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2025年秋期人教版数学（2024）八年级上册期末试题（培优）
一、单选题
1．如图，已知直线，直线分别交直线，于点，，平分交于点．是射线上一动点（不与点，重合）．平分交于点，设，．现有下列四个式子：①，②，③，④，在这四个式子中，正确的是(　　)
A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④
2． 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC＝AB，其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
3．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
4．如图，△ABC是等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，则下列结论：①AP⊥BC；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP.正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在中，，，为的中点，为上一点，为延长线上一点，．下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，⊙O的半径为r，交×轴正半轴于点A，直线l垂直平分OA交⊙O于点P，PB⊥y轴于点B．今假设在点O，A处，分别有一质量为m1，m2的天体(m1>m2)；天体物理中把与O，A处于同一平面，坐标为（，）的点称为[O，A]系统的拉格朗日4号点，记为L4 (若把卫星发射到L4的位置，则卫星会处于相对静止的稳状态)．以下说法中错误的是（　　）
A．△AOP是等边三角形
B．L4在线段BP上
C．∠OL4A>60°
D．若m1恒定，则m2越小，L4离点P越近
二、填空题
7．在△ABC中，∠B＝30°，点D在BC边上，点E在AC边上，AD＝BD，DE＝CE，若△ADE为等腰三角形，则∠C的度数为　 　°．
8．在锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，设BC边上的高为h，则h的取值范围是 　 　.
9．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是6cm，则OP的长是　 　.
10．当整数x＝　 　时，分式 的值为正整数．
11．已知，则的个位数字是　 　．
12．如图，等腰△ABC的面积是12，AB＝AC，BC＝4，EF垂直平分AB，点D为BC的中点，点M为线段EF上一点，则△BDM的周长的最小值为　 　．
三、计算题
13．已知2×5m＝5×2m，求m的值．
14． 已知x2﹣3x+1＝0．
（1）求的值；
（2）求x3﹣2x2﹣2x+2024的值．
15．先化简，再求值：，其中．
16．计算题：
（1）因式分解：（x2+y2）2-4x2y2；
（2）计算：8（1+72）（1+74）（1+78）（1+716）.
四、解答题
17．如图，在七星形ABCDEFG中，求 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．
18．如图，ABC的边BC的垂直平分线DE交ABC的外角平分线AD于点D，DF⊥AB于点F，且AB＞AC，试探究BF、AC、AF之间的数量关系，并说明理由．
19．如图，在四边形中，，，平分．
（1）如图，若，，则
（2）问题解决：如图，求证：；
（3）问题拓展：如图，在等腰中，，平分，求证：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；内错角的概念；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
2．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
3．【答案】B
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
4．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；角平分线的判定
5．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；线段垂直平分线的判定
6．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
7．【答案】20或40
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
8．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
9．【答案】6cm
【知识点】等边三角形的判定与性质；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
10．【答案】2或3
【知识点】代数式求值；分式的化简求值
11．【答案】5
【知识点】平方差公式及应用
12．【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
13．【答案】解：由2×5m＝5×2m得5m-1＝2m-1，即5m-1÷2m-1＝1， =1，因为底数 不等于0和l，所以 = ，所以m-1=0，解得m=1
【知识点】同底数幂的除法；乘方的相关概念
14．【答案】（1）解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴x﹣3+＝0，
∴x+＝3，
∴（x+）2＝9，
∴x2+2+ ＝9，
∴x2+ ＝7；
（2）解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2﹣3x＝﹣1，x2＝3x﹣1，
∴x3﹣2x2﹣2x+2024
＝x（x2﹣2x﹣2）+2024
＝x（3x﹣1﹣2x﹣2）+2024
＝x（x﹣3）+2024
＝x2﹣3x+2024
＝﹣1+2024
＝2023．
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式值的实际应用
15．【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值
16．【答案】（1）解：
=
=
=
=
（2）解：∵ ，
∴原式=
=
=
=
=
= ；
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣公式法
17．【答案】解：由三角形的外角性质，得，
∠1=∠C+∠F，
∠2=∠B+∠E，
∠4=∠D+∠G，
∠3=∠4+∠A=∠D+∠G+∠A．
从而∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G
=∠1+∠2+∠3
=180°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
18．【答案】解： ，理由如下：
如图，过点D作DG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接 ， ，
平分 ， ， ，
， ，
垂直平分 ，
，
在 和 中，
，
∴ ，
，
在 和 中，
，
∴ ，
．
，
∴ ．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
19．【答案】（1）2cm
（2）解：如图，过点分别作于，的延长线于点，
则，∵平分，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（3）解：如图，在上取，
∵是等腰三角形，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（）可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
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