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第2课时　基本不等式(二)
基础巩固
1.已知a>0,b>0,a+2b=4,则ab的最大值是(　　)
A. B.2 C.4 D.4
【答案】 B
【解析】 ab=(a·2b)≤()2=×4=2,
等号成立条件是a=2b,即a+2b=4b=4时取等号,即当且仅当a=2,b=1时,等号成立,
所以ab的最大值是2.故选B.
2.已知y=3-x-,则当x<0时,y有(　　)
A.最大值3+2 B.最小值3+2
C.最大值3-2 D.最小值3-2
【答案】 B
【解析】 由题意当x<0时,y=3+[(-x)+(-)]≥3+2,当且仅当x=-时,等号成立.故选B.
3.若x>1,则x+的最小值等于(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】 D
【解析】 因为x>1,
所以x-1>0,
因此x+=x-1++1
≥2+1=3,
当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立,所以x+的最小值等于3.故选D.
4.已知x>0,y>0,且2x+y=1,则+的最小值为(　　)
A.6 B.9 C.12 D.18
【答案】 B
【解析】 因为2x+y=1,x>0,y>0,
所以+=(2x+y)(+)=5++≥5+2=9,
当且仅当=且2x+y=1,
即x=y=时,等号成立,
故+的最小值为9.
故选B.
5.若制作一个面积为1 m2且形状为直角三角形的铁支架,则较经济(耗材最少)的铁管长度为(　　)
A.4.6 m B.4.8 m
C.5 m D.5.2 m
【答案】 C
【解析】 设一条直角边为x m,则另一条直角边是 m,斜边长为 m,所以直角三角形的周长l=x++≥2+=2+2≈4.83,当且仅当x=且x2=,即x=时,等号成立,
所以较经济(够用,又耗材最少)的铁管长度为 5 m.故选C.
6.(多选题)下列结论不正确的是(　　)
A.当x>0时,+≥2
B.当x>0时,的最小值是2
C.当x<0时,2x-1+的最小值是
D.若x>0,y>0,且x+y=2,则+的最小值是
【答案】 BC
【解析】 当x>0时,+≥2=2,当且仅当=,即x=1时,等号成立,A正确;
当x>0时,=+≥2=2,当且仅当=时,等号成立,但=无实解,故最小值2取不到,B不正确;
当x<0时,2x-1+<0,最小值显然不可能是正值,C不正确;
因为x>0,y>0,且x+y=2,所以+=(x+y)(+)=(5++)≥(5+2)=,当且仅当=,即x=,y=时,等号成立,D正确.故选B,C.
7.若正数x,y满足x2-2xy+2=0,则x+y的最小值是　　　　.
【答案】
【解析】 正数x,y满足x2-2xy+2=0,
所以y=+,
所以x+y=+≥2=,
当且仅当=,即x=时取等号,
所以x+y的最小值为.
8.我国南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足 a=6,b+c=8,则此三角形面积的最大值为　　　　.
【答案】 3
【解析】 由题意知,p=7,
S==≤ ·=3,
当且仅当7-b=7-c,即b=c=4时,等号成立,因此三角形面积的最大值为3.
9.某市的垃圾处理站每月的垃圾处理成本y(单位:元)与月垃圾处理量x(单位:吨)之间的关系可近似地表示为y=x2-200x+80 000,求该站每月垃圾处理量为多少吨时,才能使每吨垃圾的平均处理成本最低 最低平均处理成本是多少
【解】 由题意可知,每吨垃圾的平均处理成本为
=x+-200≥2-200=200,
当且仅当x=,
即x=400时,等号成立,
故该站垃圾处理量为400吨时,才能使每吨垃圾的平均处理成本最低,最低成本为200元.
10.已知正数a,b满足+=1.
(1)求a+b的最小值;
(2)求+的最小值.
【解】 (1)因为a,b是正数,
所以a+b=(a+b)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时,等号成立,
故a+b的最小值为4.
(2)由+=1得ab=a+b且a>1,b>1,
即(a-1)(b-1)=1.
因为a>1,b>1,
所以a-1>0,b-1>0,
则+=4++9+≥13+2=25,
当且仅当a=,b=时,等号成立,
故+的最小值为25.
能力提升
11.(多选题)已知正数x,y满足x+y=4,则下列选项正确的是(　　)
A.+的最小值是2
B.(+)(y+)的最小值是4
C.x2+y2的最小值是8
D.x(y-2)的最大值是1
【答案】 BCD
【解析】 对于A,因为x>0,y>0,x+y=4,
所以+=(x+y)(+)=(2++)≥(2+2)=1,
当且仅当=,即x=y=2时,等号成立,故A错误;
对于B,因为x>0,y>0,
所以+≥2=1,当且仅当=,即x=2时等号成立,
y+≥2=4,当且仅当y=,即y=2时等号成立,
两式相乘得(+)(y+)≥4,当且仅当x=y=2时,等号成立,故B正确;
对于C,x2+y2=(x+y)2-2xy≥(x+y)2-2()2==8,
当且仅当x=y=2时,等号成立,故C正确;
对于D,因为x>0,y>0,x+y=4,
所以0所以x(y-2)=x(-x+2)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,当x=1时,x(y-2)取得最大值1,故D正确.故选B,C,D.
12.已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是　　　　.
【答案】
【解析】 因为5x2y2+y4=1,
所以y≠0且x2=,所以x2+y2=+y2=+≥2=,
当且仅当=,
即x2=,y2=时,等号成立.
所以x2+y2的最小值为.
13.如图,设矩形ABCD(AB>AD)的周长为16 cm,把△ABC沿AC向△ADC折叠,AB折过去后交DC于点P,设AB=x cm,DP=y cm.
(1)用x的代数式表示y,并写出x的取值范围;
(2)求△ADP的最大面积及相应x的值.
【解】 (1)如图,因为AB=x cm,由矩形ABCD(AB>AD)的周长为16 cm,可知AD=(8-x) cm,设PC=a cm,则DP=(x-a) cm,
因为∠APD=∠CPB′,∠ADP=∠CB′P=90°,
AD=CB′,
所以Rt△ADP≌Rt△CB′P,
所以AP=PC=a cm.
在Rt△ADP中,
由勾股定理得AD2+DP2=AP2,
即(8-x)2+(x-a)2=a2,
解得a=,
所以DP=x-a=,
即y=(4(2)△ADP的面积为S=AD·DP=(8-x)·=4·=
4≤4×(-2+12)=48-32,
当且仅当x=,
即x=4时,△ADP的面积最大,面积的最大值为(48-32) cm2.
应用创新
14.已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,则m的最大值为 　　　　.
【答案】 9
【解析】 因为a>0,b>0,不等式+≥恒成立,
所以m≤(a+b)(+)恒成立,只需m≤[(a+b)·(+)]min,
又(a+b)(+)=5++≥5+2=5+2×2=9,
当且仅当=,
即a=2b时,等号成立,
即[(a+b)(+)]min=9,
所以m≤9,则m的最大值为9.
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第2课时　基本不等式(二)
1.通过基本不等式求函数最值的应用,提升数学运算素养.2.借助基本不等式在实际问题中的应用,提升数学建模素养.
【课程标准要求】
当x,y均为正数时,下列命题均成立:
(1)若x+y=s(s为定值),则当且仅当x=y时,xy取得最大值 ;
(2)若xy=p(p为定值),则当且仅当x=y时,x+y取得最小值 .
[思考] 两个正数的积为定值,它们的和一定有最小值吗
提示:不一定.应用基本不等式求最值时还要求等号能取到.
题型一　利用基本不等式求最值
·解题策略·
在具体问题中,“正数”条件一般由已知条件容易获得,“相等”条件也易验证确定,而获得“定值”条件往往被设计为一个难点,它需要一定的变形能力,因此,“定值”条件是运用基本不等式求最值的关键,解题时应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”等方法,创造应用基本不等式及使等号成立的条件.当连续应用基本不等式时,要注意各不等式取等号时的条件是否一致,否则也不能求出最值.
题型二　基本不等式的灵活应用
16
·解题策略·
1的代换:利用已知的条件或将已知条件变形得到含1的式子,将1代入后再利用基本不等式求最值.
ABD
题型三　利用基本不等式解应用题
[例3] 现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地租用费为y1(单位:万元),仓库到车站的距离为x(单位:km),x>0,其中y1与x+1成反比,每月库存货物费y2(单位:万元)与x成正比,若在距离车站9 km处建仓库,则y1和y2分别为2万元和7.2万元.则这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最少 最少费用是多少
·解题策略·
实际问题中求最值的一般思路
(1)先读懂题意,设出变量,厘清思路,列出函数的关系式.
(2)把实际问题转化为求函数的最大值或最小值问题.设变量时一般要把最大值或最小值的变量定义为函数.
(3)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
(4)用基本不等式求函数的最大值或最小值.
【学海拾贝】
基本不等式与参数的取值范围问题
·解题策略·
a≤y恒成立,等价于a≤ymin;a≥y恒成立,等价于a≥ymax.
B
当堂检测
B
2.已知x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为(　　)
A.80 B.77 C.81 D.82
C
B
4.某公司购买了一批机器并投入生产.据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N+),则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是　　万元.
8第2课时　基本不等式(二)
【课程标准要求】　1.通过基本不等式求函数最值的应用,提升数学运算素养.2.借助基本不等式在实际问题中的应用,提升数学建模素养.
当x,y均为正数时,下列命题均成立:
(1)若x+y=s(s为定值),则当且仅当x=y时,xy取得最大值;
(2)若xy=p(p为定值),则当且仅当x=y时,x+y取得最小值2.
[思考] 两个正数的积为定值,它们的和一定有最小值吗
提示:不一定.应用基本不等式求最值时还要求等号能取到.
题型一　利用基本不等式求最值
[例1] (1)若x<0,求y=+3x的最大值;
(2)已知x>1,求y=的最小值;
(3)已知0【解】 (1)因为x<0,所以y=-[(-)+(-3x)]≤-2=-12,
当且仅当-=-3x,即x=-2时,等号成立,所以y的最大值为-12.
(2)因为x>1,所以x-1>0.
设t=x-1(t>0),则x=t+1,
所以y===t++2≥2+2=2+2,
当且仅当t=,即t=,x=+1时,等号成立,所以y的最小值为2+2.
(3)因为00,
则由基本不等式得,x(3-2x)=≤=,
当且仅当2x=3-2x,即x=时,等号成立,
所以y的最大值为.
在具体问题中,“正数”条件一般由已知条件容易获得,“相等”条件也易验证确定,而获得“定值”条件往往被设计为一个难点,它需要一定的变形能力,因此,“定值”条件是运用基本不等式求最值的关键,解题时应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”等方法,创造应用基本不等式及使等号成立的条件.当连续应用基本不等式时,要注意各不等式取等号时的条件是否一致,否则也不能求出最值.
[变式训练] (1)已知x>2,求x+的最小值;
(2)若x≠0,求y=的最大值.
【解】 (1)因为x>2,所以x-2>0,
所以x+=x-2++2≥
2+2=6,
当且仅当x-2=,即x=4时,等号成立.
所以x+的最小值为6.
(2)因为x≠0,所以y==.
因为x2+≥2,
当且仅当x2=,即x2=时,等号成立.
所以≤=,
所以y=的最大值为.
题型二　基本不等式的灵活应用
[例2] (1)已知x>0,y>0且+=1,则x+y的最小值为　　　　.
(2)已知正数x,y满足x+y=1,则+的最小值为　　　　.
【答案】 (1)16　(2)
【解析】 (1)法一(1的代换)
因为+=1,
所以x+y=(x+y)·(+)=10++.
因为x>0,y>0,所以+≥2=6,
当且仅当=,即y=3x①时,等号成立.
又+=1,②
解①②可得x=4,y=12.
所以当x=4,y=12时,x+y的最小值是16.
法二(消元法)　由+=1,得x=.
因为x>0,y>0,所以y>9.
所以x+y=+y=y+=
y++1=(y-9)++10.
因为y>9,所以y-9>0,
所以(y-9)+≥2=6.
当且仅当y-9=,
即y=12时,等号成立,此时x=4,
所以当x=4,y=12时,x+y的最小值是16.
(2)因为正数x,y满足x+y=1,即有(x+2)+(y+1)=4,则+=[(x+2)+(y+1)](+)=[5++]≥[5+2]=×(5+4)=,
当且仅当x=2y=时,取得最小值.
1的代换:利用已知的条件或将已知条件变形得到含1的式子,将1代入后再利用基本不等式求最值.
[变式训练] (多选题)已知a>0,b>0,且2a+b=2ab,则(　　)
A.a>
B.b>1
C.ab≤2
D.(2a-1)2+(b-1)2≥2
【答案】 ABD
【解析】 A中,因为2a+b=2ab,所以b=,
因为a>0,b>0,所以>0,解得a>,所以A正确;
B中,因为2a+b=2ab,所以a=,
因为a>0,b>0,所以>0,可得b>1,所以B正确;
C中,因为a>0,b>0,且2a+b=2ab,
所以2ab≥2,解得ab≥2,
当且仅当2a=b=2时,等号成立,所以C错误;
D中,因为2a+b=2ab,所以b=,
所以b-1=-1=>0,
所以(2a-1)2+(b-1)2=(2a-1)2+≥2(2a-1)·=2,当且仅当2a-1=,即a=1时,等号成立,则D正确.故选A,B,D.
题型三　利用基本不等式解应用题
[例3] 现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地租用费为y1(单位:万元),仓库到车站的距离为x(单位:km),x>0,其中y1与x+1成反比,每月库存货物费y2(单位:万元)与x成正比,若在距离车站9 km处建仓库,则y1和y2分别为2万元和7.2万元.则这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最少 最少费用是多少
【解】 设y1=(k≠0),y2=mx(m≠0),
其中x>0.
当x=9时,y1==2,y2=9m=7.2,
解得k=20,m=0.8,所以y1=,y2=0.8x,
设两项费用之和为z(单位:万元),
则z=y1+y2=+0.8x=+0.8(x+1)-0.8≥2 -0.8=7.2.
当且仅当=0.8(x+1),即x=4时,等号成立,所以这家公司应该把仓库建在距离车站4 km处才能使两项费用之和最少,最少费用是7.2万元.
实际问题中求最值的一般思路
(1)先读懂题意,设出变量,厘清思路,列出函数的关系式.
(2)把实际问题转化为求函数的最大值或最小值问题.设变量时一般要把最大值或最小值的变量定义为函数.
(3)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
(4)用基本不等式求函数的最大值或最小值.
[变式训练] 某企业投入资金,将某产品二次加工后进行推广促销.预计该批产品销售量Q万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x万元之间的函数关系为Q=(其中推广促销费不能超过3万元).已知加工此批产品还要投入成本2(Q+)万元(不包含推广促销费用),若加工后的每件成品的销售价格定为(2+)元/件,那么当推广促销费投入多少万元时,此批产品的利润最大 最大利润为多少 (利润=销售额-成本-推广促销费)
【解】 设该批产品的利润为y,
由题意知y=(2+)·Q-2(Q+)-x
=2Q+20-2Q--x=20--x
=20--x=21-[+(x+1)],0≤x≤3.
因为21-[+(x+1)]≤21-2=17,
当且仅当x=1时,等号成立,
所以当x=1时,取得最大值17.
所以当推广促销费投入1万元时,利润最大,最大利润为17万元.
【学海拾贝】
基本不等式与参数的取值范围问题
[典例探究] 已知两个正数x,y满足x+y=1,求使不等式+≥m恒成立的实数m的取值范围.
【解】 因为+=(x+y)(+)=5++≥5+2=9,当且仅当=,
又x+y=1,即x=,y=时,等号成立.
所以+的最小值为9,所以m≤9.
综上,实数m的取值范围是(-∞,9].
a≤y恒成立,等价于a≤ymin;a≥y恒成立,等价于a≥ymax.
[应用探究] 已知a>0,b>0,若不等式+≥ 恒成立,则实数m的最大值是(　　)
A.10 B.9 C.8 D.7
【答案】 B
【解析】 因为a>0,b>0,所以+≥等价于(2a+b)·(+)≥m.
又(2a+b)(+)=5++≥5+2=9.
当且仅当=,即a=b时,等号成立.
所以9≥m,故m的最大值为9.
故选B.
当堂检测
1.若x>0,则y=x+(　　)
A.有最大值-4 B.有最小值4
C.有最大值-2 D.有最小值2
【答案】 B
【解析】 因为x>0,所以y=x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时y=x+取得最小值4.故
选B.
2.已知x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为(　　)
A.80 B.77 C.81 D.82
【答案】 C
【解析】 因为x>0,y>0,x+y=18,所以x+y≥2,
所以xy≤()2=81,当且仅当x=y=9时,等号成立,所以xy有最大值81.故选C.
3.已知a>0,b>0,且4a+b=1,则+的最小值是(　　)
A.4 B.5
C.6 D.1+2
【答案】 B
【解析】 因为4a+b=1,a>0,b>0,所以+=+=++1≥2+1=5,当且仅当
即时,等号成立.
所以+的最小值是5.故选B.
4.某公司购买了一批机器并投入生产.据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N+),则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是　　　　万元.
【答案】 8
【解析】 每台机器运转x年的年平均利润为=18-(x+),而x>0,所以-(x+)≤-2=-10,故≤18-10=8,当且仅当x=5时,等号成立,此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大,最大值为8万元.
基础巩固
1.已知a>0,b>0,a+2b=4,则ab的最大值是(　　)
A. B.2 C.4 D.4
【答案】 B
【解析】 ab=(a·2b)≤()2=×4=2,
等号成立条件是a=2b,即a+2b=4b=4时取等号,即当且仅当a=2,b=1时,等号成立,
所以ab的最大值是2.故选B.
2.已知y=3-x-,则当x<0时,y有(　　)
A.最大值3+2 B.最小值3+2
C.最大值3-2 D.最小值3-2
【答案】 B
【解析】 由题意当x<0时,y=3+[(-x)+(-)]≥3+2,当且仅当x=-时,等号成立.故选B.
3.若x>1,则x+的最小值等于(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】 D
【解析】 因为x>1,
所以x-1>0,
因此x+=x-1++1
≥2+1=3,
当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立,所以x+的最小值等于3.故选D.
4.已知x>0,y>0,且2x+y=1,则+的最小值为(　　)
A.6 B.9 C.12 D.18
【答案】 B
【解析】 因为2x+y=1,x>0,y>0,
所以+=(2x+y)(+)=5++≥5+2=9,
当且仅当=且2x+y=1,
即x=y=时,等号成立,
故+的最小值为9.
故选B.
5.若制作一个面积为1 m2且形状为直角三角形的铁支架,则较经济(耗材最少)的铁管长度为(　　)
A.4.6 m B.4.8 m
C.5 m D.5.2 m
【答案】 C
【解析】 设一条直角边为x m,则另一条直角边是 m,斜边长为 m,所以直角三角形的周长l=x++≥2+=2+2≈4.83,当且仅当x=且x2=,即x=时,等号成立,
所以较经济(够用,又耗材最少)的铁管长度为 5 m.故选C.
6.(多选题)下列结论不正确的是(　　)
A.当x>0时,+≥2
B.当x>0时,的最小值是2
C.当x<0时,2x-1+的最小值是
D.若x>0,y>0,且x+y=2,则+的最小值是
【答案】 BC
【解析】 当x>0时,+≥2=2,当且仅当=,即x=1时,等号成立,A正确;
当x>0时,=+≥2=2,当且仅当=时,等号成立,但=无实解,故最小值2取不到,B不正确;
当x<0时,2x-1+<0,最小值显然不可能是正值,C不正确;
因为x>0,y>0,且x+y=2,所以+=(x+y)(+)=(5++)≥(5+2)=,当且仅当=,即x=,y=时,等号成立,D正确.故选B,C.
7.若正数x,y满足x2-2xy+2=0,则x+y的最小值是　　　　.
【答案】
【解析】 正数x,y满足x2-2xy+2=0,
所以y=+,
所以x+y=+≥2=,
当且仅当=,即x=时取等号,
所以x+y的最小值为.
8.我国南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足 a=6,b+c=8,则此三角形面积的最大值为　　　　.
【答案】 3
【解析】 由题意知,p=7,
S==≤ ·=3,
当且仅当7-b=7-c,即b=c=4时,等号成立,因此三角形面积的最大值为3.
9.某市的垃圾处理站每月的垃圾处理成本y(单位:元)与月垃圾处理量x(单位:吨)之间的关系可近似地表示为y=x2-200x+80 000,求该站每月垃圾处理量为多少吨时,才能使每吨垃圾的平均处理成本最低 最低平均处理成本是多少
【解】 由题意可知,每吨垃圾的平均处理成本为
=x+-200≥2-200=200,
当且仅当x=,
即x=400时,等号成立,
故该站垃圾处理量为400吨时,才能使每吨垃圾的平均处理成本最低,最低成本为200元.
10.已知正数a,b满足+=1.
(1)求a+b的最小值;
(2)求+的最小值.
【解】 (1)因为a,b是正数,
所以a+b=(a+b)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时,等号成立,
故a+b的最小值为4.
(2)由+=1得ab=a+b且a>1,b>1,
即(a-1)(b-1)=1.
因为a>1,b>1,
所以a-1>0,b-1>0,
则+=4++9+≥13+2=25,
当且仅当a=,b=时,等号成立,
故+的最小值为25.
能力提升
11.(多选题)已知正数x,y满足x+y=4,则下列选项正确的是(　　)
A.+的最小值是2
B.(+)(y+)的最小值是4
C.x2+y2的最小值是8
D.x(y-2)的最大值是1
【答案】 BCD
【解析】 对于A,因为x>0,y>0,x+y=4,
所以+=(x+y)(+)=(2++)≥(2+2)=1,
当且仅当=,即x=y=2时,等号成立,故A错误;
对于B,因为x>0,y>0,
所以+≥2=1,当且仅当=,即x=2时等号成立,
y+≥2=4,当且仅当y=,即y=2时等号成立,
两式相乘得(+)(y+)≥4,当且仅当x=y=2时,等号成立,故B正确;
对于C,x2+y2=(x+y)2-2xy≥(x+y)2-2()2==8,
当且仅当x=y=2时,等号成立,故C正确;
对于D,因为x>0,y>0,x+y=4,
所以0所以x(y-2)=x(-x+2)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,当x=1时,x(y-2)取得最大值1,故D正确.故选B,C,D.
12.已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是　　　　.
【答案】
【解析】 因为5x2y2+y4=1,
所以y≠0且x2=,所以x2+y2=+y2=+≥2=,
当且仅当=,
即x2=,y2=时,等号成立.
所以x2+y2的最小值为.
13.如图,设矩形ABCD(AB>AD)的周长为16 cm,把△ABC沿AC向△ADC折叠,AB折过去后交DC于点P,设AB=x cm,DP=y cm.
(1)用x的代数式表示y,并写出x的取值范围;
(2)求△ADP的最大面积及相应x的值.
【解】 (1)如图,因为AB=x cm,由矩形ABCD(AB>AD)的周长为16 cm,可知AD=(8-x) cm,设PC=a cm,则DP=(x-a) cm,
因为∠APD=∠CPB′,∠ADP=∠CB′P=90°,
AD=CB′,
所以Rt△ADP≌Rt△CB′P,
所以AP=PC=a cm.
在Rt△ADP中,
由勾股定理得AD2+DP2=AP2,
即(8-x)2+(x-a)2=a2,
解得a=,
所以DP=x-a=,
即y=(4(2)△ADP的面积为S=AD·DP=(8-x)·=4·=
4≤4×(-2+12)=48-32,
当且仅当x=,
即x=4时,△ADP的面积最大,面积的最大值为(48-32) cm2.
应用创新
14.已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,则m的最大值为 　　　　.
【答案】 9
【解析】 因为a>0,b>0,不等式+≥恒成立,
所以m≤(a+b)(+)恒成立,只需m≤[(a+b)·(+)]min,
又(a+b)(+)=5++≥5+2=5+2×2=9,
当且仅当=,
即a=2b时,等号成立,
即[(a+b)(+)]min=9,
所以m≤9,则m的最大值为9.
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