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第二章有理数单元测试（培优卷）
一．选择题（共10小题）
1．下列四个数中，最小的是（　　）
A．1.25×106 B．1.15×106 C．1.25×105 D．1.15×105
2．如图所示，数轴上点A，M，B分别表示数a+b，a，2a，若AM＞BM，则下列运算结果一定是正数的是（　　）
A．a+b B．a﹣b C．ab D．|a|+b
3．已知a2＝b2＝c2＝d2＝1，则a+b+c+d的值不可能等于是（　　）
A．﹣4 B．﹣1 C．0 D．2
4．下列运算正确的是（　　）
A．2×（﹣2）＝﹣4 B．18÷（﹣6）＝3 C．﹣23＝8 D．3﹣（﹣1）＝﹣4
5．下列计算不正确的是（　　）
A．﹣1.5×（﹣3）＝4.5 B．（﹣1.2）×（﹣7）＝﹣8.4
C．﹣8×（﹣1.3）＝10.4 D．0×（﹣1.6）＝0
6．现有以下结论：①正有理数、负有理数和0统称为有理数；②若两个数的差是正数，则这两个数都是正数；③任意一个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示；④若|a|＝|b|，则a＝b；⑤几个非零有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数；⑥数轴上到原点的距离为3的点表示的数是3或﹣3．其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．如图是长春市某段时间的天气预报，这几天中最高温度与最低温度的差最小的是（　　）
A．3月12日 B．3月13日 C．3月14日 D．3月15日
8．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算82×34，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）
A．b的值为6
B．a为奇数
C．乘积结果可以表示为101b+10（a+1）﹣1
D．a的值小于3
9．﹣a、b两数在数轴上的位置如图，下列结论正确的是（　　）
A．a＞0，b＜0 B．a＜b C．|a|＝﹣a，|b|＝﹣b D．|a|＞|b|
10．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2024的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共5小题）
11．2021年在上海举办了第十四届国际数学教育大会（简称ICME﹣14），大会的标识如图所示，其中蕴含着丰富的数学文化元素，体现了中国传统文化的博大精深．图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号表示的八进制数，它代表着大会召开的年份，请写出这个八进制数　 　 ．
12．如图，数轴上点A所表示的数是 　 　 ．
13．某货车运送300颗西瓜，每颗西瓜的运费是1.5元，若摔裂一颗西瓜，不但没有运费，还需要赔付10元，货车司机一共获得运费415.5元，摔裂的西瓜有　 　 颗．
14．点A在数轴上，点A所对应的数用2a+1表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为 　 　 ．
15．已知a、b、c的位置如图：则化简|﹣a|﹣|c﹣b|﹣|a﹣c|＝　 　 ．
三．解答题（共7小题）
16．计算下面各题，能简便的要简便．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
17．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示．
（1）根据数轴化简：|a|＝①　 　 ；|﹣b|＝②　 　 ；|c﹣b|＝③　 　 ；|ac|＝④　 　 ．
（2）若|a|＝6.5，|b|＝3.5，|c|＝8．求a+b﹣c的值．
18．外卖送餐为我们的生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，如表是该外卖小哥一周的送餐量：
星期 一 二 三 四 五 六 日
送餐量（单） +8 ﹣2 +13 ﹣5 +6 ﹣7 +15
（1）求该外卖小哥这一周一共送餐多少单？
（2）外卖小哥每天的工资由底薪80元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴3元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴5元；超过60单的部分，每单补贴8元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？
19．有一个像如图那样的长方体容器，现在以每秒0.75升的速度向这个容器注水．容器的底面有一块隔板（垂直于底面，不考虑厚度），将容器隔为A、B两个部分．B部分有一个洞，水按一定的流量往下漏．
图①是表示从注水开始A部分的水的高度变化的图象．回答下面的问题：
（1）求图①中D表示的数；
（2）从B的洞中每秒钟流出来多少升水；
（3）求图①中P、Q表示的数．
20．我校开展阳光体育运动，是为切实推动亿万学生阳光体育运动的广泛开展，吸引广大青少年学生走向操场，积极参加体育锻炼．小梅为响应号召，决定每天练习跳绳．小梅以1分钟跳172个为目标，并把10次1分钟跳绳的数量记录如表（超过172个的部分记为“+”，少于172个的部分记为“﹣”）：
与目标数量的差值（单位：个） ﹣8 ﹣6 ﹣3 +2 +8
次数 3 2 2 1 2
（1）小梅在这10次跳绳练习中，1分钟最多跳多少个？
（2）小梅在这10次跳绳练习中，1分钟跳绳个数最多的一次比最少的一次多几个？
（3）小梅在这10次跳绳练习中，累计跳绳多少个？
21．数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴帮助我们把数和点对应起来，体现了数形结合的思想，借助它可以解决我们数学中的许多问题，数轴是“数形结合”的基础．某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图．
[探究]操作一：
（1）折叠纸面，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣2的点与表示 　 　 的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使表示1的点与表示3的点重合，回答以下问题：
①表示﹣3的点与表示 　 　 的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 　 　 ，　 　 ．
22．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是 　 　 ，点P表示的数是 　 　 （用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
第二章有理数单元测试（培优卷）答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B A B C D D C B
1．解：A：1.25×106，其中n＝6．
B：1.15×106，其中n＝6．
C：1.25×105，其中n＝5．
D：1.15×105，其中n＝5．
因为5＜6，
所以1.25×105和1.15×105小于1.25×106和1.15×106．
∵1.15＜1.25，
∴1.15×105＜1.25×105．
故选：D．
2．解：AM＝a﹣（a+b）＝﹣b＞0，
BM＝2a﹣a＝a＞0，
∵AM＞BM，
∴﹣b＞a，
∴﹣b﹣a＞0，即﹣（a+b）＞0，
∴a+b＜0，
∴A不符合题意；
∵﹣b＞a，
∴a﹣b＞2a，
∵a＞0，
∴a﹣b＞0，
∴B正确，符合题意；
∵﹣b＞0，
∴b＜0，
∵a＞0，
∴ab＜0，
∴C不符合题意；
∵a＞0，
∴|a|+b＝a+b，
∵a+b＜0，
∴|a|+b＜0，
∴D不符合题意．
故选：B．
3．解：由题意可得：
∴a＝±1，b＝±1，c＝±1，d＝±1，分情况讨论如下：
当四个数均为1时：1+1+1+1＝4；
当四个数均为﹣1时：﹣1﹣1﹣1﹣1＝﹣4；
当四个数中有1个﹣1时：﹣1+1+1+1＝2；
当四个数中有2个﹣1时：﹣1﹣1+1+1＝0；
当四个数中有3个﹣1时：﹣1﹣1﹣1+1＝﹣2；
故a+b+c+d的值不可能等于：﹣1．
故选：B．
4．解：A、原式＝﹣4，故选项符合题意；
B、原式＝﹣3，故选项不符合题意；
C、原式＝﹣8，故选项不符合题意；
D、原式＝4，故选项不符合题意．
故选：A．
5．解：A．∵﹣1.5×（﹣3）＝1.5×3＝4.5，∴此选项的计算正确，故此选项不符合题意；
B．∵（﹣1.2）×（﹣7）＝1.2×7＝8.4，∴此选项的计算不正确，故此选项符合题意；
C．∵﹣8×（﹣1.3）＝8×1.3＝10.4，∴此选项的计算正确，故此选项不符合题意；
D．∵0×（﹣1.6）＝0，∴此选项的计算正确，故此选项不符合题意；
故选：B．
6．解：①∵正有理数、负有理数和0可以统称为有理数，
∴①说法正确；
②∵若两个数的差是正数，则这两个数不一定都是正数，比如：5﹣（﹣1）＝6，
∴②的说法错误；
③∵每个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示，
∴③的说法正确；
④∵若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b，
∴④的说法错误；
⑤∵多个数相乘法则：几个非零有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数，
∴⑤的说法正确；
⑥∵数轴上到原点的距离为3的点表示的数是3或﹣3，
∴⑥的说法正确，
综上可知：说法正确的有4个，
故选：C．
7．解：根据有理数减法的运算法则可得：
3月12日的温差为5°﹣（﹣4°）＝9°，
3月13日的温差为2°﹣（﹣4°）＝6°，
3月14日的温差为4°﹣（﹣3°）＝7°，
3月15日的温差为2°﹣（﹣3°）＝5°，
这几天中温度与最低温度的差最小的是3月15日，
故选：D．
8．解：如图，设5a的十位数字是m，个位数字是n，
∴，
∴，a＝15÷5＝3，
∴乘积结果可以表示为100b+10（a+1）+b﹣1＝101b+10（a+1）﹣1．
∴A，B，C正确，D错误．
故选：D．
9．解：由题意：﹣a＞0，b＜0，b的绝对值大于﹣a的绝对值．
∵﹣a＞0，
∴a＜0．
∴A选项不正确．
∵b的绝对值大于﹣a的绝对值，b＜0，a＜0，
∴a＞b．
∴B选项不正确．
∵﹣a＞0，b＜0，
∴|a|＝﹣a，|b|＝﹣b．
∴C选项正确．
∵b的绝对值大于﹣a的绝对值，
∴|b|＞|a|．
∴D选项不正确．
故选：C．
10．解：2024﹣（﹣1）＝2025，
2025÷4＝506……1，
所以数轴上表示2024的点与圆周上的数字1重合，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．解：由条件可知这个八进制数对应的十进制数是2021，
∴这个八进制数是3745，
故答案为：3745．
12．解：，
∴点A所表示的数是1．
故答案为：1．
13．解：（1.5×300﹣415.5）÷（1.5+10）＝3（个）．
故答案为：3．
14．解：由题意得：|2a+1|＝3，
∴2a+1＝±3，
∴a＝1或a＝﹣2，
故答案为：1或﹣2．
15．解：|﹣a|﹣|c﹣b|﹣|a﹣c|
＝﹣a﹣（c﹣b）+a﹣c
＝b﹣2c
故答案为：b﹣2c．
三．解答题（共7小题）
16．解：（1）原式
＝3；
（2）原式
；
（3）原式
＝51+23
＝74；
（4）原式
＝2.4÷1.2
＝2．
17．解：（1）①∵a＜0，
∴|a|＝﹣a．
故答案为：﹣a．
②∵b＞0，
∴﹣b＜0，
∴|﹣b|＝﹣（﹣b）＝b．
故答案为：b．
③∵c＞b，
∴c﹣b＞0，
∴|c﹣b|＝c﹣b．
故答案为：c﹣b．
④∵a＜0，c＞0，
∴ac＜0，
∴|ac|＝﹣ac．
故答案为：﹣ac．
（2）∵|a|＝6.5，|b|＝3.5，|c|＝8，
∴a＝±6.5，b＝±3.5，c＝±8.5，
∵a＜0＜b＜c，
∴a＝﹣6.5，b＝3.5，c＝8.5，
∴a+b﹣c＝﹣6.5+3.5﹣8.5＝﹣11.5．
18．解：（1）根据正数和负数的实际意义列式计算可得：
50×7+（+8﹣2+13﹣5+6﹣7+15），
＝350+28
＝378，
答：该外卖小哥这一周一共送餐378单；
（2）80×7+（50×7﹣2﹣5﹣7）×3+（+8+10+6+10）×5+（+3+5）×8，
＝560+1008+170+64，
＝1802，
答：该外卖小哥这一周工资收入1802元．
19．解：（1）0.75升＝750立方厘米，
750×15÷25÷30＝15（厘米）；
答：图①中D表示的数是15；
（2）30×15×15＝6750（立方厘米）；
6750立方厘米＝6.75升，
6.75÷（30﹣15）＝0.45（升/秒），
0.75﹣0.45＝0.3（升/秒）．
答：从B洞中每秒钟流出0.3升水；
（3）0.45升/秒＝450立方厘米/秒，
P点表示的数是：
30×（25+15）×（24﹣15）÷450+30＝54（秒）．
Q点表示的数是：
（70﹣54）×450÷[30×（25+15）]+24＝30（厘米）．
答：P表示的数是54，Q表示的数是30．
20．解：（1）跳绳最多的一次为：172+8＝180（个），
答：1分钟最多跳180个；
（2）8﹣（﹣8）＝16（个），
答：1分钟跳绳个数最多的一次比最少的一次多16个；
（3）172×10﹣8×3﹣6×2﹣2×3+2×1+8×2＝1696（个），
答：累计跳绳1696个．
21．解：（1）由折叠的性质得：折叠点表示的数为，
∴表示﹣2的点与表示0+[0﹣（﹣2）]＝0+0+2＝2的点重合，
故答案为：2；
（2）①由折叠的性质得：折叠点表示的数为，
∴表示﹣3的点与表示2+[2﹣（﹣3）]＝2+2+3＝7的点重合，
故答案为：7；
②∵数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，
由折叠的性质知，点A和点B到折叠点的距离都为，
∴点A表示的数为2﹣4.5＝﹣2.5，点B表示的数为2+4.5＝6.5；
故答案为：﹣2.5；6.5．
22．解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，
∴OA＝6，
则OB＝AB﹣OA＝4，
点B在原点左边，
∴数轴上点B所表示的数为﹣4；
点P运动t秒的长度为6t，
∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴P所表示的数为：6﹣6t；
（2）①点P运动t秒时追上点Q，
根据题意得6t＝10+4t，
解得t＝5，
答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；
②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，
当P不超过Q，则10+4a﹣6a＝8，解得a＝1；
当P超过Q，则10+4a+8＝6a，解得a＝9；
答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．
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