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2025-2026学年广西大学附中高二（上）自主学习数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.设复数，则的共轭复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.三角形中，，则( )
A. B. C. D.
3.某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是( )
A. “恰有一名男生”和“全是男生”
B. “至少有一名男生”和“至少有一名女生”
C. “至少有一名男生”和“全是男生”
D. “至少有一名男生”和“全是女生”
4.已知平面向量，满足，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知直线，和平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.若数据，，，的平均数为，方差为，则下列说法错误的是( )
A. B. 数据，，，的平均数为
C. D. 数据，，，的标准差为
7.给出下列命题，其中是真命题个数的是( )
若直线的方向向量，平面的法向量，则；
若平面，的法向量分别为，，则；
若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则；
若点，，点是关于平面的对称点，则点与的距离为．
A. B. C. D.
8.如图，在中，已知，为上一点，且满足，若的面积为，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.已知，，则( )
A. B.
C. D.
10.已知事件，相互独立，且，，则( )
A. B.
C. D.
11.如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，则下列说法正确的是( )
A. ，，，四点共面
B.
C. 直线与所成角的余弦值为
D. 点到直线的距离为
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.已知复数其中为虚数单位，则 ______．
13.某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图，这是要测量的一建筑物的高度，选择与该建筑物底部在同一水平面上的，两点，测得米，，，，则该建筑物的高度 ______米
14.如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的边长分别为，，则以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积为______；该三棱柱的外接球的表面积______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知向量，．
求
求向量与向量的夹角的余弦值
若，且，求向量与向量的夹角．
16.在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，的面积为，求的周长．
17.如图，在正方形中，，对角线与交于点，沿对角线将折起到的位置，如图所示，已知．
证明：平面平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.某校高一班共有名同学参加期末考试，现将其数学学科成绩均为整数分成六个分数段，，，，画出如如图所示的部分频率分布直方图，请观察图形信息，回答下列问题：
求分数段的学生人数；
估计这次考试中该学科的优分率分及以上为优分、中位数、平均值；
现根据本次考试分数分成下列六段从低分段到高分段依次为第一组、第二组、、第六组为提高本班数学整体成绩，决定组与组之间进行帮扶学习．若选出的两组分数之差大于分以分数段为依据，不以具体学生分数为依据，则称这两组为“最佳组合”，试求选出的两组为“最佳组合”的概率．
19.某场知识答题活动的参赛规则如下：在规定时间内每位参赛选手对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立，每位选手作答的题均不相同已知甲答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为；乙答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为甲、乙每次作答正确与否相互独立．
设．
求甲答对两道题的概率；
求甲、乙一共答对两道题的概率．
求甲、乙一共答对三道题的概率的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：Ⅰ因为，，
所以．
所以．
Ⅱ因为，，，
所以．
Ⅲ因为，
所以．
即．
所以．
即，
所以．
因为，
所以．
16.解：因为，
所以，
整理得，
因为，所以，所以，
因为，所以；
因为，且，所以，
由余弦定理得：，即，
则，所以，解得，
所以的周长为．
17.证明：由已知得，即，
在正方形中，，可得，
而，所以，可得．
因为，，，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
法一：由题意知，，两两垂直，以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
所以，，，
设向量是平面的法向量，
则，即，
令，得，
设直线与平面所成的角为，，
则．
法二：由知平面，
所以，
又折叠后，
所以，
设点到平面的距离为，
因为，
所以，
解得，
设直线与平面所成角为，
则．
18.解：根据题意得：人；
成绩在分及以上的学生有人，
估计这次考试中该学科的优分率为；
该学科分数段人数为人；分数段人数为人；分数段人数为人；
分数段人数为人；分数段人数为人；分数段人数为人；
估计这次考试中位数为分数段，即分；
平均值为分；
所有的组合数：，，，，，，，，，，，，，，，即，
符合“最佳组合”条件的有：，，，，，，即，
则．
19.根据题意，设“甲答对第道题”，表示乙答对第道题，
，设“甲答对两道题”，则；
，设“甲、乙一共答对两道题”，
则，
则
，
所以甲、乙一共答对两道题的概率为；
设“甲、乙一共答对三道题”，
则，
则
，
当时，有最小值为，
所以甲、乙一共答对三道题的概率的最小值为．
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