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第十六章 整式的乘法（培优）
一、单选题
1．如图，在长方形中，，其内部有边长为a的正方形与边长为b的正方形，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5，若，则正方形与正方形的面积之和为（　　）
A．29 B．25 C． D．
2．已知 ，则 的值为（　　）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
3．已知三个实数a，b，c满足，，则（　　）
A．， B．，
C．， D．，
4．若 ，则 （　　）
A．-2 B．-1 C．0 D．
5．如图，用1块边长为a的大正方形，4块边长为b的小正方形和4块长为a、宽为b的长方形（a>b），密铺成正方形ABCD，已知ab=2，正方形的面积为S，则下列结论中正确的为（　　）
A．若a=2b+1，则S=16 B．若a=2b+2，则S=25
C．若S=25，则a=2b+3 D．若S=16，则a=2b+4
6．如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，每种各10张.A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形.从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
7．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个25列的长方形队阵.如果原队阵中增加64人，就能组成一个正方形队阵；如果原队阵中减少64人，也能组成一个正方形队阵.则原长方形队阵中有同学　 　.
8． 图 1 是把两个边长为 的正方形纸片和一个边长为 的正方形纸片放置在长方形内，图 2 是把两个边长为 的正方形纸片和一个边长为 的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分. 设图 1 阴影部分面积为 ，图 2 阴影部分面积为 . 若 ，，则 =　 　（用含 m 的代数式表示）.
9．计算 　 　．
10． 大长方形中按如图所示的方式摆放五个完全相同的小长方形，若一个小长方形的面积为，阴影部分的面积为20，则大长方形的周长为　 　．
11．已知实数a，b满足，求　 　．
12．将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为　 　.
三、计算题
13．已知 ， ，
（1）求 的值；
（2）求 的值.
14．计算下列各式，结果用幂的形式表示：
（1）
（2）
（3）
（4）
15．计算
16．计算：(5a+3b-2c )(5a-3b+6c)．
四、解答题
17．在一次研究性学习中，同学们对乘法公式进行了研究．
（1）如图，大正方形的边长为(a＋b)，请直接写出下列结果．
①中间小正方形的边长；
②用含a，b的等式表示大正方形面积与小正方形面积的差等于图中一个长方形面积的4倍．
（2）当x＋y＝6，x－y＝－4时，求xy的值．
（3）若当x－2y＝P，xy＝Q时，(x＋2y)的值唯一确定，用含P的代数式表示Q．
18．试证明：任何五个相邻的整数的平方和不是平方数．
19． 学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
（1）如图，是由边长为，的正方形和长为、宽为的长方形拼成的大正方形，由图可得等式：　 　；
（2）知识迁移：
如图是用个小正方体和个小长方体拼成的一个大正方体，类比，用不同的方法表示这个大正方体的体积，则可得等式：　 　；
已知，，，利用中所得等式，求代数式的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
2．【答案】A
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；偶次方的非负性
3．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；一元一次不等式组的应用
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法
5．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；用代数式表示实际问题中的数量关系
6．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
7．【答案】1025
【知识点】平方差公式及应用；解二元一次方程
8．【答案】
【知识点】整式的混合运算
9．【答案】
【知识点】幂的乘方运算
10．【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用；加减消元法解二元一次方程组
11．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；偶次方的非负性
12．【答案】210
【知识点】平方差公式及应用
13．【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ = =
（2）解：∵ ， ，∴ ，
∴ ，即 ，
∴xy=x+y
∴ =
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
14．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式，
（3）解：原式：．
（4）解：原式．
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
15．【答案】解；原式=
设a=3x2+2，b=5x4+x2+3，有
=a（b+x2）-b（a+1）
=ab+ax2-ba-b
=ax2-b
即= x2(3x2+2) (5x4+x2+3)
= 3x4+2x2 5x4 x2 3
= 2x4+x2 3
【知识点】整式的混合运算
16．【答案】解：原式=(5a+3b+2c-4c )(5a-3b+2c+4c)
=[(5a+2c)+(3b-4c)][(5a+2c)-(3b-4c)]
=(5a+2c)2-(3b-4c)2
=25a2+20ac+4c2-9b2+24bc-16c2
=25a2+20ac-12c2-9b2+24bc.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
17．【答案】（1）解：①由拼图可知：中间小正方形的边长为a-b；
②大正方形的面积为（a+b）2，小正方形的面积为（a-b）2，每个小长方形的长为a，宽为b，则小长方形的面积为ab；
∴（a+b）2-（a-b）2=4ab，即大正方形面积与小正方形面积的差等于图中一个长方形面积的4倍；
（2）当x＋y＝6，x－y＝－4时，
∵（x+y）2-（x-y）2=4xy，
∴62-(-4)2=4xy，即xy=5；
（3）由（1）得：（x+2y）2-（x-2y）2=8xy，
而 x－2y＝P，xy＝Q，
∴（x+2y）2-P2=8Q，即（x+2y）2=P2+8Q.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值
18．【答案】证明：设五个相邻的整数分别为n-2、n-1、n、n+1、n+2，(其中n为整数)．则
= n2 4n+4+n2 2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4
= 5n2+10
= 5(n2+2)
平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9，所以n2+2的个位数字只能是2、3、6、7、8、1．从而n2+2不被5整除.5(n2+2)被5整除，却不被52整除，所以它不是平方数．
【知识点】整式的混合运算
19．【答案】（1）
（2）解：；由拼图可知，大立方体的边长为，因此这个大正方体的体积为；这个大立方体是由个部分拼成的，这个部分的体积和为，因此有，故答案为：由得，，答：代数式的值为．
【知识点】完全平方公式的几何背景
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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