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第2课时　充要条件
基础巩固
1.“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 若两个三角形全等,则两个三角形的面积相等,即充分性成立.
若两个三角形的面积相等,则两个三角形不一定全等,即必要性不成立.
故“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的充分不必要条件.故选A.
2.若p:-1≤x≤2,q:-1≤x≤1,则p为q的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 C
【解析】 p:-1≤x≤2,q:-1≤x≤1,
则pq,但q p,
故p为q的必要不充分条件.故选C.
3.“x<”是“2x<3”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 由2x<3,得x<,而<,故由“x<”可以推出“2x<3”.反之,由“2x<3”不能推出“x<”.
所以“x<”是“2x<3”的充分不必要条件.故选A.
4.等式|a+b|=|a|+|b|成立的充要条件是(　　)
A.ab=0 B.ab>0
C.ab≥0 D.ab≤0
【答案】 C
【解析】 当ab≥0时,|a+b|=|a|+|b|;当ab<0时,|a+b|<|a|+|b|.则等式|a+b|=|a|+|b|成立的充要条件是ab≥0.故选C.
5.(多选题)设全集U,则下列四个命题中是“A B”的充要条件的命题是(　　)
A.A∩B=A B. UA UB
C.( UB)∩A= D.( UA)∩B=
【答案】 ABC
【解析】 A∩B=A A B,故A满足条件.
UA UB A B,故B满足条件.
( UB)∩A= A B,故C满足条件.
由( UA)∩B=,可得B A,不能推出A B,故“( UA)∩B=”不是“A B”的充要条件,故D不满足条件.故选A,B,C.
6.a,b中至少有一个不为零的充要条件是(　　)
A.ab=0 B.ab>0
C.a2+b2=0 D.a2+b2>0
【答案】 D
【解析】 对于A,a,b中至少有一个不为零,可以a,b都不为0,而由ab=0,可得a=0或b=0,因此不满足条件.
对于B,a,b中至少有一个不为零,a,b可以有一个为0;而ab>0,可得a,b都不为0,不满足条件.
对于C,由a2+b2=0,可得a=b=0,不满足条件.
对于D,由a2+b2>0 a,b中至少有一个不为零.故选D.
7.若“x>k”是“-3≤x<2”的必要不充分条件,则实数k的取值范围是　　　　　　　　.
【答案】 (-∞,-3)
【解析】 因为x>k是-3≤x<2的必要不充分条件,所以[-3,2) (k,+∞).
所以k<-3.
8.请用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空:
(1)“m=1或3”是“函数y=为二次函数”的　　　　条件.
(2)“△ABC是锐角三角形”是“∠ABC为锐角”的　　　　　　　条件.
【答案】 (1)充要　(2)充分不必要
【解析】 (1)当函数y=为二次函数时,m2-4m+5=2,即m2-4m+3=0,解得m=1或m=3.故“m=1或3”是“函数y=为二次函数”的充要条件.
(2)三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形,
所以△ABC是锐角三角形可推出∠ABC为锐角;反过来,∠ABC为锐角,无法确定其他两个角是不是锐角,故推不出△ABC是锐角三角形.
所以“△ABC是锐角三角形”是“∠ABC为锐角”的充分不必要条件.
9.已知a+b≠0,求证:a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1.
【证明】 充分性:
若a+b=1,则a2+b2-a-b+2ab=(a+b)2-(a+b)=1-1=0,即充分性成立.
必要性:
若a2+b2-a-b+2ab=0,
则(a+b)2-(a+b)=(a+b)(a+b-1)=0.
因为a+b≠0,所以a+b-1=0,
即a+b=1,必要性成立.
综上,a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是
a+b=1.
10.已知下列是关于x的方程(m∈Z).
①mx2-4x+4=0,
②x2-4mx+4m2-4m-5=0.
求方程①和②都有整数解的充要条件.
【解】 方程①有实数解的充要条件是m=0或
解得m≤1.
方程②有实数解的充要条件是Δ2=16m2-4(4m2-4m-5)≥0,即m≥-,
所以-≤m≤1.
而m∈Z,故m=-1或m=0或m=1.
当m=-1时,①即-x2-4x+4=0,无整数解;
当m=0时,②即x2-5=0,无整数解;
当m=1时,①x2-4x+4=0有整数解x=2,
②x2-4x-5=0有整数解x=-1或x=5,
从而①②都有整数解.
所以①②都有整数解的充要条件是m=1.
能力提升
11.(多选题)若p:x2+x-6=0是q:ax+1=0的必要不充分条件,则实数a的值为(　　)
A.2 B.- C. D.3
【答案】 BC
【解析】 由x2+x-6=0,可得x=2或x=-3,
a≠0,解方程ax+1=0,可得x=-.
由题意知p q,q p,
此时应有-=2或-=-3,
解得a=-或a=.
综上可得,a=-或a=.故选B,C.
12.“k>4,b<5”是“一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴”的　　　　条件.
【答案】 充要
【解析】 因为当k>4时,k-4>0,当b<5时,b-5<0,
所以直线y=(k-4)x+b-5交y轴于负半轴,交x轴于正半轴;直线y=(k-4)x+b-5与y轴交于点(0,b-5),与x轴交于点(,0),
由图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴可知
所以所以“k>4,b<5”是“一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴”的充要条件.
13.已知P={x|1≤x≤4},S={x|1-m≤x≤1+m}.
(1)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件 若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
(2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件 若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解】 (1)不存在.理由如下:要使x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,即此方程组无解.所以不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.
(2)存在.要使x∈P是x∈S的必要条件,则S P.当S=时,由1-m>1+m,解得m<0;
当S≠时,由1-m≤1+m,解得m≥0,
要使S P,则有解得m≤0,
所以m=0.
综上可得,当m≤0时,x∈P是x∈S的必要条件.
应用创新
14.甲、乙、丙、丁四名同学在玩一个猜数字游戏,甲、乙、丙共同写出三个集合:A=
{x|0<Δx<2},B={x|-3≤x≤5},C={x|0A.3或4　　B.2或3　　C.1或2　　D.1或3
【答案】 C
【解析】 因为此数为小于5的正整数,
故A={x|0<Δx<2}={x|0因为B是A成立的必要不充分条件,C是A成立的充分不必要条件,
所以C是A的真子集,A是B的真子集,
故>且≤5,解得Δ∈[,3).
故“Δ”中的数字可以是1或2.故选C.
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第2课时　充要条件
1.通过学习充要条件的概念及充要条件的判断,提升逻辑推理素养.2.借助充要条件的应用,提升数学运算素养.
【课程标准要求】
一般地,如果p q,且q p,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的 .
,记作 .当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件.
p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”,或“p与q等价”.
充要
条件
p q
[思考] “p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里
提示:p是q的充要条件说明p是条件,q是结论.
p的充要条件是q说明q是条件,p是结论.
传递性:p q,q s则p s,即p是s的充分条件;
q p,s q则s p,即p是s的必要条件;
p q,q s则p s,即p是s的充要条件.
『知识拓展』
[例1] 判断下列各命题,p是不是q的充要条件.
(1)在△ABC中,p:∠A>∠B,q:a>b;
题型一　充要条件的判断
【解】 (1)在△ABC中,显然有∠A>∠B a>b,
所以p是q的充要条件.
(2)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0;
【解】 (2)若a2+b2=0,则a=b=0,即p q;
若a=b=0,则a2+b2=0,即q p,故p q,
所以p是q的充要条件.
(3)p:|x|>3,q:x2>9.
【解】 (3)由于p:|x|>3 q:x2>9,
所以p是q的充要条件.
·解题策略·
判断p是不是q的充要条件,主要是判断p q及q p这两个命题是否成立.若p q成立,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;若q p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件.
[变式训练] (多选题)下列p是q的充要条件的是( 　　)
A.p:a是无理数,q:a+3是无理数
B.p:x=0或x=1,q:x2-x=0
C.p:x>1且y>1,q:x+y>2且xy>1
D.p:0AB
【解析】 对于A选项,a是无理数 a+3是无理数,且a+3是无理数 a是无理数,故符合题意;
对于选项B,x2-x=0,解得x=0或x=1,符合题意;
对于选项C,x>1且y>1可以得到x+y>2且xy>1;而x+y>2且xy>1不能得到x>1且y>1,故p是q的充分不必要条件,不符合题意;
对于选项D,0故选A,B.
[例2] 求证:方程x2+(2k-1)x+k2=0的两个根均大于1的充要条件是k<-2.
题型二　充要条件的证明
【证明】 ①必要性:
若方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个大于1的根,不妨设两个根为x1,x2,
②充分性:当k<-2时,Δ=(2k-1)2-4k2=1-4k>0.方程有两个不等实根.
设方程x2+(2k-1)x+k2=0的两个根为x1,x2,
则(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=k2+2k=k(k+2)>0.
又(x1-1)+(x2-1)=(x1+x2)-2=-(2k-1)-2=-2k-1>0,
所以x1-1>0,x2-1>0,
所以x1>1,x2>1.
综上可知,方程x2+(2k-1)x+k2=0的两个根均大于1的充要条件是k<-2.
·解题策略·
一般地,证明“p成立的充要条件为q”,在证明充分性时应以q为“已知条件”,p是该步中要证明的“结论”,即q p;证明必要性时则是以p为“已知条件”,q为该步中要证明的“结论”,即p q.
[变式训练] 已知ab≠0,求证:a3-2a2b+2ab2-b3=0成立的充要条件是a-b=0.
【证明】 ①充分性:因为a-b=0,而a3-2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2-ab+b2),
所以a3-2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2-ab+b2)=0成立.
[例3] 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
题型三　充要条件的应用
[变式探究1] 若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
[变式探究2] 若本例中p,q不变,是否存在实数m使p是q的充要条件 若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
·解题策略·
应用充分不必要、必要不充分及充要条件
求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
当堂检测
1.“x=0”是“x2=0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
C
2.(多选题)若“-1(　　 )
A.1 B.2 C.3 D.4
BCD
3.以下选项中,p是q的充要条件的是(　　)
A.p:3x+2>5,q:-2x-3>-5
B.p:a>2,b<2,q:a>b
C.p:四边形的两条对角线互相垂直平分,q:四边形是正方形
D.p:a≠0,q:关于x的方程ax=1有唯一解
D
4.“方程x2-2x+m=0至多有一个实数解”的一个充要条件是　　　　.
【解析】 若x2-2x+m=0有两个不相等的实数根,则Δ=4-4m>0 m<1,
故方程x2-2x+m=0至多有一个实数解时,m≥1,故“方程x2-2x+m=0至多有一个实数解”的一个充要条件是m≥1.
m≥1第2课时　充要条件
【课程标准要求】　1.通过学习充要条件的概念及充要条件的判断,提升逻辑推理素养.2.借助充要条件的应用,提升数学运算素养.
一般地,如果p q,且q p,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件,记作p q.当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件.
p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”,或“p与q等价”.
[思考] “p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里
提示:p是q的充要条件说明p是条件,q是结论.
p的充要条件是q说明q是条件,p是结论.
知识拓展
传递性:p q,q s则p s,即p是s的充分条件;
q p,s q则s p,即p是s的必要条件;
p q,q s则p s,即p是s的充要条件.
题型一　充要条件的判断
[例1] 判断下列各命题,p是不是q的充要条件.
(1)在△ABC中,p:∠A>∠B,q:a>b;
(2)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0;
(3)p:|x|>3,q:x2>9.
【解】 (1)在△ABC中,显然有∠A>∠B a>b,
所以p是q的充要条件.
(2)若a2+b2=0,则a=b=0,即p q;
若a=b=0,则a2+b2=0,即q p,故p q,
所以p是q的充要条件.
(3)由于p:|x|>3 q:x2>9,
所以p是q的充要条件.
判断p是不是q的充要条件,主要是判断p q及q p这两个命题是否成立.若p q成立,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;若q p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件.
[变式训练] (多选题)下列p是q的充要条件的是(　　)
A.p:a是无理数,q:a+3是无理数
B.p:x=0或x=1,q:x2-x=0
C.p:x>1且y>1,q:x+y>2且xy>1
D.p:0【答案】 AB
【解析】 对于A选项,a是无理数 a+3是无理数,且a+3是无理数 a是无理数,故符合
题意;
对于选项B,x2-x=0,解得x=0或x=1,符合题意;
对于选项C,x>1且y>1可以得到x+y>2且xy>1;而x+y>2且xy>1不能得到x>1且y>1,故p是q的充分不必要条件,不符合题意;
对于选项D,0故选A,B.
题型二　充要条件的证明
[例2] 求证:方程x2+(2k-1)x+k2=0的两个根均大于1的充要条件是k<-2.
【证明】 ①必要性:
若方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个大于1的根,不妨设两个根为x1,x2,
则
即
解得k<-2.
②充分性:当k<-2时,Δ=(2k-1)2-4k2=1-4k>0.方程有两个不等实根.
设方程x2+(2k-1)x+k2=0的两个根为x1,x2,
则(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=k2+2k=k(k+2)>0.
又(x1-1)+(x2-1)=(x1+x2)-2=-(2k-1)-2=-2k-1>0,
所以x1-1>0,x2-1>0,
所以x1>1,x2>1.
综上可知,方程x2+(2k-1)x+k2=0的两个根均大于1的充要条件是k<-2.
一般地,证明“p成立的充要条件为q”,在证明充分性时应以q为“已知条件”,p是该步中要证明的“结论”,即q p;证明必要性时则是以p为“已知条件”,q为该步中要证明的“结论”,即p q.
[变式训练] 已知ab≠0,求证:a3-2a2b+2ab2-b3=0成立的充要条件是a-b=0.
【证明】 ①充分性:因为a-b=0,而a3-2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2-ab+b2),
所以a3-2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2-ab+b2)=0成立.
②必要性:因为a3-2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2-ab+b2)=0,而a2-ab+b2=(a-)2+,
又ab≠0,所以a≠0且b≠0,从而≥0,
且>0.
所以a2-ab+b2=(a-)2+>0,
所以a-b=0成立.
综上,a3-2a2b+2ab2-b3=0成立的充要条件是a-b=0.
题型三　充要条件的应用
[例3] 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
【解】 p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p是q的必要不充分条件,
所以{x|1-m≤x≤1+m}{x|-2≤x≤10},
故有或
解得m≤3.
又m>0,
所以实数m的取值范围为{m|0[变式探究1] 若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
【解】 令A={x|-2≤x≤10},
B={x|1-m≤x≤1+m(m>0)}.
因为p是q的充分不必要条件,
所以AB.
所以或
解不等式组得m>9或m≥9,所以m≥9,
即实数m的取值范围是{m|m≥9}.
[变式探究2] 若本例中p,q不变,是否存在实数m使p是q的充要条件 若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
【解】 因为p:-2≤x≤10,
q:1-m≤x≤1+m(m>0).
若p是q的充要条件,则无解.
故不存在实数m,使得p是q的充要条件.
应用充分不必要、必要不充分及充要条件
求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
当堂检测
1.“x=0”是“x2=0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 C
2.(多选题)若“-1A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 BCD
【解析】 由题意{x|-1则a≥2.故选B,C,D.
3.以下选项中,p是q的充要条件的是(　　)
A.p:3x+2>5,q:-2x-3>-5
B.p:a>2,b<2,q:a>b
C.p:四边形的两条对角线互相垂直平分,q:四边形是正方形
D.p:a≠0,q:关于x的方程ax=1有唯一解
【答案】 D
【解析】 对于A,p:3x+2>5 x>1,q:-2x-3>-5 x<1,所以pq,qp,所以p是q的既不充分也不必要条件;
对于B,p:a>2,b<2 q:a>b,当a=1,b=0时,满足a>b,但qp,故p是q的充分不必要条件;
对于C,四边形的两条对角线互相垂直平分四边形是正方形,反之,四边形是正方形 四边形的两条对角线互相垂直平分,故p是q的必要不充分条件;
对于D,若a≠0,则关于x的方程ax=1有唯一解,若关于x的方程ax=1有唯一解,则a≠0,所以p q,故p是q的充要条件.故选D.
4.“方程x2-2x+m=0至多有一个实数解”的一个充要条件是　　　　.
【答案】 m≥1
【解析】 若x2-2x+m=0有两个不相等的实数根,则Δ=4-4m>0 m<1,
故方程x2-2x+m=0至多有一个实数解时,m≥1,故“方程x2-2x+m=0至多有一个实数解”的一个充要条件是m≥1.
基础巩固
1.“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 若两个三角形全等,则两个三角形的面积相等,即充分性成立.
若两个三角形的面积相等,则两个三角形不一定全等,即必要性不成立.
故“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的充分不必要条件.故选A.
2.若p:-1≤x≤2,q:-1≤x≤1,则p为q的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 C
【解析】 p:-1≤x≤2,q:-1≤x≤1,
则pq,但q p,
故p为q的必要不充分条件.故选C.
3.“x<”是“2x<3”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 由2x<3,得x<,而<,故由“x<”可以推出“2x<3”.反之,由“2x<3”不能推出“x<”.
所以“x<”是“2x<3”的充分不必要条件.故选A.
4.等式|a+b|=|a|+|b|成立的充要条件是(　　)
A.ab=0 B.ab>0
C.ab≥0 D.ab≤0
【答案】 C
【解析】 当ab≥0时,|a+b|=|a|+|b|;当ab<0时,|a+b|<|a|+|b|.则等式|a+b|=|a|+|b|成立的充要条件是ab≥0.故选C.
5.(多选题)设全集U,则下列四个命题中是“A B”的充要条件的命题是(　　)
A.A∩B=A B. UA UB
C.( UB)∩A= D.( UA)∩B=
【答案】 ABC
【解析】 A∩B=A A B,故A满足条件.
UA UB A B,故B满足条件.
( UB)∩A= A B,故C满足条件.
由( UA)∩B=,可得B A,不能推出A B,故“( UA)∩B=”不是“A B”的充要条件,故D不满足条件.故选A,B,C.
6.a,b中至少有一个不为零的充要条件是(　　)
A.ab=0 B.ab>0
C.a2+b2=0 D.a2+b2>0
【答案】 D
【解析】 对于A,a,b中至少有一个不为零,可以a,b都不为0,而由ab=0,可得a=0或b=0,因此不满足条件.
对于B,a,b中至少有一个不为零,a,b可以有一个为0;而ab>0,可得a,b都不为0,不满足
条件.
对于C,由a2+b2=0,可得a=b=0,不满足条件.
对于D,由a2+b2>0 a,b中至少有一个不为零.故选D.
7.若“x>k”是“-3≤x<2”的必要不充分条件,则实数k的取值范围是　　　　　　　　.
【答案】 (-∞,-3)
【解析】 因为x>k是-3≤x<2的必要不充分条件,所以[-3,2) (k,+∞).
所以k<-3.
8.请用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空:
(1)“m=1或3”是“函数y=为二次函数”的　　　　条件.
(2)“△ABC是锐角三角形”是“∠ABC为锐角”的　　　　　　　条件.
【答案】 (1)充要　(2)充分不必要
【解析】 (1)当函数y=为二次函数时,m2-4m+5=2,即m2-4m+3=0,解得m=1或m=3.故“m=1或3”是“函数y=为二次函数”的充要条件.
(2)三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形,
所以△ABC是锐角三角形可推出∠ABC为锐角;反过来,∠ABC为锐角,无法确定其他两个角是不是锐角,故推不出△ABC是锐角三角形.
所以“△ABC是锐角三角形”是“∠ABC为锐角”的充分不必要条件.
9.已知a+b≠0,求证:a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1.
【证明】 充分性:
若a+b=1,则a2+b2-a-b+2ab=(a+b)2-(a+b)=1-1=0,即充分性成立.
必要性:
若a2+b2-a-b+2ab=0,
则(a+b)2-(a+b)=(a+b)(a+b-1)=0.
因为a+b≠0,所以a+b-1=0,
即a+b=1,必要性成立.
综上,a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是
a+b=1.
10.已知下列是关于x的方程(m∈Z).
①mx2-4x+4=0,
②x2-4mx+4m2-4m-5=0.
求方程①和②都有整数解的充要条件.
【解】 方程①有实数解的充要条件是m=0或
解得m≤1.
方程②有实数解的充要条件是Δ2=16m2-4(4m2-4m-5)≥0,即m≥-,
所以-≤m≤1.
而m∈Z,故m=-1或m=0或m=1.
当m=-1时,①即-x2-4x+4=0,无整数解;
当m=0时,②即x2-5=0,无整数解;
当m=1时,①x2-4x+4=0有整数解x=2,
②x2-4x-5=0有整数解x=-1或x=5,
从而①②都有整数解.
所以①②都有整数解的充要条件是m=1.
能力提升
11.(多选题)若p:x2+x-6=0是q:ax+1=0的必要不充分条件,则实数a的值为(　　)
A.2 B.- C. D.3
【答案】 BC
【解析】 由x2+x-6=0,可得x=2或x=-3,
a≠0,解方程ax+1=0,可得x=-.
由题意知p q,q p,
此时应有-=2或-=-3,
解得a=-或a=.
综上可得,a=-或a=.故选B,C.
12.“k>4,b<5”是“一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴”的　　　　条件.
【答案】 充要
【解析】 因为当k>4时,k-4>0,当b<5时,b-5<0,
所以直线y=(k-4)x+b-5交y轴于负半轴,交x轴于正半轴;直线y=(k-4)x+b-5与y轴交于点(0,b-5),与x轴交于点(,0),
由图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴可知
所以所以“k>4,b<5”是“一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴”的充要条件.
13.已知P={x|1≤x≤4},S={x|1-m≤x≤1+m}.
(1)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件 若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
(2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件 若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解】 (1)不存在.理由如下:要使x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,即此方程组无解.所以不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.
(2)存在.要使x∈P是x∈S的必要条件,则S P.当S=时,由1-m>1+m,解得m<0;
当S≠时,由1-m≤1+m,解得m≥0,
要使S P,则有解得m≤0,
所以m=0.
综上可得,当m≤0时,x∈P是x∈S的必要条件.
应用创新
14.甲、乙、丙、丁四名同学在玩一个猜数字游戏,甲、乙、丙共同写出三个集合:A=
{x|0<Δx<2},B={x|-3≤x≤5},C={x|0A.3或4　　B.2或3　　C.1或2　　D.1或3
【答案】 C
【解析】 因为此数为小于5的正整数,
故A={x|0<Δx<2}={x|0因为B是A成立的必要不充分条件,C是A成立的充分不必要条件,
所以C是A的真子集,A是B的真子集,
故>且≤5,解得Δ∈[,3).
故“Δ”中的数字可以是1或2.故选C.
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