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2.6正多边形与圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．正方形的外接圆与内切圆的周长比为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，正五边形内接于，过点作的切线交对角线的延长线于点，则下列结论不成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．给出下列说法：
①各边相等的圆内接多边形是正多边形；
②各边相等的圆外切多边形是正多边形；
③各角相等的圆内接多边形是正多边形；
④各角相等的圆外切多边形是正多边形．
其中正确的是（　　）
A．①④ B．②③ C．①②③④ D．都不正确
4．若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（ ）
A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形
5．如图，正五边形的边长为2，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．若正多边形的一个外角为，则这个正多边形的中心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正六边形内接于，半径为6，则这个正六边形的边心距为（ ）
A．4 B． C． D．
8．如图，是的内接正三角形，五边形是的内接正五边形，若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
9．如图，连接的内接正十二边形顶点得到，，若，则阴影部分的面积为（　　）
A． B．2 C． D．
10．已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知正六边形边长为2，在正六边形的边上距离最远的点到的距离为（ ）
A．3 B．4 C． D．
12．如图，正六边形内接于，点C在上，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率．刘徽形容“割圆术”为：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．”已知的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形近似估计的面积，可得的近似值为 ．
14．如图，正方形内接于，其边长为2，则的内接正三角形的边长为 ．
15．如图，边长为2的正六边形的中心与坐标原点O重合，轴，将正六边形绕原点O逆时针旋转n次，每次旋转，当时，顶点A的坐标为 ．
16．如图，若的半径为2，若用的内接正六边形的周长来估计的周长，则的周长与其内接正六边形的周长的差为 ．（结果保留）
17．如图，边长为4的正六边形的中心与坐标原点重合，轴，将正六边形绕原点O顺时针旋转次，每次旋转，当时，顶点的坐标为 ．
三、解答题
18．用一批全长为的篱笆围出一块草地，分别计算所围草地是正三角形、正方形、正六边形和圆时的面积（精确到），并比较它们的大小．
19．如图，已知，请用尺规做的内接正四边形．（保留作图痕迹，不写做法）
20．如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）．
21．如图，在圆内接正六边形中，半径，求这个正六边形的周长．

22．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．
(1)求∠CPD的度数；
(2)当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
23．如图，正方形内接于，E是的中点，连接．

(1)求∠E的度数．
(2)求证：．
(3)若，则点E到的距离为 ．
24．如图，已知正六边形的半径为2，点O为其中心，求正六边形的边心距、边长、周长和面积．
《2.6正多边形与圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A D D C B A B D
题号 11 12
答案 B C
1．A
【分析】首先根据题意画出图形，然后由圆的内接多边形的性质与切线的性质，得到是等腰直角三角形，推出，根据周长比等于半径比可得答案．
【详解】解：如图，
根据题意得：，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
正方形的外接圆半径与内切圆的周长之比为：，
故选：A．
【点睛】本题考查正多边形的内切圆与外接圆，勾股定理，解题的关键是通过推导得出内切圆与外接圆的半径之比．
2．C
【分析】连接，根据正五边形的性质求出各个角的度数，结合平行线的判定方法，再逐个判断即可．
【详解】五边形是正五边形，
，，
，
，
，
，故A不符合题意；
，
，故B不符合题意；
连接，过点A作于点H，则，
，，
，
，故C符合题意；
连接，
五边形是正五边形，
，
，
，
相切于，
，
，
，
，
，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、正多边形与圆、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解题的关键．
3．A
【分析】本题主要考查了正多边形与圆的关系；根据正多边形的性质，以及正多边形与圆的关系对每小题逐一进行判断即可确定真命题的个数．
【详解】解：①各边相等的圆内接多边形是正多边形，正确；
②各边相等的圆外切多边形的角不一定相等，如菱形，故②错误；
③圆内接矩形，各角相等，但不是正多边形，故③错误；
④各角相等的圆外切多边形是正多边形，正确；
∴正确的为①④，
故选A．
4．D
【分析】根据正多边形的中心角的计算公式计算即可．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得，，
解得，，
故选：D．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．
5．D
【分析】本题考查了多边形的内角和问题、求扇形面积，由题意得出，，再由扇形面积公式计算即可得出答案．
【详解】解：正五边形的边长为2，
，，
阴影部分的面积为，
故选：D．
6．C
【分析】本题考查正多边形的外角和定理，正多边形的中心角，利用多边形的外角得到正多边形的边数，然后根据正多边形的中心角定义即可求解，掌握正多边形的外角和定理是解题的关键．
【详解】∵正多边形的一个外角为，
∴正多边形的边数为，
∴这个正多边形的中心角的度数是，
故选：．
7．B
【分析】连接，证明是等边三角形，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
则，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
∴
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理是解题的关键．
8．A
【分析】本题考查了正多边形与圆，连接、、、，由题意可得，，，由圆周角定理计算得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图：连接、、、，
由题意可得：，，，
∴，
∴若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为，
故选：A．
9．B
【分析】根据已知条件得到，求得，，得到，过作于，于，解直角三角形得到，，根据梯形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如图所示，
，
，，
，
，
过作于，于，
，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积为．
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，梯形的面积的计算，勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
10．D
【分析】本题考查了正多边形的内角和和外角和，正多边形的中心角，根据题意列出方程求得边数，即可求得中心角的度数．
【详解】解：根据题意，得，
解得，
∴这个正n边形的中心角为，
故选：D．
11．B
【分析】本题考查正多边形的性质，正多边形的外接圆，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
连接，交于点O．由，都是等边三角形，推出，可得结论．
【详解】解：连接，交于点O，如图
则点O为外接圆的圆心，
∴在正六边形的边上距离最远的点是，
∵正六边形边长为2，
∴，
∴，都是等边三角形，
∴，
∴．
故选：B．
12．C
【分析】本题考查正多边形的外接圆圆心角及圆周角，根据正多边形外接圆得到，根据圆周角等圆圆心角一半求解即可得到答案；
【详解】解：∵正六边形内接于，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
13．3
【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，圆的面积，正确地作出辅助线是解题的关键．
过作于，求得，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到正十二边形的面积为，根据圆的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，

过作于，
在正十二边形中，，
，
，
正十二边形的面积为，
，
，
的近似值为3，
故答案为：3．
14．
【分析】连接、、，作于M，先求出圆的半径，在中利用30度角的性质即可解决问题．
【详解】解；连接、、，作于M，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴是直径，，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
在中，
∵，，
∴，，
∴．
故答案为： ．
【点睛】本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
15．
【分析】将正六边形绕原点O逆时针旋转次时，点A所在的位置是自身所在的位置，连接，，设交y轴于点H，先判断是等边三角形，求出和的长度，即可求出点A的坐标．
【详解】解：，
∴当时，顶点A旋转到了原来的位置，
连接，，设交y轴于点H，
在正六边形中，，，是等边三角形，
，，
，
，
，
即当时，顶点A的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形的性质、旋转变换的性质，掌握正多边形的性质、旋转变换的性质是解题的关键．
16．
【分析】本题考查的是正多边形和圆，正确求出正六边形的中心角是解题的关键．
连接，根据等边三角形的性质求出，再根据的周长公式、正六边形的周长公式计算．
【详解】解：如图，连接，
则，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴内接正六边形的周长为：，
∴的周长与其内接正六边形的周长的差为：，
故答案为：．
17．
【分析】先求出旋转2017次与正六边形绕原点O顺时针旋转1次时点A的坐标是一样的，再根据正六边形的性质得到当点A按顺时针旋转60°时，与原F点重合．连接，过点F作轴，垂足为H；证明是等边三角形，得到，求出，得到点F的坐标即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴旋转2017次与正六边形绕原点O顺时针旋转1次时点A的坐标是一样的，
∵正六边形的中心角度数为，即，
∴当点A按顺时针旋转60°时，与原F点重合．
连接，过点F作轴，垂足为H；
由已知，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴旋转2017次后点A的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——旋转，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确判断出当点A按顺时针旋转60°时，与原F点重合是解题的关键．
18．正三角形的面积为平方米，正方形的面积为平方米，正六边形的面积为平方米，圆的面积为平方米，
【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，正多边形的性质．熟练掌握等边三角形的性质，勾股定理，正多边形的性质是解题的关键．
先根据周长求正三角形，正方形，正六边形的边长，圆的半径，然后求高，求面积，最后比大小即可．
【详解】解：由题意可得，正三角形的边长为，
∴正三角形底边上的高为；
∴；
∵正方形的边长为，
∴，
∵正六边形的边长为，
∴边心距为，
∴；
∵圆的半径，
∴；
∵，
∴在周长都是时，．
19．图见解析
【分析】本题考查了作正方形，考查了圆的基本性质，正方形的判定；先在圆上确定一点，连接并延长交于点，再作的垂直平分线交于B、D，连接，则四边形就是所求作的内接正方形．
【详解】解：如图，正方形为所作．
垂直平分，为的直径，
为的直径，
，
，，，
四边形是矩形
,
四边形是正方形，
又都在圆上，
四边形是的内接正方形．
20．见解析
【分析】本题考查作图—复杂作图、正多边形和圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．任意作一条直径，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交于点B，F，再分别以点B，F为圆心，的长为半径画弧，分别交于点C，E，顺次连接，，，，，，即可得六边形．
【详解】解：如图，任意作一条直径，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交于点B，F，再分别以点B，F为圆心，的长为半径画弧，分别交于点C，E，顺次连接，，，，，，
则六边形即为所求．
21．这个正六边形的周长为．
【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定与性质．连接，如图，根据正六边形的性质得到，则为等边三角形，所以，进而可求出正六边形的周长．
【详解】解：如图，连接，
．
∵六边形是正六边形，
，
是等边三角形，
，
∴这个正六边形的周长为．

22．(1)
(2)
【分析】（1）连接OD，OC，根据正方形ABCD内接于⊙O，结合圆周角定理可得∠CPD；
（2）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出∠COP的度数，进而得出答案．
【详解】（1）解：连接OD，OC，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠DOC＝90°，
∴．
（2）解：连接PO，OB，如图所示：
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠COB＝90°，
∵点P为的中点，
∴，
∴，
∴n＝360÷45＝8．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正方形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
23．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了正多边形和圆，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识．
（1）利用正方形和圆的关系，求得中心角的度数，再利用圆周角定理即可求解；
（2）要证明，只要证明即可；
（3）连接并延长交于点F，证明是线段的垂直平分线，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，，

∴
∵正方形内接于，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接并延长交于点F，

∵，，∴是线段的垂直平分线，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即点E到的距离为，
故答案为：．
24．边心距为，边长为2，周长为，面积为
【分析】此题考查了正六边形和圆、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明是等边三角形是解题的关键．连接，过点O作于点H，证明是等边三角形．依次进行求解即可．
【详解】解：如图，连接，过点O作于点H，
∵六边形是正六边形，
∴，．
∴是等边三角形．
∴，即边长为2，周长为．
在中，，
∴，
∴边心距．
∴．
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