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第十三章 三角形（培优）
一、单选题
1．如图，AB∥CD，E为AB上方一点，FB，CG分别平分∠EFG，∠ECD.若∠E+2∠G=210°，则∠EFG的度数为（　　）
A．130° B．140° C．150° D．160°
2．如图，已知△ABC的内角∠A=α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…以此类推得到∠A2017，则∠A2017的度数是（　　）
A． α B．90+ α C． α D． α
3．如图，，、、分别平分、、．以下结论，其中正确的是（　　）
①；②；③；④．
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②③④
4．如图，，，，垂足为，平分．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（　　）
结论Ⅰ：；
结论Ⅱ：若（）的度数每增加2°，则的度数会减少1°
A．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
C．只有结论Ⅰ正确 D．只有结论I正确
5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上任一点，过D作AB的垂线，分别交边AC、BC的延长线于EF两点，∠BAC∠BFD的平分线交于点I，AI交DF于点M，FI交AC于点N，连接BI.下列结论：①∠BAC=∠BFD；②∠ENI=∠EMI；③AI⊥FI；④∠ABI=∠FBI；其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，一张矩形纸片沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD等于（　　）
A．108° B．114° C．126° D．129°
二、填空题
7．如图，将长方形纸片依次折叠两次：第一次以为折痕，使点A落在上的点E处；第二次以为折痕，使点N与点E重合，点B落在点处.若，则的度数为　 　.
8．如图，在 中， ，将 平移5个单位长度得到 1，点P、Q分别是 、 的中点， 的最小值等于　 　．
9．一副三角板按如图方式放置， 有下列结论： ①； ②若 ， 则 ；③若 ， 必有 ； ④若 ， 则 ． 其中正确的有　 　.
10．随着科技的发展，人们使用平板学习已经成为常态，它拥有的智能磁吸键盘和手写笔更是给人们带来无纸化学习新体验，如图1，当平板放在智能磁吸键盘上时，可调整平板角度，研究表明，屏幕中心在直视屏幕视线下方10°：20°时可减少视觉和肌肉骨骼不适．图2为调整示意图，即∠G=90°，∠GED=x°(10°11．如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC，以下结论：①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④∠A+2∠BEC＝180°．其中正确的结论有　 　．（填序号）
12．在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，若∠BOC=132°，则∠A=　 　度.
三、解答题
13．在△ABC中，AB＝9，AC＝2，并且BC的长为偶数，求△ABC的周长．
14． 如图，在中．
（1）的角平分线相交于点，求的度数；
（2）的三等分线分别相交于点，求的度数；
（3）的等分线分别相交于点，则　 　（结果用含的式子表示），　 　（，为整数，结果用含和的式子表示）
15．如图，已知点 E在 BD 上，EA平分∠BEF，EC平分∠DEF.
（1）试说明：AE⊥CE.
（2）若∠1=∠A，∠4=∠C，则AB 与CD平行吗？为什么？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
2．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
3．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
4．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
5．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形外角的概念及性质
6．【答案】C
【知识点】几何体的展开图；三角形内角和定理
7．【答案】55°
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-折叠问题
8．【答案】
【知识点】三角形三边关系；平移的性质
9．【答案】①③④
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；平行线的判定与性质；三角形内角和定理
10．【答案】15；52°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；三角形外角的概念及性质
11．【答案】①②③④
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
12．【答案】84
【知识点】三角形内角和定理
13．【答案】【解答】根据三角形的三边关系得：9－2＜BC＜9＋2，即7＜BC＜11，∵BC为偶数，∴AC＝8或10，∴△ABC的周长为：9＋2＋8＝19或9＋2＋10＝21．
【知识点】三角形三边关系
14．【答案】（1）解：∵ ∠ABC，∠ACB的角平分线相交于点P，
∴ ∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
∵ ∠A=60°，
∴ ∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A=120°.
（2）解：∵ ∠ABC，∠ACB的三等分线分别相交于点P1，P2，
∴ ∠P1BC=∠ABC，∠P1CB=∠ACB，
∵ ∠A=60°，
∴ ∠BP1C=180°-（∠P1BC+∠P1CB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=120°+∠A=140°，
∵ ∠ABC，∠ACB的三等分线分别相交于点P1，P2，
∴ ∠P2BC=∠ABC，∠P2CB=∠ACB，
∵ ∠A=60°，
∴ ∠BP2C=180°-（∠P2BC+∠P2CB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=60°+∠A=100°.
（3）；
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
15．【答案】（1）证明：∵EA平分∠BEF，EC平分∠DEF，
∴
∵
∴
∴
（2）结论：AB∥CD.
理由：∵
∴
∵
∴
∴.
∴.
【知识点】垂线的概念；平行线的判定；三角形内角和定理；角平分线的概念
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