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(3):f(x)在(0，π)内恰有两个不同的极值点，
∴f'(x)=0在(0，π)内恰有两个不同的实根，
故y=g(x)的图象与y=a在(0，π)内恰有两个不同的交点，
由（2)可知g'(x)=2e*cosx,
当x∈(0，孕时，g)>0,8)在0，上单调递增，
当x∈()时，g《)<0,g)在（受）上单调递减，
故当x∈(0，时，g(田)ee),
当xe(5,)时，ge(e,e,
“g)在x=2处有最大值即g6)=g(=c2,
又g(0)=1>g(π)=-e",
∴.a的取值范围为(1，e2).
…17分
19.(17分)
解：(1)由已知可得e=C=√2，c2=a2+b2,
a
.2a2=a2+b2→b2=a2,
又双曲线T过点(W2,1),
21
a2京1，
.a2=1,b2=1,
.双曲线T的标准方程为x2-y2=1;
…4分
(2)(i)由(1)可知双曲线T的右焦点为(W2,0),
.C:y2=4V2x,
…5分
设A(x,y),B(x2,y2),
由=4W5得)广-4W2m-8=0,
(x=my+v2
△>0，
+y2=4W2m,yy2=-8,
.4BI=1+m21y-y2
=1+mV0y+y)2-4yy2
=4W20+m2),
……7分
设C(xy3)，D(x4,y4),
由2-y=得0m2-y2+2V2+1=0,
x=my+2
,直线1与双曲线T的左、右两支分别交于C,D两点，
.m2-1≠0，△>0，
2v2m
1
y+y4=-
,g㎡-一
>0,
∴.m2>1,
CD1=V1+m2|y3-y4
=V1+m2Vy3+y4)2-4yy4
=20+m2
…9分
m2-1
.AB=2 CDI,
4W21+m)=2×20+m3
m2-1
m2-1=
2,
∴m=±1+
2
故存在m满足条件，且m=土1+
…11分
2
(ⅱ)设点O到直线l的距离为d,则d=
V1+m2
-Sas+4网an克lald+45x对cD1d
-1d04B1+4CDD
54w20+m+850+m]
2W1+m2
m2-1
0+之：
…13分
令t=V1+m2,
由(i)知m2>1,
t>√2，
aw+4i西m=40+2:
令0=4+2
÷f0=C_4u-6+,
(t2-2)2
(t2-2)2
故当√2当t>√6时，f)单调递增，
∴f(0)=f(6)=6W6,
SAOAR+4W2 SAOCD的最小值为6V6.
…17分
4

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