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第十七章 因式分解（培优）
一、单选题
1．若 的计算结果中不含x的一次项，则m的值是（　　）
A．1 B．-1 C．2 D．-2．
2．如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，每种各10张.A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形.从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．已知x+y=3，x3+y3=9，则x7+y7=（　　）．
A．129 B．225 C．125 D．675
4．已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020．则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A的末位数字是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．设，若，则（　　）
A．27 B．24 C．22 D．20
二、填空题
7．随着我国疫情的有效控制，各地打造了众多春游景点供市民休闲娱乐．某区特别打造了多彩植物园、亲子游乐园、劳动体验园吸引游客.3月份多彩植物园、亲子游乐园、劳动体验园接待游客数量之比为 ．为增加游客数量，该地区通过发抖音、转发朋友圈等多种方式加大宣传力度，预计4月份三个园区接待的游客总人数在3月份的基础上会增加．但因为多彩植物园中部分花期已过，多彩植物园的游客人数在3月份的基础上将减少 ．这样4月份，多彩植物园接待的游客总人数占三个园区接待游客总人数的 ，而亲子游乐园、劳动体验园4月份接待游客人数之比将达到 ，则亲子游乐园新增的人数与4月份这三个园区的总人数之比是　 　
8．的结果是　 　．
9． ，则 的值为　 　
10．南宋数学家杨辉在研究(a+b)n展开式各项的系数时，采用了特殊到一般的方法，他将(a+b)0，(a+b)1，(a+b)2，(a+b)3，…，展开后各项的系数画成如图所示的三角阵，在数学上称之为杨辉三角．已知(a+b)0＝1，(a+b)1＝a+b，(a+b)2＝a2+2ab+b2，(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3．按杨辉三角写出(a+b)5的展开式是　 　．
11．如果为完全平方数，则正整数n为　 　.
12．已知，则的值为　 　；的值为　 　．
三、计算题
13．试证明： =
14．计算： 的结果.
15．把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进行拼图（重合处无缝隙）．
（1）如图2，将四个基本图形进行拼图，得到正方形和正方形，用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示），并写出一个等式；
（2）如图3，将四个基本图形进行拼图，得到四边形，求阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示）；
（3）如图4，将图3的上面两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动2b个单位后得到一个长方形图形，若，把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为，，若，求证：m与x无关．
16．已知(x+a)(x2﹣x+c)的乘积中不含x2和x项，求a，c的值．
四、解答题
17．已知α，β为整数，有如下两个代数式22α，
（1）当α=﹣1，β=0时，求各个代数式的值；
（2）问它们能否相等？若能，则给出一组相应的α，β的值；若不能，则说明理由．
18．如图，正方形 和 的边长分别为 、 ，试用 、 的代数式表示三角形 的面积 ．
19．在x轴正半轴上有一定点A．
（1）若多项式恰好是某个整式的平方，那么点A的坐标为　 　；
（2）如图1，点P为第三象限角平分线上一动点，连接AP，将射线AP绕点A逆时针旋转交y轴于点Q，连接PQ，在点P运动的过程中，当时，求的度数；
（3）如图2，已知点B、点C分别为y轴正半轴，x轴正半轴上的点，C在A右侧，在线段OB上取点AC=n，且，过点A做轴，且，求DF的长．（结果用m，n表示）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数；合并同类项法则及应用
2．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
3．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
4．【答案】C
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
5．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
6．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
7．【答案】
【知识点】整式的混合运算
8．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
9．【答案】7
【知识点】完全平方公式及运用
10．【答案】a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
【知识点】完全平方公式及运用
11．【答案】2或11或14
【知识点】完全平方公式及运用
12．【答案】2；6
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
13．【答案】证明：令x+y-2z=a，y+z 2x=b，z+x 2y=c，
∴原式等价于a3+b3+c3=3abc，
又∵a+b+c=x+y-2z+y+z 2x+z+x 2y=0，
∴a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-ac-bc）=0，
∴a3+b3+c3=3abc，
即（x+y-2z）3+（y+z 2x）3+（z+x 2y）3=3（x+y-2z）（y+z 2x）（z+x 2y）.
【知识点】整式的混合运算
14．【答案】解：
=
=
=
=
【知识点】平方差公式及应用
15．【答案】（1）解：∵在图2中，四边形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积为S正方形＝（a＋b）2．
∵四个基本图形的面积为4ab，
∴S阴影＝(a＋b)2 4ab；
（2）解：∵NP＝a＋b，MN＝a＋b，∴四边形EFGH是正方形，
∴S阴影＝MN2 4ab＝(a＋b)2 4ab，
即S阴影＝(a＋b)2 4ab＝a2 2ab＋b2。
（3）证明：根据图形可知，AF＝a＋x 2b，
m＝S1 S2＝2b 2b＋bx （a 2b＋x）b 3b b＝4b2＋bx （ab 2b2＋bx） 3b2＝4b2＋bx ab＋2b2 bx 3b2＝3b2 ab
∴S与x无关．
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
16．【答案】解：∵(x＋a)(x2－x＋c)＝x3－x2＋cx＋ax2－ax＋ac
＝x3＋(a－1)x2＋(c－a)x＋ac，
而其中不含x2项和x项，
∴a－1＝0，c－a＝0，
解得：a＝1，c＝1.
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数；合并同类项法则及应用
17．【答案】解：（1）把α=﹣1代入代数式，得：22α=，
把β=0代入代数式，得：=2，
（2）不能．理由如下：
=，
∵α，β为整数，
∴（1﹣2β）为奇数，2α为偶数，
∴1﹣2β≠2α，
∴22α≠．
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
18．【答案】解： S△DBF=S梯形DCEF+S△BCD-S△BEF= (m+n)n+ m2 n(m+n)= m2
【知识点】整式的混合运算
19．【答案】（1）（4，0）
（2）过作轴，轴，AM上取使得，连PK
先证(SAS)再证(SAS)
（3）将平移至，连延长交轴于。延长线上取使得。连
先证(SAS)再证(SAS)
【知识点】完全平方公式及运用；坐标与图形性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
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