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第十五章 轴对称（培优）
一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
2．如图，在△ABC中，∠A=60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE，CF交于点M，如果CM=4，FM=5，则BE等于（　　）
A．14 B．13 C．12 D．11
3．对于直线L和直线L外的一点O，按下列步骤完成了尺规作图：（1）在直线L的另一侧取点M；（2）以O为圆心，为半径作弧与L交于A，B两点；（3）分别以A，B为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点C；（4）过点O和C作直线m．问题：“在直线m上任取一点P（点P不在L上），连接，，过点A作直线n与直线垂直，设是，直线n与所夹的锐角是，求x与y的数量关系．”下面是三个同学的答案，甲：，乙：，丙：．
对于三人的答案，下列结论正确的是（　　）
A．只有甲的答案正确 B．甲和乙的答案合在一起才正确
C．甲和丙的答案合在一起才正确 D．甲乙丙的答案合在一起才正确
4．如图，△ABC、△CDE都是等腰三角形，且CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD，BE相交于点O，点M，N分别是线段AD，BE的中点，以下4个结论：①AD＝BE；②∠DOB＝180°－α；③△CMN是等边三角形；④连OC，则OC平分∠AOE.正确是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
5．如图，为线段上一动点不与，重合，在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，则有以下五个结论：
；；；；．
其中正确的有（　　）
A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
6．如图，在△ABC中，AC＝BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．7
二、填空题
7．如图，在中，，，以为斜边作等腰直角．连接，则的面积为　 　．
8．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边△BCE．设△ACD、△BCE、△ABC的面积分别是S1、S2、S3，现有如下结论：
①S1：S2=AC2：BC2；
②连接AE，BD，则△BCD≌△ECA；
③若AC⊥BC，则S1 S2= S32．
其中结论正确的序号是　 　．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，6），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC.若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为　 　.
10．如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线，于B，C两点，以点C为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接，，，，其中交于点E．若，则下列结论正确的是　 　．（只填序号）
①；②；③；④；⑤若，则与的周长差1.5．
11．在△ABC 中， AB = AC ， ∠BAC=100°，点 D 在 BC 上， △ABD 和△AFD 关于直线 AD 对称， ∠FAC 的平分线交 BC 于点 G，连接 FG 当∠BAD =　 　.时，△DFG为等腰三角形.
12．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点P为的中点，连接，则的长的最小值为　 　．
三、解答题
13．【探究学习】
规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“类似三角形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“类似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”．
【概念理解】
（1）如图1，在中，，平分，则与 （填“是”或“不是”）互为“类似三角形”．
（2）如图2，在中，平分，，．求证：为的完美分割线；
【概念应用】
（3）在中，，是的完美分割线，直接写出的度数．
14．在中，，点D为线段BC上一个动点（不与B、C重合），以为一边向的左侧作，使，，过点E作的平行线，交直线于点F，连接．
（1）如图1，若，判断的形状并说明理由；
（2）若，如图2，判断的形状，并说明理由．
15．小梅同学学习了全等三角形后，进行了如下探究：
（1）【问题背景】如图①，在中，，平分，且．求的度数．
解：在上截取一点E，使得，证明，得到…
请把上面的步骤补充完整．
（2）【问题解决】如图②，在中，平分，，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展延伸】如图③，在四边形中，，，于点，直接写出线段，，之间的数量关系：________．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定
2．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质
4．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
7．【答案】2或6
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
8．【答案】①②③
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
9．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质
10．【答案】①②③④
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
11．【答案】10°，25°或40°
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
12．【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
13．【答案】（1）是；
（2）证明：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，，
∴为的完美分割线．
（3）或或或．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
14．【答案】（1）解：△BEF为等边三角形，理由如下：
∵，，，
∴△AED和△ABC为等边三角形，∠BAC-∠BAD=∠EAD-∠BAD，
∴，∠EAB=∠DAC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴△BEF为等边三角形；
（2）解：△BEF是等腰三角形；
理由如下：
∵，
∴，
即：．
∵，，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（等角对等边），
∴为等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
15．【答案】（1）解：在上截取一点E，使得，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
（2）解：，理由如下：在上截取一点E，使得，
同理（）可得，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
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