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四川省万源中学高2026届期中试题（高二·上）
数学试题
本卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列说法中正确的是（ ）
A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形 D．两个互异平面和有三个不共线的交点
2．已知，，则线段AB中点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平行六面体中，是的中点，设，，，
则等于（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，Rt△O′A′B′是一平面图的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B．1 C． D．2
5．设两条直线，两个平面，则下列条件能推出的是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
6.《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如图，则下列说法正确的是（ ）
A．在睡眠指数的人群中，早睡人数多于晚睡人数
B．早睡人群睡眠指数主要集中在
C．早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小
D．晚睡人群睡眠指数主要集中在
8.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分。
9．下列命题中正确的是（ ）
A．若是空间任意四点，则有
B．若向量，，满足，则
C．空间中任意三个非零向量都可以构成空间一个基底
D．对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中
，且），则四点共面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现在样本中加入一个新数据5，则此时方差是 .
14.如图，边长为2a的正三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G.已知
△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，则下列结论正确的是
(1)三棱锥A′－FED的体积有最大值
(2)异面直线A′E与BD不可能互相垂直
(3)恒有平面A′GF⊥平面BCED
(4)动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）如图，在棱长为的正方体中，
E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积大小.
17.(15分）
18. (17分）已知点在所在平面内，满足与的交点为，平面向
18.(17分）
已知点在所在平面内，满足与的交点为，平面向量与相互垂直.
（1）求；
（2）若的面积为，求.
（1）求； （2）若的面积为，求.
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1．C 2．A 3．A 4．D5．A 6．B 7．D 8．C
9．AD 10.BC 11.BCD
7
12． 4 14.(1)(3)(4)
15.（1）（法一）：连接 B1D1交 A1C1于点M ,连接ME,EF ,BD
∵点 E，F 分别为棱 BC和棱 CD的中点
∴ EF // 1 BD
2
在正方体 ABCD A1B1C1D1中显然 BD//B1D1
∴ EF // 1 B1D1 ∴ EF //MD2 1
.
∴四边形 EFD1M 为平行四边形 ...............................3分
∴D1F //ME
又∵D1F 平面A1EC1,ME 平面A1EC1
所以D1F / / 平面 A1EC1 .......................................................................6分
（法二）：以A为原点， AB,AD,AA分别为 x, y, z1 轴，建立如图空间直角坐标系，
则 A1 0,0, 2 ， B 2,0,0 ，C 2,2,0 ，D 0,2,0 ，C1 2,2,2 ，
D1 0,2,2 ...............2分
因为 E为棱 BC的中点，F为棱 CD的中点，所以 E 2,1,0 ， F 1,2,0

所以D1F 1,0, 2 ， A1C1 (2,2,0)， A1E 2,1, 2

设平面 A1EC1的一个法向量为m x1, y1,z1

m A 1 C 2x

1 1
2y1 0
则 ，令 x 2，则m 2, 2,1 ..............4分
m A1E 2x1 y
1
1 2z1 0

因为D1F m 2 2 0，所以D1F m
因为D1F 平面 A1EC1，所以D1F / /平面 A1EC1 .............................................6分
(由面面平行得线面平行同样给分)
（2）由（1）知D1F / / 平面 A1EC1
∴点F到平面A1EC1的距离与点D1到平面A1ED1的距离相等 ...........................8分
∴VF A EC VD A EC V
1 1 1 1
E A S DD AD C D DD .....12分1 1 1 1 1 1D1C1 3 A1D1C1 1 3 2 1 1 1 1 1 6
18.

(1)由向量m 1, 1 与n acosC b,c 3asinC 相互垂直得， acosC b c 3asinC 0，...2 分
由正弦定理得 sinAcosC sinB sinC 3sinAsinC 0，
A B C π， B π A C
sinAcosC sin A C sinC 3sinAsinC 0，
即 sinAcosC sinAcosC cosAsinC sinC 3sinAsinC 0，
3sinA cosA 1 sinC 0 .
0 C π， sinC 0
3sinA cosA 1 0，即 3sinA cosA 1，...............6 分
3 1 2 π π 1 sinA cosA 1， 2sin

A
1 sin ，即2 2 6
A .
6 2
π π
0 A π A A π ， ，即 .......................................................8分
6 6 3
1 3
(2)由 S ABC bcsinA bc 3 ，得bc 4 ..............................10分2 4
2 2 2 2 2
由余弦定理 cosA b c a b c 12 1 ，得b2 c2 16 ..........................12分
2bc 8 2

NA NB CN， NA NB NC 0，即点 N 为 ABC的重心，

点D是 BC AD 1的中点， AB AC ，............................14 分2
2 1 2 2 AD AB 1 1 AC 2AB AC c 2 b 2 2bccosA4 4 16 4 5 .4

AD AD 5 .....................................................................................................17分

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