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2025-2026学年陕西省商洛市柞水中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数则的最小值是( )
A. B. C. D.
4.总体由编号，，，，的个个体组成利用下面的随机数表选取个个体，选取方法是随机数表第行的第列和第列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第个个体的编号为( )
A. B. C. D.
5.设为所在平面内一点，，则( )
A. B.
C. D.
6.已知，，，则，，的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
7.已知角的终边上有一点，则( )
A. B. C. D.
8.如图，正方体的棱长为，，分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面面积为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中正确的是( )
A. 在点运动过程中，直线与始终为异面直线
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与直线所成的角为定值
D. 在点运动过程中，不存在某个位置，使得面平面
10.设，为两个随机事件，以下命题正确的是( )
A. 若，是对立事件，则
B. 若，是对立事件，则
C. 若，是互斥事件，，，则
D. 若，是互斥事件，，则
11.已知函数的图象关于直线对称，则( )
A. 的图象关于点对称
B. 在区间上单调递减
C. 在区间内有两个极值点
D. 将的图象向下平移个单位长度即可得到的图象
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12.在中，若，，，则______．
13.函数的最小正周期为______．
14.已知向量满足，，且，则 ______．
15.某次期中考试随机抽取了名同学的数学成绩作为样本，分别是，，，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为______．
四、解答题：本题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
求值：
．
．
．
17.本小题分
如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点．
求证：平面；
求证：．
18.本小题分
已知函数的最小正周期为．
求的值；
求的单调递增区间．
19.本小题分
记的内角，，所对的边分别为，，，且．
求角的值；
若，求外接圆的面积；
若，求的最小值．
20.本小题分
高一年级有男生人，女生人，一次数学测验后，随机抽取了部分男生的成绩，统计得到如图所示的频率分布直方图．
根据频率分布直方图，请估计所有男生的平均成绩与方差；
已知所有女生的平均成绩为，请估计高一年级所有学生的平均成绩；
为进一步了解学情，用分层抽样的方法从高一所有学生中抽取名学生，再从这名学生中随机找两名学生谈话，求这两名学生恰为一名男生和一名女生的概率．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.
16.解：原式
．
原式
．
．
17.证明：连接，交于点，连接，
则直三棱柱中，四边形为平行四边形，
则为的中点，又为的中点，
所以，
而平面，平面，
所以平面；
取中点为，连接，，为的中点，
故FH，而底面，
故FH底面，底面，
故FH；
又为的中点，则，而，即，
故EH，
而，
故BC平面，
又平面，
可得．
18.
，
的最小正周期为，
；
由题意及得，，
当单调递增时，，，
解得，，
的单调递增区间为．
19.因为，
即，
由正弦定理可得：，
即，
在中，，
即，
又因为，
所以；
设外接圆的半径为，当时，由正弦定理可得，
可得，
故此时外接圆的面积为；
由余弦定理可得，
即，
当且仅当时取等号，
故的最小值为．
20.由题估计所有男生的平均成绩为，
估计所有男生的方差为，
所以估计全体男生的平均成绩为，方差为；
全体学生的平均数；
抽到的名学生中有名男生，设为，，，名女生，
设为，，事件：两名学生恰为一名男生和一名女生，
则样本空间，，，，，，，，，，
，，，，，，
所以，，所以．
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