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广东省2026届高三年级综合能力测试一数学试题
本试卷共4页，19题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，则（ ）
A B. C. D.
3. 已知是无穷数列，设甲：存在常数，使得且，乙：数列为等比数列，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（ ）
A. 3天 B. 4天 C. 5天 D. 6天
7. 已知双曲线的左，右焦点分别为是双曲线上一点，为线段的中点.若，则的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
8. 一个盒子里有3个相同的球，分别标有数字2，3，4，若每次不放回地从盒子中随机取出一个球，直到取出的所有球的数字之积大于或等于8为止.记此时取出的所有球的数字之和为，则（ ）
A. B. 7 C. D. 6
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.
9. 设为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点且在第一象限.若的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A. 的周长为 B. 以为直径的圆经过点
C. 点的坐标为 D. 直线的斜率为
10. 如图，四边形为正方形，平面，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面 B. 点到平面距离为
C. 平面平面 D. 三棱锥的体积为3
11. 记为数列的前项和，若，则（ ）
A. 最小值为
B. 的最大值为
C. 存在数列，使得
D. 存在数列，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 直线与函数的图象的相邻两个交点的距离是_____.
13. 已知向量满足，则_____.
14. 已知函数.若恰有4个零点，则实数的取值范围是_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）设，求边上的高.
16. 如图，四边形为正方形，为正三角形，平面平面是线段的中点.
（1）证明：；
（2）若，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，求直线与平面所成角的正弦值.
17. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.假设发送信号0和1是等可能的.
（1）若，，求接收的信号为0的概率；
（2）现有两种传输方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
（i）若采用三次传输方案，若发送1，求依次收到1，0，1的概率；
（ii）若发送的信号为1，译码为1，则选用单次传输和三次传输哪种传输方案更好，请说明理由.
18. 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）证明：当时，；
（3）若有两个零点，且，证明：.
19 已知曲线.
（1）证明：曲线关于轴对称；
（2）求直线与曲线的交点个数，并求出所有交点的横坐标；
（3）若直线与曲线有三个不同的交点，且，求的最小值.
参考答案
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.
【9题答案】
【答案】ACD
【10题答案】
【答案】AC
【11题答案】
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】##
【13题答案】
【答案】##
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【16题答案】

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