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第二章实数单元测试（培优卷）
一．选择题（共10小题）
1．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．若△ABC三边长分别为，，，则△ABC的面积为（　　）
A．2 B．4 C． D．
3．在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”．这是中国传统数学对无理数的最早记载．下面符合“面”的描述的数是（　　）
A． B． C． D．
4．课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法：
①由103＝1000，1003＝1000000，能确定是两位数；
②由74088的个位上的数是8，因为23＝8，能确定的个位上的数是2；
③如果划去74088后面的三位088得到数74，而43＝64，53＝125，由此能确定的十位上的数是4．
（提示：63＝216，73＝343，83＝512，93＝729）
已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（　　）
A．15 B．16 C．17 D．19
5．正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
6．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，矩形内相邻两个正方形的面积分别为2和4，则矩形内阴影部分的面积是（　　）
A．2 B． C． D．
8．已知，，则m2+2mn+n2的值为（　　）
A． B．12 C．10 D．6
9．已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：，则x3+y3+z3﹣3xyz的值是（　　）
A．0 B．1
C．3 D．条件不足，无法计算
二．填空题（共5小题）
11．的平方根是　 　 ．
12．如图，数轴上标注了四段，若，则表示a的点落在段 　 　 （填序号）．
13．若的值是有理数，则a的最小偶数值是　 　 ．
14．若|a|，则的相反数是　 　 ．
15．若a、b均为整数，当x1时，代数式x2+ax+b的值为0，则ab的算术平方根为　 　 ．
三．解答题（共7小题）
16．已知：，求代数式（x+2）（y+2）的值．
17．如图，把两个面积均为37cm2的小正方形纸片分别沿图（1）中的虚线裁剪后拼成一个大的正方形纸片，如图（2）．
（1）大正方形纸片的边长为 　 　 cm；
（2）若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长是宽的3倍，且面积为27cm2？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由．
18．【阅读理解】
爱思考的小名在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解答的：
∵a2，a﹣2．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：　 　 ；
（2）计算： 　 　 ；
（3）若a，求3a2﹣12a﹣1的值．
19．综合与实践
【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若a+b＝2，则a与b的平均数是1，我们称a与b是关于1的平衡数．例如，3与﹣1是关于1的平衡数．
【思考尝试】
（1）4与 　 　 是关于1的平衡数；与 　 　 是关于1的平衡数；
【实践探究】
（2）m与n是关于1的平衡数，同时，m+3与2n﹣1也是关于1的平衡数，求m与n的值；
【拓展延伸】
（3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由．
20．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是 　 　 ；
（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与互为相反数，求2c﹣3d的平方根．
21．已知4是3a﹣2的算术平方根，2﹣15a﹣b的立方根为﹣5．
（1）求a和b的值；
（2）求2b﹣a﹣4的平方根．
22．阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出：该如何化简？
建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m， ．
那么便有：（a＞b），
问题解决：化简：，
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，．
∴，
模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：
（1）；
（2）．
模型应用2：
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简）．
第二章实数单元测试（培优卷）答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B B A B C B B A
1．解：A、两者不是同类二次根式，不能合并，该选项运算错误，不符合题意；
B、和不是同类二次根式，不能合并，该选项运算错误，不符合题意；
C、，该选项运算正确，符合题意；
D、，该选项运算错误，不符合题意；
故选：C．
2．解：由题意，∵△ABC三边长分别为，2，，
∴（）2+（2）2＝（）2．
∴△ABC是直角边为，2的直角三角形．
∴△ABC的面积22．
故选：A．
3．解：，所以A选项不符合题意；
，所以是符合“面”的描述的数，B选项符合题意；
，所以C选项不符合题意；
，所以D选项不符合题意；
故选：B．
4．解：∵根据题意可知为两位数，且个位上的数是9，
根据提示：73＝343，83＝512，
可知，十位上的数是7，
∴可以断定79，
∴的每位数上的数字之和为16．
故选：B．
5．解：当正方形在转动第一周过程中，即正方形连续翻转了4次，
第一次翻转A对应1，
第二次翻转B对应2，
第三次翻转C对应3，
第四次翻转D对应4，
…，
∴四次一个循环，
∵2025÷4＝506...1，
∴2025所对应的点是A．
故答案为：A．
6．解：11，
故选：B．
7．解：由题意，∵矩形内相邻两个正方形的面积分别为2和4，
∴两正方形的边长分别为，2．
∴矩形的长为（2），宽为2．
∴矩形的面积为2（2）．
∴矩形内阴影部分的面积＝矩形的面积﹣两个正方形的面积的和＝2（2）﹣2﹣4
＝4+22﹣4
＝22．
故选：C．
8．解：∵，，
∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（2）2＝12．
故选：B．
9．解：由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，则
①ab+ac＞0，故原结论正确；
②﹣a﹣b+c＞0，故原结论错误；
③1﹣1+1＝1，故原结论错误；
④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝a﹣b+c+b﹣（﹣a+c）＝2a，故原结论错误；
⑤当b≤x≤a时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b，故原结论正确．
故正确结论有2个．
故选：B．
10．解：依题意得：
，
解得x＝0，
∵，
∴，
∴y＝﹣z
∴把x＝0，y＝﹣z代入x3+y3+z3﹣3xyz得：原式＝（﹣z）3+z3＝0
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．解：的平方根＝9的平方根＝3或﹣3．
故答案为：3或﹣3．
12．解：∵，
∴，
∴表示a的点落在段④．
故答案为：④．
13．解：由条件可知a＝12，此时是有理数，
故答案为：12．
14．解：∵|a|，
∴a2＝6，
∴2，
﹣2的相反数是2．
故本题的答案是2．
15．解：当x1时，代数式x2+ax+b的值为0，
∴（1）2+a（1）+b＝0，
6﹣2a﹣a+b＝0，
∵a、b均为整数，
∴6﹣a+b＝0，﹣2a＝0，
∴a＝2，b＝﹣4，
∴ab＝2﹣4，
∴则ab的算术平方根为：，
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
16．解：x，y，
∴（x+2）（y+2）
＝xy+2（x+y）+4
24
＝42
17．解：（1）由题意得：大正方形的面积为37×2＝74cm2，
∴大正方形纸片的边长为，
故答案为：；
（2）沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片，理由如下：
由条件可设长方形纸片的长和宽分别是3x cm，x cm，
∴3x x＝27，
∴x2＝9，
∵x＞0，
∴x＝3，
∴长方形纸片的长是9cm，
∵，
∴沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片．
18．解：（1）1．
故答案为：；
（2）原式......
1......
1
＝10﹣1
＝9．
故答案为：9；
（3）∵，
∴．
∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5．
∴a2﹣4a＝1．
∴3a2﹣12a﹣1＝3（a2﹣4a）﹣1＝3×1﹣1＝2．
19．解：（1）由题意得，4+（﹣2）＝2，5（﹣3）＝2，
∴4与﹣2是关于1的平衡数，5与﹣3是关于1的平衡数；
故答案为：﹣2，﹣3；
（2）∵m与n是关于1的平衡数，m+3与2n﹣1也是关于1的平衡数，
∴，
解得；
（3）不是，
∵（m）×（1）＝mm3，
又∵（m）×（1）＝﹣5+3，
∴mm3＝﹣5+3，
∴mm＝﹣2+2，
即 m（1）＝﹣2（1），
∴m＝﹣2，
∴（m）+（5）＝（﹣2）+（5）＝3，
∴（﹣2）与（5）不是关于1的平衡数．
20．解：（1）m2＝2；
（2）∵m＝2，则m+1＞0，m﹣1＜0，
∴|m+1|+|m﹣1|＝m+1+1﹣m＝2；
答：|m+1|+|m﹣1|的值为2．
（3）∵|2c+d|与互为相反数，
∴|2c+d|0，
∴|2c+d|＝0，且0，
解得：c＝﹣2，d＝4，或c＝2，d＝﹣4，
①当c＝﹣2，d＝4时，
所以2c﹣3d＝﹣16，无平方根．
②当c＝2，d＝﹣4时，
∴2c﹣3d＝16，
∴2c﹣3d的平方根为±4，
答：2c﹣3d的平方根为±4．
21．解：（1）∵4是3a﹣2的算术平方根，
∴3a﹣2＝16，
∴a＝6，
∵2﹣15a﹣b的立方根为﹣5，
∴2﹣15a﹣b＝﹣125，
∴2﹣15×6﹣b＝﹣125，
∴b＝37．
（2）2b﹣a﹣4＝2×37﹣6﹣4＝64，
64的平方根为±8，
∴2b﹣a﹣4的平方根为±8．
22．解：（1）m＝6，n＝5．
∵1+5＝6，1×5＝5，
∴（）2+（）2＝6，，
∴1．
（2）∵．
∴m＝13，n＝40，
∵5+8＝13，5×8＝40，
∴（）2+（）2＝13，，
∴2．
（3）BC．
∵，
∴m＝16，n＝48，
∵4+12＝16，4×12＝48，
∴（）2+（）2＝16，，
∴BC22．
第2页（共2页）

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