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第十四章 全等三角形（培优）
一、单选题
1．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　）
A．① B．①② C．①②③ D．①②④
2．如图，在 中 ， ，D，E是BC上两点，且 ，过点A作 ，垂足是A，过点C作 ，垂足是C，CF交AF于点F，连接EF.给出下列结论：① ；② ；③若 ， ，则 ；④ .其中正确结论的字号是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
3．数学课上，老师给出了如下问题：
如图1，，是的中点，平分，求证：．
小明是这样想的：要证明，只需要在上找到一点，再试图说明，即可．如图2，经过思考，小明给出了以下3种辅助线的添加方式．
①过点作交于点；
②作，交于点；
③在上取一点，使得，连接；
上述3种辅助线的添加方式，可以证明“”的有（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连结PQ交AC边于D，则DE的长为 （　　）
A． B． C． D．
5．如图，点E在CA延长线上，DE，AB交于点F，且∠BDE=∠AEF，∠B=∠C，∠EFA比∠FDC的余角小10°，P为线段DC上一动点，Q为PC上一点，且满足∠FQP=∠QFP，FM为∠EFP的平分线．下列结论：①CEBD；②ABCD；③FQ平分∠AFP；④∠B+∠E=140°；⑤∠QFM=20°．其中结论正确的序号是（　　）
A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④ D．①⑤
6．如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F= （∠BAC﹣∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C.其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=1，∠CDA=∠EDB，CE=DE，那么CE=　 　。
8．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＜60°，三条角平分线AD，BE，CF交于点O，OH⊥BC于点H．下列结论：①∠BOC＝120°，②∠DOH＝∠OCB－∠OBC，③OD平分∠BOC，④OE＝OF，其中正确的结论序号有　 　．
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝10cm，OC＝6cm，F是线段OA上的动点，从点O出发，以1cm/s的速度沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上．已知A，Q两点间的距离是O，F两点间距离的a倍，若用（a，t）表示经过时间t（x）时，△OCF，△FAQ，△CBQ中有两个三角形全等，请写出（a，t）的所有可能情况　 　．
10．如图，，、、分别平分的外角、内角、外角，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有　 　（填序号）．
11．如图，已知D是△ABC的边BC上一点，且，，AE是△ABD的中线，若，则　 　．
12．如图，在中，．点为外一点，于．，，，则的长为　 　．
三、解答题
13．在中，是过点的直线，于于点.
（1）若B，C在DE的同侧（如图1）且AD=CE.求证：.
（2）若B，C在DE的两侧（如图2），AD，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗 若是，请给出证明；若不是，请说明理由.
14．在凸四边形ABCD中，∠BAC=48°，∠CAD=66°，∠CBD=∠DBA．求∠BDC．
15．五边形ABCDE的对角线AC、AD分别平分和，若，试证明：.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；角平分线的性质
2．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
3．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
4．【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质
5．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；角平分线的判定
6．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；三角形外角的概念及性质；角平分线的性质
7．【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质
8．【答案】①②④
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
9．【答案】（1，4），（，5），（0，10）
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质
10．【答案】①②④
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的性质
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS
12．【答案】5
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-AAS
13．【答案】（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
.
在Rt和Rt中，
Rt（HL）；
（2）解：AB⊥AC，理由如下：
同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE.
即
【知识点】垂线的概念；直角三角形全等的判定-HL
14．【答案】】解：如图，过点D分别作BA、BC、AC的垂线，垂足为E、F、G.
∵∠DAE=180°-∠DAB=66°=∠CAD，
∴AD为△ABC的外角平分线．
∴DE=DG.
又∵BD为∠ABC的平分线，
∴DE=DF，
∴DG=DF，
∴CD也是△ABC的外角平分线，
∴∠BDC=12∠BAC= 24°．
【知识点】角平分线的性质
15．【答案】证明：在CD上取CF=BC，连接AF.
∵
∴
∵AC分别平分
∴
在与中，
∴
∴
同理可证：
∴，
∴ .
【知识点】三角形全等的判定-SAS
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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