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第二章有理数及其运算（培优卷）
一．选择题（共10小题）
1．下列四个数中，最小的是（　　）
A．1.25×106 B．1.15×106 C．1.25×105 D．1.15×105
2．如图所示，数轴上点A，M，B分别表示数a+b，a，2a，若AM＞BM，则下列运算结果一定是正数的是（　　）
A．a+b B．a﹣b C．ab D．|a|+b
3．现有以下结论：①正有理数、负有理数和0统称为有理数；②若两个数的差是正数，则这两个数都是正数；③任意一个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示；④若|a|＝|b|，则a＝b；⑤几个非零有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数；⑥数轴上到原点的距离为3的点表示的数是3或﹣3．其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．已知a﹣c＝3（a﹣b）＝3k，则关于（b﹣c）2+4k的最值，下列说法正确的是（　　）
A．有最小值1 B．有最小值﹣1
C．有最大值1 D．有最大值﹣1
5．设x＞0，y＞0，定义新运算：x ，若a＞0，b＞0，c＞0，则下列式子正确的是（　　）
A．a （b×c）＝（a b）×c B．a （b c）＝（a b） c
C．a （b+c）＝a b+a c D．a×（b c）＝（a×b） c
6．将图1中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（　　）
A．44 B．48 C．46 D．50
7．已知a、b、c三个有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断：①c＞﹣a；②a+b＞0；③abc＜0；④|b|＞|c|＞|a|中，结论正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．﹣a、b两数在数轴上的位置如图，下列结论正确的是（　　）
A．a＞0，b＜0 B．a＜b C．|a|＝﹣a，|b|＝﹣b D．|a|＞|b|
9．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字1～9填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C，且A+B+C＝411．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为x、y、x+y，则xy的值为（　　）
A．6 B．10 C．14 D．18
10．设，利用等式（n≥3），则与A最接近的正整数是（　　）
A．18 B．20 C．24 D．25
二．填空题（共5小题）
11．某货车运送300颗西瓜，每颗西瓜的运费是1.5元，若摔裂一颗西瓜，不但没有运费，还需要赔付10元，货车司机一共获得运费415.5元，摔裂的西瓜有　 　 颗．
12．如图，数轴上点A所表示的数是 　 　 ．
13．已知x1，x2满足，则当最大时，|x1+x2|的值为 　 　 ．
14．若|x﹣2|+（y+3）2＝0，则yx＝　 　 ．
15．下列说法：①若a+b＝0，则；②若a+b＜0，且，则|a+3b|＝﹣a﹣3b；③若|a|＞|b|，则（a+b）（a﹣b）＞0；④若a+b+c＜0，ab＞0，c＞0，则．其中正确的有 　 　 ．（填序号）
三．解答题（共7小题）
16．简算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
17．规定一种新的运算：a*b＝ab﹣a﹣b2．例如3*（﹣4）＝3×（﹣4）﹣3﹣（﹣4）2＝﹣31．请用上面规定计算下列各式：
（1）1*5；
（2）（﹣5）*[3*（﹣1）]．
18．我校开展阳光体育运动，是为切实推动亿万学生阳光体育运动的广泛开展，吸引广大青少年学生走向操场，积极参加体育锻炼．小梅为响应号召，决定每天练习跳绳．小梅以1分钟跳172个为目标，并把10次1分钟跳绳的数量记录如表（超过172个的部分记为“+”，少于172个的部分记为“﹣”）：
与目标数量的差值（单位：个） ﹣8 ﹣6 ﹣3 +2 +8
次数 3 2 2 1 2
（1）小梅在这10次跳绳练习中，1分钟最多跳多少个？
（2）小梅在这10次跳绳练习中，1分钟跳绳个数最多的一次比最少的一次多几个？
（3）小梅在这10次跳绳练习中，累计跳绳多少个？
19．有一个像如图那样的长方体容器，现在以每秒0.75升的速度向这个容器注水．容器的底面有一块隔板（垂直于底面，不考虑厚度），将容器隔为A、B两个部分．B部分有一个洞，水按一定的流量往下漏．
图①是表示从注水开始A部分的水的高度变化的图象．回答下面的问题：
（1）求图①中D表示的数；
（2）从B的洞中每秒钟流出来多少升水；
（3）求图①中P、Q表示的数．
20．一个商场打折销售，规定购买200元以下（包括200元）商品不打折，200元以上500元以下（包括500元）全部打九折，如购买500元以上的商品，就把500元以内（包括500元）的打九折，超出的打八折，一个人买了两次，分别用了198元、466元，那么如果他一次购买这些商品的话，可节省多少元？
21．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是 　 　 ，点P表示的数是 　 　 （用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
22．大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是　 　 ；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是　 　 ；
（2）点A、B在数轴上分别表示实数x和﹣1．
①用代数式表示A、B两点之间的距离；
②如果|AB|＝2，求x的值．
（3）直接写出代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值及相应的x的取值范围．
第二章有理数及其运算（培优卷）答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C B B B B C D D
1．解：A：1.25×106，其中n＝6．
B：1.15×106，其中n＝6．
C：1.25×105，其中n＝5．
D：1.15×105，其中n＝5．
因为5＜6，
所以1.25×105和1.15×105小于1.25×106和1.15×106．
∵1.15＜1.25，
∴1.15×105＜1.25×105．
故选：D．
2．解：AM＝a﹣（a+b）＝﹣b＞0，
BM＝2a﹣a＝a＞0，
∵AM＞BM，
∴﹣b＞a，
∴﹣b﹣a＞0，即﹣（a+b）＞0，
∴a+b＜0，
∴A不符合题意；
∵﹣b＞a，
∴a﹣b＞2a，
∵a＞0，
∴a﹣b＞0，
∴B正确，符合题意；
∵﹣b＞0，
∴b＜0，
∵a＞0，
∴ab＜0，
∴C不符合题意；
∵a＞0，
∴|a|+b＝a+b，
∵a+b＜0，
∴|a|+b＜0，
∴D不符合题意．
故选：B．
3．解：①∵正有理数、负有理数和0可以统称为有理数，
∴①说法正确；
②∵若两个数的差是正数，则这两个数不一定都是正数，比如：5﹣（﹣1）＝6，
∴②的说法错误；
③∵每个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示，
∴③的说法正确；
④∵若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b，
∴④的说法错误；
⑤∵多个数相乘法则：几个非零有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数，
∴⑤的说法正确；
⑥∵数轴上到原点的距离为3的点表示的数是3或﹣3，
∴⑥的说法正确，
综上可知：说法正确的有4个，
故选：C．
4．解：∵a﹣c＝3（a﹣b）＝3k，
∴a﹣c＝3k，a﹣b＝k，
∴b﹣c＝2k，
∴，
有最小值﹣1，
故选：B．
5．解：∵a （b×c），
（a b）×cc，
∴A不符合题意；
∵a （b c）＝a ，
（a b） c c，
∴B符合题意；
∵a （b+c），
a b+a c，
∴C不符合题意；
∵a×（b c）＝a，
（a×b） c，
∴D不符合题意．
故选：B．
6．解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y﹣x，
如图1中是周长为40的长方形，可得y+（3x+y）+y+x+y＝20，
解得：x+y＝5，
将A、B、C、D四点在图2中标出，如图所示，
如图，图2中长方形的周长为58，
∴AB+x+y+x+y+2x+y+y﹣x＝29，
∴AB＝29﹣3x﹣4y，
根据平移得，没有覆盖的阴影部分的周长是如图中四边形ABCD的周长，
∴2（AB+AD）
＝2×（29﹣3x﹣4y+x+y+2x+y+y﹣x）
＝2×（29﹣x﹣y）
＝58﹣2（x+y）
＝58﹣2×5
＝48，
故选：B．
7．解：根据题意得：b＜a＜0＜c，|a|＜|c|＜|b|，
∴c＞﹣a故①正确；|b|＞|c|＞|a|，故④正确；
∴a+b＜0，故②错误；abc＞0，故③错误；
所以结论正确的是①④，共2个．
故选：B．
8．解：由题意：﹣a＞0，b＜0，b的绝对值大于﹣a的绝对值．
∵﹣a＞0，
∴a＜0．
∴A选项不正确．
∵b的绝对值大于﹣a的绝对值，b＜0，a＜0，
∴a＞b．
∴B选项不正确．
∵﹣a＞0，b＜0，
∴|a|＝﹣a，|b|＝﹣b．
∴C选项正确．
∵b的绝对值大于﹣a的绝对值，
∴|b|＞|a|．
∴D选项不正确．
故选：C．
9．解：∵每个圆圈上的四个数字的和都等于21，
∴三个大圆圈上的数字之和为：21×3＝63，
∵各小圆圈的数字之和为：1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45，
为什么63≠45，这是因为x、y、x+y都加了两次，
∴x+y+x+y＝63﹣45，
∴2x+2y＝18，
∴x+y＝9，
∵A+B+C＝411，
而各圆圈的数字的平方和为12+22+32+42+52+62+72+82+92＝285，
为什么411≠285呢？
这是因为三角形各顶点处三个圆圈内的数字的平方都加了两次，
∴（x+y）2+x2+y2＝411﹣285＝126，
∴x2+2xy+y2+x2+y2＝156，
∴2（x2+y2+xy）＝126，
∴x2+y2+xy＝63，
∵x+y＝9，
∴（x+y）2＝92，
∴x2+2xy+y2＝81，
∴x2+y2＝81﹣2xy，
将x2+y2＝81﹣2xy代入x2+y2+xy＝63得81﹣2xy+xy＝63，
∴xy＝81﹣63＝18，
∴xy＝18．
故选：D．
10．解：利用等式（n≥3），代入原式得：
＝48（）
＝12×（1）
＝12×[（1）﹣（）]
＝12×（1）
而12×（1）≈25
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．解：（1.5×300﹣415.5）÷（1.5+10）＝3（个）．
故答案为：3．
12．解：，
∴点A所表示的数是1．
故答案为：1．
13．解：∵2x1x2+22，
∴22x1x22＝0，
∴Δ4×2×（2）＝4816＝﹣416≥0，
∴4，
∴当4时，最大，此时x1＝±2，
∴当x1＝2时，代入方程得：4﹣4x2+22，即：2x2+1＝0，
∴，
∴x2﹣1＝0，
∴x2＝1，
∴，
当x1＝﹣2时，代入方程得：4+4x2+22，即：2x2+1＝0，
∴，
∴x2+1＝0，
∴x2＝﹣1，
∴，
综上所述：；
故答案为：3；
14．解：∵x、y满足|x﹣2|+（y+3）2＝0，∴x﹣2＝0，x＝2；y+3＝0，y＝﹣3；则yx＝（﹣3）2＝9．
故答案为：9．
15．解：对于①：
当a＝b＝0时，无意义，
故①错误，不符合题意；
对于②：
∵，
∴ab同号，
∵a+b＜0，
∴a＜0，b＜0，
∴a+3b＜0，
∴|a+3b|＝﹣a﹣3b，
故②正确，符合题意；
对于③：
若|a|＞|b|，
则有四种情况，
1°如数轴所示，
此时a＞b＞0，
∴a+b＞0，a﹣b＞0，
∴（a+b）（a﹣b）＞0；
2°如数轴所示，
此时﹣a＜b＜0＜a，
∴a+b＞0，a﹣b＞0，
∴（a+b）（a﹣b）＞0；
3°如数轴所示，
此时a＜b＜0，
∴a+b＜0，a﹣b＜0，
∴（a+b）（a﹣b）＞0；
4°如数轴所示，
此时a＜0＜b＜﹣a，
∴a+b＜0，a﹣b＜0，
∴（a+b）（a﹣b）＞0；
综上，若|a|＞|b|，则（a+b）（a﹣b）＞0；
故③正确，符合题意；
对于④：
∵a+b+c＜0，
∴a、b、c中至少有一个负数，
∵ab＞0，
∴ab同号，
∵c＞0，
∴a和b均为负数，
∴1+（﹣1）+1＝﹣1，
故④正确，符合题意；
综上，正确的有②③④；
故答案为：②③④．
三．解答题（共7小题）
16．解：（1）原式；
（2）
＝14﹣15+13×60
＝14×60﹣15×60+13×60
＝15﹣12+20
＝23；
（3）
＝﹣22；
（4）
＝36
＝36
＝﹣3．
17．解：（1）1*5＝1×5﹣1﹣52
＝5﹣1﹣25
＝﹣21；
（2）3*（﹣1）＝3×（﹣1）﹣3﹣（﹣1）2
＝﹣3﹣3﹣1
＝﹣7，
（﹣5）*[3*（﹣1）]＝（﹣5）*（﹣7）
＝（﹣5）×（﹣7）﹣（﹣5）﹣（﹣7）2
＝35+5﹣49
＝﹣9．
18．解：（1）跳绳最多的一次为：172+8＝180（个），
答：1分钟最多跳180个；
（2）8﹣（﹣8）＝16（个），
答：1分钟跳绳个数最多的一次比最少的一次多16个；
（3）172×10﹣8×3﹣6×2﹣2×3+2×1+8×2＝1696（个），
答：累计跳绳1696个．
19．解：（1）0.75升＝750立方厘米，
750×15÷25÷30＝15（厘米）；
答：图①中D表示的数是15；
（2）30×15×15＝6750（立方厘米）；
6750立方厘米＝6.75升，
6.75÷（30﹣15）＝0.45（升/秒），
0.75﹣0.45＝0.3（升/秒）．
答：从B洞中每秒钟流出0.3升水；
（3）0.45升/秒＝450立方厘米/秒，
P点表示的数是：
30×（25+15）×（24﹣15）÷450+30＝54（秒）．
Q点表示的数是：
（70﹣54）×450÷[30×（25+15）]+24＝30（厘米）．
答：P表示的数是54，Q表示的数是30．
20．解：200×90%＝180（元），
200元＞198元＞180元，
∴第一次的原价就是198元，没有打折；或者原价是198÷90%＝220元，
∵500×90%＝450（元），466元＞450元，
∴原价500元以内支付450元，打八折后支付466﹣450＝16元，
∴超过500元打八折的原价为：16÷80%＝20（元），
∴第二次的原价为500+20＝520元．
①当原价是198+520＝718（元）时，
打折后的支付：450+（718﹣500）×80%＝624.4（元）．
节省（198+466）﹣624.4＝39.6元．
②当原价是220+520＝740（元）时，
打折后的支付：450+（740﹣500）×80%＝642（元）．
节省（198+466）﹣642＝22元．
答：可节省39.6元或22元．
21．解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，
∴OA＝6，
则OB＝AB﹣OA＝4，
点B在原点左边，
∴数轴上点B所表示的数为﹣4；
点P运动t秒的长度为6t，
∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴P所表示的数为：6﹣6t；
（2）①点P运动t秒时追上点Q，
根据题意得6t＝10+4t，
解得t＝5，
答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；
②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，
当P不超过Q，则10+4a﹣6a＝8，解得a＝1；
当P超过Q，则10+4a+8＝6a，解得a＝9；
答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．
22．解：根据分析，可得
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是：|5﹣2|＝3；
数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是：
|（﹣2）﹣（﹣5）|＝|﹣2+5|＝|3|＝3．（2）①|AB|＝|x﹣（﹣1）|＝|x+1|．
②如果|AB|＝2，
则|x+1|＝2，
x+1＝2或x+1＝﹣2，
解得x＝1或x＝﹣3．
（3）∵代数式|x+1|+|x﹣4|表示数轴上有理数x所对应的点到4和﹣1所对应的两点距离之和，
∴当﹣1≤x≤4时，代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值是：|4﹣（﹣1）|＝5，
即代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值是5，x的取值范围是﹣1≤x≤4．
故答案为：5，﹣1≤x≤4．
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