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湖南省常德市石门县2024－2025学年九年级上学期期中考试数学试卷
1．（2024九上·石门期中）青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积是 2500000 平方千米．将 2500000 用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据题意：2500000=2.5×106．
故答案为：C．
【分析】在实际生活中，许多比较大的数，我们习惯上都用科学记数法表示，使书写、计算简便
2．（2024九上·石门期中）反比例函数 ，下列说法不正确的是（　　）
A．图象经过点(1，－3) B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y=x对称 D．y随x的增大而增大
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、根据反比例函数图象上的点的坐标特点可知：点（1， 3）的坐标满足反比例函数y＝ 3x，故A是正确的，不符合题意；
B、反比例函数的比例系数k＝ 3＜0，根据反比例函数的图象与系数的关系可知：双曲线位于二、四象限，故B是正确的，不符合题意；
C、根据反比例函数的对称性，可知反比例函数 关于y＝x对称，故C是正确的，不符合题意；
D、由反比例函数的性质与系数的关系可知：比例系数k＜0，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D是错误的，符合题意。
故答案为：D。
【分析】根据反比例函数的系数与图象、性质的关系可知：反比例函数的比例系数k＝ 3＜0，双曲线位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积等于一个定值k；反比例函数的图象即是轴对称图形，又是中心对称图形，根据以上叙述即可一一判断得出答案。
3．（2024九上·石门期中）下列为一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．
【解答】解：A、为一元一次方程，所以该选项不符合题意；
B、为一元二次方程，所以该选项符合题意；
C、为分式方程，所以该选项不符合题意；
D、对于，只有当时，它为一元二次方程，所以该选项不符合题意．
故选：B．
【分析】根据一元二次方程的定义“形如的方程叫一元二次方程”逐一判断即可．
4．（2024九上·石门期中）若两个相似五边形的相似比为，则它们的面积比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】两个相似五边形的相似比为，
它们的面积比为，
故选：C．
【分析】
相似多边形的面积比等于相似比的平方．
5．（2024九上·石门期中）下列命题中，假命题的是（　　）
A．分别有一个角是的两个等腰三角形相似
B．如果两个三角形相似，则他们的面积比等于相似比
C．若，则
D．有一个角相等的两个菱形相似
【答案】B
【知识点】比例的性质；相似多边形；真命题与假命题
【解析】【解答】解：分别有一个角是的两个等腰三角形相似，正确，故A是真命题；
如果两个三角形相似，则他们的面积比等于相似比的平方，故B是假命题；
若，则，正确，故C是真命题；
有一个角相等的两个菱形相似，正确，故D是真命题．
故选：B．
【分析】分别根据相似三角形的判定定理、相似三角形的性质及菱形的性质对各选项进行逐一判断即可．
6．（2024九上·石门期中）如图，与位似，点O是它们的位似中心，且它们的周长比为，则与的面积之比是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与位似，且它们的周长比为，
∴，，
∴与的面积之比：，
即与的面积之比是，
故选：C．
【分析】
先由位似三角形的性质可得且周长比等于相似比，则可利用平行线的性质证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
7．（2024九上·石门期中）如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点D，且，则k的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作x轴的垂线段DE.
四边形OABC是矩形
故选：D．
【分析】
由反比例函数k的几何意义知，过点D作x轴的垂线段DE，则，此时可由结合矩形的性质证明，则由面积比等于相似比的平方即可．
8．（2024九上·石门期中）某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率．若设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为，
则可列方程为，
故选：D．
【分析】设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为，根据“ 某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元 ”利用增长率公式列出方程即可；
9．（2024九上·石门期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，连接，将绕点逆时针旋转到，此时点恰好落在反比例函数的图象上，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点作轴于点，过点作于点，
∴，
∵点的坐标为，连接，将绕点逆时针旋转到，
∴，，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵点在反比例函数的图像上，
∴．
故选：D．
【分析】
求反比例系数k的值即求点B的坐标，由于，可过点作轴于点，过点作于点，再利用一线三垂直全等模型证明，从而利用全等的性质求出点B的坐标即可．
10．（2024九上·石门期中）如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，，，
，
四边形是平行四边形，
，，
最短也就是最短，
过作的垂线，
，，
，
，
，
，
则的最小值为，
故选：A
【分析】
由于平行四边形的对角线互相平分，则求PQ的最小值实质是求PO的最小值，因为点O是定点，显然当PO垂直BC时最小，此时可利用AA证明，再利用勾股定理结合相似比求出PO即可．
11．（2024九上·石门期中）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥﹣1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
故答案为：x≥﹣1．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，再解不等式即可．
12．（2024九上·石门期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得，
解得：，
故答案为：．
【分析】
对于一元二次方程，其根的判别式，当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
13．（2024九上·石门期中）如图，若，，，，则长为　 　．
【答案】2
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】∵，
∴．
∵，
∴，
解得．
故答案为：2．
【分析】
直接应用平行线分线段成比例定理即可．
14．（2024九上·石门期中）同一坐标系下双曲线y=-与直线y=kx一个交点为坐标为(3，-1)，则它们另一个交点为坐标为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数图象的对称性
【解析】【解答】解：∵同一坐标系下双曲线y=-与直线y=kx一个交点为坐标为(3，-1)，
∴另一交点的坐标是（-3，1）．
故答案是：（-3，1）．
【分析】
由于反比例函数和正比例函数的图象都是中心对称图形，则其两个交点一定关于原点对称．
15．（2024九上·石门期中）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，OC＝5，则＝　 　．
【答案】
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵以点为位似中心，放大后得到，
与相似，
，
∵ OA＝2，OC＝5，
．
故答案为：．
【分析】根据位似的性质列出比例式求解．位似的性质：位似图形的对应线段的比等于相似比．
16．（2024九上·石门期中）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有个人患了新冠，经过两轮传染后共有个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染人，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：由题意可得，，
解得，（不符合题意，舍去），
故答案为：．
【分析】
第一轮传播后共有人感染，第二轮每又产生人，则两轮共感染人．
17．（2024九上·石门期中）是方程的两根，则的值是　 　．
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的两根，
∴m+n=-3，mn=-2023，m2+3m-2023=0，
∴
=
=2023-2023-3
=-3.
故答案为：-3.
【分析】根据根与系数的关系和方程的根的定义可得m+n=-3，mn=-2023，m2+3m-2023=0，代入即可求解.
18．（2024九上·石门期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，在轴正半轴上，四边形为平行四边形，反比例函数的图象经过点与边相交于点，若，，则　 　．
【答案】36
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，连接AD，OD．
∵CD＝2BD，
∴，
∵DE∥BF，
∴，
设DE＝2a，则BF＝3a，则D（，2a），A（，3a），
∵S△ABC＝15，CD＝2BD，
∴S△ABC：S△ADC＝BC：CD=3：2，
∴15：S△ADC=3：2，
∴S△ADC＝10，
∵OA∥BC，
∴S△ODC＝S△ADC＝10，
∴ OC DE＝10，
∴OC＝，
∴AB＝OC＝，
∴B（＋，3a），
∴CE＝ ，CF＝＋ ＝，
∴（ ）：＝2：3，
解得k＝36，
故答案为36．
【分析】先由DE∥BF，推出，再设DE＝2a，则BF＝3a，用a，k分别表示出A，D的坐标，再构建方程求解．
19．（2024九上·石门期中）解方程（用配方法解一元二次方程）：．
【答案】解：，
移项得：，
两边同时加上42，得：，
即，
开平方得：或，
解得：，．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用配方法解一元二次方程．先将常数项移到右边，再在两边加上一次项系数一半的平方，开方即可求解．
20．（2024九上·石门期中）已知实数a，b是方程 的两根，求 的值．
【答案】解：∵实数a，b是方程的两根，
∴，，
∴
=
=
=﹣3．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；异分母分式的加、减法
【解析】【分析】先根据根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式变形，然后利用整体代入求值．
21．（2024九上·石门期中）先化简再求值：，其中x满足x2＋x﹣6＝0．
【答案】解：原式＝
＝
＝
＝，
∵ x2＋x﹣6＝0，
∴，
∴x+3=0或x-2=0，
解得或－3，
∵，
∴－3，
∴原式＝．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先通过分式的混合运算法则进行化简，再将一元二次方程的根代入计算即可求解.
22．（2024九上·石门期中）如图，在中，D为上一点，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：，
；
（2）解：，
．
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）直接利用AA证明即可；
（2）由相似比可得，再代值计算求出即可．
（1）证明：，
；
（2）解：，
．
，
，
，
．
23．（2024九上·石门期中）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（单位：微克/毫升）与服药时间x（单位：h）之间函数关系如图所示，
（1）求y与x之间的函数表达式．
（2）血液中药物浓度不低于4微克/毫升的时候对人体是有效的，服药后对人体的有效时间是多少？
【答案】（1）解：当时，函数为正比例函数，设：，∵函数经过点，
∴，即，
∴当时，；
当时，函数为反比例函数，设：，
∵函数经过点，
∴，即，
∴当时，，
∴；
（2）解：当药物浓度为4微克/毫升时，即时，由，得，
由，得，
∴根据图象可以判断出：当时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升，
∴持续时间为．
【知识点】分段函数；反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法分别求出正比例和反比例函数的解析式即可；
（2）由题意分别计算时两个函数中的自变量的值即可．
（1）当时，函数为正比例函数，设：，
∵函数经过点，
∴，即，
∴当时，；
当时，函数为反比例函数，设：，
∵函数经过点，
∴，即，
∴当时，，
∴；
（2）当药物浓度为4微克/毫升时，即时，
由，得，
由，得，
∴根据图象可以判断出：当时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升，
∴持续时间为．
24．（2024九上·石门期中）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价x（元/千克） 55 60 65 70
销售量y（千克） 70 60 50 40
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】解：（1）设y与x之间的函数表达式为（），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：，
解得：，
∴y与x之间的函数表达式为；
（2）由题意得：，
整理得，
解得，
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克；
（3）设当天的销售利润为w元，则：
，
∵﹣2＜0，
∴当时，w最大值=800．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）由“总利润＝单个利润销售额”可列关于售价x的一元二次方程并求解即可；
（3）由（2）知总利润w是售价x的二次函数，由于二次项系数为负，则w有最大值，再利用二次函数的性质求解即可．
25．（2024九上·石门期中）如图，在中，，，，动点以2cm/s的速度从向移动，（不与B重合），动点以4cm/s的速度从向移动，（不与C重合），若、同时出发，设运动时间为t秒．
（1）求当时，t的值；
（2）经过几秒后，与相似？
【答案】（1）解：由题可得：，∴，
∵，
∴，
解得，
∴当t的值为秒时，；
（2）解：设秒后与相似，则，，，
，
当时，∽，
即，
解得；
当时，∽，
即，
解得，
即经过秒或秒后，与相似．
故答案为：或．
【知识点】三角形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）先分别表示出t秒时、的长度，再利用三角形的面积公式结合已知可得关于t的一元二次方程并求解即可；
（2）可分两种情况：①当时，②当时，再分别利用相似比求解即可．
（1）解：由题可得：，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴当t的值为秒时，；
（2）解：设秒后与相似，则，，，
，
当时，∽，
即，
解得；
当时，∽，
即，
解得，
即经过秒或秒后，与相似．
故答案为：或．
26．（2024九上·石门期中）定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数与正比例函数相交于整点A，与一次函数相交于整点B、C，正比例函数与一次函数相交于点D，线段与线段上的整点个数之比记作．
（1）当时，求D点的坐标和m值．
（2）当线段BC上的整点个数为7，时，求t的值．
（3）当时，请直接写出t与m之间的关系式．
【答案】（1）解： 当时，，
由，
解得：，
，
点为整点，且点的横坐标是小于2的正整数，
点的横坐标为1，
，
把代入，得，
解得：，
，
联立得，解得：，，
，
由，解得：，
，，
线段上整点有1个：，线段上整点有4个：，，，．
；
（2）解：线段上的整点个数为7，，必为整点，
为偶数，
，
，，
，
线段上有3个整点，
，，
，
，
解得：；
（3）解：当时，线段AD上整点个数为2，即A、D两点，
∴线段BC上整点个数为2m，由对称可知，BD上整点个数为，
设D（d，d），则，
又∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，线段AD上只有一个整点A，
∴线段BC上整点个数为m，
由对称BD上整点个数为，设A（a，a），则B，
∴，
∴，
∴，即；
综上，当时，；当时，
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）联立方程组求解可得，根据点为整点，可得，代入，求得，与联立，可求得，再通过联立求解可得，，即可得出答案；
（2）根据题意可得，必为整点，即为偶数，由，可得，，进而推出，，建立方程求解即可得出答案；
（3）当时，线段上有2个整点：设D（d，d），，
，进而得出，建立方程求解即可求得；当时，线段上只有1个整点，设，则线段上有个整点，线段上有个整点，得出，，可推出，再把点的坐标代入，即可得出．
（1），
，
由，解得：，
，
点为整点，且点的横坐标是小于2的正整数，
点的横坐标为1，
，
把代入，得，
解得：，
，
联立得，解得：，，
，
由，解得：，
，，
线段上整点有1个：，线段上整点有4个：，，，．
；
（2）线段上的整点个数为7，，必为整点，
为偶数，
，
，，
，
线段上有3个整点，
，，
，
，
解得：；
（3）当时，线段AD上整点个数为2，即A、D两点，
∴线段BC上整点个数为2m，由对称可知，BD上整点个数为，
设D（d，d），则，
又∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，线段AD上只有一个整点A，
∴线段BC上整点个数为m，
由对称BD上整点个数为，设A（a，a），则B，
∴，
∴，
∴，即；
综上，当时，；当时，
1 / 1湖南省常德市石门县2024－2025学年九年级上学期期中考试数学试卷
1．（2024九上·石门期中）青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积是 2500000 平方千米．将 2500000 用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·石门期中）反比例函数 ，下列说法不正确的是（　　）
A．图象经过点(1，－3) B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y=x对称 D．y随x的增大而增大
3．（2024九上·石门期中）下列为一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九上·石门期中）若两个相似五边形的相似比为，则它们的面积比为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·石门期中）下列命题中，假命题的是（　　）
A．分别有一个角是的两个等腰三角形相似
B．如果两个三角形相似，则他们的面积比等于相似比
C．若，则
D．有一个角相等的两个菱形相似
6．（2024九上·石门期中）如图，与位似，点O是它们的位似中心，且它们的周长比为，则与的面积之比是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九上·石门期中）如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点D，且，则k的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2024九上·石门期中）某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率．若设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024九上·石门期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，连接，将绕点逆时针旋转到，此时点恰好落在反比例函数的图象上，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九上·石门期中）如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024九上·石门期中）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2024九上·石门期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　．
13．（2024九上·石门期中）如图，若，，，，则长为　 　．
14．（2024九上·石门期中）同一坐标系下双曲线y=-与直线y=kx一个交点为坐标为(3，-1)，则它们另一个交点为坐标为　 　．
15．（2024九上·石门期中）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，OC＝5，则＝　 　．
16．（2024九上·石门期中）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有个人患了新冠，经过两轮传染后共有个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染人，则的值为　 　．
17．（2024九上·石门期中）是方程的两根，则的值是　 　．
18．（2024九上·石门期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，在轴正半轴上，四边形为平行四边形，反比例函数的图象经过点与边相交于点，若，，则　 　．
19．（2024九上·石门期中）解方程（用配方法解一元二次方程）：．
20．（2024九上·石门期中）已知实数a，b是方程 的两根，求 的值．
21．（2024九上·石门期中）先化简再求值：，其中x满足x2＋x﹣6＝0．
22．（2024九上·石门期中）如图，在中，D为上一点，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
23．（2024九上·石门期中）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（单位：微克/毫升）与服药时间x（单位：h）之间函数关系如图所示，
（1）求y与x之间的函数表达式．
（2）血液中药物浓度不低于4微克/毫升的时候对人体是有效的，服药后对人体的有效时间是多少？
24．（2024九上·石门期中）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价x（元/千克） 55 60 65 70
销售量y（千克） 70 60 50 40
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
25．（2024九上·石门期中）如图，在中，，，，动点以2cm/s的速度从向移动，（不与B重合），动点以4cm/s的速度从向移动，（不与C重合），若、同时出发，设运动时间为t秒．
（1）求当时，t的值；
（2）经过几秒后，与相似？
26．（2024九上·石门期中）定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数与正比例函数相交于整点A，与一次函数相交于整点B、C，正比例函数与一次函数相交于点D，线段与线段上的整点个数之比记作．
（1）当时，求D点的坐标和m值．
（2）当线段BC上的整点个数为7，时，求t的值．
（3）当时，请直接写出t与m之间的关系式．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据题意：2500000=2.5×106．
故答案为：C．
【分析】在实际生活中，许多比较大的数，我们习惯上都用科学记数法表示，使书写、计算简便
2．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、根据反比例函数图象上的点的坐标特点可知：点（1， 3）的坐标满足反比例函数y＝ 3x，故A是正确的，不符合题意；
B、反比例函数的比例系数k＝ 3＜0，根据反比例函数的图象与系数的关系可知：双曲线位于二、四象限，故B是正确的，不符合题意；
C、根据反比例函数的对称性，可知反比例函数 关于y＝x对称，故C是正确的，不符合题意；
D、由反比例函数的性质与系数的关系可知：比例系数k＜0，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D是错误的，符合题意。
故答案为：D。
【分析】根据反比例函数的系数与图象、性质的关系可知：反比例函数的比例系数k＝ 3＜0，双曲线位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积等于一个定值k；反比例函数的图象即是轴对称图形，又是中心对称图形，根据以上叙述即可一一判断得出答案。
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．
【解答】解：A、为一元一次方程，所以该选项不符合题意；
B、为一元二次方程，所以该选项符合题意；
C、为分式方程，所以该选项不符合题意；
D、对于，只有当时，它为一元二次方程，所以该选项不符合题意．
故选：B．
【分析】根据一元二次方程的定义“形如的方程叫一元二次方程”逐一判断即可．
4．【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】两个相似五边形的相似比为，
它们的面积比为，
故选：C．
【分析】
相似多边形的面积比等于相似比的平方．
5．【答案】B
【知识点】比例的性质；相似多边形；真命题与假命题
【解析】【解答】解：分别有一个角是的两个等腰三角形相似，正确，故A是真命题；
如果两个三角形相似，则他们的面积比等于相似比的平方，故B是假命题；
若，则，正确，故C是真命题；
有一个角相等的两个菱形相似，正确，故D是真命题．
故选：B．
【分析】分别根据相似三角形的判定定理、相似三角形的性质及菱形的性质对各选项进行逐一判断即可．
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与位似，且它们的周长比为，
∴，，
∴与的面积之比：，
即与的面积之比是，
故选：C．
【分析】
先由位似三角形的性质可得且周长比等于相似比，则可利用平行线的性质证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
7．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作x轴的垂线段DE.
四边形OABC是矩形
故选：D．
【分析】
由反比例函数k的几何意义知，过点D作x轴的垂线段DE，则，此时可由结合矩形的性质证明，则由面积比等于相似比的平方即可．
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为，
则可列方程为，
故选：D．
【分析】设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为，根据“ 某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元 ”利用增长率公式列出方程即可；
9．【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点作轴于点，过点作于点，
∴，
∵点的坐标为，连接，将绕点逆时针旋转到，
∴，，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵点在反比例函数的图像上，
∴．
故选：D．
【分析】
求反比例系数k的值即求点B的坐标，由于，可过点作轴于点，过点作于点，再利用一线三垂直全等模型证明，从而利用全等的性质求出点B的坐标即可．
10．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，，，
，
四边形是平行四边形，
，，
最短也就是最短，
过作的垂线，
，，
，
，
，
，
则的最小值为，
故选：A
【分析】
由于平行四边形的对角线互相平分，则求PQ的最小值实质是求PO的最小值，因为点O是定点，显然当PO垂直BC时最小，此时可利用AA证明，再利用勾股定理结合相似比求出PO即可．
11．【答案】x≥﹣1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
故答案为：x≥﹣1．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，再解不等式即可．
12．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得，
解得：，
故答案为：．
【分析】
对于一元二次方程，其根的判别式，当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
13．【答案】2
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】∵，
∴．
∵，
∴，
解得．
故答案为：2．
【分析】
直接应用平行线分线段成比例定理即可．
14．【答案】
【知识点】反比例函数图象的对称性
【解析】【解答】解：∵同一坐标系下双曲线y=-与直线y=kx一个交点为坐标为(3，-1)，
∴另一交点的坐标是（-3，1）．
故答案是：（-3，1）．
【分析】
由于反比例函数和正比例函数的图象都是中心对称图形，则其两个交点一定关于原点对称．
15．【答案】
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵以点为位似中心，放大后得到，
与相似，
，
∵ OA＝2，OC＝5，
．
故答案为：．
【分析】根据位似的性质列出比例式求解．位似的性质：位似图形的对应线段的比等于相似比．
16．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：由题意可得，，
解得，（不符合题意，舍去），
故答案为：．
【分析】
第一轮传播后共有人感染，第二轮每又产生人，则两轮共感染人．
17．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的两根，
∴m+n=-3，mn=-2023，m2+3m-2023=0，
∴
=
=2023-2023-3
=-3.
故答案为：-3.
【分析】根据根与系数的关系和方程的根的定义可得m+n=-3，mn=-2023，m2+3m-2023=0，代入即可求解.
18．【答案】36
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，连接AD，OD．
∵CD＝2BD，
∴，
∵DE∥BF，
∴，
设DE＝2a，则BF＝3a，则D（，2a），A（，3a），
∵S△ABC＝15，CD＝2BD，
∴S△ABC：S△ADC＝BC：CD=3：2，
∴15：S△ADC=3：2，
∴S△ADC＝10，
∵OA∥BC，
∴S△ODC＝S△ADC＝10，
∴ OC DE＝10，
∴OC＝，
∴AB＝OC＝，
∴B（＋，3a），
∴CE＝ ，CF＝＋ ＝，
∴（ ）：＝2：3，
解得k＝36，
故答案为36．
【分析】先由DE∥BF，推出，再设DE＝2a，则BF＝3a，用a，k分别表示出A，D的坐标，再构建方程求解．
19．【答案】解：，
移项得：，
两边同时加上42，得：，
即，
开平方得：或，
解得：，．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用配方法解一元二次方程．先将常数项移到右边，再在两边加上一次项系数一半的平方，开方即可求解．
20．【答案】解：∵实数a，b是方程的两根，
∴，，
∴
=
=
=﹣3．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；异分母分式的加、减法
【解析】【分析】先根据根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式变形，然后利用整体代入求值．
21．【答案】解：原式＝
＝
＝
＝，
∵ x2＋x﹣6＝0，
∴，
∴x+3=0或x-2=0，
解得或－3，
∵，
∴－3，
∴原式＝．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先通过分式的混合运算法则进行化简，再将一元二次方程的根代入计算即可求解.
22．【答案】（1）证明：，
；
（2）解：，
．
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）直接利用AA证明即可；
（2）由相似比可得，再代值计算求出即可．
（1）证明：，
；
（2）解：，
．
，
，
，
．
23．【答案】（1）解：当时，函数为正比例函数，设：，∵函数经过点，
∴，即，
∴当时，；
当时，函数为反比例函数，设：，
∵函数经过点，
∴，即，
∴当时，，
∴；
（2）解：当药物浓度为4微克/毫升时，即时，由，得，
由，得，
∴根据图象可以判断出：当时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升，
∴持续时间为．
【知识点】分段函数；反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法分别求出正比例和反比例函数的解析式即可；
（2）由题意分别计算时两个函数中的自变量的值即可．
（1）当时，函数为正比例函数，设：，
∵函数经过点，
∴，即，
∴当时，；
当时，函数为反比例函数，设：，
∵函数经过点，
∴，即，
∴当时，，
∴；
（2）当药物浓度为4微克/毫升时，即时，
由，得，
由，得，
∴根据图象可以判断出：当时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升，
∴持续时间为．
24．【答案】解：（1）设y与x之间的函数表达式为（），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：，
解得：，
∴y与x之间的函数表达式为；
（2）由题意得：，
整理得，
解得，
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克；
（3）设当天的销售利润为w元，则：
，
∵﹣2＜0，
∴当时，w最大值=800．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）由“总利润＝单个利润销售额”可列关于售价x的一元二次方程并求解即可；
（3）由（2）知总利润w是售价x的二次函数，由于二次项系数为负，则w有最大值，再利用二次函数的性质求解即可．
25．【答案】（1）解：由题可得：，∴，
∵，
∴，
解得，
∴当t的值为秒时，；
（2）解：设秒后与相似，则，，，
，
当时，∽，
即，
解得；
当时，∽，
即，
解得，
即经过秒或秒后，与相似．
故答案为：或．
【知识点】三角形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）先分别表示出t秒时、的长度，再利用三角形的面积公式结合已知可得关于t的一元二次方程并求解即可；
（2）可分两种情况：①当时，②当时，再分别利用相似比求解即可．
（1）解：由题可得：，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴当t的值为秒时，；
（2）解：设秒后与相似，则，，，
，
当时，∽，
即，
解得；
当时，∽，
即，
解得，
即经过秒或秒后，与相似．
故答案为：或．
26．【答案】（1）解： 当时，，
由，
解得：，
，
点为整点，且点的横坐标是小于2的正整数，
点的横坐标为1，
，
把代入，得，
解得：，
，
联立得，解得：，，
，
由，解得：，
，，
线段上整点有1个：，线段上整点有4个：，，，．
；
（2）解：线段上的整点个数为7，，必为整点，
为偶数，
，
，，
，
线段上有3个整点，
，，
，
，
解得：；
（3）解：当时，线段AD上整点个数为2，即A、D两点，
∴线段BC上整点个数为2m，由对称可知，BD上整点个数为，
设D（d，d），则，
又∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，线段AD上只有一个整点A，
∴线段BC上整点个数为m，
由对称BD上整点个数为，设A（a，a），则B，
∴，
∴，
∴，即；
综上，当时，；当时，
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）联立方程组求解可得，根据点为整点，可得，代入，求得，与联立，可求得，再通过联立求解可得，，即可得出答案；
（2）根据题意可得，必为整点，即为偶数，由，可得，，进而推出，，建立方程求解即可得出答案；
（3）当时，线段上有2个整点：设D（d，d），，
，进而得出，建立方程求解即可求得；当时，线段上只有1个整点，设，则线段上有个整点，线段上有个整点，得出，，可推出，再把点的坐标代入，即可得出．
（1），
，
由，解得：，
，
点为整点，且点的横坐标是小于2的正整数，
点的横坐标为1，
，
把代入，得，
解得：，
，
联立得，解得：，，
，
由，解得：，
，，
线段上整点有1个：，线段上整点有4个：，，，．
；
（2）线段上的整点个数为7，，必为整点，
为偶数，
，
，，
，
线段上有3个整点，
，，
，
，
解得：；
（3）当时，线段AD上整点个数为2，即A、D两点，
∴线段BC上整点个数为2m，由对称可知，BD上整点个数为，
设D（d，d），则，
又∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，线段AD上只有一个整点A，
∴线段BC上整点个数为m，
由对称BD上整点个数为，设A（a，a），则B，
∴，
∴，
∴，即；
综上，当时，；当时，
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