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2025-2026学年黑龙江省齐齐哈尔六中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数 满足 2 + = 5，则| | =( )
A. 5 B. 2 C. 2 D. 1
2. = (2,1), = ( , 4)，若 ⊥ ，则 + 2 =( )
A. ( 2, 9) B. (2, 9) C. ( 2,9) D. (2,9)
3.边长为 4 的正方形 ， 为 1中点，点 在边 上且 = ，则 3 =( )
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
4. ， 是两条不同直线， ， ， 是三个不同的平面，下列说法正确的是( )
A.若 // ， ⊥ ，则 // B.若 // ， // ，则 //
C.若 ⊥ ， // ，则 // D.若 = ∩ ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
5.sin( ) 2 = 0，则 1 2 的值为( )
A. 25 B.
4
5 C.
6 8
5 D. 5
6 △ 4 3. 中，角 ， ， 所对的边为 ， ， .若 = 7 ，边长 是复数 的方程
2 2 = 4 4 ( 是虚
数单位)的解，则△ 外接圆的面积 为( )
A. 28 B. 49 C. 56 D. 112
7.一个圆柱轴截面为正方形且它的表面积为 24 ，则圆柱外接球的表面积为( )
A. 32 B. 16 C. 8 D. 4
8 .函数 = sin(2 + )与函数 = 的交点为 ( 3 , 0)，则函数 ( ) = sin(2 + )的一个减区间是(其中
0 < < )( )
A. [ , 3 4 ] B. [
, 6 3 ] C. [
2
3 , 3 ] D. [ 2 ,
3
2 ]
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.平行六面体 1 1 1 1的体积为 ，点 在线段 1上运动，则下列三
1
棱锥中，体积为6 的是( )
A.三棱锥 1 B. 三棱锥 1
C.三棱锥 1 1 D.三棱锥 1 1
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10.关于复数 ，下列说法正确的是( )
A.若 = 1 + 是方程 2 + + = 0( 、 ∈ )的解，则 = 2， = 2
B.若| 1| = | 2|，则 1 = 2
C.若| 2 | = 1，则复数 + 3 + 2 的模长范围为[4,6]

D. 1， 2均为复数且 = 1 2，则 = 1 2
11.△ 中，角 ， 2 ， 所对的边分别为 ， ， 且 = ，下列说法正确的是( )
A. = 3
B.若 = 2 且△ 存在且唯一，则 0 < ≤ 2 或 = 2 2
C.若 = 2 ，则 =
D.若 = 2，则△ 面积最大值为 1 + 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.向量 = (1,1, 3)， = (2, 1, 1)，则 在 上的投影向量的坐标为______．
13. = 2, cos( + ) = 15，则 cos( ) =______．
14.正四面体 边长为 ，其内切球 ，则在正四面体 内与球 和平面 ，平面 ，平面
均相切的球的表面积为______. (用 表示)
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
复数 = + ( 、 ∈ )
(1)若 1 ≤ | | ≤ 3，求 表示点在复平面内图形的面积．
(2)将 1 = 1 + 3 化成 1 = 2(cos
+ 3 3 )，且 2 = 1 + .
7 7
求证： 1 2 = 2 2(cos 12 + 12 )．
16.(本小题 15 分)
= (2,0)， = (1,2)， = ( 3,2)．
(1)若( + )// ，求 值；
(2)若 = 2 + 3 ， = + 且 、 、 三点一线，求 的值；
(3)若( + ) ⊥ ，求 的值．
17.(本小题 15 分)
四棱锥 的底面是矩形， = 2 = 2 = 2， ⊥ ， 为 中点且 ⊥ ．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
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(2)求四棱锥 的体积；
(3)求面 与面 所成的夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
函数 ( ) = 3 2 2 ．
(1)求 ( )的值域及对称轴方程；
(2)锐角△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， 且 ( ) = 2， = 2，设△ 面积为 ，周长为 ，求
和 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
图①平面四边形 中， = 2 2 1， = 6， = 3 , ∠ =
3
4∠ =

4 , = 4，以 为轴将△
折起至△ ，如图②得四棱锥 ， 为 中点， 为线段 上动点， = 2 5．
(1)求异面直线 ， 所成的角的余弦值；
(2)求△ 面积的最小值及对应 ： 的值；
(3)求点 到 的距离的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( 43 ,
2
3 ,
2
3 )
13. 35
14. 224
15.(1)复数 = + ( 、 ∈ )，由 1 ≤ | | ≤ 3，可得复数 在复平面内对应的轨迹图形是圆环，如图：
其中，圆环的内圆半径为 1，外圆半径为 3，所以圆环的面积为： × 32 × 12 = 8 ，
即为复数 表示的点在复平面内图形的面积．
(2) 证明：由题意： 2 = 1 + = 2(cos 4 + 4 )，

所以 1 2 = 2(cos 3 +

3 ) × 2(cos

4 + 4 )

= 2 2 × [(cos 3 cos 4 sin 3 sin 4 ) + (sin 3 cos 4 + cos 3 sin 4 )]
= 2 2 × [cos( + 3 4 ) + (

3 +

4 )] = 2 2(cos
7 7
12 + 12 )．
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16.(1) ∵ = (2,0)， = (1,2)，∴ + = (2 + 1,2)，
又 = ( 3,2)，且 + // ，∴ (2 + 1) × 2 = 3 × 2，解得 = 2；
(2) ∵ = (2,0)， = (1,2)，
∴ = 2 + 3 = (7,6)， = + = (2 + , 2 )，
又 、 、 三点共线，∴ // ，∴ (2 + ) × 6 = 7 × 2 ，解得 = 32；
(3) ∵ = (2,0)， = (1,2)，
∴ + = (2 + 1,2)，
又 = ( 3,2)，且 + ⊥ ，
∴ (2 + 1) × 3 + 2 × 2 = 0 1，解得 = 6．
17.(1)证明：因为 = 2， = = 2，所以 2 = 2 + 2，即
⊥ ，
又因为 ⊥ ，且 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又因为 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ ，且 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又因为 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
(2)解：由 ⊥平面 ，且 平面 ，则 ⊥ ，
所以∠ + ∠ = 2，又因为矩形 ，可得∠ + ∠ =

2，
所以∠ = ∠ ，又因为∠ = ∠ ，所以∠ = ∠ ，
△ 即 ～ △ ，所以 = ，
1
又因为 = 2 =
1
2 ， = = 2
1
，所以2
2 = 2，解得 = 2，
所以矩形 面积为 × = 2 × 2 = 2 2，又因为四棱锥 高 = 2，
1 4
所以四棱锥 的体积为3 × 2 2 × 2 = 3．
(3)以 为坐标原点建立空间直角坐标系，由 = 2， = 2， = 2，
可得 (2,0,0)， (1, 2, 0)， (0,0, 2)，则 = ( 1, 2, 0)， = ( 2,0, 2)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则 = 0 + 2 = 0

，即 ，
= 0 2 + 2 = 0
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令 = 2，则 = 1， = 2，所以 = ( 2, 1,2)，
又因为平面 的法向量为 = (1,0,0)，
cos < >= = 2 = 14所以 ， | ，|| | 2+1+4 7
即平面 与平面 所成夹角的余弦值为 14．
7
18.(1)由题意得 ( ) = 3 2 2 = 2( 2 6 2

6 ) = 2 (2

6 )，
根据 sin(2 6 ) ∈ [ 1,1]，可知 ( )的值域为[ 2,2]，
令 2 6 = 2 + , ∈ ，解得 ( )
1
图象的对称轴方程为 = 3 + 2 , ∈ ．
(2)由题意得 ( ) = 2 (2 6 ) = 2，可得 sin(2

6 ) = 1，
2 4结合 为锐角，可得 2 6 = 2，解得 = 3，所以 = 2 × 3 = 3，
4 4 4
根据正弦定理 = = = 3，可得 = 3 , = 3 ，
1 3 3 4 4 4
所以△ 的面积 = 2 = 4 = 4 3 3 = 3 ，
因为 = sin( + ) = + = 1 + 32 2 ，
= 4 ( 1 + 3所以 3 2 2 ) =
2 2
3 sin + 2
= 33 (1 2 ) + 2 =
2 3
3 ( 2 6 2

6 ) +
3 2 3 3
3 = 3 sin(2 6 ) + 3 ，
0 < <
根据△ 2 为锐角三角形，可知 ，解得 < < ，
0 < 2 3 <
6 2
2
5
由 2 6 ∈ ( 6 , 6 )，可得 sin(2
) ∈ ( 1 2 36 2 , 1]，所以 ∈ ( 3 , 3]，
周长 = + + = 4 ( + ) + 2 = 4 ( 33 3 2 +
3
2 ) + 2 = 4 ( +

6 ) + 2，
2 3
由于3 < + 6 < 3，可得 2 < sin( + 6 ) ≤ 1，所以△ 的周长 ∈ (2 3 + 2,6]．
19.(1)在△ 中， = 13 = 2

， = 2 2，∠ = 4，
由余弦定理，得 2 = 2 + 2 2 ∠ = 4，
所以 = 2，从而 2 + 2 = 2，
所以∠ = 2，即 ⊥ ．
连接 ，因为 = 23 = 4, = 4, ∠ =

3，
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所以△ 为正三角形，所以 = 4．
又因为 = = 2， = 2 5，
所以 2 = 2 + 2，即 ⊥ ，
又因为 ， 平面 ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，

又因为∠ = 2，所以∠ = 2，即 ⊥ ，
所以以点 为坐标原点，建系如图，
则 (2,0,0), (2 3, 2,0), (0,4,0), (0,0,0), (0,0,2)，
= (0,4, 2), = (2 3, 2,0)，
设异面直线 ， 所成的角为 ，

则 = |cos , | = | | 8 = =
5
．
| | | | 2 5×4 5
(2)设 = , ∈ [0,1]，
所以 = + = + = (0,4,0) + (2 3 , 2 , 0) = (2 3 , 4 2 , 0)，
所以 (2 3 , 4 2 , 0)，
因为 为 中点，所以 (1,0,1)，所以 = (1,0,1)，
设点 到直线 的距离为 ，
2 则 = | | ( )2 = 12
2 + (4 2 )2 + 02 ( 2 3 +0+02 )
2 = 10 2 16 + 16．
| |
二次函数 = 10 2 16 + 16， ∈ [0,1]，
16 4
当 = 20 = 5时，二次函数 = 10
2 16 + 16 有最小值，
最小值为 =
48
5．
此时 到直线 48 4 15的距离 最小，最小值为 = 5 = 5 ，
又因为| | = 2，
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所以此时△ 1面积最小，最小值为 = 2 × 2 ×
4 15
5 =
2 30
5 ，
4 1
此时 = 5，即 ： = 4．
(3) (2) = 48 4 15由 知， 5 = 5 ，
当 = 0 时，二次函数 = 10 2 16 + 16 有最大值，最大值为 16，
所以 = 4，
所以点 到 4 15的距离的取值范围为[ 5 , 4]．
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