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北京市2025-2026学年上学期新高三入学定位考试数学试题
本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合，则（　　）
A. B.
C. D.
2. 若复数满足，则（　　）
A. B. 1
C. D.
3. 直线被圆所截得的弦长为（　　）
A. B. 2
C D. 4
4. 在展开式中，常数项为（　　）
A. B.
C. 6 D. 12
5. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（　　）
A. 向上平移1个单位长度 B. 向下平移1个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
6. 已知函数的最大值为2，则的值可以是（　　）
A. -1 B. 1
C. D. 2
7. 已知点在抛物线上，且点到抛物线焦点的距离等于点到直线的距离，则（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
8. 已知单位向量，满足，则向量与的夹角为（　　）
A. B.
C. D.
9. 已知无穷等比数列的公比为，则“”是“单调递减”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 在棱长为1的正方体中，点在正方形内，且不在棱上，又，则下列结论中错误的是（　　）
A. 四棱锥的体积不变
B 总有
C. 点在一条定线段（不含端点）上
D. 记直线分别与平面和平面所成角为，则可以为
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 函数的定义域为___________．
12. 已知双曲线的一条渐近线经过点，则______，的离心率为______．
13. 函数的最小正周期___________，函数的长度为的一个单调递减区间为___________．（只需写出一个）
14. 等差数列的通项公式，前项和为，则___________，数列的最小值为___________．
15. 已知函数与，其中实数．给出下列四个结论：
①函数在区间上单调递增；
②对任意的与的图象都只有一个公共点；
③若与的图象没有公共点，则的取值范围是；
④当与的图象有两个公共点时，这两个公共点横坐标的差大于1．
其中所有正确结论的序号是___________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 在中，钝角，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17. 如图，在四棱锥中，，点在上，．
（1）若为线段的中点，求证：平面；
（2）若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 某学校为了解该校不同性别教师使用人工智能模型的情况，分别从男教师、女教师中随机抽取了部分教师，统计了他们上个月使用人工智能模型的时长，得到以下数据（单位：小时）：
女教师：25，26，32，33，34，36，46，47，50，55
男教师：15，16，22，23，24，26，36，37，40
假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名教师使用人工智能模型的情况相互独立．
（1）该学校要对上个月使用人工智能模型时长不足20小时的职工进行专项调研，已知该校共有180名男教师，试估计该校需要参加此次专项调研的男教师人数；
（2）从女教师中随机抽取2人，男教师中随机抽取1人，记为这3人中上个月使用人工智能模型时长不少于35小时的人数，求的分布列和数学期望：
（3）设样本中女教师使用人工智能模型时长的方差为，男教师使用人工智能模型时长的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）
19. 已知椭圆右顶点为，上顶点与左右焦点构成一个等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）经过点的直线与椭圆的另一个交点为、点关于轴的对称点为与不重合），直线与轴的交点分别为．若，求线段的长．
20. 已知函数．
（1）求证：曲线在点处的切线一定经过点；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）记，是否存在实数，使得函数与在处同时取得极值，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
21. 给定整数，数列满足．定义数列如下：，其中表示这2个数中最小的数．记，
（1）时，，分别写出相应的数列和；
（2）求证：；
（3）求的最小值．
2025-2026学年北京市新高三入学定位考试
数学
本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】A
【9题答案】
【答案】B
【10题答案】
【答案】D
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】 ①. 0 ②.
【13题答案】
【答案】 ①. ②. （答案不唯一，满足即可）
【14题答案】
【答案】 ①. -3 ②. -3
【15题答案】
【答案】①②③
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
【16题答案】
17.
18.
19.
20.
21.

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