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2.4圆周角
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，，，，点是边上的动点，连接，过点作于点，则的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．圆周角等于圆心角的一半 B．在同一个圆内等弧所对的圆周角相等
C．直径是圆的对称轴 D．过弦的中点的直线必经过圆心
3．如图，点A、B、C是上的点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点A、B、C在上，点D是延长线上一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点A，B，C，D是上的点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°，BC＝6，则⊙O的直径等于（ ）
A．10 B．6 C．6 D．12
7．如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么（ ）
A．40 B．50 C．60 D．70
8．如图，四边形是的内接四边形，为的直径，连结．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
10．如图，已知点是的外心，连结，，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，是半径为的的直径，点在上，，点为劣弧的中点．点是直径上一动点，则的最小值为(　　)
A． B．2 C．4 D．
12．如图，线段是的直径，弦，，则等于（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，的两条弦相交于点，若，则 ．
14．四边形是的内接四边形，连接、，，则 ．
15．如图，四边形内接于，的延长线相交于点E，的延长线相交于点F．若，，则 °．
16．如图，是的外接圆，，，则的直径等于 ．

17．如图，点、、、都在上，若，，则的度数为 ．
三、解答题
18．如图，是的直径，C为上一点，连接，过点O作于点D，延长交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长度．
19．如图1，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以为公共点的三条弦，，构成的图形称为圆中“爪形”，弦，，称为“爪形”的爪．
(1)如图2，四边形内接于，，
①证明：圆中存在“爪形”；
②若，求证：．
(2)如图3，四边形内接于圆，其中，连接．若“爪形”的爪之间满足，则________°．
20．如图，锐角是内接三角形，弦，垂足为．在上取点，使，连接，并延长交于点．求证：．
21．如图，已知是的内接三角形，是的直径，连接．
(1)若，求的度数．
(2)若平分，，求的长．
22．如图，内接于，为的直径．，，求的长．

23．如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接．
(1)若，，求的直径；
(2)若，求的度数．
24．如图，A，B，C，D是上的四点，且．
(1)求证：；
(2)设与交于点E．求证：．
《2.4圆周角》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A C B D D D B C
题号 11 12
答案 D C
1．A
【分析】取中点，连接、．易得点在以长为直径的圆周上上运动，当点、、在同一直线上时，最短．据此计算即可．
【详解】解：如图，取中点，连接、．
，，
点在以长为直径的圆周上上运动，当点、、在同一直线上时，最短．
，，
，
，
，
即的最小值为2．
故选：A．
【点睛】本题考查了线段最小值，正确理解圆外一点到圆上的最短距离等于点与圆心连线与圆的交点到点到这点的线段长是解题的关键．
2．B
【分析】本题主要考查了弧，圆心角，圆周角定理等，解决问题的关键是熟练掌握弧，圆心角，圆周角的关系，等弧的概念等．根据弧，圆心角，圆周角的关系，等弧的概念求解即可．
【详解】解：A．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，故原说法不正确；
B．在同一个圆内等弧所对的圆周角相等，故此说法正确；
C．直径所在的直线是圆的对称轴，故此说法不正确；
D．过弦的中点且垂直于弦的直线必经过圆心，故此说法不正确．
故选：B．
3．A
【分析】根据圆周角定理得出，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，能熟记圆周角定理是解此题的关键．
4．C
【分析】取圆上任一不同于点A、B、C的点，连接，利用圆内接四边形的一个外角等于内对角，以及同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得解．
【详解】解：如图，取圆上任一不同于点A、B、C的点，连接，
则：，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查圆内接四边形，以及圆周角定理．熟练掌握圆内接四边形的外角等于内对角，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键．
5．B
【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等，根据此性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴；
故选：B．
6．D
【分析】所对的圆周角是30°，则对的圆心角为60°，所以为等边三角形，进而可求直径．
【详解】
解：连接OB、OC，如图，
∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC＝6，
∴⊙O的直径等于12．
故选：D．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角与圆心角的关系，涉及了圆的性质等相关知识，掌握并熟练使用相关定义定理，精准识图是本题的解题关键．
7．D
【分析】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得到，再根据圆内接四边形性质和平角的定义即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
8．D
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识．首先利用圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”求得的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角确定，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
故选：D．
9．B
【分析】由同弧所对圆周角相等及直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握它们是关键．
10．C
【分析】根据圆周角定理得出即可得到结果．
【详解】解：∵点O为的外心，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理，熟记圆周角定理是解决问题的关键．
11．D
【分析】作点关于的对称点，连接，根据轴对称的最短问题得出：与的交点即为的最小时的点，的最小值，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出，根据等弧所对的圆心角相等得出，由对称性，，根据角的和差得出，进而判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的边之间的关系算出的长，从而得出答案．
【详解】解：作点关于的对称点，，连接，
则与的交点即为的最小时的点，的最小值，
∵，
∴．
∵点为劣弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴,
即的最小值 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理；轴对称的应用，最短距离问题，得出与的交点即为的最小时的点，的最小值是解题的关键．
12．C
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理得，然后利用邻补角的定义计算的度数．理解并掌握相关性质定理是解决问题的关键．
【详解】解：∵线段是的直径，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
13．/30度
【分析】本题考查了圆周角定理，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得结论．
【详解】解：∵所对的圆周角是，
∴
故答案为：．
14．或/或
【分析】分两种情况，当在劣弧上时，当在优弧上时，再根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可解决问题．
【详解】解：如图，当在劣弧上时，
∵四边形内接于，
∵，
∴，
∴，
当在优弧上时，如图
∴，
故答案为：或．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
15．40
【分析】利用圆内接四边形的外角等于内对角，得到，根据对顶角相等，得到，利用三角形内角和定理，求出的度数，再利用外角的性质，即可得到的度数．
【详解】解: ,
即
故答案为: 40
【点睛】本题考查圆内接四边形，三角形内角和以及外角的性质．熟练掌握圆内接四边形的外角等于内对角，是解题的关键．
16．4
【分析】连接并延长交于D，连接，得到，根据圆周角定理得到，根据含角直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接并延长交于D，连接，

则，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，含角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17．/度
【分析】本题考查了圆周角定理，根据已知可得，根据圆周角定理可得，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查圆周角定理及其推论，垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理等知识．
（1）由是的直径知，结合即可得证；
（2）连接，由勾股定理求得，再利用垂径定理知，结合知，，利用勾股定理先后求得．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵是直径，
∴．
在中，．
∵是的半径，
∴．
∴为的中位线．
∴．
∴．
∴．
∴．
19．(1)①见解析；②见解析
(2)
【分析】（1）①根据题设给的定义即可求证；②根据题设给的条件，勾股直角三角形即可求解；
（2）由（1）中②以及可以构造等边三角形，由此即可求解．
【详解】（1）①证明：∵，
∴，
∴平分圆周角
∴圆中存在“爪形”．
②如图所示，
延长至点，使得，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴由勾股定理得，，即，
∴．
（2）解：如图所示，延长，使，连接，
由（1）中②可知，，
∴，
∵“爪形”，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，即，
∴，
故答案是：．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的知识，解题的关键是掌握和理解圆周角的知识．
20．见解析
【分析】连接，可得，证明，可得，结合，可得，即可得证．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在与中，
∴（HL），
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，垂直平分线的性质，HL证明三角形全等，证明是解题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据是的直径，得出，进而得出，根据同弧所对的圆周角相等即可求解；
（2）连接，根据平分，得出，根据圆周角定理得出，进而根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：是的直径，
，
，
，
；
（2）连接，
平分，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推理，勾股定理，掌握圆周角定理及其推理是解题的关键．
22．3
【分析】证明，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵为的直径，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查的是直径所对的圆周角是直角，勾股定理的应用，熟记直径所对的圆周角是直角是解本题的关键．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．
（1）先根据，得出的长，进而得出的长，进而得出结论；
（2）由，结合直角三角形可以求得结果；
【详解】（1）解：∵，
，
设，
又 ∵，
，
，
解得：，
∴的直径是 20 ．
（2）解：，
，
，
∴，
，
．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了圆周角定理、弧弦之间的关系、等角对等边等知识，熟练掌握圆周角定理是关键．
（1）根据弧弦之间的关系得到，根据弧的和差即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到，再根据等角对等边即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
，
，
即；
（2）连接，
，
，
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