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第一章三角形单元测试（培优卷）
一．选择题（共10小题）
1．一个直角三角形的两个锐角，如果一个锐角是另一个锐角的2倍，那么较小的锐角是（　　）
A．20° B．60° C．30° D．45°
2．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，点E在边AB上，且BE＝BD，则图中等腰三角形的个数有（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．△ABC的面积为12，AB＝7，DE＝2，则BC的长为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
4．如图，AD是△ABC的中线，DH⊥AB于点H，DG⊥AC于点G，AB＝7cm，AC＝6cm，DH＝3cm，则DG的长是（　　）
A．4cm B．3cm C．cm D．无法判断
5．如图，将一个等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2等于（　　）
A．240° B．120° C．170° D．360°
6．如图，已知∠CAE＝∠BAD，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，AD是△ABC的角平分线，BE平分∠ABC交AD于点E，BF是△ABC的外角平分线，交AD的延长线于点F，且BF∥AC，连接CF．下列结论错误的是（　　）
A．∠EBF＝90° B．∠BCF＝∠BFC
C．若CF∥AB，则AE＝BD D．若AF⊥BC，则CF＝BC
8．如图，AC＝AD，BC＝BD，下列结论一定正确的是（　　）
A．CD平分∠ACB B．CD垂直平分AB
C．AB垂直平分CD D．AB与CD互相垂直平分
9．如图，在△ABP中，C、D分别是PA、PB上任意一点，连接AC、BD，M、N分别是AC、BD的中点，若S四边形ABCD＝2024，则S△PMN＝（　　）
A． B．506 C． D．不确定
10．如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（　　）
A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点E
B．∠BDC＝3∠ABD
C．当E为AB中点时，△ABC是等边三角形
D．当E为AB中点时，
二．填空题（共5小题）
11．等腰三角形的两边a、b满足|a﹣2|+（b﹣5）2＝0，那么这个三角形的周长是　 　 ．
12．如图，DE是AB的垂直平分线，AB＝6，△ABC的周长是16，则△ADC的周长是 　 　 ．
13．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点E在边AB上，点F在AD的延长线上，若∠CFE＝60°，AE＝2，则EF的长为 　 　 ．
14．如图，△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P．PE⊥AC交AC的延长线于点E．若△ABC的周长为9，PE＝2，S△BPC＝2，则S△ABC＝ 　 　 ．
15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，设运动时间为t秒，则当t＝　 　 秒时，△PEC与△QFC全等．
三．解答题（共7小题）
16．如图，点A，D，C，F在同一直线上，∠B＝∠E，AB∥DE，AD＝CF．求证：△ABC≌△DEF．
17．如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由．
18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE．
（1）求证：AB＝EC；
（2）若△ABC的周长为32cm，AC＝12cm，求DC的长．
19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．
20．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，交AB于点E，EG∥BC，交AC于点G
（1）求证：EG＝CG；
（2）延长EG交CF于点H，若点G是EH的中点，求证：CF平分∠ACD．
21．如图所示，在△ABC中，D是边AB上一点，AD＝AC，过点D作DE∥BC交AC于点E，点F是BC上一点，连接DF，CD，AF，且DC平分∠EDF，求证：AF垂直平分CD．
22．综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中AB＝AC，∠B＝30°．将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N．
特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，求旋转角α的度数为 　 　 ；
探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论．
拓展延伸：（3）①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数．
②在图3中，作直线BD，CE交于点P，直接写出当△PDE是直角三角形时旋转角α的度数．
第一章三角形单元测试（培优卷）答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C A C C C B D
1．设较小的锐角为x°，则较大的锐角为2x°，
根据题意，两角之和等于直角，
所以根据题意列一元一次方程得：x+2x＝90，
整理得，3x＝90，
解得x＝30，
故选：C．
2．解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴△ABC是等腰三角形，，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∴∠ABE＝∠A，∠BEC＝180°﹣∠CBE﹣∠ACB＝72°＝∠BCE，
∴BE＝AE，BC＝BD，
∴△ABE，△CBD均为等腰三角形，
∵BE＝BD，
∴BE＝BC（等量代换），
∴△BCE为等腰三角形，
综上所述，图中等腰三角形的个数有4个，所以只有选项B正确，符合题意，
故选：B．
3．解：作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF＝DE＝2，
∴AB×DEBC×DF＝12，
∴，
∴BC＝5，
故选：C．
4．解：因为AD是△ABC的中线，DH⊥AB于点H，DG⊥AC于点G，
所以三角形ABD与三角形ADC的面积相等．
即：，
所以，
所以DGcm．
故选：C．
5．解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵∠1+∠2+∠B+∠C＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠B﹣∠C＝240°；
故选：A．
6．解：①由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE．增加AB＝AE，那么AB＝AE，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，推断出△ABC≌△AED，故①符合题意．
②由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE．添加BC＝ED，△ABC与△AED不一定全等，故②不符合题意．
③由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE．增加∠C＝∠D，那么∠C＝∠D，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，推断出△ABC≌△AED，故③符合题意．
④由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE．增加∠B＝∠E，那么∠B＝∠E，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，推断出△ABC≌△AED，故④符合题意．
综上：符合题意的有①③④，共3个．
故选：C．
7．解：由条件可知，，
∴，选项A正确，不符合题意；
∵BF∥AC，BF平分∠CBG，
∴∠CBF＝∠ACB＝∠FBG＝∠BAC，
∴AB＝BC，
由条件可知∠CAF＝∠FAG，
∵BF∥AC，
∴∠CAF＝∠AFB，
∴∠AFB＝∠BAF，
∴AB＝BF，
∴BC＝BF，
∴∠BCF＝∠BFC，选项B正确，不符合题意；
由条件可知四边形ABFC是平行四边形．
∴AB＝CF，AC＝BF，
由上面知：AB＝BC＝BF，
∴△ABC，△BCF均为等边三角形，
由三线合一知AF⊥BC，∠ABC＝∠BAC＝60°，
在Rt△BDE中，由角平分线定义知∠DBE＝∠ABE＝30°，∠BDE＝90°，
∴BE＝2DE，
易知∠BAE＝∠ABE＝30°，
∴AE＝BE＝2DE，选项C错误，符合题意；
∵AF⊥BC，AF平分∠BAC，
结合AD＝AD易证△ADC≌△ADB（ASA），
∴易知AF垂直平分BC，
∴CF＝BF，
∴CF＝BC，选项D正确，不符合题意；
故选：C．
8．解：由条件可知点A、B 在CD的垂直平分线上，
∴AB垂直平分CD，
故选：C．
9．解：如图，连接DM，BM，
∵M是AC的中点，
∴S△ADMS△ACD，S△ABMS△ABC，
∴S△ADM+S△ABM（S△ACD+S△ABC）S四边形ABCD＝1012，
∵M是AC的中点，
∴S△BPM＝S△MPC+S△CBMS△APCS△ABCS△ABP，
∵N是BD的中点，
∴S△BPNS△BPD，S△BMNS△BMD，
∴S△PMN＝S△BPM﹣S△BMN﹣S△BPN
S△ABPS△BMDS△BPD，
（S△ABP﹣S△BMD﹣S△BPD）
（S△ADM+S△ABM）
＝506．
故选：B．
10．解：连接DE，如图1所示：
∵CE⊥AB，点D是AC的中点，
∴DE为Rt△AEC斜边上的中线，
∴，
∵BE＝CD，
∴BE＝DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
即线段BD的垂直平分线一定与AB相交于点E，故选项A正确，不符合题意；
设∠ABD＝α，
∵BE＝DE，
∴∠EDB＝∠ABD＝α，
∴∠AED＝∠EDB+∠ABD＝2α，
∵DE＝AD，
∴∠A＝∠AED＝2α，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3α，
即∠BDC＝3∠ABD，故选B正确，不符合题意；
当E为AB中点时，则，
∵CE⊥AB，
∴CE是线段AB的垂直平分线，
∴AC＝BC，
∵，，BE＝CD，
∴AB＝AC，
∴AC＝BC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，故选C正确，不符合题意；
连接AO，并延长交BC于F，如图2所示：
当E为AB中点时，
∵点D为AC的中点，
∴根据三角形三条中线交于一点得：点F为BC的中点，
∵当E为AB中点时，△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AF⊥BC，AF平分∠OAC，BD平分∠ABC，
∴∠OBC＝∠OAC＝30°，
∴OA＝OB，
在Rt△OBF中，OB＝2OF，
∴OA＝OB＝2OF，
∴AF＝OA+OF＝3OF，
∴，，
∵E为AB中点，
∴S△AECS△ABCBC OF
∴，
故选项D不正确，符合题意．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．解：因为|a﹣2|+（b﹣5）2＝0，所以a＝2，b＝5．
又因为是等腰三角形，所以三边长为5，5，2，2或2，2，5（不满足三角形构造条件，舍去）
所以周长为5+5+2＝12．
故填12．
12．解：∵△ABC的周长是16，AB＝6，
∴AB+AC+BC＝16，即6+AC+BC＝16．
AC+BC＝16﹣6＝10．
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴△ADC的周长为：DA+DC+AC＝DB+DC+AC＝AC+BC＝10，
即△ADC的周长是10．
故答案为：10．
13．解：如图，过F点作FM⊥AB于M，FN⊥AC于N，
∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
即AF平分∠BAC，
∴FM＝FN，且∠FMA＝∠FNA＝90°．
又∵四边形AMFN中∠BAC＝120°，
∴∠MFN＝360°﹣∠BAC﹣∠FMA﹣∠FNA＝60°．
又∵∠CFE＝60°，
∴∠MFN＝∠CFE，
∴∠MFN﹣∠EFN＝∠CFE﹣∠EFN，
即∠MFE＝∠NFC．
又∵∠FME＝∠FNC＝90°，FM＝FN，
∴△FME≌△FNC（ASA），
∴FE＝FC，
∴△EFC是等边三角形，
∴EF＝EC．
作EH⊥BC于H，
则∠EHB＝∠EHC＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠ACB＝30°．
∵AB＝6，AE＝2，
∴BE＝AB﹣AE＝4，
∴．
∵Rt△ABD中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．解：过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，连接AP，
∵△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AC，PF⊥BC，PG⊥AB，PE＝2，
∴PF＝PG＝PE＝2，
∵S△BPC＝2，
∴BC×2＝2，
解得：BC＝2，
∵△ABC的周长为9，
∴AC+AB＝9﹣2＝7，
∴S△ABC＝S△ACP+S△ABP﹣S△BPCAC PEAB PG﹣S△BPC7×2﹣2＝5，
故答案为：5．
15．解：由题意得，AP＝t，BQ＝2t，
∵AC＝6cm，BC＝8cm，
∴CP＝6﹣t，CQ＝8﹣2t，
①如图1，Q在BC上，点P在AC上时，作PE⊥l，QF⊥l，
∵∠PEC＝∠CFQ＝∠ACB＝90°，
∴∠CPE+∠PCE＝∠PCE+∠FCQ＝90°，
∴∠CPE＝∠FCQ，
当△PEC≌△CFQ时，
则PC＝CQ，
即6﹣t＝8﹣2t，
解得：t＝2；
②如图2，当点P与点Q重合时，
当△PEC≌△QFC，
则PC＝CQ，
∴6﹣t＝2t﹣8．
解得：t；
③如图3，当点Q与A重合时，∠QCF+∠CQF＝∠QCF+∠PCE＝90°，
∴∠CQF＝∠PCE，
当△PEC≌△CFQ，
则PC＝CQ，
即t﹣6＝6，
解得：t＝12；
当综上所述：当t＝2秒或秒或12秒时，△PEC与△QFC全等，
故答案为：2或或12．
三．解答题（共7小题）
16．证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠EDF，
∵AD＝CF，
∴AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
17．（1）证明：∵BD⊥AC，点D是AC边的中点，
∴BD垂直平分AC，
∴AB＝CB，
∵EF⊥AB，
∴∠ABC+∠E＝90°，
∵∠E＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：AD＝CE，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∠E＝30°，
∴∠CDE＝30°＝∠E，
∴CD＝CE，
∵点D是AC边的中点，
∴AD＝CD，
∴AD＝CE．
18．（1）证明：∵EF垂直平分AC，
根据线段的垂直平分线的性质可得：AE＝EC，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AB＝AE，
∴AB＝EC．
（2）解：由题意可得：AB+BC+AC＝32cm，
∵AC＝12cm，
∴AB+BC＝20cm，
∵AB＝EC，BD＝DE，
∴DC＝DE+EC
＝10cm．
19．（1）证明：∵DC⊥BC，DE⊥AB，DE＝DC，
∴点D在∠ABC的平分线上，
∴BD平分∠ABC．
（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝36°，
∴∠ABC＝54°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD＝27°．
20．证明：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ECB，
∵EG∥BC，
∴∠GEC＝∠ECB，
∴∠GEC＝∠ACE，
∴EG＝CG；
（2）由（1）知：EG＝CG，
∴∠GEC＝∠GCE，
∵点G是EH的中点，
∴EG＝GH，
∴CG＝GH，
∴∠GCH＝∠GHC，
∴∠GCE+∠GCH＝90°，
∴∠ECB+∠HCD＝90°，
∵∠ACE＝∠ECB，
∴∠ACH＝∠HCD，
∴CF平分∠ACD．
21．证明：∵DE∥BC（已知），
∴∠CDE＝∠DCF（两直线平行，内错角相等），
∵DC平分∠EDF，
∴∠CDF＝∠CDE∠EDF，
∴∠CDF＝∠DCF（等量代换），
∴DF＝CF（等角对等边），
∴点F在线段CD的垂直平分线上，
∵AD＝AC，
∴点A在线段CD的垂直平分线上，
∴AF垂直平分CD．
22．（1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠C＝∠B＝30°，∠BAD∠BAC，
∴∠BAD60，
∴α＝60°，
故答案为：60°；
（2）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠MAN＝∠DAE﹣∠MAN，
即：∠BAM＝∠EAN，
在△BAM和△EAN中，
，
∴△BAM≌△EAN（ASA），
∴AM＝AN；
（3）解：①如图1，
当DM＝OM时，∠MOD＝∠D＝30°，
∵∠B＝∠D，∠AMB＝∠DMO，
∴∠BAD＝∠MOD＝30°，
∴α＝30°，
如图2，
当DM＝DO时，∠DMO＝∠DOM75°，
∴α＝∠DOM＝75°，
如图3，
当OM＝OD时，∠OMD＝∠D＝30°，
∴α＝∠DOM＝120°，
此时AD和AC重合，这种情形不存在．
综上所述：α＝30°或75°．
②如图：
当∠EDP＝90°时，
∵∠ABC＝ADE＝30°，
∴∠ADB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BAD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵0°＜α＜100°，
∴旋转角α为60°．
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