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1.3一元二次方程的根与系数的关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
2．已知是一元二次方程的两个实数根，则（　　）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
3．已知关于x的方程的两根分别为，且，则关于x的不等式的解为（　　）
A．x≤ B．x＜ C．x≥3 D．x≤3
4．一元二次方程和 所有实数根的和等于（　　）
A．3 B．2 C．1 D．10
5．如图，四边形的两条对角线互相垂直，AC、BD是方程的两个解，则四边形的面积是（ ）
A．60 B．30 C．16 D．32
6．若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
7．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2025 B．2023 C．2024 D．2023
8．若是方程的两个根，则（ ）
A． B．
C． D．
9．若，是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知，为一元二次方程的两个实数根，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．若是关于的方程： 的两个实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A． B．12 C．3 D．0
二、填空题
13．已知一元二次方程中，下列说法：
①若，则；
②若方程两根为-1和2，则；
③若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根；
④若，则方程有两个不相等的实数根．
其中正确的有 ．（填序号）
14．已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是 ．
15．已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 ．
16．如果是关于的一元二次方程的两个实数根，则= ．
17．已知方程的两个解分别为，则的值为 ．
三、解答题
18．设是一元二次方程的两个根，求的值．
19．，是关于的方程的两个实数根，且，求的值．
20．已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，方程的根为，，求代数式的值．
21．关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，．
(1)求m的取值范围；
(2)若，求m的值．
22．不解方程，求下列方程两个根的和与积：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
23．已知是一元二次方程的两个实数根，求的值．
24．已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)如果方程的两个实数根为，，且，求m的值．
《1.3一元二次方程的根与系数的关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C B B A A B A D
题号 11 12
答案 C B
1．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义．根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，，再把原式变形为，由此代值计算即可．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系求出与的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：一元二次方程的两个实数根为a，b，
，，
则原式，
故选：C．
3．C
【分析】本题的突破口是根与系数的关系与代数式的变形．由根与系数的关系得出，．给变形得，，求得2m﹣1＝1，将其代入关于x的不等式，求得x的解集．
【详解】解：关于x的方程的两根分别为，
则，．
∵，
∴，
由此可得2m﹣1＝1．
把2m﹣1＝1代入得3﹣x≤0，
解得，x≥3．
故选C．
【点睛】本题考查根与系数的关系与代数式的变形，要求能将根与系数的关系与代数式变形相结合解题．
4．B
【分析】先利用根的判别式的意义判断没有实数解，所以利用根与系数的关系求出方程的两根之和即可．
【详解】解：对于方程，
，
此方程没有实数解，
一元二次方程和所有实数根的和等于2．
故选：B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式．
5．B
【分析】对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，二次方程的两根乘积可以利用韦达定理快速求解即可．
【详解】由题意可知
四边形的面积
∵AC、BD是方程的两个解，
∴，四边形的面积，
故答案为：B．
【点睛】本题主要考查对角线互相垂直的四边形的面积计算及二次方程根与系数的关系，知道利用对角线的成绩计算面积是解题关键．
6．A
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】解：方程中的，
是方程的两个根，
，，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
7．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，本题的关键是明确两根之和为．
先根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，
，
故选：A．
8．B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，理解两根之积和两根之和的求法是解答关键．
根据的两个根是，，则，来求解．
【详解】解：是方程的两个根，
，．
故选：B．
9．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
故选：A．
10．D
【分析】先利用一元二次方程根和系数的关系求得，将代入方程得到，利用因式分解法解方程即可得到答案．
【详解】解：，为一元二次方程的两个实数根，
，
，
，
一元二次方程，
，
，，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握一元二次方程根和系数的关系：，．
11．C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系的计算是关键．
根据题意得到，由此即可求解．
【详解】解：若是关于的方程： 的两个实数根，
∴，
∴，，
∴，
故选：C ．
12．B
【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系，即可得出，，再将其代入，计算即可．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义是解决本题的关键．
【详解】解：，是关于的方程的两根，
，，．
．
故选：B
13．②③④
【分析】根据一元二次方程的解的定义，判别式与根的个数的关系，根与系数的关系逐一进行判断即可．
【详解】解：①若，则1为方程的一个根，∴，故①错误；
②若方程两根为-1和2，则：，∴，②正确；
③若方程有两个不相等的实数根，则：，∵，∴，∴方程必有两个不相等的实数根，③正确；
④若，则：，∵，∴，④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查一元二次方程解的定义，根的判别式，根与系数的关系．熟练掌握相关知识点是解题的关键．
14．
【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．直接根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解．
【详解】解：设方程的另一个根为，
根据一元二次方程的根与系数的关系可得：，
解得：
故答案为：．
15．1
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．对于一元二次方程的两个根，满足，．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．直接根据根与系数的关系求出即可．
【详解】解∶∵、是一元二次方程的两个实数根，
∴，
故答案为∶1．
16．/1.5/
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程的两个根，则与系数的关系式：，．先利用根与系数的关系求出和的值，然后把通分后代入计算即可．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴．
故答案为：．
17．
【分析】先根据根与系数的关系求出和的值，然后再对因式分解后代入计算即可．
【详解】解：∵方程的两个解分别为，
∴，，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程的两个根，则与系数的关系式：，．
18．
【分析】首先把提公因式进行因式分解得到，然后运用韦达定理，，最后代入求值．
【详解】∵是一元二次方程的两个根
∴由韦达定理可知：
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程两根之间的关系，由韦达定理可知，的两根为，则．
19．
【分析】，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，即可解得答案．
【详解】解：∵是方程的根
∴，
∴
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的问题是本题的解题关键．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记两根之和等于，两根之积等于是解题的关键；
（1）由题意可得，再求解即可；
（2）当时，一元二次方程为，再根据根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根．
，
解得：；
（2）解：∵
∴当时，一元二次方程为，
，
．
21．(1)
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键；
（1）根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，然后解不等式即可得到m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系得到，代入，可求m的值．
【详解】（1）解：根据题意得，解得．
故m的取值范围为；
（2）解：根据题意得，
∵，
∴，
解得．
22．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）将方程化为一般式，再根据根与系数的关系，求解即可；
（2）将方程化为一般式，再根据根与系数的关系，求解即可；
（3）将方程化为一般式，再根据根与系数的关系，求解即可；
（4）将方程化为一般式，再根据根与系数的关系，求解即可．
【详解】（1）解：由可得：
则
（2）解：由可得：
则
（3）解：由可得：
则
（4）解：由可得：
则
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握相关基础知识，是一元二次方程的两个根，则．
23．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及二次根式的化简，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
根据根与系数的关系得到，，可知，然后化简代入求值．
【详解】解：，是一元二次方程的两根，
，，
，，
．
24．(1)；
(2)
【分析】本题考查了跟与系数的关系以及根的判别式，根据方程解的情况结合根的判别式找出关于m的不等式是解题的关键．
（1）由方程有两个实数根，结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系得出、，将变形为，然后代入即可得出关于m的一元二次方程，解方程求得出m的值，结合（1）的结论即可得出m的值．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
即，
解得：；
（2）解：由题意，得、，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
解得：，，
由（1）知：，
∴．
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