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1.4用一元二次方程解决问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ）
A． B．
C． D．
2．“八月十五谓中秋，民间以月饼相送，取团圆之意”．每年中秋节前是购买月饼的高峰期，年中秋节前期某商场在销售一种月饼时发现，如果以元的单价销售，则每天可售出，如果销售单价每增加元，则每天的销售量会减少．该商场为使每天的销售额达到元，销售单价应为多少 设销售单价应为元，依题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．2023年5月13日，贵州榕江和美乡村足球超级联赛拉开序幕，这个被称为贵州“村超”的民间足球赛持续升温，吸引全国各地球迷现场“打卡”．某学校开办学校足球联赛，规定每两个班级球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场．设参加比赛的班级球队有支，根据题意，下面列出的方程正确的是（）
A． B． C． D．
4．某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则满足的方程是（　　）
A． B． C． D．
6．某商场将进价为45元/件的甲商品以65元/件出售时，平均每天能卖出30件，若每降价1元，则每天可多卖出5件，如果降价元，每天盈利800元，那么可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，佩戴口罩是遏制支原体肺炎病毒传播的一种有效途径．若有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了3540张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A． B． C． D．
9．2024年8月2日，第八届广西万村篮球赛暨广西社区运动会县级赛在柳州市鱼峰区白沙镇举行开赛仪式，据了解，本次鱼峰区比赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），如果比赛共进行了78场，则一共有多少支球队参加比赛？设一共有x支球队参加比赛，根据题意可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在长为30米，宽为18米的矩形地面上修筑等宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为480平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）

A． B．
C． D．
11．从盛满升纯药液的容器中，倒出升药液后，用水加满；混合后，第二次又倒出升的混合药液，再用水加满，此时容器内的药液浓度为，则根据题意所得的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．某商品原价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次降价的百分率相同，则降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利元，平均每天可售出千克，经市场调查发现，若每千克每涨价一元，平均日销量将减少千克，要使商场每天获利最多，那么每千克应涨价 元．
14．某超市经销的洗衣液中，甲、乙两个品牌比较畅销，其中甲品牌洗衣液的进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液的进价每瓶比甲品牌高10元．在销售中，该超市发现，若将甲品牌的洗衣液以每瓶45元出售，则每天固定售出100瓶，而乙品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，且当乙品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，每天就会少售出2瓶．当乙品牌洗衣液每瓶的售价为 元时，两种品牌的洗衣液每天的销售利润之和为4700元．
15．如图所示，为矩形的四个顶点，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动．若一点到达终点，另一点也随之停止运动．当两点出发 时，点和点的距离是10cm．
16．一块长方形绿地的面积为1200平方米，并且长比宽多10米，如果设长为米，根据题意可列出方程 ．
17．一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大，百位上的数字等于个位上的数字的平方．如果这个三位数比它个位上的数字与十位上的数字的积的倍大，则这个三位数是 ．
三、解答题
18．某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长，宽，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为．扩充区域的扩建费用为每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用为每平方米100元．若计划总费用为642000元，则扩充后广场的长和宽应分别是多少米？

信息提炼：
设扩充后广场的长为，宽为_________m．
面积（） 费用（元） 总费用（元）
原广场 ⑤_________（用含x的式子表示）
新广场 ①_________ 铺设地砖费用为②_________
扩充区 ③_________ 扩建费用为④_________
列方程 ⑥_________
规范解答：
19．如图所示，在中．，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．

(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的面积为．
(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的长度等于．
(3)在（1）中的面积能否等于？说明理由．
20．一件商品原价为100元，经连续两次降价，现价为81元，每次降价的百分率均相同，求此百分率．
21．2025年7月1日是建党104周年纪念日，在本月月历表上可以用一个方框圈出4个数（如下图所示）．若圈出的4个数中，最小数与最大数的乘积为84，求这个最小数．
22．探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次．
(1)若参加聚会的人数为3，则共握手___________次；
(2)若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手___________次；
(3)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数．
(4)拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为20个，求的值．”
琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？
23．2022年卡塔尔世界杯即将在本月开幕，共有若干支球队参赛．第一阶段为小组赛，第二阶段为淘汰赛．在小组赛阶段，所有参赛球队将被分成8个小组（每组参赛球队数量相同），分别进行单循环赛（两支球队之间只踢一场），根据规则，小组前2名的球队顺利出线，进入淘汰赛．已知本届世界杯小组赛阶段共有48场比赛，请问：共有多少支队伍参加比赛？
24．诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人
《1.4用一元二次方程解决问题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D B C D D C D B
题号 11 12
答案 B A
1．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用每组安排比赛的场数=每组邀请球队数每组邀请球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：，
故选：D．
2．C
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据销售单价应为元，得销售单价增加元，根据销售单价每增加元，则每天的销售量会减少，销售量减少，再利用该商场每天的销售额达到元，可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．
【详解】解：∵销售单价应为元，
∴销售单价增加元，
∵销售单价每增加元，则每天的销售量会减少，
∴销售量减少，
由题意可得：，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
利用比赛的总场数=参加比赛的班级球队数(参加比赛的班级球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
故选：D．
4．B
【分析】根据原价及经两次降价后的价格，即可得出关于a的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．C
【分析】根据每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列出一元二次方程.
【详解】解：∵每轮传染中平均一个人传染了个人
∴两个人可感染个人
故一轮感染后，患流感人数为：
同理：个人可感染个人
故两轮感染后，患流感人数为：
∴
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程与传播问题．找到每一轮感染新增人数是解题关键．
6．D
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．由题意可知降价元，平均每天能卖出件，每件盈利元，即可列出方程．
【详解】解：降价元，则可多卖出件，此时售价为元/件，
∴此时平均每天能卖出件，每件盈利元，
∴每天盈利元，
即可列方程为．
故选D．
7．D
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎，列出方程即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
由题意，得：；
故选D．
8．C
【分析】设全班有x名学生，根据“每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了3540张相片，”列出方程，即可求解．
【详解】解：设全班有x名学生，根据题意，
．
故选：C
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
9．D
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据比赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），比赛共进行了78场，列出方程即可．
【详解】解：设一共有x支球队参加比赛，由题意，得：；
故选D．
10．B
【分析】先将图形利用平移进行转化，可得空白长方形的面积=长×宽，列方程即可．
【详解】利用图形平移可将原图转化为下图，道路的宽为x米．

根据题意可得：．
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的实际运用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
11．B
【分析】设每次倒出液体x 升，则第一次倒出后容器内剩下纯药液升，加满水后药液的浓度为，利用第二次倒出后容器内剩下纯药液的数量=第二次倒出后容器内剩下药液的数量×此时药液的浓度，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设每次倒出液体x升，则第一次倒出后容器内剩下纯药液升，
加满水后药液的浓度为，
依题意得： 即．
故选B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．A
【分析】本题考查了一元二次方程的增长率，设每次降价的百分率为，根据连续两次降价后的售价建立方程求解即可-
【详解】解：设每次降价的百分率为，则第一次降价后售价为元，第二次降价后售价为元，
根据题意，得方程：，
∴，
开平方得：或，
∴或（舍去）
故选：A
13．7.5
【分析】设每千克应涨价x元，商场每天的利润为y元，再根据利润=每千克盈利×日销售量，列出y与x的函数关系式，然后配方求最值即可．
【详解】解：设每千克应涨价x元，商场每天的利润为y元，
根据题意得：
当时，y取得最大值，最大值为6 125．
所以要使商场每天获利最多，每千克应涨价7.5元．
故答案为：7.5．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，属于销售利润问题，明确利润=每千克盈利×日销售量是本题的关键，重点理解“每千克涨价一元，日销售量将减少20千克”根据所设的未知数表示此时的销售量，与二次函数的最值结合，求出结论．
14．80
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，设设乙品牌洗衣液每瓶的售价为y元，则该洗衣液每瓶的销售利润为元，再列式，即可作答．
【详解】解：依题意，设乙品牌洗衣液每瓶的售价为y元，则该洗衣液每瓶的销售利润为元，
每天的销售量为瓶，
由题意，得，
整理，得，
解得，
∴当乙品牌洗衣液每瓶的售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的销售利润之和为4700元．
故答案为：80．
15．2或
【分析】设当，两点从出发秒时，点和点的距离时cm，此时cm，cm，利用勾股定理即可列出关于的一元二次方程，解之即可得到结论.
【详解】解：设当两点出发时，点和点的距离是10cm，
此时．
根据题意，得，即，
解得．
故当两点出发2s或时，点和点的距离是10cm．
故答案为或.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于的一元二次方程是解题的关键.
16．
【分析】本题考查列一元二次方程，设长为米，则宽为米，根据面积等于长乘宽列方程即可．
【详解】解：如果设长为米，则宽为米，
由此可得，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解数字与每个位上的数字的关系是解题的关键．
设该三位数个位上的数字为，则十位上的数字是，百位上的数字是；再根据这个三位数比它个位上的数字与十位上的数字的积的倍大列出方程求解即可．
【详解】解：设该三位数个位上的数字为，则十位上的数字是，百位上的数字是．
由题意，得，
整理，得，
解得（舍去），
∴十位上的数字为，百位上的数字为．
故答案为：．
18．；①；②；③；④；⑤；⑥；解答见解析
【分析】设扩充后广场的长为，则宽为，用含x的式子表示出铺设地砖的费用和扩建费用，根据总费用为642000元得出方程，解方程可得答案．
【详解】解：设扩充后广场的长为，则宽为，
∴新广场的面积为，铺设地砖费用为，扩充区的面积为，扩建费用为，总费用为，
∴可列方程为；
规范解答：
设扩充后广场的长为，则宽为，
依题意，得，
解得（舍去）．
所以．
答：扩充后广场的长为，宽为．
故答案为：；①；②；③；④；⑤；⑥．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找出合适的等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．(1)1秒
(2)2秒
(3)不可能等于，理由见详解
【分析】（1）设P，Q分别从A，B同时出发，x秒后，，，，则，令，列出方程即可求出符合题意得解；
（2）利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）的面积能否等于，只需将，化简该方程后，判断该方程的判别式与0的关系，大于等于0则可以，否则不可以．
【详解】（1）解：设x秒后，的面积为，
此时，，，，
则，
令，即，
整理得：，
解得：或，
当时，，说明此时点Q越过点C，不合要求，舍去，
答：1秒后的面积为；
（2）解：由，得，
整理得，
解方程得：（舍去），，
所以2秒后的长度等于；
（3）解：的面积不可能等于，理由如下：
设
即，整理得，
∵，
∴方程没有实数根，
所以的面积不可能等于．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．
20．
【分析】设百分率为x，根据“原价为100元，经连续两次降价，现价为81元”列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设百分率为x，
由题意得，，
解得，（不符合题意，舍去），
∴百分率为．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
21．这个最小数为．
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出最大数与最小数的差值是解题的关键．
设圈出的四个数中最小数为，则最大的数为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的乘积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值．
【详解】解：设这个最小数为，则最大数为．
依题意，得．
整理，得，
解得，（不合题意，舍去）．
故答案为：这个最小数为．
22．(1)3
(2)
(3)10人
(4)琪琪的思考是对的，见解析
【分析】本题考查了数字类归纳探索、一元二次方程的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
（1）根据每两个人见面必须握手，且只握手1次即可得；
（2）先求出参加聚会的人数为时，共握手的次数，再归纳类推出一般规律即可得；
（3）令（2）的结果等于45，解一元二次方程即可得；
（4）参照（2）的规律，归纳类推出一般规律，再令其等于20，解一元二次方程，由此即可得．
【详解】（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手3次，
故答案为：3．
（2）解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手次，
参加聚会的人数为2，则共握手次，
参加聚会的人数为3，则共握手次，
参加聚会的人数为4，则共握手次，
归纳类推得：若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次，
故答案为：．
（3）解：若参加聚会的人共握手45次，
则，
解得或（不符合题意，舍去），
答：参加聚会的人数为10人．
（4）解：琪琪的思考是对的，理由如下：
若在的内部由顶点引出1条射线（不含，边），角的总数为个，
若在的内部由顶点引出2条射线（不含，边），角的总数为个，
若在的内部由顶点引出3条射线（不含，边），角的总数为个，
归纳类推得：若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为个，
令，即，
解得或（均不是正整数，不符合题意，舍去），
所以在这个问题上，角的总数不可能为20个，琪琪的思考是对的．
23．共有32支队伍参加比赛
【分析】设每组有n支队伍参加比赛，则每个小组需要比赛场，由此列一元二次方程即可求解．
【详解】解：设每组有n支队伍参加比赛，
则，
整理得，
解得，（舍），
（支），
即共有32支队伍参加比赛．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意，列出一元二次方程是解题的关键．
24．每轮传染中平均一个人传染了个人
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染，则，即可求解；
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，
则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染，
∴，
解得：（舍去），
∴每轮传染中平均一个人传染了个人；
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