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2.2圆的对称性
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，是的直径，弦，垂足为，若，则的半径的长是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．把半径为的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，．若以点C为圆心，长为半径的圆与交于点D，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，，，，是上的点，，下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，等腰三角形ABC的顶角，以腰AB为直径作圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的度数是（ ）
A．18° B．36° C．72° D．80°
6．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆，已知圆心 O在水面的上方，被水面截得的弦长为 8 米，点 C 是运行轨道的最低点，点 C 到弦 AB 的距离为 2 米，则 的半径长为（ ）
A．4 米 B．5 米 C．6 米 D．8 米
7．在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则的长为（ ）
A． B．9 C． D．
9．下列说法正确的是（　　）
A．长度相等的弧是等弧 B．半圆是弧
C．等弦对等圆心角 D．直径是最长的弦，半径是最短的弦
10．在中，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
11．下列命题中，正确的是（ ）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
12．如图，在中，，D、E分别是半径与的中点，连接，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图所示，是半径为3的上的两点．若是的中点，则四边形的周长为 ．

14．如图，是的直径，，，则的大小为 ．
15．半径为2的中有两条互相垂直的弦、，它们的交点到点的距离为1，则 ．
16．如图，是的直径，弦于点，若，则 ， ， ．

17．如图，在同圆中，若，则 ．（“”“”或“”）
三、解答题
18．如图，是的直径，是弦，，垂足为点E，连接，，，求的面积．
19．“五一”节期间，小明和同学一起到游乐场游玩．如图为某游乐场大型摩天轮的示意图，其半径是20m，它匀速旋转一周需要24分钟，最底部点B离地面1m．小明乘坐的车厢经过点B时开始计时．
(1)计时4分钟后小明离地面的高度是多少？
(2)在旋转一周的过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面31m以上的空中？
20．如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果D是中弦的中点，连接并延长交于点C，并且，，求的半径．
21．如图所示，一装有部分油的圆柱形油罐的横截面．若油面宽，油的最大深度为，

(1)用尺规作图（保留作图痕迹，不用证明），找出圆心O；
(2)求该油罐横截面的半径．
22．如图，为的弦，于点于点．若，求证：．

23．如图，为的直径，过点作于点，交于点，．
(1)求证：为的中点；
(2)若圆的半径为6，求弦的长．
24．如图，已知是的直径，弦．
(1)求证：弧弧；
(2)若弧AC的度数为，求的度数．
《2.2圆的对称性》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B C B B C C B A
题号 11 12
答案 D D
1．A
【分析】连接，设的半径为，则，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，代入后求出即可．
【详解】解：连接，
设的半径为，则，
，过圆心，，
，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
即的半径长是5，
故选：A．
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握垂径定理并熟练应用是解题的关键．
2．A
【分析】设球心为O，过O作交于M，交于N，连接，结合题意可解得，
，根据勾股定理求得，最后由垂径定理求得结果．
【详解】解：如图，设球心为O，过O作交于M，交于N，连接，
由题意可知是矩形，．
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，勾股定理解三角形和垂径定理；掌握求弦长通常运用垂径定理构造直角三角形的方法是解题的关键．
3．B
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，得到再根据得到三角形是等腰三角形，即，从而求得即可得出的度数．
【详解】解：如图所示：连接CD，
∵在中，
即的度数是
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆心角，弧，弦的关系，解题时，综合运用了三角形的内角和定理及其推论，根据同圆的半径相等和等边对等角的性质进行计算．
4．C
【分析】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系，根据圆心角，弦，弧之间的关系逐项排除即可，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴，不符合题意；
、∵，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
、不能保证，符合题意；
、∵，
∴，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
故选：．
5．B
【分析】设圆心为，连接、，根据等腰三角形的性质推出，得到，再平行线的性质得到，从而得到，可得弧的度数．
【详解】解：设圆心为，连接、，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即弧的度数为，
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，连接圆心角、弧、弦之间的关系，掌握等腰三角形的性质是正确解答的前提．
6．B
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，设的半径长为，由垂径定理得（米），再由勾股定理列方程求出的值即可．
【详解】解：如图，连接、，交于点，设的半径长为，
∵点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴的半径长为米．
故选：B．
7．C
【分析】画出符合题意的几何图形，证明△OAB是等边三角形即可得到此弦所对圆心角的度数．
【详解】解：如图，
∵OA=OB=AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．解答该题时，利用了等边三角形的判定和性质，熟记和圆有关的各种性质是解题的关键．
8．C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键．连接，首先根据题意可求得，根据勾股定理即可求得的长，再根据垂径定理即可求得的长．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
∴．
故选：C
9．B
【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径；圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆；在同圆或等圆中，等弦所对的弧对应相等，等弧所对的圆心角相等，逐项判断可得答案．
【详解】解：A．等弧指的是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，而不是长度相等，就一定能够重合，故此选项不符合题意；
B．半圆是弧，故此选项符合题意；
C．在同圆或等圆中，等弦所对的弧对应相等，等弧所对的圆心角相等，故此选项不符合题意；
D．直径是最长的弦，半径不是弦，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查圆的认识，在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角的关系．解题的关键是掌握弧、半圆和弦的定义，弦、弧、圆心角的关系．
10．A
【分析】本题主要考查了圆的基本性质（等弧对等弦）、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等弧对等弦和三角形内角和定理是解题的关键．本题根据同圆中弧相等则对应的弦相等，得出，从而判定为等腰三角形，再利用等腰三角形两底角相等以及三角形内角和为来计算的度数．
【详解】解：
（同圆中，等弧所对的弦相等）
是等腰三角形，（等腰三角形两底角相等）
，且（三角形内角和定理）
故选： ．
11．D
【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意；
B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意；
C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意；
D、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
12．D
【分析】在中，根据弧、弦、圆心角的关系可判断A选项，证明可判断B、C选项，根据已知条件，不能证明，可判断D选项．
【详解】解：在中，，
，故A选项不符合题意；
在与中，，
，
，，故C选项不符合题意；
D、E分别是半径的中点,
，
在与中，
，
，
，，故B选项不符合题意；
和不一定相等，
和不一定垂直，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质，掌握相关知识点是解决本题的关键．
13．12
【分析】通过等弧所对的圆心角相等和，得到和都是等边三角形，再求出四边形的周长．
【详解】解：连接，

∵C是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴和都是等边三角形，
∴，
∴四边形的周长等于为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是等弧所对的圆心角相等；等边三角形的判定和性质，熟练的运用等弧所对的圆心角相等是解本题的关键．
14．/度
【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到，再由平角的定义即可得到答案．
【详解】解：∵是的直径，，，
∴，
∴，
故答案为：．
15．28
【分析】连接，作于点M，作于点N，构造矩形，然后利用勾股定理和垂径定理推知，，，所以，由此解得．
【详解】解：连接，作于点M，作于点N，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∵，且，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：28．
【点睛】本题主要考查垂径定理和勾股定理．解答该题的关键是通过作辅助线构建矩形，利用勾股定理、矩形的性质以及垂径定理，将转换到同一个式子中求解．
16． 3 /
【分析】连接，根据垂径定理得出然后在中由勾股定理求出的长度，最后由, 即可求出的长度.
【详解】
如图,连接.得到
∵弦于点,,
在中,，
，
，

故答案为: ,
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，关键在于熟练地运用垂径定理得出的长度.
17．
【分析】取的中点E，根据圆心角、弦的关系、三角形三边关系求解即可．
【详解】解：取的中点E，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
18．
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，先根据是的直径，是弦，，得出，再运用勾股定理列式，代入数值计算，得出半径是，再运用三角形的面积公式列式进行计算，即可作答．
【详解】解：连接，
∵
∴，
设的半径为r，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
19．(1)计时4分钟后小明离地面的高度是11m
(2)8分钟
【分析】（1）设4分钟后小明到达点，过点作 于点，先算出的度数，再根据三角函数计算出的长度，即可算出的长度.
（2）假设距离地面31米，先算出长度，再根据三角函数值算出的度数，进而可知的度数，即可算出小明将连续保持在离地面31m以上的空中的时间.
【详解】（1）解：设4分钟后小明到达点，过点作于点，即为小明离地的高度，
∵
∴
(m)．
答：计时4分钟后小明离地面的高度是11m；
（2）解：∵当旋转到处时，作弦交的延长线于点，连接，此时离地面高度为．
当时，
，
∵每分钟旋转的角度为： ，
∴由点旋转到所用的时间为：（分钟）．
答：在旋转一周的过程中，小明将有8分钟的时间连续保持在离地面31m以上的空中．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键.
20．
【分析】本题考查了垂径定理的推论与勾股定理；连接，并设圆的半径为r；由垂径定理推论得，；在中，利用勾股定理建立方程即可求得半径．
【详解】解：如图，连接，设圆的半径为r；
∵D是中弦的中点，
∴，；
∵，
∴在中，由勾股定理得：，
解得：；
答：的半径为．
21．(1)见解析
(2)该油罐横截面的半径为．
【分析】（1）在横截面上取一点C，连接，作、的垂直平分线，它们的交点即为圆心O；
（2）如图，连接，交于E，设该油罐横截面的半径为r，求出，然后在中，利用勾股定理构建方程，求解即可．
【详解】（1）解：圆心O的位置如图所示：

（2）解：如图，连接，交于E，设该油罐横截面的半径为r，
∵，
∴，
由题意得：，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
即该油罐横截面的半径为．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
22．证明见解析．
【分析】连接，利用证明，推出，得到，即可证明．
【详解】证明：连接．
，
．
在和中，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据垂径定理以及全等三角形的判定与性质证明即可；
（2）根据垂径定理和勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：在中，于点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴为的中点；
（2）解：∵圆的半径为6，
∴，
由勾股定理可得 ，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题关键是熟练掌握垂径定理，并利用全等三角形的判定与性质解决问题．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，，求出，根据圆心角与弧的关系即可得证；
（2）求出，求出，再求出答案即可．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，，
，
；
（2）解：的度数是，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆心角与弧的关系，掌握弧的度数等于所对圆心角的度数是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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