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2025-2026学年八年级数学上册第一次月考测试卷（13-14章）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．数学课上，同学们用三角形纸片进行折纸操作．按照下列各图所示的折叠过程和简要的文字说明，线段是的角平分线的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B，C，D，E，F，G都在格点上，图中不与全等的三角形是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，中，为的角平分线，为的高，，那么是（ ）
A． B． C． D．
5．如图中，，，D为的中点，交于E，若，的大小是（ ）

A． B． C． D．
6．在学习完三角形三边关系后，小明用三根木棍首尾相连拼三角形有三根长度分别为、、的木棍，若想三角形的边长均为整数，则可将的木棍进行裁切，这样小明最多可以拼出不同的三角形个数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．如图，在中，，，，若四边形的面积为，则的面积为（ ）

A．60 B．56 C．70 D．48
9．如图， 中，的角平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点 ， 于点． 若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④其中，正确的结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，在四边形中，分别是和的平分线，若，则 ．
12．用一条长细绳（不留余绳）围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的倍，则底边的长为 ．
13．如图，，，，点E在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段上由点B向点D运动，则点F的运动速度为 ，使得A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等．
14．如图，图①中有个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的个顶点得到图②，图②中共有4个三角形．若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与该小三角形的个顶点得到图③．在虚线框中画出图③，图③中共有 个三角形．（写出所有可能的值）
15．在锐角中，为边上的高，在不添中加辅助线的情况下，当此图形中有一个角的度数为时，的度数为 ．
16．如图，在中，，点和点在直线的同侧，，连接，则的度数为 ．

三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，在中，，点是线段上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
(1)求证：；
(2)设，．当点在线段上，时，请你探究写出与之间的数量关系是多少？
18．（6分）如图，点D是等腰外一点,与相交于是线段上一点,．
(1)求证：．
(2)求证：．
19．（8分）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点．
(1)若是中线，，，则与的周长差为_____；
(2)若，是角平分线，求_____；
(3)若，是高，求的度数．
20．（8分）（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹．
（2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论．
21．（10分）方法探索
数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
(1)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决
(2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：
如图2，在中，点D、E在上，且，过E作与相交于点F，且．求证：平分．
22．（10分）如图1，是的角平分线，E为射线上一点，过点E作，垂足为点F．
(1)若，且点E在线段上．
①_______，理由是________；
②若平分交于点H，求证：；
(2)如图2，若点E在线段的延长线上，平分交的延长线于点I，用等式表示与的数量关系，并证明．
23．（12分）如图1，图2，在和中，，，，与所在直线相交于点，于点．

(1)如图1，连接，求证：平分；
(2)如图1，若，，则的长为___________；
(3)如图2，若，，连接，交于点．
①是否为线段的垂直平分线？并说明理由；
②过点作，交的延长线于点，直接写出与之间的数量关系．
24．（12分）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题．
【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为．
(1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程．
，
，
∵，，
，，
，
，
……
（补充小芳的过程）
(2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积．
参考答案
一．选择题
1．】B
【分析】本题考查图形的折叠，角平分线．
根据作图分别分析选项即可．
【详解】解：A、由折叠可知，线段是的角平分线，不是的角平分线，不符合题意；
B、由折叠可知，线段是的角平分线，是的角平分线，符合题意；
C、由折叠无法判断线段是角平分线，不符合题意；
D、由折叠可知，线段是的角平分线，不是的角平分线，不符合题意；
故选：B
2．A
【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质推出，，阴影的面积的面积．由全等三角形的性质推出，，得到，求出的面积，得到阴影的面积的面积
【详解】解：，
，，
的面积，
的面积的面积，
阴影的面积的面积
故选：A．
3．C
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据网格特点，利用全等三角形的判定去判断即可．
【详解】解：如图：
由网格可知，
∴，
由网格可知均是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，故A可以证明全等，不符合题意；
如图：
同理可得，
∴，故B可以证明全等，不符合题意；
如图：
同理可得，
∴，故D可以证明全等，不符合题意；
如图：
由上可得，而是钝角三角形，
故与不可能全等，故C符合题意，
故选：C．
4．B
【分析】根据三角形内角和定理得，根据角平分线得，根据高得，可得，根据对顶角相等即可得．
【详解】解： ，
，
为的角平分线，
，
为的高，
，
，
，
故选：B．
5．C
【分析】作交于点，交于点，、相交于点，利用“角角边”证明，再根据全等三角形性质得到后可利用“边角边”证明，根据全等三角形性质、即可得到．
【详解】解：作交于点，交于点，、相交于点，
中，，
，
，
，
是的外角，
是的外角，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
点在上，且，
，
即．
故选：C．
6．C
【分析】设第三根木棒的长度是，由三角形三边关系定理得到，即可得到第三根木棒的长度，于是得到答案．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
【详解】解：设第三根木棒的长度是，
由三角形三边关系定理得到：，
故，
第三根木棒的长度是整数且不大于，
故，且x是正整数，
第三根木棒的长度是、、、、、，
小明最多可以拼出不同的三角形个数为个．
故选：C．
7．D
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化．
将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可．
【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至，
，，
则，，
，即点D，E，F三点共线，
，
，
即，
在和中
，
，
，
，
五边形的面积为：
，
，
．
故选：D．
8．A
【分析】连接、，过点作于点，设，根据同高的三角形的面积的比等于底边的比，分别得到、、、、、，再根据四边形的面积，求出，即可得出的面积．
【详解】解：连接、，过点作于点，
设，
，，，
，
，
，
同理可得：，
，
，
，
，
同理可得：，
是的中点，
同理可得：，
，
，
同理可得：，
四边形的面积为28，
，
，
，
故选：A．

9．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，连接，由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质的得到，进而由“”可证，可得，即得到，据此即可求解，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【详解】解：连接
∵是的平分线 ，
∴，
∵，，
∴，
在和中 ，
，
∴，
∴，，
∵是的垂直平分线，
∴，
在和中 ，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：．
10．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，由三角形内角和定理并结合角平分线的定义计算即可判断①；证明，得出，，即可判断②；延长交于点，证明，得出，进而可得，结合，得出，即可判断③；证明，得出，即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵是的高，
∴，
∴，
∵是的角平分线，平分，
∴，，
∴，
∴，故①错误；
∵是的高，，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴为等腰三角形，条件不足，无法得到为等边三角形，故②错误；
如图，延长交于点，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故③错误；
在和中，
，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有④，共个，
故选：A．
二．填空题
11．6
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的判定与性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
延长，于点，先证明，再证明，即可得到．
【详解】解：延长，于点，
∵，
∴
∴，
∴
∵分别是和的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、三角形三边关系、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是要分两种情况讨论．
由三角形三边关系判定等腰三角形的腰长是底边长的倍，设较短的边长是，则较长的边长是，列出一元一次方程，解方程，再由三角形三边关系即可求解．
【详解】解：设较短的边长是，则较长的边长是，
如果等腰三角形的腰长是底边长的倍，
，
，
此时等腰三角形的三边长分别是、、，满足三角形三边关系；
如果等腰三角形的底边长是腰长的倍，
，
，
此时等腰三角形的三边长分别是、、，不满足三角形三边关系，不能围成一个等腰三角形；
综上所述，等腰三角形的底边长是，
故答案为：．
13．或
【分析】本题考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用，设运动的时间为，点F的运动速度为，分两种情况：①，；②，，列出方程，求出结果即可．
【详解】解：设运动的时间为，点F的运动速度为，
，
A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等，有两种情况：
①，，
则，
解得：，
，
；
②，，
则，，
解得：，，
故答案为：或．
14．或
【分析】本题考查了画三角形，根据题意画出图形即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：如图所示，共有两种情况：
由图可知，图③中共有或个三角形，
故答案为：或．
15．，或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的高线，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．分三种情况讨论：当时，当时，当时，利用三角形内角和定理分别求解即可．
【详解】解：在锐角中，为边上的高，
，，
如图1，当时，此时，满足锐角三角形，
；
如图2，当时，此时，
，满足锐角三角形，，
；
如图3，当时，此时，
，，满足锐角三角形，
；
综上可知，的度数为，或，
故答案为：，或．
16．30°
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出的度数，然后作点D关于直线AB的对称点E，连接BE、CE、AE，如图，则BE=BD，∠EBA=∠DB，∠BEA=∠BDA，进而可得∠EBC=60°，由于BD=BC，从而可证△EBC是等边三角形，可得∠BEC=60°，EB=EC，进一步即可根据SSS证明△AEB≌△AEC，可得∠BEA的度数，问题即得解决．
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴，
作点D关于直线AB的对称点E，连接BE、CE、AE，如图，则BE=BD，∠EBA=∠DBA=11°，∠BEA=∠BDA，
∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，
∵BD=BC，∴BE=BC，∴△EBC是等边三角形，∴∠BEC=60°，EB=EC，
又∵AB=AC，EA=EA，
∴△AEB≌△AEC（SSS），∴∠BEA=∠CEA=，
∴∠ADB=30°．

三．解答题
17．（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）解：，理由如下：
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
18．（1）证明：延长相交于H．
∵，
∴．
∴．
（2）过A作于G．
∵，
∴即，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴平分，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，而，
∴，
∴．
19．（1）解：是的中线，
，
，，
与的周长差为：，
故答案为：2；
（2）解：，
，
是的角平分线，是角平分线，
，，
，
，
故答案为：；
（3）解：是高，
，
，
，
平分，
，
在中，．
20．解：（1）当时，
∵是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，如下图所示：
（2），理由如下：
在上截取，
在和中，
，
，
，
，、分别是和的角平分线，与相交于点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
21．（1）解：是的中点，
，
在和中，
，
，
，
在中，
，
即，
中线的取值范围是：；
（2）证明：延长到点M，使，连接．
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即平分．
22．（1）①∵，
∴，理由是直角三角形的两个锐角互余．
故答案为：90，直角三角形的两个锐角互余；
②证明：平分，
，
，，
，，
，
又，
，
．
平分，
，
，
．
（2），理由如下：
，分别平分，，
设，，
，
即，①
，
即，②
由①②，得，
即．
23．（1）证明：如图，过点C作，垂足为N，

在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解①：是线段的垂直平分线，理由如下：
由（1）可得，平分，
∵，
∴，，
∴是线段的垂直平分线；
②，
∵是线段的垂直平分线，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴．
∴，
24．（1）解：，
，
∵，，
，，
，
，
∵，，，
∴；
，
∵，，
∴；
（2）解：结论：．理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
；
（3）解：延长，过点作于，如图所示：
，，
，
，，
∴，
，，
，
延长，过点作于，如图所示：
，
，
，
，
由平行线间的平行线段相等可得，
．
故答案为：21．

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