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2025-2026学年湖南省岳阳市颐华高级中学高二（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量满足，，则( )
A. B. C. D.
5.已知的面积等于，且，则的外接圆的半径的最小值为( )
A. B. C. D.
6.若，，，，的第百分位数是，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.口袋里装有红，白，黄共个形状相同小球，从中取出球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的球中至少有一个黄球”，事件“取出的球至少有一个白球”，事件“取出的球不同色”，“取出的球中至多有一个白球”下列判断中正确的是( )
A. B.
C. D.
8.在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，则函数的最小值为
B. 若，，，则的最小值为
C. 若，则的最大值为
D. 若，，，则的最小值为
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 当时，在上单调递增
B. 若，且，则函数的最小正周期为
C. 若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为
D. 若在上恰有个零点，则的取值范围为
11.已知点为所在平面内一点，则( )
A. 若，则
B. 若，且，则为等边三角形
C. 若，则
D. 若，且，则的面积是面积的
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是______．
13.如图所示的图形是由六个直角边均为和的直角三角形组成的，则该图形绕直线旋转一周得到的几何体的体积为______．
14.已知四棱柱中，底面是边长为的菱形且，底面，，点是四棱柱表面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在锐角中，角，，所对应的边分别为，，，已知．
求角的值；
若，求的周长的取值范围．
16.本小题分
象棋作为中华民族的传统文化瑰宝，是一项集科学竞技，文化于一体的智力运动，可以帮助培养思维能力，判断能力和决策能力近年来，象棋也继围棋国际象棋之后，成为第三个进入普通高校运动训练专业招生项目的棋类项目某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的名同学分为组，每组共名同学进行单循环比赛已知甲、乙、丙、丁名同学所在小组的赛程如表：
第一轮 甲乙 丙丁
第二轮 甲丙 乙丁
第三轮 甲丁 乙丙
规定：每场比赛获胜的同学得分输的同学不得分，平局的名同学均得分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名抽签的胜者排在负者前面，且抽签时每人胜利的概率均为，假设甲、乙、丙名同学水平相当，彼此间胜负平的概率均为，丁同学的水平较弱面对任意一名同学时自己胜，负，平的概率都分别为，，每场比赛结果相互独立．
求丁同学的总分为分的概率；
已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，底面，平面平面．
求证：；
若，，是的中点，，分别在线段，上移动．
求与平面所成角的正切值；
若平面，求线段长度取最小值时二面角平面角的正切值．
18.本小题分
已知函数，．
若函数为奇函数，求的值；
若在上恒成立，求的取值范围；
设，讨论方程的根的个数．
19.本小题分
如图，设，是平面内相交成的两条射线，分别为，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．
在仿射坐标系中
若，求；
若，且与的夹角为，求；
如上图所示，在仿射坐标系中，，分别在轴，轴正半轴上，分别为，中点，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由已知可得，
由正弦定理可得，
所以，
由余弦定理可得：，
因为，所以；
由正弦定理可得，即，
可得，，
故的周长
，
在锐角中，因为，，所以，
，
，
所以的周长的取值范围为
16.解：根据题意，若丁同学总分为分，则丁同学三轮比赛结果为一胜两平，
记第轮比赛丁同学胜、平的事件分别为，，
丁同学三轮比赛结果为一胜两平的事件为，
则，
即丁同学的总分为分的概率为．
由于丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁名同学是平局，
则在第二、三轮比赛中，丁同学对战乙、甲同学均获胜，
故丁同学的总分为分，且同丁同学比赛后，甲、乙、丙三人分别获得分，分、分，
若甲同学获得奖励，则甲最终排名为第二名．
若第一、二轮比赛中甲同学均获胜，
则第三轮比赛中无论乙、丙两位同学比赛结果如何，甲同学的总分为分，排第二名，可以获得奖励，
此时的概率．
若第一轮比赛中甲同学获胜，
则第二轮比赛中甲、丙名同学平局，第三轮比赛中乙、丙名同学平局或乙同学获胜，甲同学的总分为分，排第二名，可以获得奖励，
此时的概率．
若第一轮比赛中甲、乙名同学平局，
第二轮比赛中甲同学获胜，第三轮比赛中当乙、丙名同学平局时，甲同学的总分为分，排第二名，可以获得奖励，
此时的概率；
第三轮比赛中当乙，丙同学没有产生平局时，甲同学与第三轮比赛乙、丙中的胜者的总分均为分，需要进行抽签来确定排名，
当甲同学抽签获胜时甲同学排第二名，可以获得奖励，此时的概率．
综上，甲同学能获得奖励的概率．
17.解：证明：作，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，又平面，所以；
由得平面，
所以为在平面的射影，为与平面所成角，
在中，，
在直角中，，
所以与平面所成角的正切值为；
过作的垂线，垂足为，过作，交于，
因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，所以，
因为平面，平面，所以平面，同理平面，
因为，，平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面，设，
所以，，，，
在直角中，，
当时，，，
易证为二面角的平面角，其正切值为．
18.解：为奇函数，且定义域为，
，
，
，
恒成立，
恒成立，
恒成立，
又，
，
在上恒成立，
又，
，即的取值范围是
，
设，
令，则，当且仅当取到等号，
，
设且，
令，得，
令
又在上单调递减，
，
当或时，与无交点，无零点，无零点，方程无根；
当时，，
或舍，
只有一个解，
只有一个零点，方程有一个根；
当时，在上有零点，
先证在上单调递增，
任取，且，
，
，
，
，
在上单调递增，
又为偶函数，
在上单调递减，
有两个互为相反数的根，
此时有个零点，方程有两个根，
综上，或时，方程无根；
当时，方程有一个根；
当时，方程有两个根．
19.解：因为，
所以，
所以；
因为，
所以，
，
，
因为与的夹角为，所以，解得．
依题意设，，，
则，
因为为中点，所以，
因为为中点，所以，
所以，，
因为，则
，
在中依据余弦定理得，所以，代入上式得，
．
设，则，
令，得，解得舍，
所以，
则．
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