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汕头市潮阳实验学校2025~2026学年度第一学期
高二暑期学习成果检测 数学试卷 (A)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A ={x|x -3x+2=0}, B ={-2,0,1,2,4}, 则A∩B = ( )
A. {1} B.{1,2} C.{1,2,4} D.{0,1,2}
2.如图，平行六面体 中，设 2,则
A. 若l⊥n, n⊥m, 则l⊥m B. 若l⊥α, l//β, 则α⊥β
C. 若l//α, l⊥m, 则m⊥α D. 若α⊥β, α∩β=m, l⊥m, 则l⊥β
4.汕头市某中学为了解高二学生的期末数学考试成绩，研究人员对700名学生进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，则这700名学生期末数学考试成绩的中位数约为()
A. 92.5 B. 95
C. 97.5 D. 100
5.定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体 中，直线AC与BC 之间的距离是 ()
A. B. C. D.
6.已知函数 在(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是 ()
A.[4,+∞) B.[4,5] C. (-∞,7] D.[4,7]
7. 在△ABC中, AB =2,C=45°, PA⊥平面ABC, 且PA =2, 则三棱锥P-ABC外接球的表面积为()
A.2π C.12π D. 36π
8.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱AB的中点， λGC, D, E, F, G四点共面, 则λ= ( )
A. l B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知事件A，B发生的概率分别为 则下列说法正确的是()
A.事件A与事件B互为对立事件 B. 若A B, 则
C. 若 则 D. 若 则事件A与事件B相互独立
10. 已知函数f(x)= cosxcos2x, 则 ( )
A. f(x)的最大值为1 B. ( ,0)是是曲线y=f(x)的对称中心
C. f(x)在(0,π/2)上单调递减 D. f(x)的最小正周期为2π
11.已知棱长为2的正方体 中, Q, R满足 其中λ∈[0,1], μ∈[0,1], 则下列结论正确的是 ( )
A. 当 时, |QR|= 1
B. 当 时, D R//平面BDC
C. μ∈[0,1], λ∈[0,1], 有AQ⊥D R
D. λ∈[0,1], μ∈[0,1], 有D R⊥CQ
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在△ABC中, 若tanA, tanB是x的方程: 的两个实根, 则tanC = .
13.如图，小明为了测量河对岸的塔高AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D. 现测得∠ACB =30°,∠ADB =45°,∠BDC = 则塔高AB = ..
14. 已知O为△ABC外心, 若 其中λ，μ∈R, 则λ+2μ的最小值为 .
四、解答题: 本题共5小题, 第15小题13分, 第16、17小题15分, 第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.某校为促进学生对数学文化的认识，举办了相关竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本, 发现得分均在区间[30,90]内.现将100个样本数据按[30,40), [40,50),[50,60), [60,70), [70,80), [80,90]分成6组, 得到如下频率分布直方图.
(1)求出频率分布直方图中x的值；
(2)请估计样本数据的众数和平均数；
(3)学校决定奖励成绩排名前20%的学生，学生甲的成绩是77分，请判断学生甲能否得到奖励，并说明理由。
16. 在△ABC中, 角A,B,C所对的边分别是a,b,c, 已知△ABC的外接圆半径
(1)求角C;
(2)求2a+b的取值范围.
17. 如图, 在三棱锥P-ABC中, C为正三角形，D为AB的中点，
(1)求证: 平面PAC ⊥平面ABC;
(2)若O为AC的中点，求平面POD与平面PBC的夹角.
18. 已知函数f(x) = 2sinx(acosx-sinx)+1.
(1)若 求a的值；
(2)已知函数y=f(x)-a在 上存在零点，求a的最小值；
(3)当a>0时, 若函数y= f(x)的图象在区间( 上恰有一条对称轴，求a的取值范围
19.设x 为函数f(x)的任一零点，x 为函数g(x)的任一零点，若[ 则称函数f(x)与g(x)是“零点近距函数”.
(1)已知函数 判断f(x)与g(x)是否为“零点近距函数”，并说明理由；
(2)设函数求证: f(x)与g(x)是“零点近距函数”的充要条件为a=-2；
(3)若函数 与 是“零点近距函数”，求实数a的取值范围.
高二暑期学习成果检测 数学试卷(平行班)参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B B B B C A BCD ABD
题号 11 12 13 14
答案 BCD -1
5.设M为直线AC上任意一点，过M作MN⊥BC ，垂足为N，可知此时M到直线 距离最短设
则λ,
即
即μ-λ+μ=0, ∴λ=2μ,
∴当 时， 取得最小值 故直线AC与BC 之间的距离是
6. B
【详解】因为y=log x在(0,+∞)单调递增, 所以要使函数 在(1，2)上单调递减，
则 在(1，2)上单调递减，且 在(1,2)上恒成立,
故 且 在(1,2)上恒成立, 又x∈(1,2)时,
所以a≥4且a≤5, 故4≤a≤5,
7. C【详解】由已知得，作下图，设△ABC外接圆的半径为r，
已知AB =2, C =45°, sinC = sin45°=
根据正弦定理可得 解得
因为PA⊥平面ABC，所以三棱锥P-ABC外接球的球心到平面ABC的距离( 所以外接球半径
所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为
8.【详解】
由题意可得
因为 所以 且
所以
因为 所以
所以
因为D，E，F，G四点共面，根据空间向量四点共面的性质，有
所以
所以解得 所以λ=1.
10. ABD【详解】由题意可知: f(x)的定义域为R,
对于选项A: 因为 cosx∈[-1,1],cos2x∈[-1,1], 则f(x)=cosxcos2x∈[-1,1],
且f(0)=1, 所以f(x)的最大值为1, 故A 正确;
对于选项B: 因为f(π-x)= cos(π-x)cos2(π-x)= cos(π-x) cos(2π-2x)=-cosxcos2x=-f(x),
即f(π-x)+f(x)=0, 所以( ,0)是曲线y=f(x)的对称中心, 故B 正确;
对于选项C：因为 且f(x)在R上连续不断，
所以f(x)在(0,π/2)上不单调, 故C 错误;
对于选项D: 因为f(-x)= cos(-x)cos2(-x)= cosxcos2x=f(x),
由选项B可知f(π-x)=-f(x), 可得f(x-π)=-f(x), 即f(x+π)=-f(x),
则f(x≠2π)=-f(x+π)=-[-f(x)]=f(x),
可知2π为f(x)的一个周期, 若0当 cosa=-1, 则a=π, cos2a=cos2π=1≠-1, 此时f(a)=-1≠1,
可知对任意a∈(0,2π), f(a)≠1, 即f(0+a)≠f(0), 所以a不为f(x)的一个周期;
综上所述：f(x)的最小正周期为2π，故D 正确；
11.【详解】以D为原点，分别以 所在直线为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则正方体各顶点坐标为D(0,0,0), A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), D (0,0,2), A (2,0,2), B (2,2,2),C (0,2,2),
因为 所以点 Q坐标为(2,2,2λ),
又因为
所以点R坐标为((2-2μ,2μ,2-2μ),
对于A，当 时, 点Q(2,2,1), 点R(1,1,1),
则| 故A 错误；
对于 B，当 时，点
设平面BDC 的法向量为
由 取x=1, 可得y=-1, z=1,
所以π=(1,-1,1)为平面BDC 的法向量,
所以
又D R 平面BDC ,所以D R//平面BDC , 故B正确;
对于C, ,
当μ=0时, 恒成立，当μ≠0时，令 得λ=1,
所以 μ∈[0,1], λ∈[0,1], 有AQ⊥D R, 故C 正确;
对于D，
令 即
因为λ∈[0,1], 所以
所以 λ∈{0,1}, μ∈[0,1], 有 故D正确.
详解】设 则 如下图所示：
取线段AB的中点E，连接OE，由垂径定理可知OE⊥AB，
所以，
同理
因为 则
即 所以，
即
所以，②联立①②可得
所以
当且仅当 时，等号成立，故λ+2μ的最小值为
15. (1)x= 0.02: (2)众数、平均数依次为62分、65分； (3)学生甲能得到奖励，理由见解析.
【详解】(1) 由直方图知(0.01×3+2x+0.03)×10=1, 所以x =0.02;
(2) 平均值为: (35×0.01+45×0.01+55×0.02+65×0.03+75×0.02+85×0.01)×10=62分，众数为： 分；
(3)成绩低于70分的频率为0.7，成绩低于80分的频率为0.9，则得到奖励的最低成绩为70+ 所以学生甲能得到奖励.
【详解】(1)由△ABC的外接圆半径 则 可得2c= sinC,
由正弦定理得(
由余弦定理得
(2) 由(1)可得
即
17. (1)证明见解析(2)π/6
【详解】(1) 因为∠PCB =∠ACB =90°, 所以PC⊥CB, AC⊥CB,
又PC∩AC =C, PC 平面PAC, AC 平面PAC,
所以BC⊥平面PAC,
又BC 平面ABC, 所以平面PAC⊥平面ABC;
(2) 因为△PAC为正三角形, O为AC中点, 所以PO⊥AC,
又平面PAC⊥平面ABC, 平面PAC∩平面ABC=AC, PO 平面PAC,
所以PO⊥平面ABC, 又OD 平面ABC, 所以PO⊥OD,
又D为AB的中点, 所以OD//BC、OD⊥AC,
如图以O为原点建立空间直角坐标系，
则P(0,0, ), C(-1,0,0), B(-1,4,0),
所以
设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),
则 令z=-1, 可得
又平面POD的一个法向量可取n= (1,0,0),
设平面POD与平面PBC夹角为θ，
则
又 所以 即平面POD与平面PBC夹角为π/6.
18. (1)a=1 (2)
【详解】(1) 因为f(x)= 2s ìnx(acosx-sinx)+1, 则
(2) 因为
可得(
当 时, sinx-cosx= cosx(tanx-1)≠0,
所以，
因为 则 则
因此，实数a的最小值为
(3) 因为 ,
其中 可取
当 时， 且
由题意可得 解得 故 故
因此，实数a的取值范围是
19. (1)是, 理由见解析; (2)证明见解析： (3)0≤a<1.
【详解】(1) 当x∈(0,3)时, 则 解得x=2, 即 函数g(x)=log x-1|的零点 因此
所以f(x)与g(x)是“零点近距函数”,
(2) 函数 由f(x)=0, 得x=-1或x=1,函数y=4x,y=2x+a都是R 上的增函数, 则函数g(x)在R 上单调递增,依题意，函数g(x)有唯一零点x ，则(
函数f(x)与g(x)是“零点近距函数”等价于 所以f(x)与g(x)是“零点近距函数”的充要条件为a=-2.
(3) 函数则a<1,
函数 在(0,+∞)上单调递减, y= lnt在(0,+∞)上单调递增,
则函数 在((0,+∞).上都单调递增，
函数f(x)在(0,+∞)上单调递增, 而ff(1--à)=0, 因此
函数 在 R 上都单调递增，则函数g(x)在R 上单调递增，
而g(a)=0, 因此 , 由f(x)与g(x)是“零点近距函数”,得|
于是|1-α-a|≤1, 解得0≤a≤1, 所以实数a的取值范围是0≤a<1.

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