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汕头市潮阳实验学校2025~2026学年度第一学期
高二培优班9月月考（入学考） 数学试卷(B)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|x -3x+2=0}, B ={-2,0,1,2,4}, 则A∩B = ( )
A. {1} B.{1,2} C. {1,2,4} D.{0,1,2}
2.如图，平行六面体 中，设 则
3. “关于x, y的方程: )表示圆”是“m>4”的( )条件
A.必要不充分 B.充要 C.充分不必要 D.既不充分也不必要
4.汕头市某中学为了解高二学生的期末数学考试成绩，研究人员对700名学生进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，则这700名学生期末数学考试成绩的中位数约为()
A.92.5 B.95
C.97.5 D.100
5.定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值. 在棱长为1的正方体ABCD-A B C D 中, 直线AC与BC 之间的距离是 ( )
A. B. / C. D.
6. 已知A(4,0), B(0,4), 从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后, 再射到直线OB上, 最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是 ()
B.6 D.2
7.已知圆 直线l:x+y+1 = 0, Q为l上的动点. 过点Q作圆C的切线QA,QB, 切点为A,B, 当|AB|·|CQ|最小时, 直线AB的方程为 ( )
A. x+y-2=0 B. 5x+5y-12=0
C. x+2y-3=0 D. 3x+6y-8=0
8.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱AB的中点， D, E, F, G四点共面, 则λ= ( )
A. 1 B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知事件A，B发生的概率分别为 则下列说法正确的是 ()
A.事件A与事件B互为对立事件 B. 若A B, 则
C. 若 则 D. 若 则事件A与事件B相互独立
10.已知圆 圆 则下列是圆C 与圆C 的公切线的直线方程为 ()
A. y=0 B. 4x-3y=0
11.已知棱长为2的正方体 中， Q, R满足 其中λ∈[0,1], μ∈[0,1], 则下列结论正确的是 ( )
A. 当 时, |QR|=1
B. 当 时, D R//平面BDC
C. μ∈[0,1], λ∈[0,1], 有
D. λ∈[0,1], μ∈[0,1], 有D R⊥CQ
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知直线 若 则实数a的值为 .
13.已知圆0 一条过点 )的直线将圆O分成面积相等的两部分，且该直线在碰到直线x =6后反射，射出的直线恰好和圆O相切，则r的值为 .
14. 已知O为△ABC外心, 若 其中λ，μ∈R, 则λ+2μ的最小值为 .
四、解答题: 本题共5小题, 第15小题13分, 第16、17小题15分, 第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.某校为促进学生对数学文化的认识，举办了相关竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本, 发现得分均在区间[30,90]内.现将100个样本数据按[30,40), [40,50),[50,60), [60,70), [70,80), [80,90]分成6组, 得到如下频率分布直方图.
(1)求出频率分布直方图中x的值；
(2)请估计样本数据的众数和平均数；
(3)学校决定奖励成绩排名前20%的学生，学生甲的成绩是77分，请判断学生甲能否得到奖励，并说明理由.
16. 在△ABC中, 角A,B,C所对的边分别是a,b,c, 已知△ABC的外接圆半径
(1)求角C;
(2)求2a+b的取值范围.
17. 如图, 在三棱锥P-ABC中, AC =2, BC =4, △PAC为正三角形, D为AB的中点, ∠PCB =∠ACB =90°.
(1)求证: 平面PAC⊥平面ABC;
(2)若O为AC的中点，求平面POD与平面PBC的夹角.
18.设x 为函数f(x)的任一零点，x 为函数g(x)的任一零点，若| 则称函数f(x)与g(x)是“零点近距函数”.
(1)已知函数 判断f(x)与g(x)是否为“零点近距函数”，并说明理由；
(2)设函数求证: f(x)与g(x)是“零点近距函数”的充要条件为a =-2；
(3)若函数 与 是“零点近距函数”，求实数a的取值范围.
19. 已知点O(0, 0), A(1, 0), B(4, 0), 动点P到B的距离是P到A点距离的2倍, 记动点P的轨迹为曲线Γ.
(1)求曲线Γ的轨迹方程；
(2)已知动点Q在直线l:y=2x+2上, 过Q作曲线Γ的两条切线l , l 分别切于C, D两点,直线 与l , l 分别交于E, F, 连接CF, DE交于K.
(i)直线CD是否过定点，如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由；
(ii) 求|OK|的最小值
高二暑期学习成果检测 数学试卷(培优班)参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A B B C B A BCD ABC
题号 11 12 13 14
答案 BCD 2 3
5.设M为直线AC上任意一点，过M作MN⊥BC ，垂足为N，可知此时M到直线 距离最短
设
则
即|
即μ-λ+μ=0,∴λ=2μ,
∴当 时， 取得最小值 故直线AC与BC 之间的距离是
6.【详解】由题意直线AB方程为x+y=4，设P关于直线AB的对称点Q(a,b),
员 解得 即Q(4,2), 又P关于y轴的对称点为T(-2,0),
故选：C
7.【详解】
因为圆( 可化为( 所以圆心C(2,2), 半径为y =2, 因为QA,QB是圆(ˊ的两条切线, 则QA⊥AC,QB⊥BC,
由圆的知识可知, A,Q,B,C四点共圆, 且AB⊥CQ, |QA|=|QB|,
所以 又 所以当|QC|最小, 即QC⊥l时, |QC|·|AB|取得最小值,
此时QC的方程为: y-2=x-2, 即y=x, 联立 解得 即
所以 中点为
故以|QC|为直径的圆的方程为 即， 又圆 两圆的方程相减即为直线AB的方程：5x+5y-12=0.
8.【详解】
由题意可得
因为 所以 且
所以
因为 所以
所以
因为D，E，F，G四点共面，根据空间向量四点共面的性质，有
所以14+ C,
所以解得 所以λ= 1.
10. ABC
【详解】根据题意可知，两圆心C (2,1),C (-2,-1)关于原点对称,在同一坐标系内画出两圆图象，如下图所示：
显然，圆心距| 即两圆外离，共有4条切线；
又两圆心到x轴的距离都等于其半径，所以x轴是其中一条公切线，即A 正确；
利用对称性可知，其中一条切线l 过原点，设其方程为y=kx，
又C (2,1)到切线l 的距离为l,即 解得k =0或
当k =0时，切线即为x轴，当 时，切线方程为 即4x-3y=0, B正确;
由对称性可知，切线l ，l 与直线C C 平行，易知 所以直线C C 的方程为 可设l ，l 的方程分别为
由两平行线间距离公式可得 解得
即切线l ，l 的方程分别为
整理可得两切线方程为 和 故C正确，D错误；
11.【详解】以D为原点，分别以 所在直线为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则正方体各顶点坐标为D(0,0,0), A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), D (0,0,2), A (2,0,2), B (2,2,2),C (0,2,2),
因为 所以点Q坐标为(2,2,2λ),
又因为
所以点R坐标为(2-2μ,2μ,2-2μ),
对于A，当 时, 点Q(2,2,1), 点R(1,1,1),
则 故A 错误；
对于B，当 时，点
设平面BDC 的法向量为i
由 取x=1, 可得y=-1, z=1,
所以n=(1,-1,1)为平面BDC 的法向量,
所以
叉D R 平面BDC , 所以D R//平面BDC , 故B 正确;
对于 C,
当μ=0时, 恒成立，当μ≠0时，令 得λ=1,
所以 μ∈[0,1], λ∈[0,1], 有AQ⊥D R, 故C 正确;
对于D,(
令 即
因为λ∈[0,1], 所以
所以 λ∈[0,1], μ∈[0,1], 有 故D正确.
【详解】设 则 ，如下图所示：
取线段AB的中点E，连接OE，由垂径定理可知OE⊥AB，
所以，
同理
因为 则
即 所以， ①
即
所以， ②联立①②可得
所以
当且仅当 c时，等号成立，故λ+2μ的最小值为
15. (1)x = 0.02; (2)众数、平均数依次为62分、65 分；(3)学生甲能得到奖励，理由见解析.
【详解】(1) 由直方图知(0.01×3+2x+0.03)×10=1, 所以x=0.02;
(2) 平均值为: (35×0.01+45×0.01+55×0.02+65×0.03+75×0.02÷85×0.01)×10=62分，众数为： 分；
(3)成绩低于70分的频率为0.7，成绩低于80分的频率为0.9，则得到奖励的最低成绩为70+ 所以学生甲能得到奖励.
16. (1)2π/3
【详解】(1)由△ABC的外接圆半径 则 可得2c= sinC,
由正弦定理得(
由余弦定理得
(2) 由(1)可得
即
17. (1)证明见解析(2)π/6
【详解】(1) 因为∠PCB =∠ACB =90°, 所以PC⊥CB, AC⊥CB,又PC∩AC=C, PC 平面PAC, AC 平面PAC, 所以BC⊥平面PAC,又BC 平面ABC, 所以平面PAC⊥平面ABC;
(2) 因为△PAC为正三角形, O为AC中点, 所以PO⊥AC,
又平面PAC⊥平面ABC, 平面PAC∩平面ABC=AC, PO 平面PAC。
所以PO⊥平面ABC, 又OD 平面ABC, 所以PO⊥OD,
又D为AB的中点, 所以OD//BC, OD⊥AC,
如图以O为原点建立空间直角坐标系，
则P(0,0, ), C(-1,0,0), B(-1,4,0),
所以
设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),
则 令z =-1, 可得 mi
又平面POD的一个法向量可取n=(1,0,0),
设平面POD与平面PBC夹角为θ，则
又 所以 ， 即平面POD与平面PBC夹角为
18. (1)是, 理由见解析; (2)证明见解析； (3)0≤a<1.
【详解】(1) 当x∈(0,3)时, 则 解得x=2, 即 函数g(x)=log x-1的零点 因此
所以f(x)与g(x)是“零点近距函数”.
(2) 函数 由f(x)=0, 得x=-1或x=1,
函数y=4x,y=2x+a都是R上的增函数, 则函数g(x)在R 上单调递增,
依题意，函数g(x)有唯一零点x ，则(
函数f(x)与g(x)是“零点近距函数”等价于
所以f(x)与g(x)是“零点近距函数”的充要条件为a=-2.
(3) 函数s则a<1,
函数 在((0,+∞)上单调递减, y= lnt在(0,+∞)上单调递增,
则函数 在(0,+∞).上都单调递增，
函数f(x)在(0,+∞)上单调递增, 而f(1-a)=0, 因此
函数 在R 上都单调递增，则函数g(x)在R 上单调递增，
而g(a)=0,因此 由f(x)与g(x)是“零点近距函数”,得|
.于是|1-a-a|≤1, 解得0≤a≤1, 所以实数a的取值范围是0≤a<1.
(2)(i)过定点, 定点坐标为(-4,2); (ii)
【详解】(1) 由题意得PB =2PA, 则 设P(x,y),
则 化简得Γ：
(2) (i) 设Q(t,2t+2),
则以OQ为直径的圆为: x(x-t)+y(y-2t-2)=0.
与Γ方程作差可得直线CD为: 4-tx-(2t+2)y=0.
即t(-x-2y)+4-2y=0, 则 解得 则过定点(-4,2).
(ii)首先证明一个结论，标准圆
其圆上任意一点M(x ，y )，在该点处的切线l方程为
证明如下，当直线OM的斜率和直线l的斜率均存在且不为0时，则
则切线l方程为 即
当直线OM的斜率不存在时，此时： 易得切线方程为 适合 r ,
当直线OM的斜率为0时，此时 易得切线方程为 适合 综上圆上任意一点M(x ，y )，在该点处的切线l方程为：
设C(x ,y ), D(x ,y ),
则化简直线CD为：
过定点(-4,2),所以有 )
直线CQ为： 令y=2,则 则
同理，直线DQ为： 则同理得
则直线DE为：
即
同理直线CF为：
由CF, DE交于K可知
两式作差可得2
对比(*)式可得
即2xκ-y +2=0,即K也在直线l上.则

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