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第一章一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知实数满足，那么的值为（ ）．
A．-5或1 B．-5 C．5或-1 D．1
2．被称为“几何之父”的古希腊数学家欧几里得，在他的几何原本中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根如图，一张边长为的正方形的纸片，先折出，的中点，，再沿过点的直线折叠使落在线段上，点的对应点为点，折痕为，点在边上，连接，，则长度恰好是方程的一个正根的线段为（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
3．据统计，某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月月末累计进馆6080人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
4．已知关于x的一元二次方程一个实根为1，则另一个实根为（ ）
A．2 B．3 C． D．
5．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
6．若是关于的一元二次方程的解，则的值是（ ）
A．2025 B．2020 C．2030 D．2035
7．用求根公式解方程，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．用公式法解方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知一元二次方程的两个根和，则的值为（ ）
A．10 B． C．24 D．
10．已知是关于的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为（ ）
A． B． C． D．
11．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．某种细胞分裂，一个细胞经过两轮分裂后，共有a个细胞，设每轮分裂中平均一个细胞分裂成n个细胞，那么可列方程为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知a是方程一个根，则的值为 ．
14．为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，平均每次降价的百分率为x，已知这种药品原来每盒的价格是60元，则第一次降价后每盒的价格是 元，第二次降价后每盒的价格是 元．若经过两次降价后这种药品每盒的价格是48.6元，则可列出方程： ．
15．某大型楼盘陆续交付后，家装灯具店纷纷推出各类优惠政策．某灯具店通过大数据分析，发现当成本为每个30元的台灯的售价为每个40元时，平均每天售出600个；若售价每个每下降2元，每日销售量就增加400个．为迎接“双十一”，该店决定降价促销．在库存为1220个台灯的情况下，若预计日销售获利恰好为8400元，则每个台灯的售价应为 元．
16．已知是一元二次方程的两个根，则 ．
17．已知，是关于的方程的两个实数根，且满足，则的值为 ．
三、解答题
18．解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
19．解下列方程：
(1)；
(2)．
20．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围及a的最小整数值．
21．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车．
(1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？
(2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？
(3)汽车滑行20米时用了多长时间？
22．如图所示，某学校有一道长为米的墙，计划用米长的围栏靠墙围成一个面积为平方米的矩形草坪，求的长．

23．（1）；
（2）．
24．某科技公司通过引入AI算法优化云计算资源调度，使服务器运行成本逐月下降．原来单台服务器每月运行成本为2500元，经过两个月的技术迭代后，单台服务器每月运行成本降至1600元．求单台服务器运行成本的月平均降低率．
《第一章一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A D C C D C C A
题号 11 12
答案 A A
1．D
【分析】把看做一个整体，设，从而把原方程转化成一个关于y的一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
解得或，
∵
∵，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了换元法解方程和因式分解法解一元二次方程，正确利用换元的思想解方程是解题的关键．
2．B
【分析】设，则，从而可以用表示等式．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．根据方程解出正根为，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．
【详解】解：设，则．
由题意可知：，是的中点，
，．
∴，
，
，
．
的解为：，
取正值为．
这条线段是线段．
故选：B．
【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键．
3．A
【分析】根据第一个月的进馆人次数及进馆人次的月平均增长率，可得出第二个月进馆人次，第三个月进馆人次，结合到第三个月月末累计进馆6080人次，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】∵某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，且进馆人次的月平均增长率为x，
∴第二个月进馆人次，第三个月进馆人次，
根据题意得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记“是一元二次方程的两根时，”是解题的关键，根据两根之和等于，结合方程的一个根是1，即可求出方程的另一个根．
【详解】解：，
∴方程的两根之和，
∴方程的另一根．
故选：D．
5．C
【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键，根据题意，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，
∴第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，
∴，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是利用整体代入思想解决问题．
根据已知和一元二次方程解的概念可得整体代入计算即可．
【详解】解：是一元二次方程的解，
，即
．
故选：C．
7．D
【分析】先把化成一般式，直接运用公式法解题即可．
【详解】解：，
则一般式是，
则，，，
那么，
把，，都代入中，
得，
故选：D．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，正确掌握公式法是解题的关键．
8．C
【分析】将方程化为一般式后，根据一元二次方程的一般形式确定a、b、c的值即可，注意：项的系数带着前面的符号．
【详解】解：方程整理得，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
9．C
【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．据此求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根和，
∴，
故选：C．
10．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；
设该方程的另一个根为，则根据根与系数的关系得，然后解方程即可．
【详解】解：设该方程的另一个根为，
根据根与系数的关系，得，
解得，
即该方程的另一个根为．
故选：A
11．A
【分析】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”．根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，故A符合题意．
故选：A．
12．A
【分析】第一轮分裂成n个细胞，第二轮分裂成个细胞，结合题意可得答案．
【详解】解：设每轮分裂中平均一个细胞分裂成n个细胞，那么可列方程为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一轮分裂后细胞的人数，再根据题意得出第二轮分裂后细胞的人数，而已知第二轮分裂后细胞的人数，故可得方程．
13．2023
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，分式的求值，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，则原式可变形为，进一步变形得到，即，据此可得答案．
【详解】解：∵a是方程一个根，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
14． ； ； ．
【分析】本题可先列出第一次降价后药品每盒价格的代数式，再根据第一次的价格列出第二次降价的售价的代数式，然后令它等于48.6即可列出方程．
【详解】解：第一次降价后每盒价格为元，
则第二次降价后每盒价格为元，
即．
故答案为：，，．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意列出第一次降价后商品的售价方程，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于48.6即可．
15．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每个台灯的售价为元，根据售价每下降2元，其月销售量就增加400个即可得到销售数量，然后根据单个利润乘以销售量等于总利润列一元二次方程即可求解．
【详解】解：设每个台灯的售价为元，
根据题意得，，
解得，，
当时，，不合，舍去；
当时，；
∴，
答：每个台灯的售价为元．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解、代数式求值．根据题意得、，再将其代入即可求解．
【详解】解：由题意得：
，即：，
，
，
故答案为：2021．
17．
【分析】本题考查了根与系数的关系，关键是根据已知条件对足进行变形．根据根与系数的关系得到，，由，得到，从而得到，解得或，然后判断方程的根的情况即可．
【详解】解：，是关于的方程的两个实数根，
，，
，
，
，
，
解得：或，
当时方程为，则，
当时方程为，则，
，
故答案为：．
18．(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）利用公式法解一元二次方程即可；
（4）利用直接开方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
或
∴，；
（2）解：
或
∴，；
（3）解：
，，
∴，；
（4）解：
∴，．
19．(1)，
(2)，
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用十字相乘法求解即可．
【详解】（1）解：，
因式分解得：，
或，
解得：，；
（2），
因式分解得：，
或，
解得：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法和十字相乘法是解答本题的关键．
20．，a的最小整数值是
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．根据方程有两个不相等的实数根求出a的取值范围，进而可得出结论．
【详解】关于x的方程有两个不相等的实数根，
，即，
解得，
的最小整数值是．
21．(1)15米/秒；2秒
(2)15米/秒
(3)秒
【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子．
（1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间；
（2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案；
（3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案．
【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米，
则在这段时间内的平均车速为米/秒；
从刹车到停车所用的时间是秒；
（2）从刹车到停车车速的减少值是，
从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒；
（3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，
则这段路程内的平均车速为米/秒，
所以，
整理，得，
解得，（不合题意，舍去），
答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒．
22．8米
【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式面积的计算方法是解题的关键．
设矩形草坪边的长为米，则边的长为米，根据围成一个面积为平方米的矩形草坪，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】解：设矩形草坪边的长为米，则边的长为米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
∵，
∴，
∴，
答：的长为米．
23．（1），；（2），
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
，；
（2）解：，
，
或，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：因式分解法、直接开平方法、公式法、配方法．
24．单台服务器运行成本的月平均降低率为
【分析】本题考查了一元二次方程的意义，设单台服务器运行成本的月平均降低率为，根据题意列出方程解方程，即可求解．
【详解】解：设单台服务器运行成本的月平均降低率为，根据题意得，
解得：（舍去）
答：单台服务器运行成本的月平均降低率为．
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