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湖南省郴州市桂阳县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题
1．（2024九上·桂阳期中）一元二次方程的二次项系数为2，则一次项系数是（　　）
A．1 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一元二次方程的二次项系数为2，一次项系数是，常数项是1．
故选：C．
【分析】根据一元二次方程的一般形式求解．一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
2．（2024九上·桂阳期中）下列函数中，表示是的反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解： 表示是的正比例函数，故A不符合；
表示是的反比例函数，故B符合；
表示是的正比例函数，故C不符合；
表示是的一次函数，故D不符合．
故选：B．
【分析】根据反比例函数的定义，对四个函数逐一分析，再作判断．反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．
3．（2024九上·桂阳期中）已知a、b、c、d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵a，b，c，d是成比例的线段，
∴．
∵，
∴，解得：．
故选：D．
【分析】根据成比例线段的定义列出比例式，得到关于d的方程求解．
4．（2024九上·桂阳期中）希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，这个数我们把它叫做黄金分割数，若介于整数和之间，则的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】无理数的估值；黄金分割
【解析】【解答】解：，
，
，
．
故选：B．
【分析】
由于，则．
5．（2024九上·桂阳期中）若是某个一元二次方程的根，则这个方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的根为，
∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根，
∴，，
∴ 这个方程是．
故选：C．
【分析】根据一元二次方程求根公式，得出一元二次方程的字母系数即可求解．
6．（2024九上·桂阳期中）已知反比例函数，则下列结论正确的是（　　）
A．点在它的图象上
B．其图象分别位于第一、三象限
C．y随x的增大而增大
D．如果点在它的图象上，则点也在它的图象上
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数，
∴点不在它的图象上，故A项不符合题意，
∵
∴图象分别位于第二、四象限，故B项不符合题意，
∴函数在时，即和时，y随x的增大而增大，故C项不符合题意，
∵如果点在它的图象上，即，
∴点也在它的图象上，故D选项符合题意，
故选：D．
【分析】
对于反比例函数，当时，双曲线的两个分支分别在二、四象限，且在每一个分支内，y都随x的增大而增大；反之，图象的两个分支分别在一、三象限，且在每一个分支内，y都随x的增大而减小.
7．（2024九上·桂阳期中）有一名初中生，前两年学习不够努力．进入初三后，在老师和同学的帮助下，逐渐意识到学习的重要性和紧迫性，勤奋苦读，成绩突飞猛进．已知他初二下学期期末考试数学成绩为73分，初三第一次和第二次测试成绩均进步明显，第二次成绩为118分．假定两次增长率相同，设每次平均增长率为，可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每次平均增长率为x，根据题意得，
，
故选：C．
【分析】设每次平均增长率为x，根据" 他初二下学期期末考试数学成绩为73分，初三第一次和第二次测试成绩均进步明显，第二次成绩为118分 "列出一元二次方程即可．
8．（2024九上·桂阳期中）如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故答案为：B．
【分析】根据网格的特点及勾股定理求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理“三边对应成比例的三角形相似”即可求解．
9．（2024九上·桂阳期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像交于、两点．若，则的取值范围是（　　）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图像可知，当或时，反比例函数图象都在一次函数图象下方，
∴若，则的取值范围是或．
故选：B．
【分析】
观察图象直接寻找双曲线在直线下方时对应的自变量x的取值范围，由于双曲线有两个分支，所以要逐象限讨论．
10．（2024九上·桂阳期中）如图，小明探究课本“综合与实践”版块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，当测试距离为时，最大的“”字高度为（　　）mm
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】，且
∴
∴
∴
故选：C．
【分析】
直接利用AA可证明，再利用相似比计算即可．
11．（2024九上·桂阳期中）将一元二次方程配方为的形式为　 　．
【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】
若一元二次方程的二次项系数为1，则配方时先把常数项移到等号的右边，再给两边同时加上一次项系数一半的平方，从而化左边为一个完全平方式，右边为一个常数．
12．（2024九上·桂阳期中）在函数中，自变量的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵ 函数有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据分母不等于零，列出不等式求解，求得函数自变量的取值范围．
13．（2024九上·桂阳期中）如图，ABCD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BE的长为　 　．
【答案】
【知识点】8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：
，
，
，
∵ AE＝1，EC＝2，DE＝3 ，
∴ ，
，
故答案为：．
【分析】根据根据三角形的判定的预备定理，得出相似三角形，再列出比例式即可求解．
14．（2024九上·桂阳期中）一元二次方程方程的根的判别式的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
对于一元二次方程，其根的判别式．
15．（2024九上·桂阳期中）如图，在中，是斜边上的高，若，，则　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在中，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
解得．
故答案为：．
【分析】首先在Rt△ACD中，利用勾股定理计算出AC；由直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠A=∠BCD，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形对应边成比例建立方程得出答案．
16．（2024九上·桂阳期中）点在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离相等，则m的值是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离相等，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由第四象限的点，横坐标为正数，纵坐标为负数可得m＜0，由一个点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值，结合题意列出关于m的含绝对值符号的方程，再解此方程即可.
17．（2024九上·桂阳期中）方程的解是，，现在给出另一个方程，它的解是　 　．
【答案】或
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设，
则方程可以化为，
∵方程的解是，，
∴方程的解是，，
∴或，
解得：或，
故答案为：或，
【分析】设，则方程可以化为，根据题意可得关于t方程求解，再转化为关于x的方程求解．
18．（2024九上·桂阳期中）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A，B，C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成下列三个步骤：
第一步，A同学拿出三张扑克牌给B同学；
第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；
第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学，
请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为　 　．
【答案】
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【解答】设每个同学的扑克牌的数量都是 ；
第一步，A同学的扑克牌的数量是 ，B同学的扑克牌的数量是 ；
第二步，B同学的扑克牌的数量是 ，C同学的扑克牌的数量是 ；
第三步，A同学的扑克牌的数量是2（ ），B同学的扑克牌的数量是 （ ）；
∴B同学手中剩余的扑克牌的数量是： （ ） ．
故答案为： ．
【分析】设每个同学的扑克牌的数量都是 ，根据题意列出算式解答即可。
19．（2024九上·桂阳期中）用适当方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵
∴
∴或
∴；
（2）解：∵
∴
∴
∴或
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）整理后用因式分解法求解即可．
（1）解：∵
∴
∴或
∴；
（2）解：∵
∴
∴
∴或
∴．
20．（2024九上·桂阳期中）小明制作了一张边长为厘米的正方形贺卡想送给朋友，现有一个面积为平方厘米的长方形信封如图所示，信封长和宽的比为．
（1）求此长方形信封的长和宽；
（2）小明能否将这张贺卡不折叠就放入此信封？请通过计算说明理由．
【答案】（1）解：设信封的长和宽分别为，
由题意得：，
解得：（舍负），
∴，
即：此长方形信封的长为厘米，宽为厘米；
（2）解：∵124＞100，
∴，即，
∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封.
【知识点】实数的大小比较；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设信封的长和宽分别为，由长方形面积公式建立方程，求解得出符合题意的x的值，从而可得长方形信封的长和宽 ；
（2）用估算无理数大小的方法比较信封的宽与贺卡的边长即可判断.
（1）解：设信封的长和宽分别为，
由题意得：，
解得：（舍负），
∴，
即：此长方形信封的长为厘米，宽为厘米
（2）解：∵，
∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封
21．（2024九上·桂阳期中）如图，、交于点E，，且平分．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．解得：．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先证明，再结合可证得；
（2）根据，得到，结合，代入解答即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
解得．
22．（2024九上·桂阳期中）如图所示，图中的小方格都是边长为的正方形，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心，并直接写出与的相似比；
（2）以位似中心为旋转中心，把按顺时针方向旋转得到，画出．
【答案】（1）解：图中点为所求；与的相似比等于；
（2）解：如图所示：为所求．
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）先通过连线，补全位似图形，再得出与的相似比为；
（2）分别将点、、绕点O顺时针旋转得到点，然后顺次连接即可．
（1）图中点为所求；与的位似比等于；
（2）如图所示：为所求．
23．（2024九上·桂阳期中）阅读与理解：
（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答
解：①竖分二次项与常数项：，．
②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）；
③横向写出两因式：．
我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法．
（2）例：解方程．
解：，
或，
，；
请用上述方法解答下列问题．
（3）①因式分解：______；
②解方程：；
③已知，求的值．
【答案】解：（3）①；
②∵，
∴，
∴或，
∴；
③∵，
∴，
∴或，
∴或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（3）①．
故答案为：；
【分析】（3）①利用十字相乘法分解即可；
②利用十字相乘法因式分解因式求解即可；
③利用十字相乘法因式分解因式得，进而可求出的值．
24．（2024九上·桂阳期中）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如下表：
课题 测量河流宽度
工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 观测者从点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走一定的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上．
测量示意图
（1）第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度．
（2）第二小组测得米，则______米．
（3）第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．
【答案】（1）
（2）30
（3）解：可行，理由如下：
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴只要测得就能得到河宽，
∴第三小组的方案可行．
【知识点】等腰三角形的判定；相似三角形的实际应用；方位角
【解析】【解答】解：（1）∵点C恰好在点A东南方向，
∴为等腰直角三角形，
∴要知道河宽，只需要知道线段的长度，
故答案为：；
（2）∵，
∴ ，
∴，
∴米，
故答案为：30米；
【分析】（1）由题意得为等腰直角三角形，即可解答；
（2）由题意得为等腰三角形，即可解答；
（3）由题意得，即可解答．
（1）解：∵点C恰好在点A东南方向，
∴为等腰直角三角形，
∴要知道河宽，只需要知道线段的长度，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴ ，
∴，
∴米，
故答案为：30米；
（3）解：可行，理由如下：
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴只要测得就能得到河宽，
故第三小组的方案可行．
25．（2024九上·桂阳期中）如图，已知等边 的边长为8，点D、P、E分别在边上，，E为中点，当与相似时，求的值．
【答案】解：设，
∵等边的边长为8，
∴，
∵E为中点，
∴，
①和是对应边时，，
∴，
即，
整理得，，
解得，，
即的长为2或6，
②和是对应边时，，
∴，
即，
解得，
即，
综上所述，的值是2或6或．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】分类讨论：①和是对应边时，；②和是对应边时，，再分别利用相似三角形的性质列出算式和方程求解即可.
26．（2024九上·桂阳期中）综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的顶点在轴的正半轴上，直线是由轴绕点逆时针旋转得到的．如图2，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为，在旋转过程中，交直线于点交轴于点．
（1）当旋转角为多少度时，（直接写出结果，不要求写解答过程）；
（2）若点的横坐标为，求的长；
（3）若点的横坐标为，点的纵坐标为，请判断与的数量关系及的取值范围，并写出解答过程．
【答案】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
当时，，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴；
∴当旋转角为时，；
（2）解：过点作轴于点，如图，
∵点的横坐标为，
∴，
∵在中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，解得：，
当点F与点C重合时，，即；
当点F与点B重合时，，
∵旋转角为，
∴，
∴与的数量关系是，的取值范围是．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；坐标与图形变化﹣旋转；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先利用HL证明，再根据全等三角形的性质得出，进而求解；
（2）先利用勾股定理求出AG，再证明，根据相似三角形的性质列出比例式，进而求得FC，即可得解；
（3）先，得出，再分点C、B与点F重合两种情况，分别求得，然后利用旋转角为可得出的取值范围，从而解决问题．
（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
当时，
在和中，
，
∴，
∴，
∵直线是由轴绕点逆时针旋转得到的，
∴，
∴，
∴；
∴当旋转角为时，；
（2）解：过点作轴于点，如图，
∵点的横坐标为，
∴，
在中，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴
∴；
（3）解：由（2）知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
当点F与点C重合时，，即；
当点F与点B重合时，，
∵旋转角为，
∴，
∴与的数量关系是，的取值范围是．
1 / 1湖南省郴州市桂阳县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题
1．（2024九上·桂阳期中）一元二次方程的二次项系数为2，则一次项系数是（　　）
A．1 B．4 C． D．
2．（2024九上·桂阳期中）下列函数中，表示是的反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九上·桂阳期中）已知a、b、c、d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九上·桂阳期中）希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，这个数我们把它叫做黄金分割数，若介于整数和之间，则的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2024九上·桂阳期中）若是某个一元二次方程的根，则这个方程是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九上·桂阳期中）已知反比例函数，则下列结论正确的是（　　）
A．点在它的图象上
B．其图象分别位于第一、三象限
C．y随x的增大而增大
D．如果点在它的图象上，则点也在它的图象上
7．（2024九上·桂阳期中）有一名初中生，前两年学习不够努力．进入初三后，在老师和同学的帮助下，逐渐意识到学习的重要性和紧迫性，勤奋苦读，成绩突飞猛进．已知他初二下学期期末考试数学成绩为73分，初三第一次和第二次测试成绩均进步明显，第二次成绩为118分．假定两次增长率相同，设每次平均增长率为，可列方程为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九上·桂阳期中）如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是
A． B．
C． D．
9．（2024九上·桂阳期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像交于、两点．若，则的取值范围是（　　）
A． B．或
C． D．或
10．（2024九上·桂阳期中）如图，小明探究课本“综合与实践”版块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，当测试距离为时，最大的“”字高度为（　　）mm
A． B． C． D．
11．（2024九上·桂阳期中）将一元二次方程配方为的形式为　 　．
12．（2024九上·桂阳期中）在函数中，自变量的取值范围是　 　．
13．（2024九上·桂阳期中）如图，ABCD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BE的长为　 　．
14．（2024九上·桂阳期中）一元二次方程方程的根的判别式的值为　 　．
15．（2024九上·桂阳期中）如图，在中，是斜边上的高，若，，则　 　．
16．（2024九上·桂阳期中）点在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离相等，则m的值是　 　．
17．（2024九上·桂阳期中）方程的解是，，现在给出另一个方程，它的解是　 　．
18．（2024九上·桂阳期中）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A，B，C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成下列三个步骤：
第一步，A同学拿出三张扑克牌给B同学；
第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；
第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学，
请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为　 　．
19．（2024九上·桂阳期中）用适当方法解下列方程：
（1）；
（2）．
20．（2024九上·桂阳期中）小明制作了一张边长为厘米的正方形贺卡想送给朋友，现有一个面积为平方厘米的长方形信封如图所示，信封长和宽的比为．
（1）求此长方形信封的长和宽；
（2）小明能否将这张贺卡不折叠就放入此信封？请通过计算说明理由．
21．（2024九上·桂阳期中）如图，、交于点E，，且平分．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
22．（2024九上·桂阳期中）如图所示，图中的小方格都是边长为的正方形，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心，并直接写出与的相似比；
（2）以位似中心为旋转中心，把按顺时针方向旋转得到，画出．
23．（2024九上·桂阳期中）阅读与理解：
（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答
解：①竖分二次项与常数项：，．
②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）；
③横向写出两因式：．
我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法．
（2）例：解方程．
解：，
或，
，；
请用上述方法解答下列问题．
（3）①因式分解：______；
②解方程：；
③已知，求的值．
24．（2024九上·桂阳期中）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如下表：
课题 测量河流宽度
工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 观测者从点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走一定的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上．
测量示意图
（1）第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度．
（2）第二小组测得米，则______米．
（3）第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．
25．（2024九上·桂阳期中）如图，已知等边 的边长为8，点D、P、E分别在边上，，E为中点，当与相似时，求的值．
26．（2024九上·桂阳期中）综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的顶点在轴的正半轴上，直线是由轴绕点逆时针旋转得到的．如图2，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为，在旋转过程中，交直线于点交轴于点．
（1）当旋转角为多少度时，（直接写出结果，不要求写解答过程）；
（2）若点的横坐标为，求的长；
（3）若点的横坐标为，点的纵坐标为，请判断与的数量关系及的取值范围，并写出解答过程．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一元二次方程的二次项系数为2，一次项系数是，常数项是1．
故选：C．
【分析】根据一元二次方程的一般形式求解．一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
2．【答案】B
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解： 表示是的正比例函数，故A不符合；
表示是的反比例函数，故B符合；
表示是的正比例函数，故C不符合；
表示是的一次函数，故D不符合．
故选：B．
【分析】根据反比例函数的定义，对四个函数逐一分析，再作判断．反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．
3．【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵a，b，c，d是成比例的线段，
∴．
∵，
∴，解得：．
故选：D．
【分析】根据成比例线段的定义列出比例式，得到关于d的方程求解．
4．【答案】B
【知识点】无理数的估值；黄金分割
【解析】【解答】解：，
，
，
．
故选：B．
【分析】
由于，则．
5．【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的根为，
∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根，
∴，，
∴ 这个方程是．
故选：C．
【分析】根据一元二次方程求根公式，得出一元二次方程的字母系数即可求解．
6．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数，
∴点不在它的图象上，故A项不符合题意，
∵
∴图象分别位于第二、四象限，故B项不符合题意，
∴函数在时，即和时，y随x的增大而增大，故C项不符合题意，
∵如果点在它的图象上，即，
∴点也在它的图象上，故D选项符合题意，
故选：D．
【分析】
对于反比例函数，当时，双曲线的两个分支分别在二、四象限，且在每一个分支内，y都随x的增大而增大；反之，图象的两个分支分别在一、三象限，且在每一个分支内，y都随x的增大而减小.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每次平均增长率为x，根据题意得，
，
故选：C．
【分析】设每次平均增长率为x，根据" 他初二下学期期末考试数学成绩为73分，初三第一次和第二次测试成绩均进步明显，第二次成绩为118分 "列出一元二次方程即可．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故答案为：B．
【分析】根据网格的特点及勾股定理求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理“三边对应成比例的三角形相似”即可求解．
9．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图像可知，当或时，反比例函数图象都在一次函数图象下方，
∴若，则的取值范围是或．
故选：B．
【分析】
观察图象直接寻找双曲线在直线下方时对应的自变量x的取值范围，由于双曲线有两个分支，所以要逐象限讨论．
10．【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】，且
∴
∴
∴
故选：C．
【分析】
直接利用AA可证明，再利用相似比计算即可．
11．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】
若一元二次方程的二次项系数为1，则配方时先把常数项移到等号的右边，再给两边同时加上一次项系数一半的平方，从而化左边为一个完全平方式，右边为一个常数．
12．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵ 函数有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据分母不等于零，列出不等式求解，求得函数自变量的取值范围．
13．【答案】
【知识点】8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：
，
，
，
∵ AE＝1，EC＝2，DE＝3 ，
∴ ，
，
故答案为：．
【分析】根据根据三角形的判定的预备定理，得出相似三角形，再列出比例式即可求解．
14．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
对于一元二次方程，其根的判别式．
15．【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在中，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
解得．
故答案为：．
【分析】首先在Rt△ACD中，利用勾股定理计算出AC；由直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠A=∠BCD，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形对应边成比例建立方程得出答案．
16．【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离相等，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由第四象限的点，横坐标为正数，纵坐标为负数可得m＜0，由一个点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值，结合题意列出关于m的含绝对值符号的方程，再解此方程即可.
17．【答案】或
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设，
则方程可以化为，
∵方程的解是，，
∴方程的解是，，
∴或，
解得：或，
故答案为：或，
【分析】设，则方程可以化为，根据题意可得关于t方程求解，再转化为关于x的方程求解．
18．【答案】
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【解答】设每个同学的扑克牌的数量都是 ；
第一步，A同学的扑克牌的数量是 ，B同学的扑克牌的数量是 ；
第二步，B同学的扑克牌的数量是 ，C同学的扑克牌的数量是 ；
第三步，A同学的扑克牌的数量是2（ ），B同学的扑克牌的数量是 （ ）；
∴B同学手中剩余的扑克牌的数量是： （ ） ．
故答案为： ．
【分析】设每个同学的扑克牌的数量都是 ，根据题意列出算式解答即可。
19．【答案】（1）解：∵
∴
∴或
∴；
（2）解：∵
∴
∴
∴或
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）整理后用因式分解法求解即可．
（1）解：∵
∴
∴或
∴；
（2）解：∵
∴
∴
∴或
∴．
20．【答案】（1）解：设信封的长和宽分别为，
由题意得：，
解得：（舍负），
∴，
即：此长方形信封的长为厘米，宽为厘米；
（2）解：∵124＞100，
∴，即，
∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封.
【知识点】实数的大小比较；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设信封的长和宽分别为，由长方形面积公式建立方程，求解得出符合题意的x的值，从而可得长方形信封的长和宽 ；
（2）用估算无理数大小的方法比较信封的宽与贺卡的边长即可判断.
（1）解：设信封的长和宽分别为，
由题意得：，
解得：（舍负），
∴，
即：此长方形信封的长为厘米，宽为厘米
（2）解：∵，
∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封
21．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．解得：．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先证明，再结合可证得；
（2）根据，得到，结合，代入解答即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
解得．
22．【答案】（1）解：图中点为所求；与的相似比等于；
（2）解：如图所示：为所求．
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）先通过连线，补全位似图形，再得出与的相似比为；
（2）分别将点、、绕点O顺时针旋转得到点，然后顺次连接即可．
（1）图中点为所求；与的位似比等于；
（2）如图所示：为所求．
23．【答案】解：（3）①；
②∵，
∴，
∴或，
∴；
③∵，
∴，
∴或，
∴或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（3）①．
故答案为：；
【分析】（3）①利用十字相乘法分解即可；
②利用十字相乘法因式分解因式求解即可；
③利用十字相乘法因式分解因式得，进而可求出的值．
24．【答案】（1）
（2）30
（3）解：可行，理由如下：
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴只要测得就能得到河宽，
∴第三小组的方案可行．
【知识点】等腰三角形的判定；相似三角形的实际应用；方位角
【解析】【解答】解：（1）∵点C恰好在点A东南方向，
∴为等腰直角三角形，
∴要知道河宽，只需要知道线段的长度，
故答案为：；
（2）∵，
∴ ，
∴，
∴米，
故答案为：30米；
【分析】（1）由题意得为等腰直角三角形，即可解答；
（2）由题意得为等腰三角形，即可解答；
（3）由题意得，即可解答．
（1）解：∵点C恰好在点A东南方向，
∴为等腰直角三角形，
∴要知道河宽，只需要知道线段的长度，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴ ，
∴，
∴米，
故答案为：30米；
（3）解：可行，理由如下：
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴只要测得就能得到河宽，
故第三小组的方案可行．
25．【答案】解：设，
∵等边的边长为8，
∴，
∵E为中点，
∴，
①和是对应边时，，
∴，
即，
整理得，，
解得，，
即的长为2或6，
②和是对应边时，，
∴，
即，
解得，
即，
综上所述，的值是2或6或．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】分类讨论：①和是对应边时，；②和是对应边时，，再分别利用相似三角形的性质列出算式和方程求解即可.
26．【答案】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
当时，，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴；
∴当旋转角为时，；
（2）解：过点作轴于点，如图，
∵点的横坐标为，
∴，
∵在中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，解得：，
当点F与点C重合时，，即；
当点F与点B重合时，，
∵旋转角为，
∴，
∴与的数量关系是，的取值范围是．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；坐标与图形变化﹣旋转；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先利用HL证明，再根据全等三角形的性质得出，进而求解；
（2）先利用勾股定理求出AG，再证明，根据相似三角形的性质列出比例式，进而求得FC，即可得解；
（3）先，得出，再分点C、B与点F重合两种情况，分别求得，然后利用旋转角为可得出的取值范围，从而解决问题．
（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
当时，
在和中，
，
∴，
∴，
∵直线是由轴绕点逆时针旋转得到的，
∴，
∴，
∴；
∴当旋转角为时，；
（2）解：过点作轴于点，如图，
∵点的横坐标为，
∴，
在中，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴
∴；
（3）解：由（2）知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
当点F与点C重合时，，即；
当点F与点B重合时，，
∵旋转角为，
∴，
∴与的数量关系是，的取值范围是．
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