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第2课时　函数奇偶性的应用
基础巩固
1.已知函数f(x)是R上的偶函数,当x<0时,f(x)=2x2-x-1,则当x>0时,f(x)等于(　　)
A.2x2+x-1 B.-2x2+x-1
C.2x2-x+1 D.-2x2-x-1
【答案】 A
【解析】 根据题意,当x>0时,-x<0,f(-x)=2(-x)2-(-x)-1=2x2+x-1.
由f(x)为偶函数,
得f(x)=f(-x)=2x2+x-1.故选A.
2.若函数f(x)是R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则下列关系成立的是(　　)
A.f(-3)>f(0)>f(1)
B.f(-3)>f(1)>f(0)
C.f(1)>f(0)>f(-3)
D.f(1)>f(-3)>f(0)
【答案】 B
【解析】 因为f(-3)=f(3),且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,所以f(-3)=f(3)>f(1)>f(0).故选B.
3.设函数f(x)=若f(x)是偶函数,则g(-2)等于(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】 C
【解析】 由已知可得g(-2)=f(-2)=f(2)=22-2×2+1=1.故选C.
4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递减,f(1)=0,则不等式xf(x)>0的解集为(　　)
A.(-1,0) B.(1,+∞)
C.(-1,1) D.(-1,0)∪(1,+∞)
【答案】 D
【解析】 因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递减,f(1)=0,
所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,
f(-1)=f(1)=0.
当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f(x)>0,当 x∈(-1,1)时,f(x)<0.
又不等式xf(x)>0,
所以当x<0时,f(x)<0,此时-1当x>0时,f(x)>0,此时x>1.
综上,不等式xf(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞).故选D.
5.已知函数f(x)的定义域为R,f(5)=4,f(x+3)是偶函数,且f(x)在[3,+∞)上单调递增,则(　　)
A.f(0)<4 B.f(1)=4
C.f(2)>4 D.f(3)<0
【答案】 B
【解析】 因为f(x+3)是偶函数,
所以f(3+x)=f(3-x).
所以f(3+2)=f(3-2),即f(5)=f(1)=4,故B正确.
由f(3+x)=f(3-x),得f(x)图象的对称轴为直线 x=3.由f(x)在[3,+∞)上单调递增,得f(x)在(-∞,3)上单调递减.
所以f(0)>f(1)=4,f(2)6.(多选题)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x2-2x,则下列说法正确的是(　　)
A.f(1)=-3
B.当x∈(0,+∞)时,f(x)=x2+2x
C.f(x)在定义域R上为减函数
D.不等式f(x-1)>3的解集为(-∞,4)
【答案】 AC
【解析】 当x∈(-∞,0)时,f(x)=x2-2x,
令x∈(0,+∞),则-x∈(-∞,0),
所以f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x.
因为f(x)是奇函数,
所以f(-x)=-f(x)=x2+2x.
所以当x∈(0,+∞)时,f(x)=-x2-2x.
因此f(1)=-12-2×1=-3,所以A正确,B错误.
当x∈(-∞,0)时,函数f(x)=x2-2x,
由二次函数的性质可知函数f(x)在(-∞,0)上单调递减;
当x∈(0,+∞)时,f(x)=-x2-2x,
由二次函数的性质可知函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(0)=0,
故f(x)在整个定义域R上是减函数,故C正确.
因为f(-1)=(-1)2-2×(-1)=3,
所以不等式f(x-1)>3等价于f(x-1)>f(-1).
因为f(x)在定义域R上是减函数,所以x-1<-1,解得x<0.
所以不等式f(x-1)>3的解集为(-∞,0),故D错误.
故选A,C.
7.已知函数f(x)=为偶函数,则a+b+c=　　　　.
【答案】 2
【解析】 由题可得f(-x)=f(x).当x≥0时,f(x)=x2-x+a,
令x<0,则-x>0,有f(-x)=(-x)2+x+a=bx2+cx b=1,c=1,a=0,
所以a+b+c=2.
8.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递减,则不等式 f(3x-1)-f(2x-1)<0的解集为　　　　　　　　.
【答案】 {x|x<0或x>}
【解析】 因为f(x)是定义在R上的偶函数,且 f(x)在[0,+∞)上单调递减,则不等式f(3x-1)-f(2x-1)<0可化为f(3x-1)所以|3x-1|>|2x-1|,两边同时平方,得9x2-6x+1>4x2-4x+1,
解得x<0或x>.
9.已知函数f(x)=(a-1)x3+x2+3是定义在[b,1-]上的偶函数.
(1)求实数a,b的值;
(2)求函数g(x)=f(x)-2x的值域.
【解】 (1)因为f(x)=(a-1)x3+x2+3是定义在[b,1-]上的偶函数,
所以b+1-b=0,
即b=-2.
因为f(-x)=-(a-1)x3+x2+3=(a-1)x3+x2+3=f(x),
所以a=1.
(2)g(x)=f(x)-2x=x2-2x+3=(x-1)2+2,x∈[-2,2].
根据二次函数的性质可得,当x=1时,函数取得最小值2,当x=-2时,函数取得最大值11,
故函数的值域为[2,11].
10.已知函数f(x)=x3+ax2-3x+b是定义域为(-1,1)上的奇函数.
(1)求a,b的值.
(2)求证:f(x)在定义域内是减函数.
(3)解关于x的不等式f(2x-1)+f(x-1)≤0.
(1)【解】 由题意可得f(0)=b=0.
又当x∈(-1,1)时,f(x)是奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
即-x3+ax2+3x=-x3-ax2+3x,
可得a=0,所以a=0,b=0.
(2)【证明】 由(1)可得f(x)=x3-3x.
设-1所以x1-x2<0,0<<1,0<<1,+x1x2+-3=(x1+)2+-3<0,
则f(x1)-f(x2)=-3x1-(-3x2)=--(3x1-3x2)=(x1-x2)(+x1x2+-3)>0,
即f(x)在定义域内是减函数.
(3)【解】 因为f(x)是奇函数,
所以原不等式可化为
f(2x-1)≤-f(x-1)=f(1-x).
又f(x)在定义域内是减函数,
所以
解得≤x<1.
所以不等式的解集为[,1).
能力提升
11.(多选题)已知f(x)是定义在R上的奇函数,g(x) 是定义在R上的偶函数,且f(x),g(x)在(-∞,0]上单调递增,则以下结论正确的是(　　)
A.f(f(1))B.f(g(-1))C.g(f(1))>g(f(2))
D.g(g(1))>g(g(2))
【答案】 AC
【解析】 由f(x)是奇函数,且在(-∞,0]上单调递增,得f(x)在R上单调递增,所以f(1)g(2),所以f(g(-1))>f(g(2)),所以B错误;因为0=f(0)g(f(2)),所以C正确;因为g(1)>g(2),但正负号无法确定,所以 g(g(1)) 和g(g(2))的大小关系不确定,所以D错误.故选A,C.
12.已知f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在[0,+∞)上单调递增,则满足 f(1-m)【答案】 (0,2)　f(x)=x2-4x
【解析】 因为f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以不等式f(1-m)即|1-m|=|m-1|<1,得-1得0若x<0,则-x>0,
则f(-x)=x2-4x=f(x),
则当x<0时,f(x)=x2-4x.
13.已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1,当x>0时,f(x)>f(0).
(1)求f(0)的值,并证明函数f(x)为R上的增函数.
(2)求证:函数f(x)+1为奇函数.
(3)若f(1)=0,解不等式f(x2-x)-f(2+x)<6.
(1)【解】 因为f(x+y)=f(x)+f(y)+1对任意实数x,y都成立,所以当x=y=0时,
上式可化为f(0)=f(0)+f(0)+1,
可得f(0)=-1.
任取x=x2,y=x1-x2,
则f(x2+x1-x2)=f(x2)+f(x1-x2)+1,
即f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)+1.
假设x1>x2,则根据当x>0时,
f(x)>f(0)=-1,有f(x1-x2)>-1,
即f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)+1>0,
所以 f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)为R上的增函数.
(2)【证明】 要证函数f(x)+1为奇函数,
只需证f(-x)+1=-[f(x)+1],
即证f(-x)+f(x)=-2.
由于f(x+y)=f(x)+f(y)+1,
假设y=-x,
则有f(0)=f(x)+f(-x)+1.
又因为f(0)=-1,
所以f(x)+f(-x)=-2,即原问题得证.
(3)【解】 由f(x+y)=f(x)+f(y)+1,
f(1)=0,可得
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+1=1,
f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)+1=2,
f(6)=f(3+3)=f(3)+f(3)+1=5,
所以不等式f(x2-x)-f(2+x)<6等价于 f(x2-x)因为函数f(x)为R上的增函数,
所以x2-x即不等式的解集为{x|-2应用创新
14.定义:对于函数f(x),若定义域内存在实数x0满足f(-x0)=-f(x0),则称f(x)为“局部奇函数”.若f(x)=+m是定义在区间(-1,1)上的“局部奇函数”,则实数m的取值范围是　　　　.
【答案】 [,)
【解析】 根据题意,由“局部奇函数”的定义可知,若函数f(x)=+m是x∈(-1,1)上的“局部奇函数”,则方程f(-x)=-f(x)有解,即+m=--m有解,变形可得=2m,即=m有解.
设g(x)=,x∈(-1,1),易知g(x)为偶函数,且在x∈[0,1)上单调递增,所以可得g(x)∈[,),所以当=m有解时,m∈[,).
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第2课时　函数奇偶性的应用
1.通过函数的奇偶性的应用,提升数学抽象与数学运算的核心素养.2.通过函数奇偶性与单调性的综合应用,进一步提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
[例1] 已知函数y=f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+3x-2,求函数y=f(x)在x<0时的解析式.
题型一　利用函数的奇偶性求函数的解析式
【解】 设x<0,则-x>0,因此f(-x)=(-x)2+3(-x)-2=x2-3x-2.
由y=f(x)是奇函数可知f(-x)=-f(x)=x2-3x-2,因此f(x)=-x2+3x+2即为函数y=
f(x)在x<0时的解析式.
[变式探究1] 本例已知条件不变,求函数y=f(x)在(-∞,+∞)上的解析式.
【解】 设x<0,则-x>0,因此f(-x)=(-x)2+3(-x)-2=x2-3x-2.
由y=f(x)是偶函数可知f(-x)=f(x),
因此f(x)=x2-3x-2.
所以当x<0时,
f(x)=x2-3x-2.
[变式探究2] 本例将已知条件中的“奇函数”改为“偶函数”,其余条件不变,求函数y=f(x)在x<0时的解析式.
·解题策略·
利用函数的奇偶性求解析式的方法
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设.
(2)要利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用函数f(x)的奇偶性写出f(x)与f(-x)的关系,从而解出f(x).
提醒:若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,但若为偶函数,未必有f(0)=0.
[变式训练] (1)已知函数f(x)对一切实数x都满足f(x)+f(-x)=0,且当x<0时,f(x)=
2x2-x+1,则f(x)=　 .
(2)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(2)=　　　　.
-4
【解析】 (2)由题意,f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x)=-x3+x2+1,与已知条件相加得
-2g(x)=2(x2+1),
故g(x)=-(x2+1),f(x)=x3,
故f(1)+g(2)=1-5=-4.
题型二　根据函数的奇偶性求参数
D
·解题策略·
利用函数奇偶性求参数的方法
(1)定义域含参数.奇函数、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,即a+b=0,求参数.
(2)解析式含参数.根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数求解,或者利用特殊值如f(2)=f(-2),f(0)=0等直接求解.
-1
题型三　函数的单调性与奇偶性的综合应用
C
(2)已知奇函数f(x)的定义域为(-3,3),且在[0,3)上单调递增,若实数a满足f(2a-1)+f(-1-a)≤0,则a的取值范围为(　　)
A.(-2,2] B.(-1,2]
C.(-4,2) D.(-1,2)
D
·解题策略·
函数奇偶性与单调性的关系
(1)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.
(2)利用函数的奇偶性转化到一个单调区间上,再利用单调性比较大小或解不等式.
[变式训练] (1)已知函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是(　　)
A.[-2,2] B.[-1,1]
C.[0,4] D.[1,3]
D
【解析】 (1)因为f(x)为奇函数,f(1)=-1,
所以f(-1)=1.
因为-1≤f(x-2)≤1,
所以f(1)≤f(x-2)≤f(-1).
又因为f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,
所以-1≤x-2≤1,所以1≤x≤3.故选D.
D
【学海拾贝】
形如y=f(x±a)的函数的奇偶性
形如y=f(x±a)的函数的奇偶性问题的求解方法:
(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,则有f(x+a)=f(a-x),也就是f(x)=f(2a-x),因此函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)若函数y=f(x+a)是奇函数,则有f(x+a)=-f(a-x),因此函数y=f(x)的图象关于点(a,0)中心对称.
【解】 (1)由函数f(x+1)是偶函数,
可得f(1+x)=f(1-x),因此函数y=f(x)的图象的对称轴方程为x=1.
[典例探究] 已知函数f(x+1)是偶函数,当10恒
成立.
(1)求函数y=f(x)的图象的对称轴方程;
[应用探究] (多选题)若定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)为奇函数,且对任意x1,x2∈[2,+∞),x1≠x2,都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0恒成立,则下列说法正确的是
(　　 )
A.f(x)的图象关于点(-2,0)对称
B.f(x)在R上是增函数
C.f(x)+f(4-x)=4
D.关于x的不等式f(x)<0的解集为(-∞,2)
BD
【解析】 由f(x+2)为奇函数,得f(-x+2)=-f(x+2),即f(4-x)+f(x)=0,因此f(x)的图象关于点(2,0)对称.由对任意x1,x2∈[2,+∞),x1≠x2,都有[f(x1)-f(x2)]·(x1-x2)
>0恒成立,得函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,于是f(x)在R上是增函数,B正确.显然f(-2)当堂检测
1.已知函数f(x)=x3+2,若f(a)=3,则f(-a)等于(　　)
A.-3 B.a3-3
C.1 D.-1-a3
C
【解析】 由f(x)=x3+2可知f(-x)+f(x)=4,
结合f(a)=3,可知f(-a)=1.故选C.
A
3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2+x,则f(-2)=　　　.
【解析】 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2+x,
所以f(-2)=-f(2)=-(22+2)=-6.
-6
4.已知函数f(x)=x|x|,则满足不等式f(x)+f(3x-2)≥0的x的取值范围是　 　(用区间表示). 第2课时　函数奇偶性的应用
【课程标准要求】　1.通过函数的奇偶性的应用,提升数学抽象与数学运算的核心素养.2.通过函数奇偶性与单调性的综合应用,进一步提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
题型一　利用函数的奇偶性求函数的解析式
[例1] 已知函数y=f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+3x-2,求函数y=f(x)在x<0时的解析式.
【解】 设x<0,则-x>0,因此f(-x)=(-x)2+3(-x)-2=x2-3x-2.
由y=f(x)是奇函数可知f(-x)=-f(x)=x2-3x-2,因此f(x)=-x2+3x+2即为函数y=f(x)在x<0时的解析式.
[变式探究1] 本例已知条件不变,求函数y=f(x)在(-∞,+∞)上的解析式.
【解】 由y=f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数可知f(0)=0,
结合当x>0时,f(x)=x2+3x-2,当x<0时,f(x)=-x2+3x+2,可知函数在(-∞,+∞)上的解析式为f(x)=
[变式探究2] 本例将已知条件中的“奇函数”改为“偶函数”,其余条件不变,求函数y=f(x)在x<0时的解析式.
【解】 设x<0,则-x>0,因此f(-x)=(-x)2+3(-x)-2=x2-3x-2.
由y=f(x)是偶函数可知f(-x)=f(x),
因此f(x)=x2-3x-2.
所以当x<0时,
f(x)=x2-3x-2.
利用函数的奇偶性求解析式的方法
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设.
(2)要利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用函数f(x)的奇偶性写出f(x)与f(-x)的关系,从而解出f(x).
提醒:若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,但若为偶函数,未必有f(0)=0.
[变式训练] (1)已知函数f(x)对一切实数x都满足f(x)+f(-x)=0,且当x<0时,f(x)=2x2-x+1,则f(x)=　 .
(2)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+
g(2)=　　　　.
【答案】 (1)
(2)-4
【解析】 (1)因为函数f(x)对一切实数x都满足f(x)+f(-x)=0,所以f(0)=0.设x>0,则-x<0,f(-x)=2x2+x+1.又因为f(x)+f(-x)=0,即f(x)=-f(-x),所以当x>0时,f(x)=-2x2-x-1,
所以f(x)=
(2)由题意,f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x)=-x3+x2+1,与已知条件相加得-2g(x)=2(x2+1),
故g(x)=-(x2+1),f(x)=x3,
故f(1)+g(2)=1-5=-4.
题型二　根据函数的奇偶性求参数
[例2] 已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+2a+b是定义在[2a-1,a]上的偶函数,则 f(a+b)等于(　　)
A.1 B.0 C.- D.-
【答案】 D
【解析】 因为函数f(x)=ax2+(b+1)x+2a+b是定义在[2a-1,a]上的偶函数,
所以2a-1+a=0,解得a=.
因为f(x)=ax2+(b+1)x+2a+b为偶函数,
所以f(-x)=f(x),即a(-x)2-(b+1)x+2a+b=ax2+(b+1)x+2a+b.
所以b+1=0,解得b=-1.
所以f(x)=x2-,a+b=-,
所以f(a+b)=f(-)=-.故选D.
利用函数奇偶性求参数的方法
(1)定义域含参数.奇函数、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,即a+b=0,求参数.
(2)解析式含参数.根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数求解,或者利用特殊值如f(2)=f(-2),f(0)=0等直接求解.
[变式训练] 设函数f(x)=为奇函数,则a=　　　　.
【答案】 -1
【解析】 法一(定义法)　由已知f(-x)=-f(x),
即=-,
显然x≠0,
得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a,故a+1=0,得a=-1.
法二(特值法)　由f(x)为奇函数,得
f(-1)=-f(1),
即=-,
整理得a=-1.
题型三　函数的单调性与奇偶性的综合应用
[例3] (1)设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈(-∞,0]时,f(x)单调递增,则f(),f(-),f(π)的大小关系是(　　)
A.f(π)>f(-)>f()
B.f(-)>f(π)>f()
C.f(-)>f()>f(π)
D.f(π)>f()>f(-)
(2)已知奇函数f(x)的定义域为(-3,3),且在[0,3)上单调递增,若实数a满足f(2a-1)+f(-1-a)≤0,则a的取值范围为(　　)
A.(-2,2] B.(-1,2]
C.(-4,2) D.(-1,2)
【答案】 (1)C　(2)D
【解析】 (1)根据偶函数的性质可知,f(-)=f(),当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递减.
因为<<π,所以f()>f()>f(π),即f(-)>f()>f(π).故选C.
(2)因为奇函数f(x)的定义域为(-3,3),且在[0,3)上单调递增,
所以f(x)在定义域内单调递增.
若实数a满足f(2a-1)+f(-1-a)≤0,
即f(2a-1)≤-f(-1-a)=f(a+1),
故有解得-1故选D.
函数奇偶性与单调性的关系
(1)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.
(2)利用函数的奇偶性转化到一个单调区间上,再利用单调性比较大小或解不等式.
[变式训练] (1)已知函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是(　　)
A.[-2,2] B.[-1,1]
C.[0,4] D.[1,3]
(2)已知定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,有<0,且f(3)=0,则不等式xf(x)>0的解集是(　　)
A.(-3,3)
B.(-3,0)∪(3,+∞)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(0,3)
【答案】 (1)D　(2)D
【解析】 (1)因为f(x)为奇函数,f(1)=-1,
所以f(-1)=1.
因为-1≤f(x-2)≤1,
所以f(1)≤f(x-2)≤f(-1).
又因为f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,
所以-1≤x-2≤1,所以1≤x≤3.故选D.
(2)因为对任意的x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,有<0,所以f(x)在[0,+∞)上单调递减.又f(x)为定义在R上的偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(-3)=f(3)=0.
当 x>0时,由xf(x)>0,得f(x)>0=f(3),故 00,得f(x)<0=f(-3),故x<-3.
综上所述,不等式xf(x)>0的解集是(-∞,-3)∪(0,3).故选D.
【学海拾贝】
形如y=f(x±a)的函数的奇偶性
形如y=f(x±a)的函数的奇偶性问题的求解方法:
(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,则有f(x+a)=f(a-x),也就是f(x)=f(2a-x),因此函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)若函数y=f(x+a)是奇函数,则有f(x+a)=-f(a-x),因此函数y=f(x)的图象关于点(a,0)中心
对称.
[典例探究] 已知函数f(x+1)是偶函数,当10恒成立.
(1)求函数y=f(x)的图象的对称轴方程;
(2)设a=f(-),b=f(2),c=f(3),试比较a,b,c的大小(用“<”连接).
【解】 (1)由函数f(x+1)是偶函数,
可得f(1+x)=f(1-x),因此函数y=f(x)的图象的对称轴方程为x=1.
(2)当10,则f(x2)>f(x1),
所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递增.
所以a=f(-)=f(1-)=f(1+)=f().因为3>>2>1,所以b[应用探究] (多选题)若定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)为奇函数,且对任意x1,x2∈[2,+∞),x1≠x2,都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0恒成立,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的图象关于点(-2,0)对称
B.f(x)在R上是增函数
C.f(x)+f(4-x)=4
D.关于x的不等式f(x)<0的解集为(-∞,2)
【答案】 BD
【解析】 由f(x+2)为奇函数,得f(-x+2)=-f(x+2),即f(4-x)+f(x)=0,因此f(x)的图象关于点(2,0)对称.由对任意x1,x2∈[2,+∞),x1≠x2,都有[f(x1)-f(x2)]·(x1-x2)>0恒成立,得函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,于是f(x)在R上是增函数,B正确.显然f(-2)当堂检测
1.已知函数f(x)=x3+2,若f(a)=3,则f(-a)等于(　　)
A.-3 B.a3-3
C.1 D.-1-a3
【答案】 C
【解析】 由f(x)=x3+2可知f(-x)+f(x)=4,
结合f(a)=3,可知f(-a)=1.故选C.
2.已知偶函数f(x)在区间[-1,0]上单调递减,则下列结论正确的是(　　)
A.f(-)B.f(-1)C.f(-1)D.f()【答案】 A
【解析】 因为偶函数f(x)在区间[-1,0]上单调递减,
所以f(x)在区间[0,1]上单调递增,
且f(-)=f(),f(-1)=f(1).
因为0<<<1,
所以f()即f(-)3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2+x,则f(-2)=　　　　.
【答案】 -6
【解析】 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2+x,
所以f(-2)=-f(2)=-(22+2)=-6.
4.已知函数f(x)=x|x|,则满足不等式f(x)+f(3x-2)≥0的x的取值范围是　　　　　　(用区间表示).
【答案】 [,+∞)
【解析】 由题意f(x)=x|x|,其定义域为R,关于原点对称,f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.
又f(x)=x|x|=所以函数f(x)在R上单调递增.
因为f(x)+f(3x-2)≥0,
所以f(x)≥-f(3x-2)=f(-3x+2).
所以x≥-3x+2,解得x≥.
基础巩固
1.已知函数f(x)是R上的偶函数,当x<0时,f(x)=2x2-x-1,则当x>0时,f(x)等于(　　)
A.2x2+x-1 B.-2x2+x-1
C.2x2-x+1 D.-2x2-x-1
【答案】 A
【解析】 根据题意,当x>0时,-x<0,f(-x)=2(-x)2-(-x)-1=2x2+x-1.
由f(x)为偶函数,
得f(x)=f(-x)=2x2+x-1.故选A.
2.若函数f(x)是R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则下列关系成立的是(　　)
A.f(-3)>f(0)>f(1)
B.f(-3)>f(1)>f(0)
C.f(1)>f(0)>f(-3)
D.f(1)>f(-3)>f(0)
【答案】 B
【解析】 因为f(-3)=f(3),且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,所以f(-3)=f(3)>f(1)>f(0).故选B.
3.设函数f(x)=若f(x)是偶函数,则g(-2)等于(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】 C
【解析】 由已知可得g(-2)=f(-2)=f(2)=22-2×2+1=1.故选C.
4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递减,f(1)=0,则不等式xf(x)>0的解集为(　　)
A.(-1,0) B.(1,+∞)
C.(-1,1) D.(-1,0)∪(1,+∞)
【答案】 D
【解析】 因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递减,f(1)=0,
所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,
f(-1)=f(1)=0.
当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f(x)>0,当 x∈(-1,1)时,f(x)<0.
又不等式xf(x)>0,
所以当x<0时,f(x)<0,此时-1当x>0时,f(x)>0,此时x>1.
综上,不等式xf(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞).故选D.
5.已知函数f(x)的定义域为R,f(5)=4,f(x+3)是偶函数,且f(x)在[3,+∞)上单调递增,则(　　)
A.f(0)<4 B.f(1)=4
C.f(2)>4 D.f(3)<0
【答案】 B
【解析】 因为f(x+3)是偶函数,
所以f(3+x)=f(3-x).
所以f(3+2)=f(3-2),即f(5)=f(1)=4,故B正确.
由f(3+x)=f(3-x),得f(x)图象的对称轴为直线 x=3.由f(x)在[3,+∞)上单调递增,得f(x)在(-∞,3)上单调递减.
所以f(0)>f(1)=4,f(2)6.(多选题)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x2-2x,则下列说法正确的是(　　)
A.f(1)=-3
B.当x∈(0,+∞)时,f(x)=x2+2x
C.f(x)在定义域R上为减函数
D.不等式f(x-1)>3的解集为(-∞,4)
【答案】 AC
【解析】 当x∈(-∞,0)时,f(x)=x2-2x,
令x∈(0,+∞),则-x∈(-∞,0),
所以f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x.
因为f(x)是奇函数,
所以f(-x)=-f(x)=x2+2x.
所以当x∈(0,+∞)时,f(x)=-x2-2x.
因此f(1)=-12-2×1=-3,所以A正确,B错误.
当x∈(-∞,0)时,函数f(x)=x2-2x,
由二次函数的性质可知函数f(x)在(-∞,0)上单调递减;
当x∈(0,+∞)时,f(x)=-x2-2x,
由二次函数的性质可知函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(0)=0,
故f(x)在整个定义域R上是减函数,故C正确.
因为f(-1)=(-1)2-2×(-1)=3,
所以不等式f(x-1)>3等价于f(x-1)>f(-1).
因为f(x)在定义域R上是减函数,所以x-1<-1,解得x<0.
所以不等式f(x-1)>3的解集为(-∞,0),故D错误.
故选A,C.
7.已知函数f(x)=为偶函数,则a+b+c=　　　　.
【答案】 2
【解析】 由题可得f(-x)=f(x).当x≥0时,f(x)=x2-x+a,
令x<0,则-x>0,有f(-x)=(-x)2+x+a=bx2+cx b=1,c=1,a=0,
所以a+b+c=2.
8.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递减,则不等式 f(3x-1)-f(2x-1)<0的解集为　　　　　　　　.
【答案】 {x|x<0或x>}
【解析】 因为f(x)是定义在R上的偶函数,且 f(x)在[0,+∞)上单调递减,则不等式f(3x-1)-f(2x-1)<0可化为f(3x-1)所以|3x-1|>|2x-1|,两边同时平方,得9x2-6x+1>4x2-4x+1,
解得x<0或x>.
9.已知函数f(x)=(a-1)x3+x2+3是定义在[b,1-]上的偶函数.
(1)求实数a,b的值;
(2)求函数g(x)=f(x)-2x的值域.
【解】 (1)因为f(x)=(a-1)x3+x2+3是定义在[b,1-]上的偶函数,
所以b+1-b=0,
即b=-2.
因为f(-x)=-(a-1)x3+x2+3=(a-1)x3+x2+3=f(x),
所以a=1.
(2)g(x)=f(x)-2x=x2-2x+3=(x-1)2+2,x∈[-2,2].
根据二次函数的性质可得,当x=1时,函数取得最小值2,当x=-2时,函数取得最大值11,
故函数的值域为[2,11].
10.已知函数f(x)=x3+ax2-3x+b是定义域为(-1,1)上的奇函数.
(1)求a,b的值.
(2)求证:f(x)在定义域内是减函数.
(3)解关于x的不等式f(2x-1)+f(x-1)≤0.
(1)【解】 由题意可得f(0)=b=0.
又当x∈(-1,1)时,f(x)是奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
即-x3+ax2+3x=-x3-ax2+3x,
可得a=0,所以a=0,b=0.
(2)【证明】 由(1)可得f(x)=x3-3x.
设-1所以x1-x2<0,0<<1,0<<1,+x1x2+-3=(x1+)2+-3<0,
则f(x1)-f(x2)=-3x1-(-3x2)=--(3x1-3x2)=(x1-x2)(+x1x2+-3)>0,
即f(x)在定义域内是减函数.
(3)【解】 因为f(x)是奇函数,
所以原不等式可化为
f(2x-1)≤-f(x-1)=f(1-x).
又f(x)在定义域内是减函数,
所以
解得≤x<1.
所以不等式的解集为[,1).
能力提升
11.(多选题)已知f(x)是定义在R上的奇函数,g(x) 是定义在R上的偶函数,且f(x),g(x)在(-∞,0]上单调递增,则以下结论正确的是(　　)
A.f(f(1))B.f(g(-1))C.g(f(1))>g(f(2))
D.g(g(1))>g(g(2))
【答案】 AC
【解析】 由f(x)是奇函数,且在(-∞,0]上单调递增,得f(x)在R上单调递增,所以f(1)g(2),所以f(g(-1))>f(g(2)),所以B错误;因为0=f(0)g(f(2)),所以C正确;因为g(1)>g(2),但正负号无法确定,所以 g(g(1)) 和g(g(2))的大小关系不确定,所以D错误.故选A,C.
12.已知f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在[0,+∞)上单调递增,则满足 f(1-m)【答案】 (0,2)　f(x)=x2-4x
【解析】 因为f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以不等式f(1-m)即|1-m|=|m-1|<1,得-1得0若x<0,则-x>0,
则f(-x)=x2-4x=f(x),
则当x<0时,f(x)=x2-4x.
13.已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1,当x>0时,f(x)>f(0).
(1)求f(0)的值,并证明函数f(x)为R上的增函数.
(2)求证:函数f(x)+1为奇函数.
(3)若f(1)=0,解不等式f(x2-x)-f(2+x)<6.
(1)【解】 因为f(x+y)=f(x)+f(y)+1对任意实数x,y都成立,所以当x=y=0时,
上式可化为f(0)=f(0)+f(0)+1,
可得f(0)=-1.
任取x=x2,y=x1-x2,
则f(x2+x1-x2)=f(x2)+f(x1-x2)+1,
即f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)+1.
假设x1>x2,则根据当x>0时,
f(x)>f(0)=-1,有f(x1-x2)>-1,
即f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)+1>0,
所以 f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)为R上的增函数.
(2)【证明】 要证函数f(x)+1为奇函数,
只需证f(-x)+1=-[f(x)+1],
即证f(-x)+f(x)=-2.
由于f(x+y)=f(x)+f(y)+1,
假设y=-x,
则有f(0)=f(x)+f(-x)+1.
又因为f(0)=-1,
所以f(x)+f(-x)=-2,即原问题得证.
(3)【解】 由f(x+y)=f(x)+f(y)+1,
f(1)=0,可得
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+1=1,
f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)+1=2,
f(6)=f(3+3)=f(3)+f(3)+1=5,
所以不等式f(x2-x)-f(2+x)<6等价于 f(x2-x)因为函数f(x)为R上的增函数,
所以x2-x即不等式的解集为{x|-2应用创新
14.定义:对于函数f(x),若定义域内存在实数x0满足f(-x0)=-f(x0),则称f(x)为“局部奇函数”.若f(x)=+m是定义在区间(-1,1)上的“局部奇函数”,则实数m的取值范围是　　　　.
【答案】 [,)
【解析】 根据题意,由“局部奇函数”的定义可知,若函数f(x)=+m是x∈(-1,1)上的“局部奇函数”,则方程f(-x)=-f(x)有解,即+m=--m有解,变形可得=2m,即=m有解.
设g(x)=,x∈(-1,1),易知g(x)为偶函数,且在x∈[0,1)上单调递增,所以可得g(x)∈[,),所以当=m有解时,m∈[,).
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