取值范围;
(2)求a-b的取值范围;
(3)求的取值范围.
10.如图,数轴上给出了表示实数a,b,c的三个点,下列结论正确的是 (　 )
A.ab>c B.abc>
C.c+2b2b
11.有外表一样,重量不同的四个小球,它们的重量分别是a,b,c,d,已知a+b=c+d,a+d>b+c,a+cA.d>b>a>c B.b>c>d>a
C.d>b>c>a D.c>a>d>b
12.(多选题)设x,y为实数,满足1≤x≤4,0A.1C. 013.已知实数x,y满足|2x+3y|≤10,|x-y|≤5,则|x+2y|的最大值为　　　　.
14.(15分)若a>b>0,c|c|,求证:<.
15.已知 a,b,c,d>0,设S=+++,则下列结论中正确的是 (　 )
A.0C.216.(15分)若(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)<16,求证:a,b,c,d中至少有一个小于1.
2.2.2　等式性质与不等式性质
【课前预习】
知识点一
b=a　a=c
知识点二
>　<
诊断分析
(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
[解析] (1)不等式a-c(2)取a=4,c=5,b=7,d=1,满足a+c>b+d,但不满足a>b,所以此说法错误.
(3)取a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b,c>d,但>不成立,所以此说法错误.
(4)若ac2>bc2,则c2>0,所以a>b,所以此说法正确.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)D　(2)AD　[解析] (1)对于A,当a>0>b时,>,故A不一定成立;对于B,当a=-1,b=-2时,满足a>b,但a2>b2不成立,故B不一定成立;对于C,当c=0时,a|c|=b|c|,故C不一定成立;对于D,由a>b,c2+1>0,得>,故D一定成立.故选D.
(2) 对于A,∵ac2>bc2,∴c≠0,∴c2>0,∴>0,∴ac2×>bc2×,∴a>b,故A正确;对于B,当a=2,b=1,c=0,d=-2时,满足a>b,c>d,但此时a-c=2,b-d=3,a-ca>0,c>0,但此时=,=2,<,故C错误;对于D,∵a>b>0,∴ab>0,∴>0,∴a×>b×,∴>,由不等式的同向可加性,可得a+>b+,故D正确.故选AD.
变式　(1)BD　(2)ACD　[解析] (1)对于A,当c=0时,ac=bc,故A错误;对于B,若a|c|>b|c|,则|c|≠0,即|c|>0,所以a>b,故B正确;对于C,取a=1,b=c=0,d=-1,满足a>b,c>d,但ac=bd,故C错误;对于D,若a>b,则由不等式的性质可知a3>b3,故D正确.故选BD.
(2)∵c>d,∴-c<-d,又a0>a,∴<,故B错误;∵a0,∴>,故C正确;∵ab2>0,a3探究点二
例2　证明:(1)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0,
∴ab+bc+ca=-(a2+b2+c2).
∵abc=1,∴a,b,c均不为0,
则a2+b2+c2>0,∴ab+bc+ca=-(a2+b2+c2)<0.
(2)由题可知,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2),
∵a2+ab+b2=+b2>0,a>b,即a-b>0,
∴a3-b3>0,即a3>b3.
变式　证明:(1)∵a>b>c>d,即a>b,-d>-c,
∴a-d>b-c>0,则<.
(2)∵c-d>0,
又a>b>0,∴a-c>b-d>0,b-a<0,c-d<0,又e<0,∴-===>0,∴>.
探究点三
例3　解:∵2∴4<2a<14,3<3b<6,-2<-b<-1,<<1,
∴5变式　(1)-2<2a-b<9　<<　(2)3<3a-b<11　[解析] (1)由1(2)3a-b=(a+b)+2(a-b),因为-1

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