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第十三章 三角形（能力提升）
一、单选题
1．下面是投影屏上出示的解答题，需要回答横线上符号代表的内容．
如图，直线 直线 ，在 中， ，顶点 在 上，顶点 在 上，且 平分 ，若 ，求 的度数．
解：∵ ， ，
∴ _______①_______，
∵直线 直线 ，
∴_____②______ ，
∵ 平分 ，
∴ _____③_____= ，
∵直线 直线 ，
∴ ___④_____= ，
下列选项错误的是（　　）
A．①代表64° B．②代表
C．③代表 D．④代表
2．下列各组线段中，能构成三角形三边的是（　　）
A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，10cm
C．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，9cm
3．健康骑行逐渐受到人们喜欢，图1是便携式折叠自行车，图2 是其示意图．AB∥CD，AE∥BD，CE平分∠ACD．若∠D＝70°，∠ACD＝60°，则∠AEC＝（　　）
A．80° B．90° C．100° D．110°
4．在下列条件中：①②③④ 中，能确△ABC是直角三角形的定条件有（　　）
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③
5．如图，在直角三角形中，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．把一块直尺与一块三角板放置，若∠1=50°，则∠2的度数为（　　）
A．115° B．120° C．130° D．140°
二、填空题
7． 如图，将一个含有的三角尺和直尺按如图所示方式摆放在课桌面上，三角尺的角的顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为　 　．
8．如图，已知AB∥CD，∠A＝53°，∠E＝19°，则∠C的度数是　 　．
9．已知三角形的三边分别为，那么的取值范围是　 　．
10．当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为20°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为　 　．
11．在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，那么这个三角形称为理想三角形；如果一个内角是另一个内角的3倍，那么这个三角形称为梦想三角形.若一个三角形既是理想三角形，也是梦想三角形，写出这个三角形的三个内角的度数（只写出一组）　 　.
12．如图，已知，若，则　 　．
三、判断题
13．如图1，在四边形木条框架中，任意添加1根对角线木条，就能使框架的形状稳定.
判断下列说法是否正确.
（1）在图2中任意添加2根对角线木条，都能使框架的形状稳定.
（2）在图3中任意添加3根对角线木条，都能使框架的形状稳定.
（3）图4是一个用螺钉将木条链接成的框架，颇具美感，它的形状是稳定的.
四、计算题
14．若a、b、c是△ABC的三边，化简：|a﹣b+c|﹣2|c﹣a﹣b|+3|a+b+c|的值．
15．如图，已知△ABC中，AD⊥BC于D，AE为∠BAC的平分线，且∠B=37°，∠C=67°，求∠DAE的度数．
五、解答题
16．如图，△ABC中，∠B=∠C，外角∠DAC=100°，求∠B、∠C的度数.
17．已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线。
（1）若∠ABC=30°，∠ACB=60°，求∠DAE的度数：
（2）写出∠DAE与∠C-∠B的数量关系，并证明你的结论.
18．如图，四边形中，，平分交于，平分交于.求证.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
3．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
6．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
7．【答案】
【知识点】平行公理；两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
8．【答案】34°
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
9．【答案】
【知识点】三角形三边关系
10．【答案】120
【知识点】三角形内角和定理
11．【答案】30°、60°、90°
【知识点】三角形内角和定理
12．【答案】35°
【知识点】三角形内角和定理
13．【答案】（1）正确
（2）错误
（3）正确
【知识点】三角形的稳定性
14．【答案】解：∵a、b、c是△ABC的三边，∴a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0，a+b+c＞0，∴原式=a﹣b+c+2（c﹣a﹣b）+3a+3b+3c=a﹣b+c+2c﹣2a﹣2b+3a+3b+3c=2a+6c
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；整式的加减运算；三角形三边关系
15．【答案】解：根据三角形的内角和定理得，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣37°﹣67°=76°，
∴AE为∠BAC的平分线，
∴∠BAE= ∠BAC= ×76°=38°，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣37°=53°，
∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=53°﹣38°=15°．
【知识点】三角形内角和定理
16．【答案】解：∵∠DAC=∠B+∠C，∠B=∠C，
∴∠DAC=2∠B=2∠C，
∴∠B=∠C= ∠DAC= ×100°=50°.
【知识点】三角形外角的概念及性质
17．【答案】（1）解：∵△ABC内角和为180°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-30°-60°=90°，
又∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，
∴∠ADC=90°，∠CAE=∠BAC=45°，
∴Rt△ADC中，∠CAD=90°-∠C=90°-60°=30°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=45°-30°=15°.
（2）∠DAE=（∠C-∠B）
证明：△ABC中，∠BAC=180°-∠C-∠B，
∵EA平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAC=90°-∠C-∠B，
又∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°-∠C，
∴∠DAE=∠CAE-∠DAC=90°-∠C-∠B-（90°-∠C）=90°-∠C-∠B-90°+∠C=（∠C-∠B）.
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高
18．【答案】解：，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
.
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；角平分线的概念
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